橢圓的常見題型及解法(一).doc

橢圓的常見題型及其解法(一)橢圓是圓錐曲線的內容之一，也是高考的熱點和重點，橢圓學習的好壞還直接影響后面的雙曲線與拋物線的學習，筆者在這里就橢圓常見題型作簡要的探討，希望對學習橢圓的同學有所幫助.一、橢圓的焦半徑橢圓上的任意一點到焦點F的長稱為此曲線上該點的焦半徑，根據(jù)橢圓的定義，很容易推導出橢圓的焦半徑公式。在涉及到焦半徑或焦點弦的一些問題時，用焦半徑公式解題可以簡化運算過程。1.公式的推導設P（，）是橢圓上的任意一點，分別是橢圓的左、右焦點，橢圓，求證，。證法1：。因為，所以又因為，所以，證法2：設P到左、右準線的距離分別為，由橢圓的第二定義知，又，所以，而。，。2.公式的應用例1 橢圓上三個不同的點A（）、B（）、C（）到焦點F（4，0）的距離成等差數(shù)列，則 .解：在已知橢圓中，右準線方程為，設A、B、C到右準線的距離為，則、。，而|AF|、|BF|、|CF|成等差數(shù)列。，即，。例2.是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上的動點，求的最大值和最小值。解：設，則 在橢圓上，的最大值為4，最小值為1.變式練習1：. 求過橢圓的左焦點，傾斜角為的弦AB的長度。解：由已知可得，所以直線AB的方程為，代入橢圓方程得設，則，從而變式練習2. 設Q是橢圓上任意一點，求證：以（或）為直徑的圓C與以長軸為直徑的圓相內切。證明：設，圓C的半徑為r 即也就是說：兩圓圓心距等于兩圓半徑之差。故兩圓相內切同理可證以為直徑的圓與以長軸為直徑的圓相內切。3.橢圓焦半徑公式的變式P是橢圓上一點，E、F是左、右焦點，PE與x軸所成的角為，PF與x軸所成的角為，c是橢圓半焦距，則（1）；（2）。P是橢圓上一點，E、F是上、下焦點，PE與x軸所成的角為，PF與x軸所成的角為，c是橢圓半焦距，則（3）；（4）。證明：（1）設P在x軸上的射影為Q，當不大于90時，在三角形PEQ中，有 由橢圓焦半徑公式（1）得 。消去后，化簡即得（1）。而當大于90時，在三角形PEQ中，有， 以下與上述相同。（2）、（3）、（4）的證明與（1）相仿，從略。4.變式的應用對于橢圓的一些問題，應用這幾個推論便可容易求解。例1. （2005年全國高考題）P是橢圓上一點，E、F是左右焦點，過P作x軸的垂線恰好通過焦點F，若三角形PEF是等腰直角三角形，則橢圓的離心率是_。解：因為PFEF，所以由（2）式得 。再由題意得。注意到。例2. P是橢圓上且位于x軸上方的一點，E，F(xiàn)是左右焦點，直線PF的斜率為，求三角形PEF的面積。解：設PF的傾斜角為，則：。因為a10，b8，c6，由變式（2）得 所以三角形PEF的面積變式訓練1.經過橢圓的左焦點F1作傾斜角為60的直線和橢圓相交于A，B兩點，若，求橢圓的離心率。解：由題意及變式（2）得化簡得。變式訓練2.設F是橢圓的上焦點，共線，共線，且0。求四邊形PMQN面積的最大值和最小值。解：設PF傾斜角為，則由題意知PFMF，所以MF傾斜角為90，而，由題意及（3）式得同理得。由題意知四邊形PMQN面積當時，；當時，。二 橢圓的焦點弦 設橢圓方程為過橢圓右焦點且傾斜角為的直線方程為，此直線交橢圓于兩點，求焦點弦的長.例1、已知橢圓的長軸長，焦距，過橢圓的焦點作一直線交橢圓于、兩點，設，當取什么值時，等于橢圓的短軸長？ 分析：由題意可知是橢圓的焦點弦，且，從而，故由焦點弦長公式及題設可得：，解得，即或。 例2、在直角坐標系中，已知橢圓E的一個焦點為F（3，1），相應于F的準線為Y軸，直線通過點F，且傾斜角為，又直線被橢圓E截得的線段的長度為，求橢圓E的方程。分析：由題意可設橢圓E的方程為，又橢圓E相應于F的準線為Y軸，故有 （1）， 又由焦點弦長公式有 （2）又 （3）。解由（1）、（2）、（3）聯(lián)列的方程組得：，從而所求橢圓E的方程為。變式訓練1、已知橢圓C：（），直線：被橢圓C截得的弦長為，過橢圓右焦點且斜率為的直線被橢圓C截得的弦長是它的長軸長的，求橢圓C的方程。分析：由題意可知直線過橢圓C的長、短軸的兩個端點，故有， （1）又由焦點弦長公式得=， （2） 因=，得，（3）又 （4）。解