2020屆北京市石景山區(qū)高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

石景山區(qū)2020屆高三第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1.已知集合，則( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算，得到答案.【詳解】因?yàn)榧希?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于簡單題.2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限【答案】A【解析】【分析】先對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡，然后得到其共軛復(fù)數(shù)，再找到其再復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，得到答案.【詳解】，所以在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，屬于簡單題.3.下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判斷四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)的奇偶性和在上的單調(diào)性，得到答案.【詳解】選項(xiàng)A中，是奇函數(shù)，但在上單調(diào)遞增，不滿足要求；選項(xiàng)B中，是偶函數(shù)，不滿足要求，選項(xiàng)C中，是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減，滿足要求；選項(xiàng)D中，是偶函數(shù)，不滿足要求.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于簡單題.4.已知向量，若，則實(shí)數(shù) ( )A. -1B. 1C. 2D. -2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算得到，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，得到關(guān)于的方程，解出的值，得到答案.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，因?yàn)?，所以所以解?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，根據(jù)向量垂直關(guān)系求參數(shù)的值，屬于簡單題.5.我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（ ）A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石【答案】B【解析】【詳解】設(shè)夾谷石，則，所以，所以這批米內(nèi)夾谷約為石，故選B.考點(diǎn)：用樣本的數(shù)據(jù)特征估計(jì)總體.【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】6.已知，則，的大小關(guān)系是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分別對(duì)，與特殊值或進(jìn)行比較，從而判斷出出它們的大小關(guān)系，得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，所?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查判斷對(duì)數(shù)的大小關(guān)系，屬于簡單題.7.藝術(shù)體操比賽共有7位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績時(shí), 從7個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到5個(gè)有效評(píng)分5個(gè)有效評(píng)分與7個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是( )A. 中位數(shù)B. 平均數(shù)C. 方差D. 極差【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差的概念來進(jìn)行求解，得到答案.【詳解】從7個(gè)原始評(píng)分去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到5個(gè)有效評(píng)分，其平均數(shù)、極差、方差都可能會(huì)發(fā)生改變，不變的數(shù)字特征數(shù)中位數(shù).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差的概念，屬于簡單題.8.一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與原正方體體積的比值為( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三視圖還原出幾何體，得到是在正方體中，截去四面體，利用體積公式，求出其體積，然后得到答案.【詳解】根據(jù)三視圖還原出幾何體，如圖所述，得到是在正方體中，截去四面體設(shè)正方體的棱長為，則，故剩余幾何體的體積為，所以截去部分的體積與剩余部分的體積的比值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖求幾何體的體積；關(guān)鍵是正確還有幾何體，利用體積公式解答，屬于簡單題.9.在等差數(shù)列中，設(shè)，則是的（ ）A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件C. 充要條件D. 既非充分非必要條件【答案】D【解析】【分析】舉出特殊數(shù)列的例子，即可排除選項(xiàng)【詳解】若等差數(shù)列為 則當(dāng)時(shí)，成立，但不成立，所以非充分條件當(dāng)時(shí)，成立，但不成立，所以非必要條件綜上可知，是的既非充分非必要條件所以選D.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的定義，充分必要條件的判定，注意特殊值法在選擇題中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題10.關(guān)于曲線給出下列三個(gè)結(jié)論： 曲線恰好經(jīng)過個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)點(diǎn)） 曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不大于 曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不小于2其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】將曲線，看成關(guān)于的方程，利用方程有解，得到的范圍，再分別研究對(duì)應(yīng)的整數(shù)和的情況；根據(jù)基本不等式，得到的范圍，從而判斷出曲線上一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離范圍.【詳解】曲線，看成關(guān)于的二次方程則，得所以整數(shù)的取值為，當(dāng)時(shí)，或，滿足題意當(dāng)時(shí)，不是整數(shù)，不滿足題意當(dāng)時(shí)，或，滿足題意當(dāng)時(shí)，不是整數(shù)，不滿足題意當(dāng)時(shí)，或，滿足題意故曲線過的整點(diǎn)為，共6個(gè)，故命題正確.，當(dāng)時(shí)，即，得，即當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立所以得曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不大于，命題正確.當(dāng)時(shí)，即，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立所以得曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不小于，故命題錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查判斷二次方程根的情況，基本不等式求最值，屬于中檔題.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分11.在的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于 (用數(shù)值表示)【答案】-160【解析】試題分析：，由得：r=3，所考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理點(diǎn)評(píng)：熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：此通項(xiàng)公式集中體現(xiàn)了二項(xiàng)展開式中的指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)的變化12.雙曲線的焦點(diǎn)到它的漸近線的距離為_；【答案】1【解析】試題分析：由雙曲線方程可知，則，即，所以焦點(diǎn)為，漸近線為所以焦點(diǎn)到漸近線的距離為考點(diǎn)：1雙曲線的基本性質(zhì)；2點(diǎn)到線的距離13.已知數(shù)列為等比數(shù)列，則_【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，從而得到關(guān)于的方程，解出的值，得到答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以，即，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)等比中項(xiàng)求值，屬于簡單題.14.已知平面給出下列三個(gè)論斷：；以其中兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：_【答案】或【解析】【分析】根據(jù)面面平行和面面垂直的性質(zhì)，得到線面垂直，從而得到答案.【詳解】由，可得故，由，可得故，由，則平面與平面可以平行和可以相交，故.故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查面面平行和面面垂直的性質(zhì)及判定，面面關(guān)系有關(guān)的命題，屬于簡單題.15.在的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，已知，則的值為_.【答案】【解析】試題分析：代入得，由余弦定理得考點(diǎn)：1正弦定理；2余弦定理的推論【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】16.已知向量，是平面內(nèi)的一組基向量，為內(nèi)的定點(diǎn)，對(duì)于內(nèi)任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則稱有序?qū)崝?shù)對(duì)為點(diǎn)的廣義坐標(biāo)，若點(diǎn)、的廣義坐標(biāo)分別為、，對(duì)于下列命題: 線段的中點(diǎn)的廣義坐標(biāo)為 向量平行于向量的充要條件是 向量垂直于向量的充要條件是其中，真命題是_.（請(qǐng)寫出所有真命題的序號(hào)）【答案】【解析】分析】根據(jù)定義，分別寫出中點(diǎn)的廣義坐標(biāo)，根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示和向量垂直的坐標(biāo)表示進(jìn)行判斷，得到答案.【詳解】點(diǎn)、的廣義坐標(biāo)分別為、可得，設(shè)為中點(diǎn)，則所以線段的中點(diǎn)的廣義坐標(biāo)為，故命題正確向量平行于向量，則即，所以，故命題正確，向量垂直于向量，則即，故命題不一定正確.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量的新定義運(yùn)算，向量平行和垂直的表示，向量的數(shù)量積的運(yùn)算，考查理解推理能力，屬于中檔題.三、解答題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程17.已知函數(shù).（）若，且，求的值；（）求函數(shù)的最小正周期，及函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】（）（）最小正周期. .【解析】【分析】（）根據(jù)以及的范圍，得到，代入到中，得到答案；（）對(duì)進(jìn)行整理化簡，得到，根據(jù)正弦型函數(shù)的圖像和性質(zhì)，求出其周期和單調(diào)減區(qū)間.【詳解】解：（）因?yàn)?，且，所?.所以 . （） 所以函數(shù)的最小正周期. 由， 解得. 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系，利用二倍角公式、降冪公式、輔助角公式對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行化簡，求正弦型函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間，屬于簡單題.18.一款小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需拋擲骰子三次，出現(xiàn)一次或兩次“6點(diǎn)”獲得15分，出現(xiàn)三次“6點(diǎn)”獲得120分，沒有出現(xiàn)“6點(diǎn)”則扣除12分(即獲得12分)（）設(shè)每盤游戲中出現(xiàn)“6點(diǎn)”的次數(shù)為X，求X的分布列；（）玩兩盤游戲，求兩盤中至少有一盤獲得15分的概率；（）玩過這款游戲的許多人發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析解釋上述現(xiàn)象【答案】（）分布列見解析 （）（）見解析【解析】【分析】（）先得到可能的取值為，根據(jù)每次拋擲骰子，出現(xiàn)“6點(diǎn)”的概率為，得到每種取值的概率，得到分布列；（）計(jì)算出每盤游戲沒有獲得15分的概率，從而得到兩盤中至少有一盤獲得15分的概率；（）設(shè)每盤游戲得分為，得到的分布列和數(shù)學(xué)期望，從而得到結(jié)論.【詳解】解：（）可能的取值為，. 每次拋擲骰子，出現(xiàn)“6點(diǎn)”的概率為.， ， 所以X的分布列為：0123（）設(shè)每盤游戲沒有得到15分為事件，則.設(shè)“兩盤游戲中至少有一次獲得15分”為事件，則因此，玩兩盤游戲至少有一次獲得15分的概率為.（）設(shè)每盤游戲得分為.由（）知，的分布列為：Y-1215120P的數(shù)學(xué)期望為. 這表明，獲得分?jǐn)?shù)的期望為負(fù)因此，多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大【點(diǎn)睛】本題考查求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，求互斥事件的概率，屬于中檔題.19.已知在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，是正三角形，CD平面PAD，E,F,G,O分別是PC,PD,BC,AD 的中點(diǎn)（）求證：PO平面；（）求平面EFG與平面所成銳二面角的大??；（）線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角為，若存在，求線段的長度；若不存在，說明理由【答案】（）證明見解析 （）（）不存在，見解析【解析】【分析】（）正三角形中，由平面得到，所以得到面；（）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面的法向量，和平面的法向量，從而得到平面與平面所成銳二面角的余弦值，再得到所求的角；（）線段上存在滿足題意的點(diǎn)，直線與平面法向量的夾角為，設(shè)，利用向量的夾角公式，得到關(guān)于的方程，證明方程無解，從而得到不存在滿足要求的點(diǎn).【詳解】（）證明:因?yàn)槭钦切?，是的中點(diǎn)，所以 .又因?yàn)槠矫?，平面，所?，平面，所以面.（）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)分別以、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，設(shè)平面的法向量為所以，即令，則 ， 又平面的法向量，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，所以.所以平面與平面所成銳二面角為. （）假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角為，即直線與平面法向量所成的角為，設(shè)，所以所以，整理得，方程無解，所以，不存在這樣的點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的性質(zhì)和判定，利用空間向量求二面角，利用空間向量證明存在性問題.20.已知函數(shù).（ ）（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若，的圖象與軸交于點(diǎn)，求在點(diǎn)處的切線方程；（）在（）的條件下，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立【答案】（）時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間，時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為. （）（）證明見解析【解析】【分析】（）對(duì)求導(dǎo)，得到，對(duì)按照和進(jìn)行分類討論，研究的正負(fù)，從而得到的單調(diào)區(qū)間；（）將代入，得到切線斜率，點(diǎn)斜式寫出切線方程；（）令，得到，令，得到，從而得到，得到在上單調(diào)遞增，即，從而使得原命題得證.【詳解】解：（），當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，令，解得.當(dāng)變化時(shí)，變化情況如下表：0+減極小值增所以時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間，時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（）時(shí)，令，得，則，因?yàn)椋裕?所以在點(diǎn)處的切線方程為，即.（）證明：令，則. 令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增； 所以，即恒成立. 所以在上單調(diào)遞增，所以， 所以，即當(dāng)時(shí)，恒成立【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)圖像在一點(diǎn)的切線，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，屬于中檔題.21.已知橢圓過點(diǎn)（）求橢圓的方程，并求其離心率；（）過點(diǎn)作軸的垂線，設(shè)點(diǎn)為第四象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上（點(diǎn)不在直線上），直線關(guān)于的對(duì)稱直線與橢圓交于另一點(diǎn)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由【答案】（），離心率（）直線與直線平行見解析【解析】【分析】（）將點(diǎn)代入到橢圓方程，解得的值，根據(jù)，得到的值，從而求出離心率；（）直線，點(diǎn)，將直線與橢圓聯(lián)立，得到和，從而得到的斜率，得到，得到直線與直線平行【詳解】解：（）由橢圓過點(diǎn)，可得，解得 所以， 所以橢圓的方程為，離心率 （）直線與直線平行 證明如下：由題意，設(shè)直線，設(shè)點(diǎn)，由得， 所以，所以，同理，所以， 由，有，因?yàn)樵诘谒南笙?，所以，且不在直線上，所以，又，故，所以直線與直線平行.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓方程，直線與橢圓相交求交點(diǎn)，判斷兩直線的位置關(guān)系，屬于中檔題.22.已知由個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合，記，對(duì)于任意不大于的正整數(shù)，均存在集合的一個(gè)子集，使得該子集的所有元素之和等于m. （）求的值；（）求證：“成等差數(shù)列”的充要條件是“”；（）若，求的最小值，并指出取最小值時(shí)的最大值.【答案】（）， （）證明見解析 （）的最小值為11，此時(shí)的最大值.【解析】【分析】（）和時(shí)，根據(jù)的定義，以及集合的性質(zhì)，得到答案；（）必要性：，可得，充分性：由條件可得，從而有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，從而得證；（）含有個(gè)元素的非空子集個(gè)數(shù)有，當(dāng)時(shí)，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，集合，可以表示共個(gè)正整數(shù)，滿足題意，由并且得到，結(jié)合，得到的最大值【詳解】解:（）時(shí)，由條件知，必有，又均為整數(shù)，. 時(shí)，由條件知，由的定義及均為整數(shù)，必有，.（）必要性：由“成等差數(shù)列”及,得此時(shí)滿足題目要