復(fù)變函數(shù)題庫.doc

1. 設(shè)，求在內(nèi)的羅朗展式.解 因?yàn)?所以 .2.解 因?yàn)?.所以.3. 設(shè)，其中，試求 令, 則它在平面解析, 由柯西公式有在內(nèi), .所以.4. 求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.解 令, 則. 四. 證明題.1. 函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析. 證明：如果在內(nèi)為常數(shù)，那么它在內(nèi)為常數(shù).證明 設(shè)在內(nèi). 令. 兩邊分別對求偏導(dǎo)數(shù), 得 因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)解析, 所以. 代入 (2) 則上述方程組變?yōu)? 消去得, .若, 則 為常數(shù).若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .所以. (為常數(shù)).所以為常數(shù).2. 試證: 在割去線段的平面內(nèi)能分出兩個(gè)單值解析分支, 并求出支割線上岸取正值的那支在的值.證明的支點(diǎn)為. 于是割去線段的平面內(nèi)變點(diǎn)就不可能單繞0或1轉(zhuǎn)一周, 故能分出兩個(gè)單值解析分支. 由于當(dāng)從支割線上岸一點(diǎn)出發(fā),連續(xù)變動(dòng)到 時(shí), 只有的幅角增加. 所以的幅角共增加. 由已知所取分支在支割線上岸取正值, 于是可認(rèn)為該分支在上岸之幅角為0, 因而此分支在的幅角為, 故.1. 求函數(shù)的冪級數(shù)展開式.2. 在復(fù)平面上取上半虛軸作割線. 試在所得的區(qū)域內(nèi)取定函數(shù)在正實(shí)軸取正實(shí)值的一個(gè)解析分支，并求它在上半虛軸左沿的點(diǎn)及右沿的點(diǎn)處的值.解 令.則.又因?yàn)樵谡龑?shí)軸取正實(shí)值，所以.所以.3. 計(jì)算積分：，積分路徑為（1）單位圓的右半圓.單位圓的右半圓周為（ ），所以.4. 求 .解 =0.四. 證明題1. 設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，試證：f(z)在D內(nèi)為常數(shù)的充要條件是在D內(nèi)解析.證明 (必要性) 令,則. (為實(shí)常數(shù)). 令. 則. 即滿足, 且連續(xù), 故在內(nèi)解析.(充分性) 令, 則 ,因?yàn)榕c在內(nèi)解析, 所以, 且.比較等式兩邊得 . 從而在內(nèi)均為常數(shù),故在內(nèi)為常數(shù).2. 試用儒歇定理證明代數(shù)基本定理.即證“任一 次方程 有且只有個(gè)根”. 證明 令, 取, 當(dāng)在上時(shí), 有由儒歇定理知在圓 內(nèi), 方程 與 有相同個(gè)數(shù)的根. 而 在 內(nèi)有一個(gè) 重根 . 因此次方程在 內(nèi)有 個(gè)根.1. 將函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展為Laurent級數(shù).2. 試求冪級數(shù)的收斂半徑.所以收斂半徑為.3. 算下列積分：，其中是. 令, 則 .故原式.4. 求在|z|1內(nèi)根的個(gè)數(shù). 令 , . 則在 上均解析, 且, 故由儒歇定理有. 即在 內(nèi), 方程只有一個(gè)根.四. 證明題設(shè)是一整函數(shù)，并且假定存在著一個(gè)正整數(shù)n，以及兩個(gè)正數(shù)R及M，使得當(dāng)時(shí)，證明是一個(gè)至多n次的多項(xiàng)式或一常數(shù)。證明 取 , 則對一切正整數(shù) 時(shí), . 于是由的任意性知對一切均有. 故, 即是一個(gè)至多次多項(xiàng)式或常數(shù).1. 解方程.2. 設(shè)，求解 , .故原式.3. . 解 原式.4. 函數(shù)有哪些奇點(diǎn)？各屬何類型（若是極點(diǎn)，指明它的階數(shù)）.解 =，令，得，而 為可去奇點(diǎn) 當(dāng)時(shí)， 而 為一階極點(diǎn).四. 證明題1.證明：若函數(shù)在上半平面解析，則函數(shù)在下半平面解析.證明 設(shè), 在下半平面內(nèi)任取一點(diǎn), 是下半平面內(nèi)異于的點(diǎn), 考慮 .而, 在上半平面內(nèi), 已知在上半平面解析, 因此, 從而在下半平面內(nèi)解析.2.證明方程在內(nèi)僅有3個(gè)根.證明 令, , 則與在全平面解析, 且在上, ,故在內(nèi).在上, , 故在內(nèi).所以在內(nèi)僅有三個(gè)零點(diǎn), 即原方程在內(nèi)僅有三個(gè)根.1. 計(jì)算積分：，在這里L(fēng)表示連接原點(diǎn)到的直線段.解 連接原點(diǎn)及的直線段的參數(shù)方程為 , 故.2.求積分：，其中0a1.令, 則. 當(dāng)時(shí), 故, 且在圓內(nèi)只以為一級極點(diǎn), 在上無奇點(diǎn), 故, 由殘數(shù)定理有.4. 應(yīng)用儒歇定理求方程，在|z|1內(nèi)根的個(gè)數(shù)，在這里在上解析，并且.解 令 則在內(nèi)解析, 且在上, , 所以在內(nèi), , 即原方程在 內(nèi)只有一個(gè)根.四. 證明題1. 證明函數(shù)除去在外，處處不可微.證明 因?yàn)? 故. 這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在平面上處處連續(xù), 但只在處滿足條件, 故只在除了外處處不可微.1、.解 因?yàn)楣?2、設(shè)，其中，試求.解 因此 故.3、設(shè)，求.解 4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.5、求的值.解：四、證明題（20分）1. 方程在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為6.證明：設(shè)則在上， 即有.根據(jù)儒歇定理，與在單位圓內(nèi)有相同個(gè)數(shù)的零點(diǎn)，而的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6，故在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為6.2. 若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，等于常數(shù)，則在恒等于常數(shù).證明：設(shè)，則, 由于在內(nèi)解析，因此有 , .于是故，即在內(nèi)恒為常數(shù).3. 若是的階零點(diǎn)，則是的階極點(diǎn).證明：由于是的階零點(diǎn)，從而可設(shè)，其中在的某鄰域內(nèi)解析且，于是由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點(diǎn).1、設(shè)，求.解：因此2、利用留數(shù)定理計(jì)算積分：，.解：設(shè)，則，故奇點(diǎn)為.四、證明題（20分）1、方程在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為7.證明：設(shè)則在上， 即有.根據(jù)儒歇定理知在內(nèi)與在單位圓內(nèi)有相同個(gè)數(shù)的零點(diǎn)，而在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7，故在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為7.五、計(jì)算題（10分）1、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則二元函數(shù)與都在內(nèi)連續(xù).證明：因?yàn)?，在?nèi)連續(xù), 所以, 當(dāng)時(shí)有 從而有，即u、v在D連續(xù)，由的任意性知與都在內(nèi)連續(xù).3、求一個(gè)單葉函數(shù)，去將平面上的區(qū)域保形映射為平面的單位圓盤.解：設(shè)，則將區(qū)域保形映射為區(qū)域設(shè), 則將上半平面保形變換為單位圓.因此所求的單葉函數(shù)為 . 4、利用留數(shù)定理計(jì)算積分.解：設(shè)則在內(nèi)有兩個(gè)一級極點(diǎn)，因此，根據(jù)留數(shù)定理有五、計(jì)算題（10分）1、求一個(gè)單葉函數(shù)，去將平面上的帶開區(qū)域保形映射為平面的單位圓盤.解：設(shè)則將區(qū)域保形變換為區(qū)域.設(shè),則將區(qū)域保形變換為區(qū)域設(shè)則將保形變換為上半平面,因此,所求的單葉函數(shù)為1 設(shè)。求，使得為解析函數(shù)，且滿足.其中（為復(fù)平面內(nèi)的區(qū)域）.（15分）解： .又 .故.2求下列函數(shù)的奇點(diǎn)，并確定其類型（對于極點(diǎn)要指出它們的階）.（10分） （1） ； （5分） （2）. （5分）解: (1) 奇點(diǎn)為對任意整數(shù), 為二階極點(diǎn), 為本性奇點(diǎn). (2) 奇點(diǎn)為為本性奇點(diǎn),對任意整數(shù),為一級極點(diǎn),為本性奇點(diǎn).3 計(jì)算下列積分.（15分）(1) （8分），解: 共有六個(gè)有限奇點(diǎn), 且均在內(nèi),由留數(shù)定理,有將在的去心鄰域內(nèi)作展開 所以，.(2)解: 令,則再令則,故由留數(shù)定理,有4、敘述儒歇定理并討論方程在內(nèi)根的個(gè)數(shù).（10分）解：儒歇定理：設(shè)為一條圍線，若函數(shù)與均在內(nèi)部及上解析且，則與在內(nèi)部的零點(diǎn)個(gè)數(shù)相同.令, 則在內(nèi)解析且當(dāng)時(shí) ,由儒歇定理的根個(gè)數(shù)與根個(gè)數(shù)相同故在內(nèi)有4個(gè)根.5、討論方程在內(nèi)根的個(gè)數(shù)。（10分），有，由定理知在沒有根。四、證明題（20分）1設(shè)函數(shù)在內(nèi)解析，令。證明：在區(qū)間上是一個(gè)上升函數(shù)，且若存在及（），使，則常數(shù).（10分）證明: (1) 則，故,即在上為的上升函數(shù).(2)如果存在及使得，則有 于是在內(nèi)恒為常數(shù),從而在內(nèi)恒為常數(shù).1 設(shè)區(qū)域是沿正實(shí)軸割開的平面，求函數(shù)在內(nèi)滿足條件的單值連續(xù)解析分支在處之值。 （10分）解： 由 得 從而有2（1）求的各解析分支在各有怎樣的孤立奇點(diǎn)，并求這些點(diǎn)的留數(shù) （10分） 解：（1）的各解析分支為，. 為的可去奇點(diǎn)，為的一階極點(diǎn)。 （2）求。