高考沖刺 數(shù)形結(jié)合的思想.doc

.高考沖刺 數(shù)形結(jié)合的思想【高考展望】在高考題中，數(shù)形結(jié)合的題目出現(xiàn)在高中數(shù)學知識的方方面面上，把圖象作為工具、載體，以此尋求解題思路或制定解題方案，真正體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的簡捷、靈活特點的多是填空小題。從近三年新課標高考卷來看，涉及數(shù)形結(jié)合的題目略少，預測今后可能有所加強。因為對數(shù)形結(jié)合等思想方法的考查，是對數(shù)學知識在更高層次的抽象和概括能力的考查，是對學生思維品質(zhì)和數(shù)學技能的考查，是新課標高考明確的一個命題方向。1數(shù)形結(jié)合是把數(shù)或數(shù)量關(guān)系與圖形對應(yīng)起來，借助圖形來研究數(shù)量關(guān)系或者利用數(shù)量關(guān)系來研究圖形的性質(zhì)，是一種重要的數(shù)學思想方法。它可以使抽象的問題具體化，復雜的問題簡單化?！皵?shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法可以深刻揭示數(shù)學問題的本質(zhì)。2數(shù)形結(jié)合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考綱指出“數(shù)學科的命題，在考查基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，注重對數(shù)學思想思想方法的考查，注重對數(shù)學能力的考查”，靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可以有效提升思維品質(zhì)和數(shù)學技能。3“對數(shù)學思想方法的考查是對數(shù)學知識在更高層次的抽象和概括的考查，考查時要與數(shù)學知識相結(jié)合”，用好數(shù)形結(jié)合的思想方法，需要在平時學習時注意理解概念的幾何意義和圖形的數(shù)量表示，為用好數(shù)形結(jié)合思想打下堅實的知識基礎(chǔ)。4函數(shù)的圖象、方程的曲線、集合的文氏圖或數(shù)軸表示等，是 “以形示數(shù)”，而解析幾何的方程、斜率、距離公式，向量的坐標表示則是“以數(shù)助形”，還有導數(shù)更是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，這些都為我們提供了 “數(shù)形結(jié)合”的知識平臺。5在數(shù)學學習和解題過程中，要善于運用數(shù)形結(jié)合的方法來尋求解題途徑，制定解題方案，養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的習慣，解題先想圖，以圖助解題。用好數(shù)形結(jié)合的方法，能起到事半功倍的效果，“數(shù)形結(jié)合千般好，數(shù)形分離萬事休”?！局R升華】縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)”。是通過“以形助數(shù)”（將所研究的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為研究其對應(yīng)的幾何圖形）或“以數(shù)助形”（借助數(shù)的精確性來闡明形的某種屬性），把抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來思考，也就是將抽象思維與形象思維有機地結(jié)合起來，是解決問題的一種數(shù)學思想方法。它能使抽象問題具體化，復雜問題簡單化，在數(shù)學解題中具有極為獨特的策略指導與調(diào)節(jié)作用。具體地說，數(shù)形結(jié)合的基本思路是：根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的特性和規(guī)律，解決數(shù)的問題；或?qū)D形信息全部轉(zhuǎn)化成代數(shù)信息，使解決形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論。選擇題，填空題等客觀性題型，由于不要求解答過程，就某些題目而言，這給學生創(chuàng)造了靈活運用數(shù)形結(jié)合思想，尋找快速思路的空間。但在解答題中，運用數(shù)形結(jié)合思想時，要注意輔之以嚴格的邏輯推理，“形”上的直觀是不夠嚴密的。1高考試題對數(shù)形結(jié)合的考查主要涉及的幾個方面：（1）集合問題中Venn圖（韋恩圖）的運用；（2）數(shù)軸及直角坐標系的廣泛應(yīng)用；（3）函數(shù)圖象的應(yīng)用；（4）數(shù)學概念及數(shù)學表達式幾何意義的應(yīng)用；（5）解析幾何、立體幾何中的數(shù)形結(jié)合。2. 數(shù)形結(jié)合思想解決的問題常有以下幾種：(1)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍；(2)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍；(3)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系；(4)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式；(5)構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題；(6)構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；(7)構(gòu)建方程模型，求根的個數(shù)；(8)研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等3運用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時，要遵循三個原則：（1）等價性原則。要注意由于圖象不能精確刻畫數(shù)量關(guān)系所帶來的負面效應(yīng)；（2）雙方性原則。既要進行幾何直觀分析，又要進行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對代數(shù)問題進行幾何分析容易出錯；（3）簡單性原則。不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合，具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當設(shè)參、用參、建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準確界定參變量的取值范圍，特別是運用函數(shù)圖象時應(yīng)設(shè)法選擇動直線與定二次曲線為佳。4進行數(shù)形結(jié)合的信息轉(zhuǎn)換，主要有三個途徑：（1）建立坐標系，引入?yún)⒆償?shù)，化靜為動，以動求解，如解析幾何；（2）構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)模型，利用函數(shù)圖象求解；（3）構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何模型，利用圖形特征求解。5.常見的“以形助數(shù)”的方法有：(1)借助于數(shù)軸、文氏圖，樹狀圖，單位圓；(2)借助于函數(shù)圖象、區(qū)域(如線性規(guī)劃)、向量本身的幾何背景；(3)借助于方程的曲線，由方程代數(shù)式，聯(lián)想其幾何背景，并用幾何知識解決問題，如點，直線，斜率，距離，圓及其他曲線，直線和曲線的位置關(guān)系等，對解決代數(shù)問題都有重要作用，應(yīng)充分予以重視.?！镜湫屠}】類型一、數(shù)軸、韋恩圖在集合中的應(yīng)用【例1】設(shè)集合A=x|1x4，集合B =x|-2x-30, 則A（）=（ ）A(1,4) B(3,4) C.(1,3) D(1,2)（3,4）【思路點撥】先求出集合B，再利用數(shù)軸畫圖求解?！敬鸢浮緽；【解析】B =x|-2x-30=，A（）=x|1x4=。故選B. 【總結(jié)升華】不等式型集合的交、并集通?？梢岳脭?shù)軸進行，解題時注意驗證區(qū)間端點是否符合題意。舉一反三：【變式1】設(shè)全集則（ ）A B 【答案】B；【解析】畫出韋恩圖，可知?！咀兪?】設(shè)平面點集，則所表示的平面圖形的面積為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D；【解析】由可知或者，在同一坐標系中做出平面區(qū)域如圖，由圖象可知的區(qū)域為陰影部分，根據(jù)對稱性可知，兩部分陰影面積之和為圓面積的一半，所以面積為，選D.類型二、利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題【例2】已知，若的最小值記為，寫出的表達式。【思路點撥】 依據(jù)函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，結(jié)合函數(shù)圖象確定在上的增減情況，進而可以明確在何處取最小值?！窘馕觥坑捎冢話佄锞€的對稱軸為，開口向上，當，即時，在t，t+1上單調(diào)遞增（如圖所示），當x=t時，最小，即。當，即時，在上遞減，在上遞增（如圖）。當時，最小，即。當，即時，在t，t+1上單調(diào)遞減（如圖）。當x=t+1時，最小，即， 圖 圖 圖綜合得?！究偨Y(jié)升華】通過二次函數(shù)的圖象確定解題思路，直觀、清晰，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性。應(yīng)特別注意，對于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，應(yīng)抓住對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系進行討論解決。首先確定其對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，結(jié)合函數(shù)圖象確定在閉區(qū)間上的增減情況，然后再確定在何處取最值。舉一反三：【變式1】已知函數(shù)在0x1時有最大值2，求a的值?！窘馕觥?，拋物線的開口向下，對稱軸是，如圖所示： （1） （2） （3）（1）當a0時，如圖（1）所示，當x=0時，y有最大值，即。1a=2。即a=1，適合a0。（2）當0a1時，如圖（2）所示，當x=a時，y有最大值，即。a2a+1=2，解得。0a1，不合題意。（3）當a1時，如圖（3）所示。當x=1時，y有最大值，即。a=2。綜合（1）（2）（3）可知，a的值是1或2【變式2】已知函數(shù)。（）寫出的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)，求在0，a上的最大值?！窘馕觥咳鐖D：（1）的單調(diào)增區(qū)間：，；單調(diào)減區(qū)間：（1，2）（2）當a1時， 當時， 當，。例3. （2015 重慶校級模擬）定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x0時，f（x）=，則關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（x）a（0a1）的所有零點之和為（）A12aB2a1C12aD2a1【思路點撥】函數(shù)F（x）=f（x）a（0a1）的零點轉(zhuǎn)化為：在同一坐標系內(nèi)y=f（x），y=a的圖象交點的橫坐標作出兩函數(shù)圖象，考查交點個數(shù)，結(jié)合方程思想，及零點的對稱性，根據(jù)奇函數(shù)f（x）在x0時的解析式，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象及其對稱性，求出答案【答案】A【解析】當x0時，f（x）=；即x0，1）時，f（x）=（x+1）（1，0；x1，3時，f（x）=x21，1；x（3，+）時，f（x）=4x（，1）；畫出x0時f（x）的圖象，再利用奇函數(shù)的對稱性，畫出x0時f（x）的圖象，如圖所示；則直線y=a，與y=f（x）的圖象有5個交點，則方程f（x）a=0共有五個實根，最左邊兩根之和為6，最右邊兩根之和為6，x（1，0）時，x（0，1），f（x）=（x+1），又f（x）=f（x），f（x）=（x+1）=（1x）1=log2（1x），中間的一個根滿足log2（1x）=a，即1x=2a，解得x=12a，所有根的和為12a故選A【總結(jié)升華】這類題“萬變不離其宗”只需掌握基本初等函數(shù)的圖像及其圖像變換口訣再配合函數(shù)性質(zhì)即可輕松解決.舉一反三：【變式】（2016 渭南一模）設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的xR，都有f（x+2）=f（x）當1x0時，f（x）=x2，若直線y=x+m與函數(shù)y=f（x）的圖象有兩個不同的公共點，則實數(shù)m的值為（）A2k（kZ） B2k+（kZ）C2k或2k（kZ） D2k或2k+（kZ）【答案】D【解析】f（x+2）=f（x）函數(shù)的周期是2，若0x1，則1x0，則f（x）=x2，函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，f（x）=x2=f（x），即f（x）=x2，0x1，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：作出直線y=x+m，在一個周期1，1內(nèi)，當直線經(jīng)過點（1，1）時，兩個函數(shù)有兩個交點，此時m=0，當直線與y=x2相切時，兩個函數(shù)有兩個交點，由x2=x+m得x2x+m=0，由判別式=0，即14m=0，得m=，函數(shù)的周期是2k，m=2k或2k+（kZ），故選D【變式2】設(shè)函數(shù)在R上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題（8）圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（ ）（A）函數(shù)有極大值和極小值 （B）函數(shù)有極大值和極小值 （C）函數(shù)有極大值和極小值 （D）函數(shù)有極大值和極小值【答案】D；【解析】由圖象可知當時，所以此時，函數(shù)遞增.當時，所以此時，函數(shù)遞減.當時，所以此時，函數(shù)遞減.當時，所以此時，函數(shù)遞增.所以函數(shù)有極大值，極小值,選D.類型二：利用數(shù)形結(jié)合思想解決方程中的參數(shù)問題【例4】若關(guān)于x的方程有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍。【思路點撥】將方程的左右兩邊分別看作兩個函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，借助圖象間的關(guān)系后求解，可簡化運算?！窘馕觥慨嫵龊偷膱D象，當直線過點，即時，兩圖象有兩個交點。又由當曲線與曲線相切時，二者只有一個交點，設(shè)切點，則，即，解得切點，又直線過切點，得，當時，兩函數(shù)圖象有兩個交點，即方程有兩個不等實根。誤區(qū)警示：作圖時，圖形的相對位置關(guān)系不準確，易造成結(jié)果錯誤?！究偨Y(jié)升華】1解決這類問題時要準確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域。2用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達式（有時可能先作適當調(diào)整，以便于作圖），然后作出兩個函數(shù)的圖象，由圖求解。3在運用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時，需做到以下四點：要準確理解一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征；要恰當設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復和遺漏；精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，便于問題求解。舉一反三：【變式】若關(guān)于x的方程在（1，1）內(nèi)有1個實根，則k的取值范圍是 ?！窘馕觥堪逊匠套?、右兩側(cè)看作兩個函數(shù)，利用函數(shù)圖象公共點的個數(shù)來確定方程根的個數(shù)。設(shè)（x1，1）xy=k如圖：當或時，關(guān)于x的方程在（1，1）內(nèi)有1個實根。【例5】若方程在內(nèi)有唯一解，求實數(shù)m的取值范圍。【思路點撥】將方程的左右兩邊分別看作兩個函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，借助圖象間的關(guān)系后求解。【解析】（1）原方程可化為 設(shè) 在同一坐標系中畫出它們的圖象（如圖）。由原方程在（0，3）內(nèi)有唯一解，知的圖象只有一個公共點，可見m的取值范圍是或。舉一反三：【變式1】若不等式logaxsin 2x (a0，a1)對任意x都成立，則a的取值范圍為_【解析】記y1logax，y2sin 2x，原不等式相當于y1y2，作出兩個函數(shù)的圖象，如圖所示，知當y1logax過點A時，a，所以當ay2.【變式2】若02，且方程有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍及這兩個實根的和?！窘馕觥繉⒃匠剔D(zhuǎn)化為三角函數(shù)的圖象與直線有兩個不同的交點時，求a的范圍及+的值。設(shè)，在同一坐標中作出這兩個函數(shù)的圖象由圖可知，當或時，y1與y2的圖象有兩個不同交點，即對應(yīng)方程有兩個不同的實數(shù)根，若，設(shè)原方程的一個根為，則另一個根為.若，設(shè)原方程的一個根為，則另一個根為，. 所以這兩個實根的和為或.且由對稱性可知，這兩個實根的和為或。類型三：依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)，賦予式子恰當?shù)膸缀我饬x，數(shù)形結(jié)合解答【例6】求函數(shù)的最大值和最小值【思路點撥】可變形為，故可看作是兩點和的連線斜率的倍，只需求出范圍即可；也可以利用三角函數(shù)的有界性，反解求解。方法一：數(shù)形結(jié)合可看作是單位圓上的動點，為圓外一點，如圖，由圖可知：，顯然，設(shè)直線的方程：， ，解得，方法二：令，【總結(jié)升華】一些代數(shù)式所表示的幾何意義往往是解題的關(guān)鍵，故要熟練掌握一些代數(shù)式的幾何意義：（1）表示動點（x，y）與定點（a，b）兩點間的距離；（2）表示動點（x，y）與定點（a，b）兩點連線的斜率；（3）求ax+by的最值，就是求直線ax+by=t在y軸上的截距的最值。舉一反三：【變式1】已知圓C：(x+2)2+y2=1，P（x，y）為圓C上任一點。（1）求的最大、最小值；（2）求的最大、最小值；（3）求x2y的最大、最小值?！窘馕觥柯?lián)想所求代數(shù)式的幾何意義，再畫出草圖，結(jié)合圖象求解。（1）表示點（x，y）與原點的距離，由題意知P（x，y）在圓C上，又C（2，0），半徑r=1。|OC|=2。的最大值為2+r=2+1=3，的最小值為2r=21=1。（2）表示點（x，y）與定點（1，2）兩點連線的斜率