2019-2020學(xué)年湖湘教育三新探索協(xié)作體高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2019-2020學(xué)年湖南省湖湘教育三新探索協(xié)作體高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知集合，則（ ）ABCD【答案】A【解析】求出集合，然后利用交集和并集的定義判斷各選項(xiàng)中集合運(yùn)算的正誤.【詳解】解不等式，得，所以，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合交集和并集的計(jì)算，同時(shí)也考查了指數(shù)不等式的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2已知函數(shù)，若，則（ ）ABCD【答案】B【解析】先計(jì)算出，然后得出，即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】，則，得，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)值的計(jì)算以及對(duì)數(shù)方程的求解，解題時(shí)要結(jié)合自變量的取值選擇合適的解析式計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3已知曲線在處的切線的傾斜角為，則（ ）ABCD【答案】B【解析】由題意得出，利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】，又，故，得故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，涉及了直線的傾斜角與斜率，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4一只小蟲在邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)部爬行，到各頂點(diǎn)的距離不小于時(shí)為安全區(qū)域，則小蟲在安全區(qū)域內(nèi)爬行的概率是（ ）ABCD【答案】A【解析】作出正方形，并作出安全區(qū)域，將安全區(qū)域的面積與正方形的面積相除可得出所求事件的概率.【詳解】如下圖所示，由于小蟲到每個(gè)頂點(diǎn)的距離不小于為安全區(qū)域，則安全區(qū)域?yàn)橐哉叫蚊總€(gè)頂點(diǎn)為圓心半徑為的扇形弧以及扇形以外的部分，為圖中陰影部分，其面積，故概率.故選：A.【點(diǎn)睛】本題為平面區(qū)域型幾何概率問題，確定事件所圍成的區(qū)域是解題的關(guān)鍵，考查數(shù)形結(jié)合思想與計(jì)算能力，屬于中等題.5在等差數(shù)列中，為前項(xiàng)和，且，則的值為（ ）ABCD【答案】C【解析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)得出，可得出的值，然后利用等差數(shù)列的求和公式以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)可計(jì)算出的值.【詳解】，因此，.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列求和，充分利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算可將問題簡(jiǎn)化，考查計(jì)算能力，屬于中等題.6已知曲線，若想要由得到，下列說法正確的是（ ）A把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位B把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位C把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位D把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位【答案】D【解析】將曲線的解析式化為，然后利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律可得出結(jié)論.【詳解】曲線化為，將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），可得到函數(shù)的圖象，再將所得函數(shù)圖象上每點(diǎn)向右平移個(gè)單位，可得到函數(shù)的圖象，即曲線.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換，在變換時(shí)要保證兩個(gè)函數(shù)名稱要一致，結(jié)合三角函數(shù)圖象變換原則來解決問題，考查推理能力，屬于中等題.7如圖是拋物線拱形橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂高于水面，水面寬為，當(dāng)水面寬為時(shí)，水位下降了（ ）ABCD【答案】D【解析】以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拱橋所在拋物線為，根據(jù)題意得出點(diǎn)在拋物線上，可求出的值，并設(shè)拱頂高于水面，可知點(diǎn)在拋物線上，代入拋物線方程可解出的值，由此可得出水面下降的高度.【詳解】建系如圖，設(shè)拱橋所在拋物線為，點(diǎn)在拋物線上，得，拋物線方程為，當(dāng)水面寬為時(shí)，設(shè)拱頂高于水面，由點(diǎn)在拋物線上，得，故水面下降了.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程的應(yīng)用，建立平面直角坐標(biāo)，將問題轉(zhuǎn)化為拋物線方程來求解是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.8已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于、兩點(diǎn)，若，則的離心率為（ ）ABCD【答案】B【解析】由題意得知為等腰直角三角形，可得出點(diǎn)到漸近線的距離為，再利用點(diǎn)到直線的距離公式得出，從而可求出雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，離心率為，由題意，圓為，與漸近線交于、兩點(diǎn)，由知，故圓心到漸近線距離為，即，解得.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的計(jì)算，分析三角形的幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.9已知圓，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)分別為、，則四邊形面積的最小值為（ ）ABCD【答案】C【解析】由題意得出四邊形的面積為，由勾股定理知，當(dāng)取最小值時(shí)，切線長(zhǎng)取最小值，利用圓心到直線的距離作為的最小值，并利用勾股定理求出的最小值，從而可得出四邊形的面積的最小值.【詳解】如圖，四邊形的面積為，故當(dāng)最小時(shí)，有最小值，記圓心到直線距離，則，又，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查與圓的切線相關(guān)的四邊形面積的計(jì)算，涉及切線長(zhǎng)的計(jì)算，考查數(shù)形結(jié)合思想與計(jì)算能力，屬于中等題.10若兩個(gè)正實(shí)數(shù)、滿足，對(duì)這樣的、，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【解析】將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式求出的最小值為，由題意得出，解此不等式即可.【詳解】由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則的最小值為.由題意可得，即，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式恒成立問題，考查了基本不等式中“”的妙用，同時(shí)也涉及了一元二次不等式的求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.11已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，是上一點(diǎn)，連接交拋物線于點(diǎn)，若，則的面積為（ ）ABCD【答案】A【解析】由可計(jì)算出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式可計(jì)算出的面積.【詳解】如下圖，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，可設(shè)點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，且拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，即，解得，因此，的面積為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線中三角形面積計(jì)算，同時(shí)也考查了利用向量共線求點(diǎn)的坐標(biāo)，考查計(jì)算能力，屬于中等題.12已知函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，若函數(shù)恰好有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，可知兩函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則兩函數(shù)在上有個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象得出，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，解出即可.【詳解】如下圖所示，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與有1個(gè)交點(diǎn)，故時(shí)與有且僅有個(gè)交點(diǎn)，必有且.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，一般轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象找出一些關(guān)鍵點(diǎn)列不等式組求解，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.二、填空題13已知函數(shù)，則_【答案】【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后令，可解出的值.【詳解】由 令有.故答案為：e【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14已知數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則_【答案】【解析】記，利用求出，然后利用等比數(shù)列的求和公式可求出的值.【詳解】記，則兩式相減得，由也適合上式，有，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用作差法求數(shù)列通項(xiàng)，同時(shí)也考查了等比數(shù)列求和，考查計(jì)算能力，屬于中等題.15一個(gè)幾何體的三視圖如圖，網(wǎng)格中每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，若這個(gè)幾何體的頂點(diǎn)都在球的表面上，則球的表面積為_【答案】【解析】作出正四棱錐的實(shí)物圖，找出球心的位置，并設(shè)其外接球的半徑為，根據(jù)勾股定理列關(guān)于的等式，求出的值，再利用球體的表面積公式可計(jì)算出該幾何體外接球的表面積.【詳解】幾何體的直觀圖是正四棱錐（如圖所示），且高和底面邊長(zhǎng)為，設(shè)該正四棱錐的外接球球心為，則球心在上（為底面正方形的中心，正四棱錐的頂點(diǎn)），在中，由勾股定理得，即，解得，故四棱錐外接球的表面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查球體表面積的計(jì)算，同時(shí)也考查了利用三視圖還原幾何體，以及正四棱錐的外接球，找出球心的位置，并利用幾何特征建立等式是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于中等題.16光線被曲線反射，等效于被曲線在反射點(diǎn)處的切線反射已知光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出；如圖，橢圓與雙曲線（，）有公共焦點(diǎn)，現(xiàn)一光線從它們的左焦點(diǎn)出發(fā)，在橢圓與雙曲線間連續(xù)反射，則光線經(jīng)過次反射后，首次回到左焦點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為_【答案】【解析】根據(jù)題意，可知光線從左焦點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過橢圓反射回到另一個(gè)焦點(diǎn)，光線從雙曲線的左焦點(diǎn)出發(fā)被雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)，從而可計(jì)算光線經(jīng)過次反射后首次回到左焦點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng).【詳解】由已知，如圖光線從出發(fā)，若先經(jīng)過雙曲線上一點(diǎn)反射，則反射光線相當(dāng)于光線從設(shè)出經(jīng)過點(diǎn)再到達(dá)橢圓上一點(diǎn)反射回到；同理，若先出發(fā)經(jīng)過橢圓上一點(diǎn)反射，則光線沿著直線方向到達(dá)雙曲線上一點(diǎn)反射后回到，則可知，光線從出發(fā)，無論經(jīng)由那條路線，經(jīng)過兩次反射后必然返回，則討論光線反射兩次后返回的過程如圖，所以光線經(jīng)過次反射后回到左焦點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查以新定義為素材，考查橢圓、雙曲線的定義，考查光線的反射問題，理解定義是解題的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于難題.三、解答題17已知命題方程表示雙曲線，命題，（1）寫出命題的否定“”；（2）若命題“”為假命題，“”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)全稱命題的否定可得出命題；（2）先求出命題為真命題時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍，并求出命題為真命題時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍，由題意可知命題為假命題，命題為真命題，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由題意可知，（或?qū)憺椋?，）；?）若命題為真命題，由或.若命題為真命題，則，.若，化為成立.若，則有，.“”為假命題，“”為假命題 假真，.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題否定的改寫，同時(shí)也考查了利用復(fù)合命題的真假求參數(shù)，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中等題.18的內(nèi)角、的對(duì)邊分別為、，已知（1）求；（2）若等差數(shù)列的公差不為0，且，、成等比數(shù)列，求數(shù)列前項(xiàng)和【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用邊角互化思想結(jié)合余弦定理求出的值，再由，可得出角的值；（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，求出，由題意列出關(guān)于的方程，求出的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)求和法可求出數(shù)列前項(xiàng)和【詳解】（1）由正弦定理有：，由余弦定理，又 ，；（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由（1），又，從而.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理求角，同時(shí)也考查了裂項(xiàng)求和法，涉及正弦定理邊角互化思想的應(yīng)用以及等差數(shù)列中基本量的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.19雙十一購(gòu)物狂歡節(jié)，源于淘寶商城（天貓）年月日舉辦的網(wǎng)絡(luò)促銷活動(dòng)，目前已成為中國(guó)電子商務(wù)行業(yè)的年度盛事，某商家為了解“雙十一”這一天網(wǎng)購(gòu)者在其網(wǎng)店一次性購(gòu)物情況，從這一天交易成功的所有訂單里隨機(jī)抽取了份，按購(gòu)物金額（單位：元）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值做代表計(jì)算）（1）求的值；（2）試估計(jì)購(gòu)物金額的平均數(shù)；（3）若該商家制訂了兩種不同的促銷方案：方案一：全場(chǎng)商品打八折；方案二：全場(chǎng)商品優(yōu)惠如下表：購(gòu)物金額范圍商家優(yōu)惠（元）如果你是購(gòu)物者，你認(rèn)為哪種方案優(yōu)惠力度更大？【答案】（1）；（2）元；（3）方案一的優(yōu)惠力度更大.【解析】（1）利用頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為可計(jì)算出的值；（2）將每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以矩形的面積，相加即可得出購(gòu)物金額的平均數(shù)；（3）計(jì)算出兩種方案的優(yōu)惠金額，從而得出方案一的優(yōu)惠力度更大.【詳解】（1）各小組的頻率依次為、.由，有；（2）購(gòu)物金額的平均數(shù)為（元）；（3）選擇方案一：優(yōu)惠力度為元選擇方案二：優(yōu)惠力度為（元）.故方案一的優(yōu)惠力度更大【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖中矩形高的計(jì)算，同時(shí)也考查了頻率直方圖中平均數(shù)的計(jì)算以及方案的選擇，考查數(shù)據(jù)處理的能力，屬于中等題.20在三棱錐中，是正三角形，面面，、分別是、的中點(diǎn)（1）證明：；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出且，利用直線與平面垂直的判定定理可證明出面，從而得出；（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理證明出平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量法計(jì)算出二面角的余弦值【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接、，且又，面，又面，；（2）由面面，平面平面，平面，可得面.故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則， ，.，設(shè)為平面EFC的一個(gè)法向量由，取，則， .又為面的一個(gè)法向量，由如圖知二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直，同時(shí)也考查了利用空間向量法計(jì)算二面角的余弦值，考查推理論證能力與計(jì)算能力，屬于中等題.21如圖，要在河岸的一側(cè)修建一條休閑式人行道，進(jìn)行圖紙?jiān)O(shè)計(jì)時(shí)，建立了圖中所示坐標(biāo)系，其中，在軸上，且，道路的前一部分為曲線段，該曲線段為二次函數(shù)在時(shí)的圖像，最高點(diǎn)為，道路中間部分為直線段，且，道路的后一段是以為圓心的一段圓?。?）求的值；（2）求的大小；（3）若要在扇形區(qū)域內(nèi)建一個(gè)“矩形草坪”，在圓弧上運(yùn)動(dòng)，、在上，記，則當(dāng)為何值時(shí)，“矩形草坪”面積最大【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，矩形草坪面積最大.【解析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，可得出實(shí)數(shù)的值；（2）在函數(shù)的解析式中令，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由此得出，可求出，計(jì)算出，由此可得出；（3）可得出，從而得出“矩形草坪”的面積關(guān)于的表達(dá)式，利用三角恒等變換思想將關(guān)于的表達(dá)式化簡(jiǎn)為，結(jié)合角的范圍，可計(jì)算出的最大值以及對(duì)應(yīng)的值.【詳解】（1）由圖可知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，又在中，；（3）由（2）可知 易