理論力學10彎曲的應力分析和強度計算.ppt

第十章彎曲的應力分析和強度計算 彎曲的應力分析和強度計算 10 1彎曲內(nèi)力 剪力和彎矩 一 概述 2 彎曲的應力分析和強度計算 車削工件 3 彎曲的應力分析和強度計算 火車輪軸 4 彎曲的應力分析和強度計算 吊車梁 直桿在與其軸線垂直的外力作用下 軸線成曲線形狀的變形稱為彎曲 以彎曲變形為主的桿件稱為梁 5 彎曲的應力分析和強度計算 平面彎曲 MZ 截面特征 桿具有縱向對稱面 橫截面有對稱軸 y軸 受力特點 外力都作用在對稱面內(nèi) 力垂直于桿軸線變形特點 彎曲變形后軸線變成對稱面內(nèi)的平面曲線 6 彎曲的應力分析和強度計算 梁的基本形式 F q x Mx 簡支梁 F q x Mx 外伸梁 F q x Mx 懸臂梁 7 彎曲的應力分析和強度計算 火車輪軸簡化為外伸梁 8 彎曲的應力分析和強度計算 二 剪力與彎矩 截面法求內(nèi)力 F y 0 c RA P Q 01 M 0M P x a RAx 01 Q RA P1 剪力 M RAx P x a 彎矩1 9 彎曲的應力分析和強度計算 剪力符號規(guī)定 當剪力使微段梁繞微段內(nèi)任一點沿順時針轉動時為正 反之為負 彎矩符號規(guī)定 彎矩使微段梁凹向上為正 反之為負 10 彎曲的應力分析和強度計算 思考 梁的內(nèi)力符號是否和坐標系有關 答 無關 如圖所示連續(xù)梁 和 部分的內(nèi)力情況如何 A 0 0 E B C F PD XC Pcos 答 軸力不為零 剪力和彎矩為零 11 例 1 如圖所示為受集中力及均布載荷作用的外伸梁 試求 截面上的剪力和彎矩 解 1 支座約束力 M M B 0 RA 4 P 2 q 2 1 0 A 0 P 2 RB 4 q 2 5 0 RA 1 5kN RB 7 5kN 12 例 1 2 計算內(nèi)力 F 0 MC 0 y 1 RA Q1 0 RA 1 M1 0 M1 1 5kN m Q1 1 5kN F x 0 C2 Q2 q 1 0 M 0M2 q 1 0 5 0 Q2 2kN M2 1kN m 13 彎曲的應力分析和強度計算 三 剪力與彎矩方程剪力圖和彎矩圖 設x表示橫截面的位置 則梁各截面上的剪力和彎矩可以表示為坐標x的函數(shù) Q Q x 剪力方程 M M x 彎矩方程 梁的剪力和彎矩隨截面位置的變化關系 常用圖形來表示 這種圖形稱為剪力圖和彎矩圖 14 例 2 如圖所示為一受集中力作用的簡支梁 設P l及a均為已知 試列出剪力方程和彎矩方程 并畫出剪力圖和彎矩圖 解1 求支座約束力 l aRA Pl aRB Pl 2 列剪力方程和彎矩方程 AC段 l aQ x1 RA Pl 0 x1 a M x1 l aM x1 RAx1 Px1 0 x1 a l Q x1 15 例 BC段 2 aQ x2 RB Pl a x2 l Q x2 RB aM x2 RB l x2 P l x2 l a x2 l 3 畫剪力圖和彎矩圖 l aPl M x2 a l a Pl aPl 16 例 3 m懸臂梁受集中力和集中力偶作用 已知 P l 3Pl2試繪剪力圖和彎矩圖 解1 求支座約束力 Fy 0 RA P 0 3Pl Pl mA 0MA 0 2PlRA PmA 2 2 確定剪力 彎矩方程 AC段 l 0 x1 Q x1 RA P2lPl 0 x1 M x1 RAx1 mA Px1 22 17 例 CB段 3 Q x2 P l x2 l 2 M x2 P l x2 l x2 l 2 3 畫剪力圖和彎矩圖 18 例 4 如圖所示簡支梁 已知q l 試畫出剪力圖和彎矩圖 解1 求支座約束力 qlRA RB 2 2 確定剪力方程和彎矩方程 qlQ x qx2 0 x 1 l 2 qlqxM x x 22 0 x l 19 3 畫剪力圖和彎矩圖 彎曲的應力分析和強度計算 四 外力與剪力及彎矩間的關系 1 載荷集度 剪力及彎矩間的微分關系 設載荷集度是x的連續(xù)函數(shù) q q x 規(guī)定 向上為正 F y 0 Q x Q x dQ x q x dx 0 dQ x q x dx 20 彎曲的應力分析和強度計算 dxMc 0M x dM x M x Q x dx q x dx 0 2 dM x Q x dx 2 dM x q x 2dx 2 集中力 集中力偶作用處的剪力及彎矩 F y 0 Q P 集中力 包括支座約束力 作用處的兩側截面上的剪力數(shù)值發(fā)生突變 且突變值等于集中力的值 21 彎曲的應力分析和強度計算 工程實際中 所謂的集中力不可能集中于一點 而是分布在很小的范圍內(nèi) MC 0 M M M 在集中力偶作用的兩個側面上 彎矩數(shù)值發(fā)生突變 且突變值的大小等于集中力偶的值 22 彎曲的應力分析和強度計算 3 載荷集度 剪力圖及彎矩圖圖形上的關系 q Q M圖的線型依次遞高一次 若q為水平線 則Q圖將為斜線 而M圖則為二次曲線 若q等于零 則Q圖將為水平線 而M圖則為斜線 M圖的凹向同q指向 當q指向上方時 q值為正 M對x的二階導數(shù)大于零 彎矩圖將凹向上 反之M圖將向下凹曲 當Q等于零時 M取極值 集中力作用的截面 Q圖有突變 突變值等于集中力的值 M圖上有折點 集中力偶作用的截面 M圖有突變 突變值等于集中力偶的值 23 例 5 2 m如圖所示外伸梁 已知 q l P ql3 ql試畫出剪力圖和彎矩圖 6 解1 求支座約束力 M c 0 2 l3lqlqllRAl q 0246322llqlql3l RCl 0qMA 0 24632 3RA ql8 11RC ql24 2 分段 分為AB BC CD三段 24 例 5 3RA ql8 11RC ql24 3 求端值利用直接法計算各段左 右兩端截面上的剪力和彎矩 25 例 5 4 畫剪力圖和彎矩圖 26 彎曲的應力分析和強度計算 五 用疊加法作剪力圖和彎矩圖 P ql 當梁上有多個外力作用時各外力引起的內(nèi)力互不相關 因此可以分別計算各外力所引起的內(nèi)力 然后進行疊加 疊加法 27 彎曲的應力分析和強度計算 10 2 純彎曲梁橫截面上的正應力分析 梁彎曲時 橫截面上一般有兩種內(nèi)力 剪力和彎矩 這種彎曲稱為橫力彎曲 梁彎曲時 橫截面上只有彎矩 而沒有剪力 這種彎曲稱為純彎曲 28 彎曲的應力分析和強度計算 一 純彎曲梁的正應力 1 變形方面 實驗觀察 縱向線在梁變形后變成弧線 靠頂面的線縮短 靠底面的線伸長 橫向線在梁變形后仍為直線 但相對轉過了一個角度 且仍然與彎曲的縱向線保持正交 平面假設 純彎曲梁是由無數(shù)條縱向線所組成 變形前處于同一平面的各縱向線上的點 彎曲變形后仍處于同一平面內(nèi) 且縱向線與橫截面在變形中保持正交 29 彎曲的應力分析和強度計算 根據(jù)平面假設 由實驗觀察到的表面現(xiàn)象已推廣到梁的內(nèi)部 即梁在純彎曲變形時 橫截面保持平面作剛性轉動 靠底部的縱向纖維伸長了 靠頂部的縱向纖維縮短了 由于變形的連續(xù)性 中間必有一層纖維既不伸長也不縮短 這層纖維稱為中性層 中性層與橫截面的交線稱為中性軸 30 彎曲的應力分析和強度計算 a a dxdx 線應變隨y按線性規(guī)律變化 l 31 彎曲的應力分析和強度計算 2 物理方程 假設縱向纖維在彎曲變形中相互不擠壓 且材料在拉伸及壓縮時的彈性模量相等 M Z y 胡克定律 E E y C minz y x max 純彎曲時的正應力按線性規(guī)律變化 橫截面中性軸的正應力為零 在中性軸兩側 一側受拉應力 一側受壓應力 與中性軸距離相等各點的正應力數(shù)值相等 32 彎曲的應力分析和強度計算 3 靜力學條件 E y F A x 0 dA FN 0 A dA AE y AydA 0 dA E AydA 0 截面對中性軸的靜矩 靜矩為零的軸是形心軸 中性軸通過截面的形心 33 彎曲的應力分析和強度計算 M z 0 y M ydA A E y M AyE 1 dA E AydA 2 M EIxz My 0 Az dA E Az dA 0 AzydA 0 橫截面對y z的慣性積 由于y軸為對稱軸 故慣性積為零 34 彎曲的應力分析和強度計算 M EIxz 1 E y M ymaxIZ M yIZ 純彎曲梁橫截面正應力計算公式 橫截面上的最大正應力發(fā)生在離中性軸最遠點 max max M WZ IZWZ ymax 彎曲截面系數(shù) 35 彎曲的應力分析和強度計算 二 慣性矩 常見截面的IZ和WZ 643 dWZ 32 圓截面 bhIZ 12 3 IZ d 4 IZ D 4 64 1 4 WZ 空心圓截面 D 3 32 1 4 3 3 bhWZ 6 矩形截面 2 b0h0bhIZ 121233b0h0bhWZ h0 2 1212 36 空心矩形截面 彎曲的應力分析和強度計算 思考 梁的截面形狀如圖所示 在 平面內(nèi)作用有正彎矩 絕對值最大的正應力位置為哪一點 z a b y c 37 彎曲的應力分析和強度計算 有一直徑為 的鋼絲 繞在直徑為 的圓筒上 鋼絲仍處于彈性階段 此時鋼絲的彎曲最大正應力為多少 為了減少彎曲應力 應增大還是減小鋼絲的直徑 M EIxz 1 D d 2 2EIzM D d max dM2 Iz max Ed D d 38 例 6 受純彎曲的空心圓截面梁如圖所示 已知 彎矩M 1kN m 外徑D 50mm 內(nèi)徑d 25mm 試求截面上a b c和d點的應力 并畫出過a b兩點直徑線和過c d兩點弦線上各點的應力分布情況 39 例 解 6 M 1kN m M yIZ Dya 25mm2dyb 12 5mm2221221Dd250252 21 7mmyc 4444 yd 0 IZ 64 D d 4 4 64 50 25 10 2 88 10m 4 4 34 7 4 40 41 可編輯 例 6 3 M1 10 3ya 25 10 86 8MPa a 7IZ2 88 10 M1 10 3 b yb 12 5 10 43 4MPa 7IZ2 88 10 3 M1 10 3yc 21 7 10 75 3MPa c 7IZ2 88 10 3 Myd 0 d IZ a c d 0 b 41 彎曲的應力分析和強度計算 10 3 純彎曲應力公式的應用 橫力彎曲時 由于剪力的影響 彎曲變形后 橫截面發(fā)生翹曲 不再保持平面 但當剪力為常量時 各截面的翹曲程度完全相同 因而縱向纖維的伸長和縮短與純彎曲時沒有差距 對于剪力為常量的橫力彎曲 純彎曲的正應力計算公式仍然適用 對于剪力不為常量的橫力彎曲 當梁的跨度與橫截面高度的比值較大時 純彎曲的正應力計算公式仍然適用 曲率公式也可推廣用于橫力彎曲梁中性層曲率計算 42 彎曲的應力分析和強度計算 彎曲正應力公式適用范圍 彎曲正應力分布 My IZ 純彎曲或細長梁的橫力彎曲 橫截面慣性積Iyz 0 彈性變形階段 43 例 7 T字型截面梁如圖所示 試求梁橫截面上最大正應力 解 繪制彎矩圖 得MB 10kN mMC 7 5kN m確定截面的形心 120 10 125 120 10 60 y 92 5mm120 10 120 10 44 例 7 3 3 120 1010 1202 120 10 32 5 Iz 1212264 120 10 32 5 3 99 10mm B截面的最大拉應力 Bt MB Iz ymax 10 10 3 37 5 10 93 9MPa6 343 99 10 10 3 C截面的最大拉應力 7 5 10 3 Ct 92 5 10 173 9MPaymax 6 343 99 10 10 Iz45梁的最大拉應力發(fā)生在C截面的下部邊緣 MC 3 彎曲的應力分析和強度計算 10 4矩形截面梁彎曲切應力簡介 一 矩形截面梁的彎曲切應力 關于橫截面切應力分布規(guī)律的假設 側邊上的切應力與側邊相切 切應力沿z的方向均勻分布 Q M M dM dx Q dQ Q y y z 46 彎曲的應力分析和強度計算 M M dM x y z y Q dx Q dQ dx F x 0FN1 FS FN2 0 M dM M dM FN1 1dA ydA SzIzIz AA FN2 M SzIz FN2 FS Fs bdx z z y QS Izb z FN1 dMSQS dxIzbIzb 矩形截面梁橫截面切應力計算公式47 彎曲的應力分析和強度計算 bhIZ 1222bh2 hSz A ydA yybdy y 242QhQh2 y max 2Iz48Iz3Q max 1 5 平均2bh 2 QS Izb z 3 b h yy a y Q z a1 A 沿高度方向拋物分布 y 0時 切應力值最大 梁上下表面處切應力為零 A 48 彎曲的應力分析和強度計算 二 其他截面梁的彎曲切應力 翼緣 Q 工字形 腹板上 工程上 QS Izd z H h d y t z 腹板 Q hd QS Izt z A By 49 翼緣上 假設切應力沿翼緣厚度方向大小相等 且與翼緣相平行 彎曲的應力分析和強度計算 圓截面 假設 弦線兩端點處與圓周相切的切應力作用線交于y軸的p點 設弦線上其他點的切應力作用線均通過p點各點沿y方向的切應力分量相等 QS y Izb z 弦線長 max 4Q 23 R 50 彎曲的應力分析和強度計算 圓環(huán)截面 假設 沿圓環(huán)厚度方向切應力均勻分布并與圓環(huán)切線平行 Q max z QS 2tIz z y max Q Rt 51 彎曲的應力分析和強度計算 思考 用矩形截面梁的切應力公式 QS Izb計算圖示截面 上各點的切應力時 式中的Sz是哪個面積對中性軸的靜矩 z A B 52 彎曲的應力分析和強度計算 矩形截面梁若最大彎矩和最大剪力和截面寬度不變 而將高度增加一倍 最大正應力為原來的多少倍 最大切應力呢 max M3Q max 1 5 平均WZ2bh bhWZ 6 2 答 最大正應力為原來的四分之一 最大切應力是原來的二分之一 53 彎曲的應力分析和強度計算 彎曲強度計算 一般情況下 梁的橫截面上同時存在正應力和切應力 最大正應力發(fā)生在離中性軸最遠的各點上 最大切應力發(fā)生中性軸上 因此通常對彎曲正應力及彎曲切應力分別建立強度條件 一般來說 處于橫截面邊緣線上正應力最大的點處 切應力為零 所以梁彎曲時最大正應力的點可看成處于單向應力狀態(tài) 梁彎曲時正應力強度條件 max M max Wz 54 彎曲的應力分析和強度計算 對于等截面梁 最大彎曲正應力發(fā)生在最大彎矩所在的截面 梁彎曲時正應力強度條件 max Mmax Wz 為許用彎曲正應力 可近似利用簡單拉伸時的許用應力 代替 但二者有區(qū)別 前者略高于后者 可查手冊 對抗拉 壓性能不同的材料 則要求最大拉應力和最大壓應力都不超過許用值 tmax t cmax c 55 彎曲的應力分析和強度計算 一般來說 梁橫截面上最大切應力發(fā)生在中性軸上 而該處的正應力為零 因此最大切應力點處于純剪切應力狀態(tài)彎曲切應力強度條件 max QS max Izb z 對于等截面梁 最大切應力發(fā)生在最大剪力所在的截面 彎曲切應力強度條件 max QmaxS Izb zmax 56 彎曲的應力分析和強度計算 對于細長的實心截面梁或非薄壁截面梁 橫截面上的正應力是主要的 切應力只占次要地位 例 ql2Mmax8 3ql max 22bhWz4bh6ql3Qmax323ql max 2A2bh4bh 2 max max 3ql24bh l 3qlh4bh 2 57 彎曲的應力分析和強度計算 對于細長的實心截面梁或非薄壁截面梁 只要滿足 正應力條件即可 對于薄壁截面梁或梁的彎矩較小 而剪力很大時 必須同時校核正應力強度條件和切應力強度條件 對于一些薄壁截面梁的橫截面上 有時存在著正應力和切應力都很大的點 如工字形截面梁腹板和翼緣交界處各點 這樣的點也可能成為危險點 需要進行強度校核 但該點的應力狀態(tài)較復雜 需要利用強度理論討論 58 例 8 某輥軸直徑D 21cm 軸頸直徑d 15cm 受均布載荷作用 q 400kN m 若已知 100MPa 試校核其強度 解 max M max Wz 3 輥軸中最大彎矩在C截面 Cmax MC90 10 99MPa 233 D 21 10 3232 軸頸中最大彎矩在D E截面 Dmax Emax MD40 10 121MPa 233 d 15 10 3232不滿足強度要求 3 59 例 9 如圖所示一鑄鐵制成的梁 已知截面圖形對形心軸的慣74性矩Iz 4 5 10mm 1 50mm y2 140mm 材料許用y拉應力及許用壓應力分別為 t 30MPa c 140MPa 試按正應力強度條件校核強度 60 例 解 9 由彎矩圖可知B C截面的彎矩符號不同 截面上的中性軸為非對稱軸 且材料的拉壓許用應力不同故B C截面都可能是危險截面 B截面 Bt MB20 10 3 50 10 22 2MPay1 3474 5 10 10 IZ 3 BcBC MB20 10 3y2 140 10 62 2MPa 347IZ4 5 10 10 3 61 例 C截面 Ct 9 MC10 10 3 140 10 31 1MPay2 3474 5 10 10 IZ 3 最大拉應力在C截面上 最大壓應力在B截面上 cmax c tmax t 雖最大拉應力大于許用拉應力 但未超過5 故可認為滿足正應力強度條件 62 例 10 如圖所示外伸梁受均布載荷作用 已知 160MPa 80MPa 試選擇工字鋼型號 解繪制剪力圖 彎矩圖 Qmax 58kN Mmax 44 1kN m Wz Mmax 276cm 3 63 例 10 在型鋼表中查得 工字鋼的Wz 309cm故選之 3 因工字形鋼為薄壁截面 須進行彎曲切應力校核 由 型鋼表查得Iz Sz 18 9cm d 7 5mm 則 max Qmax 40 9MPa Izd Sz 可以選用 工字鋼 64 彎曲的應力分析和強度計算 提高粱彎曲強度的主要措施 設計梁的主要依據(jù)為彎曲正應力強度條件 max M max Wz 提高粱的強度 從以下四個方面考慮 合理地安排梁的支座和載荷 采用合理的截面形狀 采用等強度梁 合理地使用材料 65 彎曲的應力分析和強度計算 一 合理地安排梁的支座和載荷 合理安排支座和載荷 以降低最大彎矩 Mmax 12 ql8 Mmax 12 ql40 66 彎曲的應力分析和強度計算 分散載荷 輔助梁 Mmax 1 Pl4 Mmax 1 Pl8 67 彎曲的應力分析和強度計算 二 采用合理的截面形狀 彎曲截面系數(shù)Wz不僅與截面尺寸有關 還與截面形狀有關 為了減少材料的消耗 減少自重 應取Wz A較大的截面形狀 68 彎曲的應力分析和強度計算 從正應力分布角度分析 梁橫截面上的正應力是按線性分布的 靠中性軸越近應力越小 工字形截面有較多面積分布在離中性軸較遠處 作用著較大的面積 而矩形截面梁在中性軸附近分布較多承擔較小應力的面積 因此 當兩種截面的最大應力相等時 工字形截面形成的彎矩較大 抗彎能力較強 69 彎曲的應力分析和強度計算 對于抗拉 壓強度不等的材料 應使截面上的最大拉應力和最大壓應力同時達到 對于這種情況宜采用中性軸為非對稱軸的截面 70 彎曲的應力分析和強度計算 注意截面的合理放置 bhWz6 0 167h Abh 2 hbWz6 0 167b Abh 71 2 彎曲的應力分析和強度計算 上述梁的合理截面形狀是由滿足彎曲正應力強度條件出發(fā) 僅由減少材料消耗 減輕自重的角度考慮 工程實際中選用合理的截面 還必須綜合考慮是否滿足切應力強度條件 剛度條件和穩(wěn)定性等條件 是否滿足結構和使用上的要求以及工藝 管理等方面的因素 才能最后決定 72 彎曲的應力分析和強度計算 三 采用等強度梁 橫力彎曲時 梁的彎矩是隨截面位置變化的 若設計成等截面梁 則除最大彎矩所在的截面以外 其他各截面的正應力均未達到許用應力值 材料強度得不到充分發(fā)揮 為了減少材料消耗 減輕自重 可把梁制成橫截面隨截面位置變化的變截面梁 變截面梁若截面變化比較緩慢 彎曲正應力公式仍可適用 當變截面梁各橫截面上的最大彎曲正應力相等 且等于許用應力 即 max