數(shù)列復(fù)習(xí)總結(jié)(通項(xiàng)公式、求和方法).doc

數(shù)列復(fù)習(xí)總結(jié)一、基礎(chǔ)知識(shí)：數(shù)列數(shù)列的定義數(shù)列的有關(guān)概念數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系項(xiàng)項(xiàng)數(shù)通項(xiàng)等差數(shù)列等差數(shù)列的定義等差數(shù)列的通項(xiàng)等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和等比數(shù)列等比數(shù)列的定義等比數(shù)列的通項(xiàng)等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和數(shù)列： 1數(shù)列、項(xiàng)的概念：按一定 次序 排列的一列數(shù)，叫做 數(shù)列 ，其中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng) 2數(shù)列的項(xiàng)的性質(zhì)： 有序性 ； 確定性 ； 可重復(fù)性 3數(shù)列的表示：通常用字母加右下角標(biāo)表示數(shù)列的項(xiàng)，其中右下角標(biāo)表示項(xiàng)的位置序號(hào)，因此數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，an，（），簡(jiǎn)記作 an 其中an是該數(shù)列的第 n 項(xiàng)，列表法、 圖象法、 符號(hào)法、 列舉法、 解析法、 公式法（通項(xiàng)公式、遞推公式、求和公式）都是表示數(shù)列的方法 4數(shù)列的一般性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性 ；周期性 5數(shù)列的分類：按項(xiàng)的數(shù)量分： 有窮數(shù)列 、 無窮數(shù)列 ；按相鄰項(xiàng)的大小關(guān)系分：遞增數(shù)列 、遞減數(shù)列 、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列 、其他；按項(xiàng)的變化規(guī)律分：等差數(shù)列、等比數(shù)列、其他；按項(xiàng)的變化范圍分：有界數(shù)列、無界數(shù)列 6數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式a=f（n）（nN+或其有限子集1，2，3，n） 來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的 通項(xiàng)公式 數(shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中一個(gè)確定的數(shù)，是函數(shù)值，而序號(hào)是指數(shù)列中項(xiàng)的位置，是自變量的值由通項(xiàng)公式可知數(shù)列的圖象是 散點(diǎn)圖 ，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 項(xiàng)的序號(hào)值 ，縱坐標(biāo)是 各項(xiàng)的值 不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式在形式上未必唯一 7數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列an的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1（或前幾項(xiàng)an-1，an-2，）間關(guān)系可以用一個(gè)公式 an=f（a）（n=2，3，） （或 an=f（a,a）(n=3，4，5，)，）來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的 遞推公式 8數(shù)列的求和公式：設(shè)Sn表示數(shù)列an和前n項(xiàng)和，即Sn=a1+a2+an，如果Sn與項(xiàng)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式 Sn= f（n）（n=1，2，3，） 來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的 求和公式 9通項(xiàng)公式與求和公式的關(guān)系：通項(xiàng)公式an與求和公式Sn的關(guān)系可表示為：等差數(shù)列與等比數(shù)列：等差數(shù)列等比數(shù)列文字定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫等差數(shù)列的公差。一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫等比數(shù)列的公比。符號(hào)定義分類遞增數(shù)列：遞減數(shù)列：常數(shù)數(shù)列：遞增數(shù)列：遞減數(shù)列：擺動(dòng)數(shù)列：常數(shù)數(shù)列：通項(xiàng)其中（）前n項(xiàng)和其中中項(xiàng)主要性質(zhì)等和性：等差數(shù)列若則推論：若則即：首尾顛倒相加，則和相等等積性：等比數(shù)列若則推論：若則即：首尾顛倒相乘，則積相等其它性質(zhì)1、等差數(shù)列中連續(xù)項(xiàng)的和，組成的新數(shù)列是等差數(shù)列。即：等差，公差為則有2、從等差數(shù)列中抽取等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列。如：（下標(biāo)成等差數(shù)列）3、等差，則，也等差。4、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是的一次函數(shù)，即：() 等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是一個(gè)沒有常數(shù)項(xiàng)的的二次函數(shù)，即：()5、項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列有：項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列有：，6、則則則1、等比數(shù)列中連續(xù)項(xiàng)的和，組成的新數(shù)列是等比數(shù)列。即：等比，公比為。 2、從等比數(shù)列中抽取等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列。如：（下標(biāo)成等差數(shù)列）3、等比，則，也等比。其中4、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式類似于的指數(shù)函數(shù)，即：，其中等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式是一個(gè)平移加振幅的的指數(shù)函數(shù)，即：5、等比數(shù)列中連續(xù)相同項(xiàng)數(shù)的積組成的新數(shù)列是等比數(shù)列。證明方法證明一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列的方法：1、定義法：2、中項(xiàng)法：3.、通項(xiàng)公式：4、前n項(xiàng)和 ：證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的方法：1、定義法：2、中項(xiàng)法：設(shè)元技巧三數(shù)等差：四數(shù)等差：三數(shù)等比：四數(shù)等比：聯(lián)系1、若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，其中是常數(shù)，是的公差。2、若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，其中是常數(shù)且，是的公比。2 考點(diǎn)分析 數(shù)列是高考熱點(diǎn)內(nèi)容，考查主要為等差，等比數(shù)列的基本性質(zhì)、數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法、數(shù)列前n 項(xiàng)和的求法，其中數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法基礎(chǔ)，在復(fù)習(xí)過程中注意等差、等比數(shù)列定義及性質(zhì)要復(fù)習(xí)扎實(shí)，常用的通項(xiàng)公式的求法是重點(diǎn)，難點(diǎn)。在復(fù)習(xí)過程中一定要學(xué)生注意課后鞏固。等差與等比數(shù)列例1：等差數(shù)列an中，a4=10,且a3,a6,a10成等比數(shù)列.求數(shù)列an前20項(xiàng)的和S20.練習(xí)：1.已知等差數(shù)列 an 中， 求an的前n項(xiàng)和 .2.已知an為等差數(shù)列，a3+a8=22,a6=7,求a5;3.等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,求它的前3m項(xiàng)的和4.等差數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和分別是Sn、Tn,且 求等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題：1、若等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，則前項(xiàng)和有最大值。（）若已知通項(xiàng)，則最大；（）若已知，則當(dāng)取最靠近的非零自然數(shù)時(shí)最大；2、若等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，則前項(xiàng)和有最小值（）若已知通項(xiàng)，則最??；（）若已知，則當(dāng)取最靠近的非零自然數(shù)時(shí)最?。焕?.在等差數(shù)列an中，已知a1=20,前n項(xiàng)和為Sn,且S10=S15,求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它的最大值數(shù)列通項(xiàng)的求法：公式法：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式。作差、商法：已知（即）求，用作差法：。已知求，用作商法：。已知條件中既有還有，有時(shí)先求，再求；有時(shí)也可直接求。累加法若求用累加法：。累乘法已知求，用累乘法：。構(gòu)造法已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。特別地，（1）形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后，再求；形如的遞推數(shù)列都可以除以得到一個(gè)等差數(shù)列后，再求。（2）形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。（3）形如的遞推數(shù)列都可以用對(duì)數(shù)法求通項(xiàng)。（7）（理科）數(shù)學(xué)歸納法。（8）當(dāng)遇到時(shí)，分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果可能是分段形式。數(shù)列求和的常用方法：（1）公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式。（2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和。 （3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.（4）錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.（5）裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：； ；，； ；二、解題方法：求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法：1、 公式法等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：設(shè)數(shù)列公差為成等比數(shù)列，即，得，由得：，注：利用定義法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)要注意不用錯(cuò)定義，設(shè)法求出首項(xiàng)與公差（公比）后再寫出通項(xiàng)。2、已知前n項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式例1. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：（1）當(dāng)n=1時(shí)， （2）當(dāng)時(shí)，注：一般的利用公式 求，特別要注意是否合適練習(xí)：1.設(shè)正數(shù)數(shù)列的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式 2.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足 (1)求證: 是等差數(shù)列； （2）求an的表達(dá)式. 3、求差（商）法 解： 練習(xí) 4、累乘法 解： 注：若數(shù)列滿足，且可求和，累乘法是反復(fù)利用遞推關(guān)系得到n1個(gè)式子累乘求出通項(xiàng)，這種方法最終轉(zhuǎn)化為求f(n)的前n1項(xiàng)的積，要注意求積的技巧 5、累加法 練習(xí) 注：求形如（f(n)為等差或等比數(shù)列或其它可求和的數(shù)列）的數(shù)列通項(xiàng)，可用累加法，即令n=2，3，n1得到n1個(gè)式子累加求得通項(xiàng)，累加法是反復(fù)利用遞推關(guān)系得到n1個(gè)式子累加求出通項(xiàng)，這種方法最終轉(zhuǎn)化為求f(n)的前n1項(xiàng)的和，要注意求和的技巧 6、等比型遞推公式 例：已知數(shù)列an滿足a1=1，且an+1 =+2，求解：設(shè)，則，為等比數(shù)列， ，練習(xí) 注：求遞推式如（p、q為常數(shù)）的數(shù)列通項(xiàng)，可用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)列求解，相當(dāng)如換元法。求遞推式形如（p、q為常數(shù)）的數(shù)列通項(xiàng)，可用迭代法或待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列an+1+=p(an+)來求得,也可用“歸納猜想證明”法來求，這也是近年高考考得很多的一種題型例： 已知數(shù)列滿足求an解：將兩邊同除，得，變形為設(shè)，則令，得條件可化成，數(shù)列為首項(xiàng)，為公差的等比數(shù)列因，所以=得=點(diǎn)評(píng)：遞推式為（p、q為常數(shù)）時(shí)，可同除，得，令從而化歸為（p、q為常數(shù)）型例：已知數(shù)列滿足求an解：設(shè)展開后，得由，解得，條件可以化為得數(shù)列為首項(xiàng)，為公差的等比數(shù)列，問題轉(zhuǎn)化為利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)的問題，解得注：遞推式為（p、q為常數(shù)）時(shí)，可以設(shè)，其待定常數(shù)s、t由求出，從而化歸為上述已知題型 7、倒數(shù)法 注：本題借助為等差數(shù)列得到了的通項(xiàng)公式