剛體力學基礎 (2).ppt

剛體力學基礎 第三章 3 1剛體剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述 第三章剛體力學基礎 3 3剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 3 2剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 3 4剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律 教學基本要求 一理解剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度的概念 理解角量與線量的關系 二理解力矩和轉(zhuǎn)動慣量的概念 能應用平行軸定理和轉(zhuǎn)動慣量的可加性 計算剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量 三理解剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律 能計算簡單的定軸轉(zhuǎn)動問題 六了解經(jīng)典力學的適用范圍 五理解剛體對定軸的角動量概念 理解剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理 理解角動量守恒定律 四了解力矩的功和剛體轉(zhuǎn)動動能的概念 教學基本要求 平動 剛體在運動的過程中 如果剛體上任意兩點的連線在空間的指向始終保持不變 3 1剛體剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述 一 剛體的平動和定軸轉(zhuǎn)動 剛體最基本的運動形式是平動和定軸轉(zhuǎn)動 剛體 在力的作用下 大小和形狀都保持不變的物體 剛體在運動時 如果剛體上的各點都繞同一條直線在垂直于這條直線的平面內(nèi)作半徑大小不同的圓周運動 這種運動稱為剛體的轉(zhuǎn)動 這條直線稱為轉(zhuǎn)軸 剛體的一般運動可以看成平動和轉(zhuǎn)動的合成 如果轉(zhuǎn)軸是固定不動的 這種轉(zhuǎn)動稱為繞固定軸的轉(zhuǎn)動 簡稱定軸轉(zhuǎn)動 剛體的轉(zhuǎn)動 3 1剛體剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述 二 剛體轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度 剛體的角位移 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動方程 角坐標 角位置 3 1剛體剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述 剛體定軸轉(zhuǎn)動 一維轉(zhuǎn)動 的轉(zhuǎn)動方向可以用角速度的正負來表示 面對軸方向觀察 如果 剛體逆時針轉(zhuǎn)動 反之 剛體順時針轉(zhuǎn)動 瞬時角速度 角速度 3 1剛體剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述 角加速度 1 每一質(zhì)點均作圓周運動 圓面為轉(zhuǎn)動平面 2 任一質(zhì)點運動均相同 但不同 3 運動描述僅需一個坐標 定軸轉(zhuǎn)動的特點 轉(zhuǎn)速 每分鐘轉(zhuǎn)過的圈數(shù) 3 1剛體剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述 三 勻變速轉(zhuǎn)動公式 勻變速轉(zhuǎn)動 當剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角加速度為恒量時的轉(zhuǎn)動 剛體勻變速轉(zhuǎn)動與質(zhì)點勻變速直線運動公式對比 3 1剛體剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述 四 繞定軸轉(zhuǎn)動剛體上各點的速度和加速度 線速度大小與角速度大小的關系 3 1剛體剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述 五 角速度矢量 把右手的拇指伸直 其余四指彎曲 使彎曲方向與剛體轉(zhuǎn)動方向一致 這時拇指所指的方向 就是角速度矢量的方向 角速度分量 方向 沿轉(zhuǎn)軸 與剛體轉(zhuǎn)動方向之間的關系按右手螺旋法則確定 3 1剛體剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述 例3 1一半徑的飛輪 轉(zhuǎn)速 制動后轉(zhuǎn)過圈而靜止 設轉(zhuǎn)動過程中飛輪作勻變速轉(zhuǎn)動 求 1 轉(zhuǎn)動過程中飛輪的角加速度和經(jīng)過的時間 2 在末時 飛輪邊緣某點的線速度 切向加速度和法向加速度 解 1 角位移 角加速度 制動過程的時間 3 1剛體剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述 輪邊緣某點的線速度 法向加速度 切向加速度 3 1剛體剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述 一 力對軸的力矩 3 2剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 力對軸的力矩 力的作用點的矢徑大小 力的大小和矢徑與力之間夾角的正弦三者的乘積 力對軸的力矩大小等于力的大小和力臂的乘積 3 2剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 其中對轉(zhuǎn)軸的力矩為零 對轉(zhuǎn)軸的力矩 3 2剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 二 轉(zhuǎn)動定律 質(zhì)點繞軸作圓周運動 根據(jù)牛頓第二定律沿切線方向的分量式 以乘上式兩邊 對剛體上所有的個質(zhì)點 3 2剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動定律 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時 外力對轉(zhuǎn)軸的合力矩 等于剛體對該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積 轉(zhuǎn)動慣量 每一對內(nèi)力對軸的力矩的代數(shù)和都為零 合外力矩 3 2剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 三 轉(zhuǎn)動慣量 轉(zhuǎn)動慣量是剛體在轉(zhuǎn)動過程中慣性大小的量度 質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量 剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量 等于組成剛體的各質(zhì)點的質(zhì)量與各質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸距離平方的乘積的總和 3 2剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 3 2剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 解設棒的線密度為 取一距離轉(zhuǎn)軸OO 為處的質(zhì)量元 例3 2一質(zhì)量為 長為的均勻細長棒 求 1 細棒對通過棒的中心 并與棒垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量 2 細棒對通過棒的端點 并與棒垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量 其中 3 2剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 2 細棒對通過棒的端點 并與棒垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量 其中 3 2剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 例3 3兩質(zhì)量均為 半徑均為的薄圓環(huán)和均勻圓盤 求通過各自中心并與圓面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量 其中 解 1 薄圓環(huán) 2 設圓盤面密度為 在盤上取半徑為 寬為的圓環(huán) 3 2剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 四 平行軸定理 質(zhì)量為的剛體 如果對其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為 則對任一與該軸平行 相距為的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量 轉(zhuǎn)動慣量的大小取決于剛體的質(zhì)量 形狀及轉(zhuǎn)軸的位置 3 2剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 例關于力矩有以下幾種說法 1 內(nèi)力矩不會改變剛體對某個軸的角動量 2 作用力和反作用力對同一軸的力矩之和必為零 3 質(zhì)量相等 形狀和大小不同的兩個剛體 在相同力矩的作用下 它們的角加速度一定相等 在上述說法中 3 2剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 2020 3 10 27 可編輯 例3 4如圖所示 某裝置由均質(zhì)細桿和均質(zhì)圓盤構(gòu)成 桿的質(zhì)量為 長度為 圓盤的質(zhì)量為 半徑為 求此裝置對通過點且垂直于紙面的軸的轉(zhuǎn)動慣量 解細桿對軸 圓盤對通過質(zhì)心的軸 整個裝置對軸 3 2剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 五 轉(zhuǎn)動定律的應用舉例 解題基本步驟 1 首先要分析物體的受力情況 并將軸取在固定的轉(zhuǎn)軸上 2 根據(jù)軸的正方向 確定各力對軸力矩的正負 從而計算出作用在物體上的外力矩的代數(shù)和 3 應用轉(zhuǎn)動定律 求出角加速度 3 2剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 1 在轉(zhuǎn)動定律表達式中 力矩應理解為剛體所受的對轉(zhuǎn)軸的合外力矩 轉(zhuǎn)動慣量也應理解為對同一軸的轉(zhuǎn)動慣量 2 轉(zhuǎn)動定律中表示的外力矩和角加速度的關系是瞬時關系 3 2剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 B 3 2剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 例3 5如圖所示 一固定在機軸上的皮帶輪 半徑 由電動機帶動轉(zhuǎn)動 皮帶輪對軸的轉(zhuǎn)動慣量 空載 即不帶動其他轉(zhuǎn)動部件 啟動時 皮帶輪緊邊拉力 松邊拉力 輪軸中的摩擦阻力矩 求空載啟動后需要多少時間 皮帶輪才能達到轉(zhuǎn)速 解皮帶輪所受的外力有重力 軸的支撐力 拉力 及摩擦阻力 重力和支撐力的作用線均通過軸線 不產(chǎn)生力矩 3 2剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 皮帶輪作勻變速轉(zhuǎn)動 且 末角速度 取軸垂直于紙面 向外為軸的正方向 所需時間 3 2剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 例3 6如圖所示 一質(zhì)量為 半徑為的圓盤 可繞無摩擦的水平軸轉(zhuǎn)動 繩索一端系在圓盤的邊緣上 另一端懸掛質(zhì)量為的物體 繩的質(zhì)量忽略不計 求物體的加速度和圓盤的角加速度 受力分析 3 2剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 解對物體 取軸豎直向下 對圓盤 軸取在圓盤的轉(zhuǎn)軸上 其正方向垂直于紙面向外 3 2剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 一 力矩作功 3 3剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 力矩所作的功等于力矩和角位移的乘積 元功 力矩的功率 力矩的功率等于力矩和角速度的乘積 三 剛體的轉(zhuǎn)動動能 轉(zhuǎn)動動能等于剛體的轉(zhuǎn)動慣量與角速度平方乘積的一半 3 3剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 四 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量 3 3剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 剛體的重力勢能等于剛體所受重力和剛體質(zhì)心高度的乘積 剛體的機械能為轉(zhuǎn)動動能和重力勢能之和 質(zhì)點 定軸轉(zhuǎn)動的剛體組成的物體系統(tǒng) 功能原理 3 3剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 例3 7如圖所示 一質(zhì)量為 長為的均勻細棒 可繞通過其一端點并與棒垂直的水平軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動 今使棒從水平位置開始自由下擺 求細棒擺到豎直位置時 其中心點和另一端點的速度 解以細棒和地球組成系統(tǒng)機械能守恒 選擇細棒在豎直位置時點的位置為重力勢能零點 3 3剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 一 質(zhì)點對軸的角動量 3 4剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律 質(zhì)點對軸的角動量 質(zhì)點矢徑的大小 質(zhì)點動量的大小和矢徑與動量之間夾角的正弦的乘積 二 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量 等于剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量和剛體角速度的乘積 質(zhì)點以角速度作半徑為的圓周運動 相對軸的角動量 剛體對軸的角動量 3 4剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律 三 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理 沖量矩 力矩對時間的積分 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理 作用在剛體上的合外力矩的沖量矩 等于剛體對該軸的角動量的增量 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時 剛體對該軸的角動量隨時間的變化率 等于作用在剛體上的合外力矩 3 4剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律 四 角動量守恒定律 剛體對定軸的角動量守恒定律 當剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時 如果作用于剛體上的合外力矩為零 或者剛體不受外力矩作用時 則剛體對該軸的角動量保持不變 3 4剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律 4 角動量守恒定律是自然界的一個基本定律 2 內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動量 1 若不變 不變 若變 也變 但不變 3 4剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律 例人造地球衛(wèi)星繞地球作橢圓軌道運動 地球在橢圓的一個焦點上 則衛(wèi)星的 3 4剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律 解系統(tǒng)的角動量守恒 3 4剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律 例3 9如圖所示 一長為 質(zhì)量為的均勻細棒可繞支點自由轉(zhuǎn)動 原先靜止懸垂在平衡位置 一質(zhì)量為 速率為的子彈水平地射入細棒的下端 求細棒偏轉(zhuǎn)的最大角度 解角動量守恒 機械能守恒 3 4剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律 經(jīng)典力學的適用范圍 經(jīng)典力學 以牛頓三定律為基礎建立起來的力學 又稱牛頓力學 2 經(jīng)典力學適用于宏觀物體 而一般不適用于微觀粒子 1 經(jīng)典力學只適用于解決物體低速運動問題 而不能用于高速 接近于光速 運動問題