高等數(shù)學(xué)(交大)教案第一章.doc

第一章 微積分的理論基礎(chǔ)內(nèi)容及基本要求：1、理解函數(shù)的概念2、理解復(fù)合函數(shù)的概念，了解反函數(shù)的概念3、掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形4、會建立簡單實際問題中的函數(shù)關(guān)系式5、理解極限的概念（對極限的N、定義可在學(xué)習(xí)過程中逐步加深理解）6、掌握極限的四則運算法則7、會用兩個重要極限求極限8、解無窮小、無窮大，以及無窮小的階的概念。會用等階無窮小求極限9、理解函數(shù)在一點連續(xù)的概念10、了解間斷點的概念，并會判斷點的類型11、了解初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（介值定理和最大、最小值定理）學(xué)習(xí)重點：函數(shù)概念；復(fù)合函數(shù)概念；極限概念；極限四則運算法則；兩個重要極限；函數(shù)連續(xù)概念。學(xué)習(xí)難點：極限概念。第一節(jié) 函數(shù)一. 函數(shù)的概念及其表示法1.函數(shù)的定義 設(shè)與是變量,是給定的一個數(shù)集.按照一定的法則總有確定的數(shù)值與之對應(yīng),則稱是的函數(shù),記作.其中為函數(shù)的定義域, 是自變量, 是因變量.處的函數(shù)值記為,即.稱為函數(shù)的值域.單值函數(shù)與多值函數(shù): 如果自變量在定義域內(nèi)任取一個值時,對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個,這種函數(shù)稱為單值函數(shù),否則稱為多值函數(shù).本書一般指單值函數(shù).2.定義域的求法(1)實際問題由實際意義確定:如自由落體運動,則其定義域為.(2)數(shù)學(xué)式子由算式有意義的自變量的一切實數(shù)值所確定:如,其定義域為.3.函數(shù)的圖形建立直角坐標系后,點的集合:稱為函數(shù)的圖形.4.特殊函數(shù)(1)絕對值函數(shù):.(2)符號函數(shù):(3)取整函數(shù):表示不超過的最大整數(shù).如.(4)分段函數(shù):在自變量的不同范圍中,用不同式子表示的同一個函數(shù)稱為分段函數(shù).如絕對值函數(shù),取整函數(shù),符號函數(shù)都是分段函數(shù).兩個不同式子的分界點稱為分段函數(shù)的分段點.二. 線性函數(shù)的基本屬性1.改變量 對于函數(shù)，當自變量在其定義域內(nèi)從一點變?yōu)楫愑诘狞c時，相應(yīng)地，函數(shù)值從變?yōu)?，我們稱為自變量在處的改變量，簡稱為自變量的改變量，記作，稱為函數(shù)在處相應(yīng)的改變量，簡稱為函數(shù)的改變量，記作.2.均勻變化與非均勻變化 對線性函數(shù)，無論自變量從哪里開始變化，只要它的改變量一樣大，則函數(shù)的改變量也一樣大。換句話說，線性函數(shù)隨自變量的變化是均勻的，即.三. 復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)1.復(fù)合函數(shù) 設(shè)函數(shù)的定義域為,函數(shù)在上有定義,而 ,且,那末,對通過函數(shù)有確定的與之對應(yīng),對于這個通過有確定的與之對應(yīng),從而得由復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù),記作,而為中間變量.注意 (1)不是任二個或二個以上的函數(shù)都復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù).如,就不能復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù).(2)任一復(fù)合函數(shù)都可以分解成一些簡單函數(shù)的復(fù)合.此點在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時很重要.如函數(shù)可分解成:2.反函數(shù) 設(shè)函數(shù)定義域為,值域為.對,總與對應(yīng),這樣就確定了一個以為自變量的函數(shù),稱為的反函數(shù),記作,也記作 .相對于反函數(shù),原來函數(shù)稱為直接函數(shù).注意(1)單值函數(shù)的反函數(shù)不一定是單值函數(shù);但當直接函數(shù)不僅單值且單調(diào)時,其反函數(shù)必為單值函數(shù).(2) 和的圖形關(guān)于直線對稱.四. 初等函數(shù)與雙曲函數(shù)1.基本初等函數(shù).冪函數(shù):,(是常數(shù)).指數(shù)函數(shù): ,特別地:.對數(shù)函數(shù):,特別地:.注意:指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).三角函數(shù):.反三角函數(shù):.2.初等函數(shù)由常數(shù)與基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復(fù)合所構(gòu)成的并且用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).如都是初等函數(shù).3.雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù).雙曲函數(shù)雙曲正弦:,奇函數(shù),圖形過原點且關(guān)于原點對稱.在內(nèi),當時,當時, .雙曲余弦:,偶函數(shù),圖形關(guān)于軸對稱.在內(nèi),在內(nèi).時,當時, .雙曲正切:.奇函數(shù),圖形過原點且關(guān)于原點對稱.在內(nèi),且,當時,; 當時, .即為的兩條水平漸進線.性質(zhì):.反雙曲函數(shù)反雙曲正弦:,(單值).反雙曲余弦:,(主值.反雙曲正切:.函數(shù)舉例:例1 設(shè),求.解 ;.例2 設(shè),求.解 ,即.例3 設(shè),且,求及其定義域.解 ,所以.又,所以由(1)得;由(2)得,即的定義域為.例4 設(shè)的圖形關(guān)于直線與對稱,則為周期函數(shù).證明 (關(guān)于對稱) (關(guān)于對稱),即為周期函數(shù).五.函數(shù)的參數(shù)表示與極坐標表示1.函數(shù)的參數(shù)表示 把與的函數(shù)關(guān)系通過變量間接地表示為上式稱為與函數(shù)關(guān)系的參數(shù)表示式，也稱為此曲線的參數(shù)方程，稱為參變量，也稱為參數(shù)。2.函數(shù)的極坐標表示 在平面上選取一條具有起始點（稱為極點）和長度單位的半直線，稱為極軸，這樣在此平面上就建立了極坐標系。對平面上任一點，將線段的長度記為，成為極徑，極軸到射線的轉(zhuǎn)角記作，稱為極角。如果限制，那么平面上除極點外任一點便有唯一的有序數(shù)組與其對應(yīng)；反之，任給一數(shù)組，以為極角，為極角，必有唯一的點與之對應(yīng)。因此，我們把稱為點的極坐標。點的直角坐標與極坐標之間有如下關(guān)系第二節(jié) 數(shù)列的極限一. 數(shù)列1.數(shù)列無限多個數(shù)有次序地排成一列稱為數(shù)列,記為.數(shù)列中的每一個數(shù)稱為數(shù)列的項,第項稱為數(shù)列的一般項.數(shù)列也可看作自然數(shù)的函數(shù):.在幾何上,數(shù)列也可看作數(shù)軸上的一系列點.2.子數(shù)列設(shè)數(shù)列.在中第一次抽取,第二次抽取第次抽取得新數(shù)列,稱為數(shù)列的子(數(shù))列.二. 數(shù)列的極限:1.引例:劉徽的割圓術(shù).2.數(shù)列極限的定義設(shè)數(shù)列.觀察當無限增大時,數(shù)列的項的變化趨勢.具體寫出來是:當無限增大(即要多大就有多大)時,一般項無限接近(要多近就有多近)于常數(shù),此時稱數(shù)列的極限為零,或數(shù)列收斂于零.由此有定義(描述性定義)當無限增大時, 數(shù)列與常數(shù)無限接近,稱數(shù)為數(shù)列的極限,或稱數(shù)列收斂于.記作,或.下面我們對數(shù)列來具體分析:要使與的距離小于,即.則,取,當時,即從第11項開始,所有項與的距離小于.取,要使,則.取,則當時, ,即從第101項開始,所有項與的距離小于.,要使.取則當時, .即從項開始, 所有項與的距離小于.用精確的數(shù)學(xué)語言,有定義 給定數(shù)列和常數(shù):,當時,有成立,則稱常數(shù)為數(shù)列的極限,或稱數(shù)列收斂于常數(shù),記為,或.如果數(shù)列沒有極限,則稱數(shù)列是發(fā)散的.注意 (1)反映了數(shù)列中項與常數(shù)的接近程度.由于可以任意小,此時反映了與常數(shù)無限接近(要多近就有多近),不是越來越近.(2)反映了數(shù)列中與常數(shù)接近的項的范圍,即從項開始,所有項與的距離小于.因此是的函數(shù).一般地, 越小,則越大.(3) 主要是對于給定的,能夠找到一個,使得與的距離小于,而前項是否與的距離小于沒有任何影響.(4) 是否存在才是關(guān)鍵,不必找最小的.(5) 的幾何意義:由定義: ,當時,有,即全部落在的鄰域內(nèi).例1 證明.分析:由注(3)的思路:從不等式解出,從而確定.證明 ,要使則.取,則當時,有所以.有時,由解出是非常麻煩.由注(4)可知,此時可將不等式適當放大(不能太大),即由解出,從而確定.則當時,有故注:這里的適當放大意思是放大后還可小于.例2 證明.證明 ,要使此時直接解出很難.將適當放大,所以,取即可.或如下放大:則.取即可.三. 收斂數(shù)列的性質(zhì)定理1(極限唯一性定理) 如果數(shù)列,則其極限必唯一.證明 設(shè).取.由則,當時,有.由,則,當時,有.取,則當時,有解得 矛盾.定理2（有界性） 收斂數(shù)列必有界.但有界數(shù)列不一定收斂.證明 設(shè)則給定,當時,有.則,取.則對任意的,有即數(shù)列必有界.反之,數(shù)列是有界的(因為),但不存在(為什么?見下面的解釋).定理3（保號性），則，使得，恒有其中為某一正常數(shù)。例3解三. 數(shù)列極限的有理運算法則定理4：推論1 常數(shù)因子可以提到極限記號外面.推論2 四. 數(shù)列極限的判定法則1.夾逼準則準則 如果數(shù)列及滿足下列條件:那末數(shù)列的極限存在, 且.證： 上兩式同時成立, 例4：解： 由夾逼定理得2.單調(diào)有界準則 則稱此數(shù)列單調(diào)增加；或者稱此數(shù)列單調(diào)減少準則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限.幾何解釋:例5：證： (舍去)五.子數(shù)列及其與數(shù)列的關(guān)系定理5(數(shù)列與子數(shù)列關(guān)于收斂的關(guān)系) 如果則其任一子數(shù)列必收斂,且注(1)逆否命題:如果數(shù)列的某一子數(shù)列發(fā)散或某兩個(或兩個以上)子數(shù)列收斂,但極限不同,則數(shù)列必發(fā)散.例6 證明數(shù)列是發(fā)散的.證明 取兩個子列:奇子列:,顯然.又偶子列: ,顯然.因為,所以不存在.(2)如果數(shù)列的奇子列與偶子列均收斂于同一極限,則數(shù)列必收斂.第三節(jié) 函數(shù)的極限主要討論:在自變量的某一變化過程中,函數(shù)是否與一常數(shù)無限接近,即(1);(2).一.自變量趨于變大時函數(shù)極限的概念 .即自變量無限接近時,無限接近于.包括和.定義 (1)設(shè)當時有定義.,當時,有成立,則稱為當?shù)臉O限,記為或.(2)設(shè)當時有定義. ,當時,有成立, 則稱為當時的極限,記為或.(3) 設(shè)當時有定義. ,當時,有成立, 則稱為當時的極限,記為或.注:(1) 的幾何意義:(2) .(3) ,則為曲線的水平漸進線.例1 證明.證明 ,要使則.取,則當時,有即.例2 求.解 ,所以不存在.同理,所以不存在.記住:均不存在.二. 自變量趨于有限值時函數(shù)的極限,即自變量無限接近時,無限接近于.定義定義 設(shè)在內(nèi)有定義.,當時,有成立,則稱為當時的極限,記作 或 .注(1)由極限的定義知,當時是否有極限與在處是否有定義無關(guān).(2)反映了與的接近程度.由于可以任意小,故與可無限接近.(3)反映了自變量與的接近程度.(4)給定,問題是是否存在.如果存在,則當時以為極限;否則, 的極限不存在.因此,只要確定一個,而不必找出最大的.一般地,如果越小,則也越小.(5) 的求法是由不等式接出(不是解,取即可.同數(shù)列極限,如果解較困難,可將適當放大,即再解出.(6)幾何意義:當,即時, 有.(7)顯然有.例3 證明.證明 在處無意義,但極限存在.,要使取,當時,有即.例4 證明.證明 ,要使 (解出幾乎不可能)將適當放大,怎么放呢?因為時,不妨設(shè),即,.從而解得.取,則當時,有,即.左、右極限: ,.(1)左極限: (或)當時,有成立.(2)右極限: (或)當時,有成立.(3)左、右極限與函數(shù)極限的關(guān)系:.注:如果在處的左、右極限至少有一個不存在或都存在但不相等,則不存在.該結(jié)論經(jīng)常用來討論分段函數(shù)在分段點的極限是否存在.例5 求符號函數(shù)當時的極限.解 為的分段點.因為,所以不存在.三. 函數(shù)極限的性質(zhì)與運算法則1.性質(zhì). 唯一性定理 若存在,則極限唯一. 局部有界性定理 若在某個過程下,有極限,則存在過程的一個時刻,在此時刻以后有界. 局部保號性定理 如果,且(或),則存在,當時,有 (或)證明 設(shè),取,則,當時,有.注:如果取,則,當時,有.保序性推論：.夾逼準則如果當(或)時,有那末存在, 且等于.2.運算法則定理1 設(shè),則.注意:(1)運用該公式時與的極限必須同時存在,否則出現(xiàn)錯誤.如,但是錯誤的,雖然結(jié)論是正確的.(2)該結(jié)論可推廣到有限個函數(shù)的情形.即.定理2 設(shè),則.注意:(1)也必須注意定理的條件.如是錯誤的,雖然結(jié)論是正確的.是錯誤的.結(jié)論為.(2)該結(jié)論也可推廣到有限個函數(shù)的情形.即.(3)特殊情形:,.定理3 設(shè),則.注意:定理的條件,否則出現(xiàn)錯誤.如是錯誤的.事實上.是錯誤的.事實上,當時,是無界函數(shù),而不是無窮大.由于數(shù)列極限是函數(shù)極限的特殊情形,故以上的運算法則對數(shù)列極限也是成立的.推論1常數(shù)因子可以提到極限記號外面.推論2四.例題現(xiàn)在運用極限的運算法則可求一些簡單函數(shù)的極限.1.有理函數(shù)的極限(1)有理整函數(shù)的極限設(shè),(),則.(2)有理分函數(shù)的極限.則由于,由商的極限知() 當時, .() 當時, .() 當時,先分解因式,約去極限為零的公因子,再根據(jù)()、()兩種情形求極限.例6 例7 , (因為)(3) .(a)當時.(b)當時.(c)當時,由(2)有.綜上有例8 .2.雜例例9 .例10 例11 .例12 .例13 .例14 .由以上知不存在.例15 .例16 .五. 復(fù)合函數(shù)的極限定理 設(shè),且,又,則.(在定理中,將換成或,而把換成,結(jié)論仍成立).例17 .例18 .因為,且,所以原式=0.例19 .六. 兩個重要極限1.(型)注意 (1)與的區(qū)別,(另一個);(2)令,則該極限變形為 .(3)一般地,有(常用情形),其中.例20 例21 例22例23 2.,型.注意 (1)等價形式:令,則.所以.(2),型.(3)一般形式:例24 求.解:方法一 方法二例25 注意 對型,可用下面簡便方法計算:設(shè),則.例26 例27 第四節(jié) 無窮小量與無窮大量一. 無窮小量及其階的概念1.無窮小量的概念如果在自變量的某一變化過程中,的極限為零,則稱在自變量的變化過程中為無窮小量.由此定義 設(shè)在(或)時有定義.(或),當(或)時,有,則稱當(或)時為無窮小量,記作(或.如,則當時為無窮小量.,則當時為無窮小量.注意:區(qū)別無窮小量與很小的數(shù):無窮小量是函數(shù)當(或)時與數(shù)0無限接近, 的函數(shù)值可能等于0也可能不等于0;很小的數(shù)是一個確定的數(shù),它不能小于任意給定的正數(shù).2.無窮小量與極限的關(guān)系定理 其中.3.無窮小量的性質(zhì)性質(zhì)1 有限個無窮小量的和還是無窮小量.證明 設(shè),即,當時,有;,當時,有.取,則當時,有.#性質(zhì)2 有界函數(shù)與無窮小量的乘積還是無窮小量.如,則.證明 設(shè)在內(nèi)有界,即.,則,當時,有.取,則當時,有.#由性質(zhì)2可得(1)常數(shù)與無窮小量的乘積還是無窮小量.(2)有限個無窮小量的乘積還是無窮小量.但請注意:(1)無限個無窮小量的和不一定是無窮小量.(2)無限個無窮小量的乘積不一定是無窮小量.4.無窮小量的比較定義: 例1解：例2解：常用等價無窮小:用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達式:例如二.無窮小的等價代換定理(等價無窮小替換定理)：證：例3解: = 8注意: 不能濫用等價無窮小代換. 對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.例4錯解: =0解: 例5解: 三.無窮大量1. 定義如果當(或)時,可以無限增大,則稱當(或)時為無窮大量.即定義 設(shè)在(或)時有定義. (或),當(或)時,有,則稱當(或)時為無窮大量,記作.注:(1)區(qū)別無窮大量和很大的數(shù).(2)無窮大量并不表示函數(shù)的極限存在,僅表示函數(shù)的性態(tài)(或變化趨勢).(3)若改為,則稱當(或)時為正無窮大量,記作.若改為則稱當(或)為負無窮大量,記作.(4) ,則在(或)時為無界函數(shù);但反之不然.如在內(nèi)無界(取則),但當時不是無窮大量.(取,則).(5)幾何上,表示直線是曲線的鉛直漸進線.(6),令,則.2.無窮大量與無窮小量的關(guān)系當時,.即無窮大量的倒數(shù)是無窮小量,無窮小量的倒數(shù)是無窮大量.兩個無窮小的商不一定是無窮小,可以是無窮小,無窮大,常數(shù),由此產(chǎn)生了無窮小的比較.第五節(jié) 連續(xù)函數(shù)一. 函數(shù)的連續(xù)性概念與間斷點的分類1.函數(shù)的連續(xù)性概念(1)定義 設(shè)在內(nèi)有定義.如果,則稱在處連續(xù).由于,故,當時,則.所以,從而由此有定義 設(shè)在內(nèi)有定義.如果(即當時的極限等于該點的函數(shù)值)則稱在處連續(xù).定義(語言) 設(shè)在內(nèi)有定義.,當時,有則稱在處連續(xù).(2)左連續(xù)、右連續(xù)定義 (1)設(shè)在上有定義.如果 (或)則稱在處右連續(xù).(2)設(shè)在上有定義.如果 (或)則稱在處左連續(xù).注意 在處連續(xù)在處既左連續(xù)又連續(xù).該結(jié)論主要用于討論分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性.2.連續(xù)函數(shù)如果在開區(qū)間內(nèi)每一點均連續(xù),則稱在內(nèi)連續(xù). 稱為的連續(xù)區(qū)間.如果在開區(qū)間內(nèi)連續(xù),且在處右連續(xù),處左連續(xù),則稱在上連續(xù). 稱為的連續(xù)區(qū)間.幾何上,連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連綿不斷的曲線.例1 設(shè),求使得在處連續(xù).解 在處連續(xù),則,且 .所以 解得例2 證明在內(nèi)連續(xù).證明 ,則,所以,因為,所以.又,所以即在內(nèi)連續(xù).3. 間斷點及其分類設(shè)在內(nèi)有定義.如果滿足下列三種條件之一:(1)在處無定義;(2)在處有定義,但不存在;(3) 在處有定義,且存在,但.則稱在處不連續(xù),點稱為的不連續(xù)點或間斷點.根據(jù)在間斷點函數(shù)的不同性質(zhì)狀態(tài),可將間斷點分成以下兩大類:.第一類間斷點左、右極限都存在的間斷點,稱為第一類間斷點.(1)可去間斷點如果是的間斷點,且,則是的可去間斷點.顯然,如果定義,則在處連續(xù).例3 在處無定義,點為的間斷點.但.如果補充定義,即則在處連續(xù).(2)跳躍間斷點如果是的間斷點,且,則是的跳躍間斷點.例4 討論在處的連續(xù)性.解 為的分段點,從而因為,所以為的間斷點,且為第一類的跳躍間斷點.第二類間斷點函數(shù)的不是第一類間斷點的任何間斷點,稱為函數(shù)的第二類間斷點.例5 ,是其間斷點,且所以是的第二類間斷點,也稱是的無窮間斷點.例6 ,是其間斷點,且時,不存在, 在內(nèi)無限振蕩,故為的第二類間斷點,也稱為的振蕩間斷點.例7 設(shè).求(1)的間斷點,并指出間斷點的類型；(2) 的連續(xù)區(qū)間.解 (1)顯然為的間斷點.又,所以為的第一類跳躍間斷點.(2) 的連續(xù)區(qū)間為例8 討論的連續(xù)性,若有間斷點,并指出間斷點的類型.解 ,當時,.當時,顯然所以顯然在內(nèi)連續(xù).又所以為的第一類可去間斷點.如果重新定義則在處連續(xù).二. 連續(xù)函數(shù)的運算法則與初等函數(shù)的連續(xù)性1. 連續(xù)函數(shù)的運算法則由極限的運算法則,有定理 如果在處連續(xù),則函數(shù)也在處連續(xù).定理 (反函數(shù)的連續(xù)性)如果在區(qū)間上單調(diào)且連續(xù),則其反函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)且連續(xù).定理 (復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)在處連續(xù),且,在處連續(xù),則復(fù)合函數(shù)在處連續(xù).2. 基本初等函數(shù)的連續(xù)性結(jié)論1 基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.3.初等函數(shù)的連續(xù)性結(jié)論2 初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.例9 的定義域為是一個離散點集,對這樣的點不談連續(xù)性.注意在處連續(xù)的必要條件