教案《最小二乘法》.doc

陜西省西安中學附屬遠程教育學校8最小二乘法一、教學分析最小二乘法的思想是使的和達到最小。對于最小二乘法本身，任何一組數據，不論它們之間是否存在線性相關關系，都可以用最小二乘法估計出一個線性方程來。所以，通過散點圖判斷兩個變量是否存在線性相關系就顯得很重要。二、教學建議關于最小二乘法不要求學生掌握推導過程，但要理解其思想。三、教學目標1、知識與技能了解最小法的思想，能根據給出的線性回歸方程的系數公式建立線性回歸方程。2、過程與方法經歷用不同的估算方法來描述兩個變量線性相關的過程，體會研究兩個變量間依賴關系的一般方法。3、情感態(tài)度價值觀通過利用散點圖直觀認識變量間的相關關系，培養(yǎng)學生用普遍聯系的觀點思考和解決生活中的數學現象，進一步培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力。四、教學重點、難點教學重點：利用最小二乘法求線性回歸方程。教學難點: 線性回歸方程的推導。（一）課題引入在上一節(jié)的討論我們知道，人的身高與右手一拃長之間的總體趨勢是成一條直線，也就說，它們之間是線性相關的。這種線性關系可以用多種方法來刻畫，那么用什么樣的線性關系刻畫會更好呢？一個好的線性關系要保證這條直線與所有點都接近。（二）探求新知假設一條直線的方程為：，任意給定一個樣本點：，即有一個估計值與之對應，那么估計值與真實值之間存在誤差，為了避免誤差相互抵消，可以考慮用來刻畫彼此之間的“誤差”。如果有n個樣本點，其坐標分別為，則所有誤差的和越小，對應的直線方程就越理想。使得上式達到最小值的直線就是所要求的直線，我們把這種方法稱為最小二乘法。記：，則 =，所以當時，上式取得最小值。將這個關系式代入上式，整理成關于未知數b的一元二次多項式的形式：所以當時，點與直線最接近。這樣得到的方程稱為線性回歸方程，稱為線性回歸方程的系數。（三）知識應用例1、在上一節(jié)練習中，從散點圖可以看出，某小賣部6天賣出熱茶的杯數（y）與當天氣溫（x）之間是線性相關的。數據如下表所示：氣溫（x）/261813104-1杯數202434385064（1）試用最小二乘法求出線性回歸方程。（2）如果某天氣溫是-5，請預測大約能賣出熱茶多少杯。 解：（1）從散點圖可以看出，兩個變量是線性相關的?？汕蟮茫M而求得，。于是，線性回歸方程為。（2）由上面的最小二乘法估計得出的線性回歸方程知，當某天的氣溫是-5時，賣出熱茶的倍數估計為。例2、下面是兩個變量的一組數據：x12345678y1491625364964（1）請用最小二乘法求出這兩個變量之間的線性回歸方程；（2）觀察散點圖，你發(fā)現線性回歸方程能否反映兩變量之間的相關關系嗎？解：線性回歸方程為。但是，從表中數據很容易看出：，此時，最小二乘法得到的線性回歸方程已經失去了意義。所以，利用最小二乘法進行估計時，要先作出數據的散點圖，如果散點圖呈現一定的規(guī)律性，我們再根據這個規(guī)律性進行擬合。如果散點圖呈現出線性關系，我們可以用最小二乘法估計出線性回歸方程；如果散點圖呈現出其他的曲線關系，我們就要利用其他的工具進行擬合。（四）課堂練習1、設，是變量和的個樣本點，直線是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸方程（如圖），以下結論中正確的是 （ ）A回歸直線是經過散點圖上最多點的直線B若回歸方程為，則當時，一定等于6C當為偶數時，分布在兩側的樣本點的個數一定相同D直線過點解析：根據最小二乘法的有關概念：樣本點的中心，相關系數線，性回歸方程的意義等進行判斷。選D2、（2011年廣東卷）為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關系，下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時間x（單位：小時）與當天投籃命中率y 之間的關系：時間12345命中率0405060604小李這5天的平均投籃命中率為_;用線性回歸分析的方法，預測小李每月6號打籃球6小時的投籃命中率為_。0.5，0.533、課本57頁 練習（1）線性回歸方程為；（2）線性回歸方程為；（3）從以上兩個方程可以看出，女生的線性回歸方程的斜率要比男生的大，這說明從總體上看，相對于身高而言，女生的右手一拃長比男生的要長。從另一個角度開看，對于男生而言，女生的身高總體偏矮，相同年齡的人右手一拃長應當大致差不多，所以相對于身高而言，女生的右手一拃長比男生的要長。（五）課堂小結最小二乘法：如果有n個樣本點，其坐標分別為，可以用下面的表達式來刻畫這些樣本點與直線之間的接近程度：，使得上式達到最小值的直線就是所要求的直線，我們把這種方法稱為最小二乘法。線性回歸方程：如果，則可求得，這樣得到的方程稱為線性回歸方程，稱為線性回歸方程的系數。（六）分層作