2011屆數(shù)學高考復習全套精品PPT課件：第10單元第4節(jié)+直線、平面平行的判定及其性質(zhì).ppt

第四節(jié)直線 平面平行的判定及其性質(zhì) 基礎梳理 1 直線與平面平行的判定與性質(zhì) 1 判定定理如果一條直線和這個的一條直線平行 那么這條直線和這個平面平行 2 性質(zhì)定理如果一條直線和一個平面平行 經(jīng)過這條直線的平面和這個平面 那么這條直線就和平行 平面外 平面內(nèi) 相交 交線 2 平面與平面平行的判定與性質(zhì) 1 判定定理如果一個平面內(nèi)有兩條都平行于另一個平面 那么這兩個平面 2 性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交 那么所得的兩條交線 3 兩個平行平面間的距離兩個平行平面的的長度叫做兩個平行平面間的距離 相交直線 平行 平行 公垂線段 典例分析 例1 已知四邊形ABCD是空間四邊形 E F G H分別是邊AB BC CD DA的中點 求證 四邊形EFGH是平行四邊形 題型一線線平行 分析若證四邊形是平行四邊形 只需證一組對邊平行且相等或兩組對邊分別平行即可 證明如圖 連接BD EH是 ABD的中位線 EH BD EH BD 又 FG是 CBD的中位線 FG BD FG BD FG EH 且FG EH 四邊形EFGH是平行四邊形 學后反思證明四邊形EFGH是平行四邊形 可有兩條途徑 一是證兩組對邊分別平行 二是證明一組對邊平行且相等 舉一反三1 已知E 分別是正方體的棱AD 的中點 求證 BEC 證明 如圖 連接 E分別為 AD的中點 AE 四邊形為平行四邊形 又 四邊形是平行四邊形 EB 同理 EC 又 與 CEB方向相同 CEB 例2 如圖 在正方體ABCD A1B1C1D1中 側(cè)面對角線AB1 BC1上分別有兩點E F 且B1E C1F 求證 EF 平面ABCD 題型二線面平行 分析要證EF 平面ABCD 方法有兩種 一是利用線面平行的判定定理 即在平面ABCD內(nèi)確定EF的平行線 二是利用面面平行的性質(zhì)定理 即過EF作與平面ABCD平行的平面 證明方法一 過E作EM AB于M 過F作FN BC于N 連接MN 如圖 則EM BB1 FN BB1 EM FN AB1 BC1 B1E C1F AE BF 又 BB1 CC1 EM FN 四邊形EMNF是平行四邊形 EF MN 又 EF 平面ABCD MN 平面ABCD EF 平面ABCD 方法二 連接B1F 并延長交BC的延長線于點P 連接AP 如圖 BP B1C1 B1FC1 PFB AB1 BC1 B1E C1F AE BF EF AP 又 EF 平面ABCD AP 平面ABCD EF 平面ABCD 方法三 過點E作EH BB1于點H 連接FH 如圖 則EH AB 又 AB1 BC1 B1E C1F FH B1C1 B1C1 BC FH BC EH FH H 平面EFH 平面ABCD EF 平面EFH EF 平面ABCD 學后反思判斷或證明線面平行的常用方法有 1 利用線面平行的定義 無公共點 2 利用線面平行的判定定理 a b a b a 3 利用面面平行的性質(zhì)定理 a a 4 利用面面平行的性質(zhì) a a a a 舉一反三2 如圖 在四棱錐P ABCD中 底面ABCD為正方形 E為PC中點 求證 PA 面EDB 證明 如圖 連接AC交BD于O 連接EO 四邊形ABCD為正方形 O為AC的中點 E為PC的中點 EO為 PAC的中位線 故EO PA 又 EO 面EDB 且PA 面EDB PA 面EDB 題型三面面平行 例3 如圖 在正方體ABCD A1B1C1D1中 其棱長為1 求證 平面AB1C 平面A1C1D 分析要證明面AB1C 面A1C1D 根據(jù)面面平行的判定定理或推論 只要證明AC 面A1C1D AB1 面A1C1D 且AC AB1 A 即可 證明方法一 AA1 BB1AA1 BB1AA1 CC1BB1 CC1BB1 CC1 四邊形AA1C1C為平行四邊形 AC A1C1A1C1 平面A1C1DAC 平面A1C1D 方法二 易知AA1和CC1確定一個平面AC1 于是 平面AC1 平面A1C1 A1C1平面AC1 平面AC AC平面A1C1 平面ACA1C1 ACA1C1 平面AB1CAC 平面AB1C AC 平面A1C1D同理 AB1 平面A1C1D平面AB1C 平面A1C1D AC AB1 A A1C1 平面AB1C同理 A1D 平面AB1C平面AB1C 平面A1C1D A1C1 A1D A1 學后反思證明平面與平面相互平行 一般利用面面平行的判定定理 將面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行或線線平行來證明 具體方法有 1 面面平行的定義 2 面面平行的判定定理 如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面 那么這兩個平面平行 3 利用垂直于同一條直線的兩個平面平行 4 兩個平面同時平行于第三個平面 那么這兩個平面平行 5 利用 線線平行 線面平行 面面平行 的相互轉(zhuǎn)化 3 在正方體ABCD A1B1C1D1中 M N E F分別是棱A1B1 A1D1 B1C1 C1D1的中點 求證 平面AMN 平面EFDB 舉一反三 證明 如圖 連接MF M F分別是A1B1 C1D1的中點 且四邊形A1B1C1D1為正方形 MF A1D1 又A1D1 AD MF AD 四邊形ADFM為平行四邊形 AM DF 又 AM 平面EFDB DF 平面EFDB AM 平面EFDB 同理可證 AN 平面EFDB AM AN 平面AMN AM AN A 平面AMN 平面EFDB 題型四平行的探究問題 例4 長方體ABCD A B C D 點P BB 不與B B 重合 PA BA M PC BC N 求證 MN 平面AC 分析要證明MN 平面AC 只要證明MN平行于面AC內(nèi)的一條直線即可 而這條直線應與MN共面 由于AC與MN共面 只要證明AC MN即可 解如圖 連接A C AC ABCDA B C D 為長方體 AC A C AC 平面A C B A C 平面A C B AC 平面A C B 又 平面PAC過AC與平面A C B交于MN MN AC MN 平面AC AC 平面AC MN 平面AC 學后反思定理 定義是做題的依據(jù) 具備了條件 便可得到結(jié)論 條件不足 要通過題設和圖形的結(jié)構(gòu)特征 性質(zhì)去尋求 增添輔助線是解決問題的關(guān)鍵 4 如圖 四棱錐PABCD的底面是邊長為a的正方形 側(cè)棱PA 底面ABCD 側(cè)面PBC內(nèi)有BE PC于E 且 試在AB上找一點F 使EF 平面PAD 舉一反三 解析 如圖 在面PCD內(nèi)作EG PD于G 連接AG PA 平面ABCD CD AD CD 面PAD CD PD CD EG 又 AB CD EG AB 若有EF 平面PAD 則EF AG 四邊形AFEG為平行四邊形 即EG AF 且易知 PBC為直角三角形 BC2 CE CP CP 故AF FB 2 1時 EF 平面PAD 題型五平行關(guān)系的綜合應用 例5 14分 如圖 正三棱柱的底面邊長為2 點E F分別是棱 上的點 點M是線段AC上的動點 EC 2FB 2 1 當點M在何位置時 MB 平面AEF 2 若MB 平面AEF 判斷MB與EF的位置關(guān)系 說明理由 并求MB與EF所成角的余弦值 分析對于第 1 問 可采用分析法得到 即假設MB 平面AEF 則平面MBF與AEF的交線與MB平行 由平面幾何的知識不難探求M應為AC的中點 第 2 問MB與EF異面可由判定定理推證 求夾角用平移法 解 1 如圖 當M是線段AC中點時 MB 平面AEF 取AE中點N 連接NF MN 則MNCEBF 即MNBF 2 MNFB是平行四邊形 MBNF 4 又 NF 平面AEF MB 平面AEF MB 平面AEF 6 2 MB與EF是兩條異面直線 EF 平面 B 平面 B EF M 平面 MB與EF是異面直線 8 由 1 知MB NF EFN就是異面直線MB與EF所成的角 10 由平面ABC 平面 BM AC 知MB 平面 又NF MB FN 平面 FN AE 而N是AE的中點 EF AF NF BM 12 在Rt EFN中 cos EFN 即所求角的余弦值為 14 5 如圖所示 在四面體ABCD中 截面EFGH平行于對棱AB和CD 試問 截面在什么位置時 截面的面積最大 舉一反三 解析 AB 平面EFGH 平面EFGH與平面ABC和平面ABD分別交于FG EH AB FG AB EH FG EH 同理可證 EF GH 截面EFGH是平行四邊形 設AB a CD b FGH a b 均為定值 其中 為異面直線AB與CD所成的角 又設FG x GH y 由平面幾何知識 得 兩式相加 得 即y a x SEFGH FG GH sin x a x sin x a x x 0 a x 0 且x a x a 定值 當且僅當x a x 即x 時 S EFGH max 故當截面EFGH的頂點E F G H分別為棱AD AC BC BD的中點時 截面面積最大 易錯警示 例 如圖所示 已知E F分別是正方體棱 上的點 且AE 求證 四邊形是平行四邊形 錯解在正方體中 平面 平面由兩平行平面與第三平面相交 得交線平行 故 FB 同理可證 EB 故四邊形為平行四邊形 錯解分析錯解主要錯在盲目地在立體幾何證明中套用平面幾何定理 立體幾何問題只有在化歸為平面幾何問題后才能直接使用平面幾何知識解題 正確的思路應分為兩步 第一步將立體幾何問題化歸為平面幾何問題 即先證明四邊形為平面四邊形 四點共面 第二步再證四邊形為平行四邊形 或者用平行四邊形的充要條件證明 正解方法一 如圖 在平面中 作EG AD交于G點 連接GC 易證EGADBC 四邊形GEBC為平行四邊形 EBGC 又由AE 得FC 四邊形為平行四邊形 GC 于是EB 四邊形為平行四邊形 方法二 在平面中 過A作AH 交于H 連接HF 易得四邊形為平行四邊形 于是AE 四邊形為平行四邊形 HF 又AB HFAB 四邊形HABF為平行四邊形 AHBF 又AH BF 四邊形為平行四邊形 考點演練 10 如圖 正方體的棱長為1cm 過AC作平行于對角線的截面 求截面面積 解析 如圖 設過AC的平面交于E點 連接BD交AC于點F 平面AEC 平面 平面 平面AEC EF EF AB 1 AC EF BD1 11 在空間四邊形ABCD中 P Q R分別為AB AD CD的中點 平面PQR交BC于S 求證 四邊形PQRS為平行四邊形 證明 如圖 P