2018-2019學(xué)年重慶市七校高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2018-2019學(xué)年重慶市七校高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1已知集合，則為（ ）ABCD【答案】A【解析】利用集合的交集運(yùn)算進(jìn)行求解即可【詳解】由題可知集合中，集合中求的是值域的取值范圍，所以的取值范圍為答案選A【點(diǎn)睛】求解集合基本運(yùn)算時，需注意每個集合中求解的是x還是y,求的是定義域還是值域，是點(diǎn)集還是數(shù)集等2下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)為（ ）ABCD【答案】A【解析】本題考察函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性由函數(shù)的奇偶性定義易得，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，單調(diào)區(qū)間為時，變形為，由于21,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增時，變形為，可看成的復(fù)合，易知為增函數(shù)，為減函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)故選擇A3函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)是（ ）A0B1C2D3【答案】B【解析】因為和在均為增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，所以函數(shù)至多一個零點(diǎn)，再給賦值，根據(jù)可得函數(shù)在上有一個零點(diǎn)【詳解】因為與均在上為增函數(shù)，所以函數(shù)至多一個零點(diǎn)又，即函數(shù)在上有一個零點(diǎn)答案選B【點(diǎn)睛】零點(diǎn)問題可根據(jù)零點(diǎn)存在定理進(jìn)行判斷，也可采用構(gòu)造函數(shù)法，根據(jù)構(gòu)造的兩新函數(shù)函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)來確定零點(diǎn)個數(shù)4若，則實數(shù)，的大小關(guān)系為（ ）ABCD【答案】A【解析】利用冪指對函數(shù)的單調(diào)性，比較大小即可.【詳解】解：，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了指對函數(shù)的單調(diào)性及特殊點(diǎn)，考查函數(shù)思想，屬于基礎(chǔ)題.5設(shè)是虛數(shù)單位，條件復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，條件，則是的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，必有利用充分條件與必要條件的定義可得結(jié)果.【詳解】若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，必有所以由能推出；但若,不能推出復(fù)數(shù)是純虛數(shù). 所以由不能推出.，因此是充分不必要條件,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念以及充分條件與必要條件的定義，屬于簡單題. 判斷充要條件應(yīng)注意：首先弄清條件和結(jié)論分別是什么，然后直接依據(jù)定義、定理、性質(zhì)嘗試.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題；對于范圍問題也可以轉(zhuǎn)化為包含關(guān)系來處理.6已知函數(shù)(其中，)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】分類討論a的范圍，根據(jù)真數(shù)的符號以及單調(diào)性，求出a的范圍【詳解】解：函數(shù)yloga（8ax）（其中a0，a1）在區(qū)間1，4上單調(diào)遞減，當(dāng)a1時，由函數(shù)t8ax在區(qū)間1，4上單調(diào)遞減且t0，故84a0，求得1a2當(dāng)0a1時，由函數(shù)t8ax在區(qū)間1，4上單調(diào)遞減，可得函數(shù)yloga（8ax）在區(qū)間1，4上單調(diào)遞增，這不符合條件綜上，實數(shù)a的取值范圍為（1，2），故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題7已知函數(shù)的定義域是，則的展開式中的系數(shù)是（ ）AB192CD230【答案】A【解析】函數(shù)的定義域是可知，-1和2是方程的兩根，代入可求得值，再根據(jù)二項式定理的通項公式進(jìn)行求解即可【詳解】因為的定義域，所以-1和2是方程的兩根，將-1代入方程可得，則二項式定理為根據(jù)二項式定理的通項公式，的系數(shù)答案選A【點(diǎn)睛】本題考察了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二項式定理通項公式的求法及二項式系數(shù)的求法，難度不大，但綜合性強(qiáng)8湖北省2019年新高考方案公布，實行“”模式，即“3”是指語文、數(shù)學(xué)、外語必考，“1”是指物理、歷史兩科中選考一門，“2”是指生物、化學(xué)、地理、政治四科中選考兩門，在所有選科組合中某學(xué)生選擇考?xì)v史和化學(xué)的概率為（ ）ABCD【答案】C【解析】基本事件總數(shù)，在所有選項中某學(xué)生選擇考?xì)v史和化學(xué)包含的基本事件總數(shù)，由此能求出在所有選項中某學(xué)生選擇考?xì)v史和化學(xué)的概率【詳解】湖北省2019年新高考方案公布，實行“”模式，即“3”是指語文、數(shù)學(xué)、外語必考，“1”是指物理、歷史兩科中選考一門，“2”是指生物、化學(xué)、地理、政治四科中選考兩門，基本事件總數(shù)，在所有選項中某學(xué)生選擇考?xì)v史和化學(xué)包含的基本事件總數(shù)，在所有選項中某學(xué)生選擇考?xì)v史和化學(xué)的概率為故選【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題9下列說法中， 正確說法的個數(shù)是（ ）在用列聯(lián)表分析兩個分類變量與之間的關(guān)系時，隨機(jī)變量的觀測值越大，說明“A與B有關(guān)系”的可信度越大以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則，的值分別是和 0.3已知兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為，若，則A0B1C2D3【答案】D【解析】對題目中的三個命題判斷正誤，即可得出結(jié)論【詳解】解：對于，分類變量A與B的隨機(jī)變量K2越大，說明“A與B有關(guān)系”的可信度越大，正確；對于，以模型ycekx去擬合一組數(shù)據(jù)時，設(shè)zlny，由ycekx，兩邊取對數(shù)，可得lnyln（cekx）lnc+lnekxlnc+kx，令zlny，可得zlnc+kx，又z0.3x+4，lnc4，k0.3，ce4，正確；對于，根據(jù)回歸直線方程為ya+bx，ab3211，正確；綜上，正確的命題為，共3個故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了回歸方程，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，隨機(jī)變量K2的概念與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題10下列說法正確的是（ ）A若為真命題，則為真命題B命題“若，則”的否命題是真命題C命題“函數(shù)的值域是”的逆否命題是真命題D命題“，關(guān)于的不等式有解”，則為“，關(guān)于的不等式無解”【答案】C【解析】采用命題的基本判斷法進(jìn)行判斷，條件能推出結(jié)論為真，推不出為假【詳解】A. 若為真命題，則中有一個為真命題即可滿足，但推不出為真命題，A錯B. 命題“若，則”的否命題是：“若，則”，當(dāng)時，不滿足，B錯C. 原命題與逆否命題真假性相同，的取值大于零，所以值域為，C為真命題D. 命題“，關(guān)于的不等式有解”，則為“，關(guān)于的不等式無解”，D錯答案選C【點(diǎn)睛】四種常見命題需要熟悉基本改寫方式，原命題與逆否命題為真，逆命題與否命題為真，原命題與逆命題或否命題真假性無法判斷，需改寫之后再進(jìn)行判斷，命題的否定為只否定結(jié)論，全稱改存在，存在改全稱11已知是定義在上的奇函數(shù)，對任意，都有，且對于任意的，都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】由可判斷函數(shù)為減函數(shù)，將變形為，再將函數(shù)轉(zhuǎn)化成恒成立問題即可【詳解】，又是定義在上的奇函數(shù)，為R上減函數(shù)，故可變形為，即，根據(jù)函數(shù)在R上為減函數(shù)可得，整理后得，在為減函數(shù)，為增函數(shù)，所以在為增函數(shù)，為減函數(shù)在恒成立，即，當(dāng)時，有最小值所以答案選B【點(diǎn)睛】奇偶性與增減性結(jié)合考查函數(shù)性質(zhì)的題型重在根據(jù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化函數(shù)，學(xué)會去“”；本題還涉及恒成立問題，一般通過分離參數(shù)，處理函數(shù)在某一區(qū)間恒成立問題12已知函數(shù)的圖象上，有且只有三個不同的點(diǎn)，它們關(guān)于直線的對稱點(diǎn)落在直線上，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】可先求關(guān)于的對稱直線，聯(lián)立對稱直線和可得關(guān)于x的函數(shù)方程，采用分離參數(shù)法以及數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行求解即可【詳解】設(shè)直線關(guān)于的對稱函數(shù)為，則，因為與有三個不同交點(diǎn)，聯(lián)立，可得，當(dāng)時顯然為一解，當(dāng)時，有，畫出的圖像，可知滿足與有兩交點(diǎn)需滿足綜上所述，實數(shù)的取值范圍是答案選D【點(diǎn)睛】本題考察了直線關(guān)于對稱直線的求法，函數(shù)零點(diǎn)中分離參數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論等基本知識，對數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)化能力要求較高，特別是分離參數(shù)與數(shù)形結(jié)合求零點(diǎn)問題，是考察重點(diǎn)二、填空題13已知函數(shù)，則_.【答案】1【解析】利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解【詳解】解：，故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意分段函數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用14已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，則_【答案】18【解析】由可判斷函數(shù)周期為2，所以，將代入即可求值【詳解】由，可得所以18【點(diǎn)睛】若函數(shù)滿足，則函數(shù)周期為，對于給出x的取值不在給定區(qū)間的，必須要根據(jù)周期性轉(zhuǎn)化為在對應(yīng)區(qū)間的x值，再代入表達(dá)式進(jìn)行求解15中國古代十進(jìn)制的算籌計數(shù)法，在世界數(shù)學(xué)史上是一個偉大的創(chuàng)造. 算籌實際上是一根根同樣長短的小木棍，用算籌表示數(shù)19的方法如圖:例如：163可表示為“”，27可表示為“”.現(xiàn)有6根算籌，用來表示不能被10整除的兩位數(shù)，算籌必須用完，則這樣的兩位數(shù)的個數(shù)為_.【答案】16【解析】根據(jù)算籌計數(shù)法，需要對不能被10整除的兩位數(shù)進(jìn)行分類討論?？刹捎昧信e法寫出具體個數(shù)【詳解】根據(jù)算籌計數(shù)法中的技術(shù)特點(diǎn)，可分為：“1”作十位數(shù)：另外五根算籌有兩種組合方式，分別為15、19“2”作十位數(shù)：另外四根算籌有兩種組合方式，分別為24、28“3”作十位數(shù)：另外三根算籌有兩種組合方式，分別為33、37“4”作十位數(shù)：另外兩根算籌有兩種組合方式，分別為42、46“5”作十位數(shù)：另外一根算籌有兩種組合方式，分別為51“6”作十位數(shù)：另外四根算籌有兩種組合方式，分別為64、68“7”作十位數(shù)：另外三根算籌有兩種組合方式，分別為73、77“8”作十位數(shù)：另外兩根算籌有兩種組合方式，分別為82、86“9”作十位數(shù)：另外一根算籌有兩種組合方式，分別為91所以這樣的兩位數(shù)的個數(shù)共有16個【點(diǎn)睛】本題結(jié)合中國古代十進(jìn)制的算籌計數(shù)法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，數(shù)學(xué)服務(wù)于生活的思想，對于這種數(shù)學(xué)文化題型，合理的推理演繹，學(xué)會尋找規(guī)律規(guī)律是解題關(guān)鍵。本題還可采用分析算籌組合特點(diǎn)，先考慮十位數(shù)特點(diǎn)，再考慮個位數(shù)特點(diǎn)，采用排列組合方式進(jìn)行求解16已知曲線F（x，y）=0關(guān)于x軸、y軸和直線y=x均對稱，設(shè)集合S=（x，y）|F（x，y）=0，xZ，yZ下列命題：若（1，2）S，則（-2，-1）S；若（0，2）S，則S中至少有4個元素；S中元素的個數(shù)一定為偶數(shù)；若（x，y）|y2=4x，xZ，yZS，則（x，y）|x2=-4y，xZ，yZS其中正確命題的序號為_（寫出所有正確命題的序號）【答案】【解析】結(jié)合曲線F（x，y）=0關(guān)于x軸、y軸和直線y=x均對稱，利用對稱性分別進(jìn)行判斷即可【詳解】若（1，2）S，則（1，2）關(guān)于y=x對稱的點(diǎn)（2，1）S，關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)（2，-1）S，關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)（-2，-1）S；故正確， 若（0，2）S，關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)（0，-2）S，關(guān)于y=x對稱的點(diǎn)（2，0）S，（-2，0）S，此時S中至少有4個元素；故正確， 若（0，0）S，則（0，0）關(guān)于x軸，y軸，y=x對稱的點(diǎn)是自身，此時S中元素的個數(shù)為奇數(shù)個，故錯誤； 若（x，y）|y2=4x，xZ，yZS，則關(guān)于y對稱的集合為（x，y）|y2=-4x，xZ，yZS， 從而（x，y）|y2=-4x，xZ，yZS關(guān)于y=x對稱的集合（x，y）|x2=-4y，xZ，yZS，故正確， 故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假判斷，結(jié)合函數(shù)圖象的對稱性分別進(jìn)行驗證是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題三、解答題17已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若的最小值為，正實數(shù)，滿足，求的最小值.【答案】（1）；（2）9【解析】（1）可采用零點(diǎn)討論法先求出零點(diǎn)，再將x分為三段，分別進(jìn)行討論求解（2）采用絕對值不等連式特點(diǎn)求出最小值，再采用均值不等式進(jìn)行求解即可【詳解】解：（1）當(dāng)時，解得；當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，解得；綜上所述，該不等式的解集為.（2）根據(jù)不等連式，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故最小值為9.【點(diǎn)睛】絕對值不等式的解法常采用零點(diǎn)討論法，分區(qū)間討論時，一定要注意零點(diǎn)處取不取得到的問題，如本題中將x分為三段，；絕對值不等連式為：，應(yīng)熟悉均值不等式常見的基本形式，知道基本形式都源于18在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓經(jīng)過極點(diǎn)，且其圓心的極坐標(biāo)為.（1）求圓的極坐標(biāo)方程；（2）若射線分別與圓和直線交于點(diǎn)，（點(diǎn)異于坐標(biāo)原點(diǎn)），求線段的長.【答案】（1）；（2）【解析】(1)將圓心極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)，可得圓是以為圓心，半徑為2的圓，寫出標(biāo)準(zhǔn)方程，再轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程即可（2）將代入可求得，再根據(jù)直線的參數(shù)方程進(jìn)行消參，得到普通方程，再將普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，算出，可求得答案【詳解】解：（1）圓是以為圓心，半徑為2的圓.其方程是，即，可得其極坐標(biāo)方程為，即；（2）將代入得，直線的普通方程為，其極坐標(biāo)方程是，將代入得，故.【點(diǎn)睛】對于圓的普通方程和參數(shù)方程及極坐標(biāo)方程，應(yīng)熟練掌握，平時應(yīng)熟記四種極坐標(biāo)方程及對應(yīng)的普通方程：，做題時才能游刃有余，本題第二問巧妙地運(yùn)用了極徑來求解長度問題，體現(xiàn)了極坐標(biāo)處理解析幾何問題的優(yōu)越性19為評估設(shè)備生產(chǎn)某種零件的性能，從設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100件零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：直徑5859616263646566676869707173合計件數(shù)11356193318442121100經(jīng)計算，樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，以頻率值作為概率的估計值，用樣本估計總體.（1）將直徑小于等于或直徑大于的零件認(rèn)為是次品，從設(shè)備的生產(chǎn)流水線上隨意抽取3個零件，計算其中次品個數(shù)的數(shù)學(xué)期望；（2）為評判一臺設(shè)備的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評判（表示相應(yīng)事件的概率）：；.評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，則設(shè)備等級為甲；僅滿足其中兩個，則等級為乙；若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為丁，試判斷設(shè)備的性能等級并說明理由.【答案】（1）；（2）設(shè)備的性能為丙級別.理由見解析【解析】（1）對于次品個數(shù)的數(shù)學(xué)期望的求法可采取古典概率的算法，先求出次品率，用符合條件的次品數(shù)/樣本總數(shù)，次品可通過尋找直徑小于等于或直徑大于的零件個數(shù)求得，再根據(jù)該分布符合，進(jìn)行期望的求值（2）根據(jù)（2）提供的評判標(biāo)準(zhǔn)，再結(jié)合樣本數(shù)據(jù)算出在每個對應(yīng)事件下的概率，通過比較發(fā)現(xiàn)，三個條件中只有一個符合，等級為丙【詳解】解：（1）由圖表知道：直徑小于或等于的零件有2件，大于的零件有4件，共計6件，從設(shè)備的生產(chǎn)流水線上任取一件，取到次品的概率為，依題意，故；（2）由題意知，所以由圖表知道：，所以該設(shè)備的性能為丙級別.【點(diǎn)睛】對于正態(tài)分布題型的數(shù)據(jù)分析，需要結(jié)合的含義來進(jìn)行理解，根據(jù)題設(shè)中如；來尋找對應(yīng)條件下的樣品數(shù)，計算出概率值，再根據(jù)題設(shè)進(jìn)行求解，此類題型對數(shù)據(jù)分析能力要求較高，在統(tǒng)計數(shù)據(jù)時必須夠保證數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，特別是統(tǒng)計個數(shù)和計算，等數(shù)據(jù)時20如圖，直三棱柱中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn).(1)若，求證: ;(2)若，異面直線與所成的角為30，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析 (2)【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，易知要證，先證平面；（2）如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，為軸軸軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量及直線的方向向量，即可得到結(jié)果.【詳解】(1)證明:取中點(diǎn)，連接，有，因為，所以，又因為三棱柱為直三棱柱，所以平面平面，又因為平面平面，所以平面，又因為平面，所以又因為，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，因為，所以.(2)設(shè)，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，為軸軸軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由 (1)可知，所以，故，對平面，所以其法向量為.又，所以直線與平面成角的正弦值.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的證明、中位線定理以及利用空間向量求線面角的正弦值，考查了學(xué)生空間想象能力和計算能力，屬于中檔題21已知函數(shù)，其中.（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)?shù)膱D像剛好與軸相切時，設(shè)函數(shù)，其中，求證：存在極小值且該極小值小于.【答案】（1）當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間是，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）證明見解析【解析】（1）先求導(dǎo)，通過導(dǎo)論參數(shù)和，根據(jù)導(dǎo)數(shù)值大于零，求出對應(yīng)增區(qū)間即可（2）當(dāng)時，由（1）知切點(diǎn)即為，可求出，求出，先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)值正負(fù)進(jìn)一步判斷函數(shù)增減性，確定極值點(diǎn)，求證在該極值點(diǎn)處函數(shù)值小于即可【詳解】解：（1），當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間是；當(dāng)時，由可得，綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間是，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）易知切點(diǎn)為，由得，所以設(shè)，則在上是增函數(shù)，當(dāng)時，所以在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，即.當(dāng)時