SARS傳播的數(shù)學(xué)模型

1 摘 要 通過對(duì)題目附件 1 的 型進(jìn)行分析和評(píng)價(jià)，加深了對(duì) 認(rèn)識(shí)和了解。根據(jù)傳染病的傳播特點(diǎn)，建立了關(guān)于 人率和疑似病人率兩個(gè)常微分方程模型。以所給數(shù)據(jù)為基本依據(jù)，用 件進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，與圖形模擬方法求得模型中的有關(guān)參數(shù)。當(dāng) 1 = 2 =1 時(shí)，理論圖形與實(shí)際圖形有良好的吻合，分別得到了 正確地預(yù)測(cè)它們的發(fā)展趨勢(shì)。他們對(duì)于模型中的參數(shù)有非常強(qiáng)的靈感性， 1 的值作微小的改變對(duì)于整個(gè)疫情的發(fā)展有很大的影響，所以政府采取對(duì) 情的有關(guān)措施是完全正確的。本文重點(diǎn)分析了關(guān)于人率的模型一，根據(jù)求得的參數(shù)，利用相軌線理論對(duì)結(jié)果加以分析并對(duì)整個(gè)疫情作出預(yù)測(cè)，并推論出 i(t),然后提出了對(duì)傳染病的控制方案，同時(shí)列舉了具體方法，并論證了方法的合理性和可行性，用其它地區(qū)的數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，說明模型的參數(shù)有區(qū)域性。 關(guān)鍵詞： 微分方程 曲線擬合 數(shù)學(xué)模型 相軌線 2 一 、問題的提出 稱非 典型肺炎 ，是 21 世紀(jì)第一個(gè)在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病。我國(guó)作為發(fā)展中大國(guó)深受其害： 爆發(fā)和蔓延給我國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活帶來了很大影響。在黨和政府的統(tǒng)一領(lǐng)導(dǎo)下，全國(guó)人民與 強(qiáng)抗?fàn)?，取得了可喜的階段性勝利，并從中得到了許多重要的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，認(rèn)識(shí)到在沒有找出真正病因和有效治愈方法前，政府采取的強(qiáng)制性政策對(duì)抑制 然發(fā)展最有效辦法。而本題的目的就是要建立一個(gè)適當(dāng)?shù)哪Ｐ蛯?duì) 播規(guī)律進(jìn)行定量地分析、研究，為預(yù)測(cè)和控制 延提供可靠、足夠的信息， 無論對(duì)現(xiàn)在還是將來都有其重要的現(xiàn)實(shí)意義。 二 、模型的假設(shè) 1 地總?cè)藬?shù) 流入人口等于流出人口。 2 據(jù)人口所處的健康狀態(tài)，將人群分為：健康者， 人，退出者（被治愈者、 免疫者和死亡者）。 3在政府的強(qiáng)制措施下，人口基本不流動(dòng)，故無病源的流入和流出，避免了交叉感染，降低了感染基數(shù)。 4 隔離的人斷絕了與外界的聯(lián)系，不具有傳染性。 5 復(fù)者二度感染的概率為 0。 6 國(guó)家完善了監(jiān)控手段，加強(qiáng)了對(duì) 毒監(jiān)控的力度，故可假設(shè)所有感染 人類和疑似類。 7 由于對(duì) 原體的研究不夠深入，無有效藥物可 以使人體免疫，同時(shí) 毒感染后，大量繁殖，破壞免疫系統(tǒng)，故不可免疫。 三、模型的建立 （一） 參數(shù)的設(shè)定和符號(hào)說明 s(t)： i(t)： 人在總體人群中的比例 l(t)： r(t)： 亡者和免疫者在總體人群中的比例之和。 1 ： 人日接觸率。為每個(gè)病人每天有效接觸（足以使健康者受感染變?yōu)椴∪耍┑钠骄藬?shù)。 u ：日治愈率。為每天被 治愈的病人占病人總數(shù)的比例。 ：日轉(zhuǎn)化率。為每天危險(xiǎn)群體中的疑似病人被確診為 者的比例。 ：日死亡率。為每天 人死亡的數(shù)量和當(dāng)天病人總數(shù)量的比值。 3 2：疑似感染率。為每天感染為疑似病人的比例。 （二）模型建立 模型一 感染為 者情況 由假設(shè)，每個(gè)病人每天可使 )(1 健康者變?yōu)椴∪?，因?yàn)椴∪巳藬?shù)為 )(所以每天共有 )()(1 健康者被感染，于是 是病人數(shù) 增加率，又因?yàn)槊刻毂恢斡蕿?，死亡率為 ，所以每天有 個(gè)病人被治愈，有 個(gè)病人死亡。那么病人的感染為 由于 1)()()( )1( 對(duì)于退出者 ( 為所有退出者比例之和 ) )2( 由假設(shè)可知： 故 者率模型一的方程建立如下： 0111011)0()0( (3) 0)0( r )4( 模型二 疑似患者的變化情況 與前面同樣的分析，得到疑似患者率模型二： (5) 四、模型求解 （一）參數(shù)的確定和分析： 4 1. , 的確定 = 當(dāng)天病人總數(shù)每天治愈的人數(shù) ， =當(dāng)天疑似病人總數(shù) 每天確診的人數(shù) ， = 當(dāng)天病人總數(shù)每天死亡的人數(shù) 用 子表格處理題目附件 2 中所給數(shù)據(jù)得： = = =處理數(shù)據(jù)見附件） 221,的確定 )1( 確定 1 很明顯從我們建立的模型是無法得到 s、 i、0i、0了解決這個(gè)問題我們用 件中龍格 庫(kù)塔方法求出他們的數(shù)值解。 先通過實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)算出每一天的 s、 i、0i、0，然后我們?cè)賹?duì) 1 取一組數(shù)，分別畫出由通過模型解出的數(shù)值解隨時(shí)間變化的圖象圖 2，將這組圖象與由實(shí)際數(shù)據(jù)所得圖象相比較 ,調(diào)試。我們發(fā)現(xiàn)當(dāng) 1 ，理論圖形與實(shí)際圖形有最佳的吻合。圖形如下： :根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)擬合的圖象（畫圖程序見附件） 通過數(shù)值解作出的 i 關(guān)于時(shí)間 t 的變化（畫圖程序見附件） 5 分析兩個(gè)圖形可知 ，它們的高峰期、緩解期和平穩(wěn)期曲線相當(dāng)符合，具有相同的發(fā)展趨勢(shì)。但是在 0,10的 期范圍內(nèi)，曲線變化不相同。這主要是因?yàn)樵?4月 24日之前，沒有相關(guān)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)和報(bào)道，由于數(shù)據(jù)的不全，根據(jù)邊界值畫出來的曲線與通過數(shù)值解得到的 曲線相比較，不能準(zhǔn)確反映 生初期時(shí)的趨勢(shì)，所以邊界值應(yīng)該去掉，而通過數(shù)值解模擬的曲線可以得到之前的發(fā)展趨勢(shì)。并且通過對(duì) 延期特點(diǎn)的分析， 在符合所給數(shù)據(jù)反映的規(guī)律基礎(chǔ)上，還能夠模擬缺乏數(shù)據(jù)的 以曲線是 合理的。 （ 2）確定 2 與確定 1 時(shí)類似，先根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)畫出圖形 實(shí)際數(shù)據(jù)圖形 6 然后再對(duì)2取一組數(shù)，分別畫出通過模型解出的數(shù)值解隨時(shí)間變化的圖象，將這組圖象與由實(shí)際數(shù)據(jù)所得圖象相比較 ,調(diào)試。發(fā)現(xiàn)當(dāng)2 ，理論圖形與實(shí)際圖形有最佳的吻合。圖形如下： 在 0,10的初期范圍內(nèi)，曲線趨勢(shì)不同，原 因同前。整個(gè)曲線反映了疑似患者在 五、結(jié)果分析與檢驗(yàn) （一）討論 的性質(zhì) 平面稱為相平面，相軌線在相平面上的定義域 ),( 為 1,0,0|),( 從模型（一）中消去 利用 的定義，可得 , 00| ii （ 6） 由（ 6）式解得 )*1000 （ 7） （二）對(duì)于合理確定的 ，我們可以畫出 圖，圖形如下： （畫圖程序見附件 7 由于在這個(gè) 毒發(fā)展過程中，是變化的，故可以畫出 取不同值時(shí)的圖形，如下 取 /1 的圖形。 分析（ 3）式和（ 7）式，可知： 1 不論初始條件 0s ， 0i 如何，病人終會(huì)消失，即 亦即 0i 。證明省略。 8 從圖形上看，相軌線終將與 s 軸相交（ t 充分大）。 2 設(shè)最終未被感染的健康者的比例是s，在（ 7）式中令 0i 得到方程 0 （ 8） 8）在（ 0,1/ ）內(nèi)的根，在圖形上s 軸在（ 0,1/ ）內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 對(duì)于確定下來的 /1 =以代入（ 8）式解出s 0 3 病傳染過程分析 整個(gè)傳染過程，隨著政府和 公眾對(duì) 重視程度的變化，可知接觸數(shù) /1隨著治愈率 、死亡率 和接觸率1的不斷變化而變化。 （ 1）在 發(fā)的初期，由于潛伏期的存在，社會(huì)對(duì) 毒傳播的速度和危害程度認(rèn)識(shí)不夠，所以政府和公眾沒有引起重視。治愈率 和死亡率 很小，而接觸率1 相對(duì)較大，所以 /1 很小。 當(dāng) 0s /1，則 )(始增加，可認(rèn)為是疾病蔓延階段。 （ 2）當(dāng)0s= /1 時(shí)， )(到最大值 ) 000 m （ 9） 對(duì)于我們確定的 ，可以求出 認(rèn)為是疾病傳染到達(dá)了高峰期。 （ 3）當(dāng)0s Y=p,t,S) Y = 6 7 4 5 2 3 0 1 8 9 6 7 4 t,z,o,t,Y) is 相軌線 s=; i=11.5*s/ s,i) 20 本文來自網(wǎng)絡(luò)，請(qǐng)不要使用盜版，謝謝閱讀 版權(quán) 所有 2010 本文來自網(wǎng)絡(luò)，請(qǐng)不要使用盜版，謝謝閱讀 版權(quán)所有 201 愛朱丹老婆 本文來自網(wǎng)絡(luò)，請(qǐng)不要使用盜版，謝謝閱讀 版權(quán)所有 2010 中華人民共和國(guó) 本文來自網(wǎng)絡(luò)，請(qǐng)不要使用盜版，謝謝閱讀 版權(quán)所有 愛朱丹老婆 本文來自網(wǎng)絡(luò)，請(qǐng)不要使用盜版，謝謝閱讀 版權(quán)所有 2010 本文來自網(wǎng)絡(luò)，請(qǐng)不要使用盜版，謝謝閱讀 版權(quán)所有 愛朱丹老婆 本文來自網(wǎng)絡(luò)，請(qǐng)不要使用盜版，謝謝閱讀 版權(quán)所有 2010 本文來自網(wǎng)絡(luò)， 請(qǐng)不要使用盜版，謝謝閱讀 版權(quán)所有 2010 本文來自網(wǎng)絡(luò)，請(qǐng)不要使用盜版，謝謝閱讀 版權(quán)所有 愛朱丹老婆 本 文 來 自 網(wǎng) 絡(luò) ， 請(qǐng) 不 要 使 用 盜 版 ， 謝 謝 閱 讀 版權(quán)所有 2010 本文來自網(wǎng)絡(luò)，請(qǐng)不要使用盜版，謝謝閱讀 版權(quán)所有 2010 本文來自網(wǎng)絡(luò)，請(qǐng)不要使用盜版，謝謝閱讀 版權(quán)所有 2010 本文來自網(wǎng)絡(luò)，請(qǐng)不要使用盜版，謝謝閱讀 版權(quán)所有 愛朱丹老婆 本文來自網(wǎng)絡(luò)，請(qǐng)不要使用盜版，要謝謝閱讀 版權(quán)所有 2010 本文來自網(wǎng)絡(luò)，請(qǐng)不要使用 盜版，謝謝閱讀 版權(quán)所有 2010 本文來自網(wǎng)絡(luò)，請(qǐng)不要使用盜版，謝謝閱讀 版權(quán)所有 愛朱丹老婆 本文來自網(wǎng)絡(luò)，請(qǐng)不要使用盜版，謝謝閱讀 版權(quán)所有