數(shù)理方程習(xí)題綜合.doc

例 1.1.1 設(shè)v=v(線x,y),二階性偏微分方程vxy =xy 的通解。解 原方程可以寫成x（vy） =xy兩邊對(duì)x 積分，得vy =（y）+1/2 x2Y,其中（y）是任意一階可微函數(shù)。進(jìn)一步地，兩邊對(duì)y積分，得方程得通解為v（x,y）=vydy+f（x）=（y）dy+f（x）+1/4 x2y2=f（x）+g（y）+1/4 x2y2其中f（x）,g（y）是任意兩個(gè)二階可微函數(shù)。例1.1.2即 u(,) = F() + G(),其中F(),G()是任意兩個(gè)可微函數(shù)。例1.2.1設(shè)有一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻柔軟富有彈性的細(xì)弦，平衡時(shí)沿直線拉緊，在受到初始小擾動(dòng)下，作微小橫振動(dòng)。試確定該弦的運(yùn)動(dòng)方程。 取定弦的運(yùn)動(dòng)平面坐標(biāo)系是OXU,弦的平衡位置為x軸，弦的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，兩端固定在O,L兩點(diǎn)。用u(x,t)表示弦上橫坐標(biāo)為x點(diǎn)在時(shí)刻t的位移。由于弦做微小橫振動(dòng)，故ux0.因此0，cos1,sintan=ux0,其中表示在x處切線方向同x軸的夾角。下面用微元法建立u所滿足的偏微分方程。在弦上任取一段弧,考慮作用在這段弧上的力。作用在這段弧上的力有張力和外力?？梢宰C明，張力T是一個(gè)常數(shù)，即T與位置x和時(shí)間t的變化無(wú)關(guān)。事實(shí)上，因?yàn)榛≌駝?dòng)微小，則弧段的弧長(zhǎng)。這說(shuō)明該段弧在整個(gè)振動(dòng)過(guò)程中始終未發(fā)生伸長(zhǎng)變化。于是由Hooke定律，張力T與時(shí)間t無(wú)關(guān)。因?yàn)橄抑蛔鳈M振動(dòng)，在x軸方向沒(méi)有位移，故合力在x方向上的分量為零，即T(x+)cos-T(x)cos=0.由于cos1，cos1,所以T(X+x)=T(x),故張力T與x無(wú)關(guān)。于是，張力是一個(gè)與位置x和時(shí)間t無(wú)關(guān)的常數(shù)，仍記為T.作用于小弧段的張力沿u軸方向的分量為Tsin-TsinT(ux(x+,t)-ux(x,t).設(shè)作用在該段弧上的外力密度函數(shù)為F（x,t）那么弧段在時(shí)刻t所受沿u軸方向的外力近似的等于F(x,t).由牛頓第二定律得T（ux(x+,t)-ux(x,t)+F(x,t)=,其中是線密度，由于弦是均勻的，故為常數(shù)。這里是加速度在弧段上的平均值。設(shè)u=u(x,t)二次連續(xù)可微。由微分中值定理得Tu（x+，t)+F(x,t)=, 01.消去，并取極限0得Tu（x,t）+F(x,t)=u,即 u=u+(x,t), 0x0,其中常數(shù)=T/，函數(shù)（x,t）=F(x,t)/表示在x處單位質(zhì)量上所受的外力。上式表示在外力作用下弦的振動(dòng)規(guī)律，稱為弦的強(qiáng)迫橫振動(dòng)方程，又稱一維非齊次波動(dòng)方程。當(dāng)外力作用為零時(shí)，即=0時(shí)，方程稱為弦的自由橫振動(dòng)方程。類似地，有二維波動(dòng)方程u=（u+u）+（x.y.t）, (x,y),t0,電場(chǎng)E和磁場(chǎng)H滿足三維波動(dòng)方程和,其中c是光速和。例1.2.2設(shè)物體在內(nèi)無(wú)熱源。在中任取一閉曲面S（圖1.2）。以函數(shù)u(x,y,z,t)表示物體在t時(shí)刻，M=M(x,y,z)處的溫度。根據(jù)Fourier熱傳導(dǎo)定律，在無(wú)窮小時(shí)段dt內(nèi)流過(guò)物體的一個(gè)無(wú)窮小面積dS的熱量dQ與時(shí)間dt，曲面面積dS以及物體溫度u沿曲面的外法線n的方向?qū)?shù)三者成正比，即,其中k=k(x,y,z)是在物體M(x,y,z)處的熱傳導(dǎo)系數(shù)，取正值。我們規(guī)定外法線n方向所指的那一側(cè)為正側(cè)。上式中負(fù)號(hào)的出現(xiàn)是由于熱量由溫度高的地方流向溫度低得地方。故當(dāng)時(shí)，熱量實(shí)際上是向-n方向流去。對(duì)于內(nèi)任一封閉曲面S，設(shè)其所包圍的空間區(qū)域?yàn)閂，那從時(shí)刻到時(shí)刻經(jīng)曲面流出的熱量為= 設(shè)物體的比熱容為c(x,y,z)，密度為(x,y,z)，則在區(qū)域V內(nèi)，溫度由u(x,y,z,)到u(x,y,z)所需的熱量為.根據(jù)熱量守恒定律，有即 假設(shè)函數(shù)u(x,y,z,t)關(guān)于x,y,z具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，關(guān)于t具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么由高斯公式得.由于時(shí)間間隔及區(qū)域V是任意的，且被積函數(shù)是連續(xù)的，因此在任何時(shí)刻t，在內(nèi)任意一點(diǎn)都有 (1.2.6)方程稱為非均勻的各向同性體的熱傳導(dǎo)方程。如果物體是均勻的，此時(shí)k,c及均為常數(shù)，令=，則方程(1.2.6)化為, (1.2.7)它稱為三維熱傳導(dǎo)方程若物體內(nèi)有熱源，其熱源密度函數(shù)為，則有熱源的熱傳導(dǎo)方程為 (1.2.8)其中類似地，當(dāng)考慮的物體是一根均勻細(xì)桿時(shí)如果它的側(cè)面絕熱且在同一截面上的溫度分布相同，那么溫度只與有關(guān)，方程變成一維熱傳導(dǎo)方程 （1.2.9） 同樣，如果考慮一塊薄板的熱傳導(dǎo)，并且薄板的側(cè)面絕熱，則可得二維熱傳導(dǎo)方程 （1.2.10）（P16)例1.3.1一長(zhǎng)為L(zhǎng)的彈性桿，一端固定，另一端被拉離平衡位置b而靜止，放手任其振動(dòng)。試寫出桿振動(dòng)的定解問(wèn)題。解 取如圖1.3所示的坐標(biāo)系。 O L L+b x泛定方程就是一維波動(dòng)方程（桿的縱振動(dòng)方程）u=au, 0xL.在初始時(shí)刻（即放手之時(shí)），桿振動(dòng)的速度為零，即u(x,0)=0,0xL.而在x=L端拉離平衡位置，使整個(gè)彈性桿伸長(zhǎng)了b。這個(gè)b是來(lái)自整個(gè)桿各部分伸長(zhǎng)后的貢獻(xiàn)，而不是x=L一端伸長(zhǎng)的貢獻(xiàn)，故整個(gè)彈性桿的初始位移為u|=x, 0xL.再看邊界條件。一端x=0固定，即該端位移為零，故有u(0,t)=0,0xL.另一端由于放手任其振動(dòng)時(shí)未受外力，故有u(L,t)=0,t0.所以，所求桿振動(dòng)的定解問(wèn)題為 u=au, 0x0, u(x,0)=x, u（x,0)=0, 0xL,u(0,t)=0, u(L,t)=0, t0.（P17）例1.3.2 ：長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻弦，兩端x=0和x=L固定，弦中張力為T，在x=x0處以橫向力F拉弦，達(dá)到穩(wěn)定后放手任其振動(dòng)。試寫出初始條件。X0解：建立如圖坐標(biāo)系。設(shè)弦在x0點(diǎn)受到橫向力T作用后發(fā)生的位移為h,則弦的初始位移為 hx, 0xx0,u(x,0)= x0 h(L-x), x0xL, L-x0其中h待求。由牛頓第二定律得F-Tsin1-Tsin2=0，在微小振動(dòng)的情況下， Sin1tan1= h , sin2tan2= h , x0 L-x0所以 F=Th +Th x0 L-x0因此 h=Fx0(L-x0) . TL F(L-x0) , 0xx0,從而初始位移為u(x,0)= TL Fx0(L-x) , x0xL. TL而初始速度ut(x,0)=0.(P18)例1.3.3考慮長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問(wèn)題。若（1）桿的兩端保持零度；（2）桿的兩端絕熱；（3）桿的一端為恒溫零度，另一端絕熱。試寫出該絕熱傳導(dǎo)問(wèn)題在以上三種情況下的邊界條件。解：設(shè)桿的溫度為u(x,t),則（1） u（x,t）=0，u(L,t)=0.（2） 當(dāng)沿桿長(zhǎng)方向有熱量流動(dòng)時(shí)，由Fourier實(shí)驗(yàn)定律得其中q1,q2分別為x=0和x=L處的熱流強(qiáng)度。而桿的兩端絕熱，這就意味著桿的兩端與外界沒(méi)有熱交換，亦沒(méi)有熱量的流動(dòng)，故有q1=q2=0和.(3) 顯然，此時(shí)有 .例1.5.1求Poisson方程Uxx +Uyy =X2 +XY+Y2的通解解:先求出方程的一個(gè)特解V=V（x，y),使其滿足Vxx +Vyy=X2 +XY+Y2 由于方程右端是一個(gè)二元二次齊次多項(xiàng)式，可設(shè)V（x，y) 具有形式V(x,y)=aX4 +bX3 Y+cY4,其中a,b,c是待定常數(shù)Vx=4aX3+3bX2 Y Vy=bX3+4cY3Vxx=12aX2+6bXY Vyy=12cY2得Vxx+Vyy=12aX2 +6bXY+12cY2=X2 +XY+Y2 比較兩邊系數(shù)，可得a=1/12,b=1/6,c=1/12于是V（x,y)=1/12(X4 +2X3 Y+Y4）下面求函數(shù)W=W(x,y),使其滿足Wxx+Wyy=0.作變量代換e=x,n=iy(以下的偏導(dǎo)的符號(hào)記為d)Ue=du/de=du/dx=Ux Un=du/dn=du/dy *dy/dn=-iyUee=dUe/de=Uxx Unn=-Uyy可得Wee-Wnn=0再作變量代換s=e+n,t=e-nUe=du/de(s,t)=Us+Ut Un=du/dn=Us-UtUee=dUe/de=d(Us+Ut)/de=Uss+Utt+2UstUnn=dUn/dn=d(Us-Ut)/dn=Uss+Utt-2Ust那么方程進(jìn)一步化為Wst=0其通解為W=f(s)+g(t)=f(e+n)+g(e-n)=f(x+iy)+g(x-iy),其中f,g是任意兩個(gè)二階可微函數(shù)。那么根據(jù)疊加原理，方程的通解為u(x,y)=V+W=f(x+iy)+g(x-iy)+1/12(X4+2X3 Y+Y4)(P32)例2.1.1 判斷方程Uxx+2Uxy-3Uyy+2Ux+6Uy=0（2.1.22）的類型，并化簡(jiǎn)。解： 因?yàn)閍11= 1,a12= 1,a22= -3,所以 =a212-a11a22=40,故方程為雙曲型方程。對(duì)應(yīng)的特征方程組為 該方程組的特征曲線（即通解）為作自變量變換則 將上述各式帶入方程（2.1.22），得第一種標(biāo)準(zhǔn)形式 （2.1.23）若令則得到第二種標(biāo)準(zhǔn)形式 （2.1.24）下面對(duì)式（2.1.24）進(jìn)一步化簡(jiǎn)。令則代入方程，得我們?nèi)t式（2.1.24）化簡(jiǎn)為 （2.1.25）該方程不含一階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。例2.1.2例 2.1.4 求值問(wèn)題 4y2vxx+2(1-y2)vxy-vyy-2y/(1+y2) (2vx-vy)=0,xR1,Y0V(X,0)=（X）,VY（X,0）=（X）,XR1 的解，其中（x）是已知任意二階可微函數(shù)，（x）是任意一階可微函數(shù)。解 先把所給方程化為標(biāo)準(zhǔn)型。特征方程組為 dy/dx =-1/2,dy/dx=1/2y2.其通解為x+2y=C1,x-2y3/3=C做自變量變換=x+2y,=x-2y3/3,這樣給定的方程化為標(biāo)準(zhǔn)型V=0依次關(guān)于和積分兩次，得通解v=F（）+G（）.代回原自變量x,y得原方程得通解v？（x,y）=F（x+2y）+G（x-2y2/3）其中F,G是任意兩個(gè)可微函數(shù)。進(jìn)一步，由初始條件得（x）=v（x,0）=F（x）+G（x）,（x）=VY（x,0）=2F（x）從而求出F（x）=F（0）+1/2x0（t）dt,G（x）=（x）-F（0）-1/2x0（t）dt.所以原定解問(wèn)題的解為v（x,y）=（x-2y3/3）+1/2x+2yx-2y3/3（t）dt.例2.1.3 設(shè)常數(shù)A,B,C滿足 B2-4AC0,m1,m2是方程Am2+Bm+C=0 的兩個(gè)根。證明二階線性偏微分方程Auxx+Buxy+Cuyy=0 的通解具有如下形式：u=u(x,y)=f(m1x+y)+g(m2x+y), 其中f,g是任意兩個(gè)二階可微函數(shù)。證 不失一般性，設(shè)A0和B2-4AC0.其它情況可以類似的處理。令=m1x+y,=m2x+y.則Ux=m1u +m2u，uy=u+u ， Uxx=m12u+2m1m2u+m22u uyy=u+2u+u ,uxy=m1u+(m1+m2)u+u上述式代入得 ：（Am12+Bm1+C）u+（Am22+Bm2+C）u+(2Am1m2+B(m1+m2)+2C)u=0由題意得Am12+Bm1+C=0，Am22+Bm2+C=0，m1+m2=B/A, m1m2=C/A上述式代入得(1/A)(4AC-B2)u=0又由題意得4AC-B20故u=0對(duì)該方程兩邊分別關(guān)于和積分，得通解u=f()+g（），代回自變量x,y,得方程的通解是u=u(x,y)=f(m1x+y)+g(m2x+y), 其中f,g是任意兩個(gè)二階可微函數(shù)。證畢。端點(diǎn)自由的半無(wú)限長(zhǎng)的均勻弦振動(dòng)的定解問(wèn)題 (3.1.22)因?yàn)?我們對(duì)函數(shù)關(guān)于x做偶延拓。定義和如下：函數(shù)在上是偶函數(shù)。由推論3.1.1，是關(guān)于x的偶函數(shù)，且這樣得到定解問(wèn)題（3.1.22）的解所以，當(dāng)時(shí)，（3.1.23）當(dāng)時(shí)， （3.1.24）例4.2.3端點(diǎn)固定的半無(wú)限長(zhǎng)的均勻弦振動(dòng)的定解問(wèn)題考慮定解問(wèn)題求解上述問(wèn)題的基本思路是以某種方式延拓函數(shù)使其在上也有定義，這樣把半無(wú)界區(qū)域上的問(wèn)題轉(zhuǎn)變成上的初值問(wèn)題。然后利用達(dá)朗貝爾公式（3.1.15），求出在上的解u（x,t）。同時(shí)使此解u（0,t)滿足u（0，t)=0.這樣當(dāng)x限制在上就是我們所要求的半無(wú)界區(qū)域上的解。由微積分知識(shí)可知，如果一個(gè)連續(xù)可微函數(shù)g（x)在上是奇函數(shù)，則必有g(shù)（0）=0.因此要使解u=u（x,t)滿足u（0,t)=0，只要u(x,t)是x的奇函數(shù)便可。而由推論3.1.1，只要f(x,t),是x的奇函數(shù)。因此對(duì)函數(shù)f和關(guān)于x作奇延拓。我們定義F（x,t),和如下：顯然函數(shù)F和在上是奇函數(shù)。然后考慮初值問(wèn)題（3.1.17）由（3,1,15)，問(wèn)題（3.1.17)的解是（3.1.18）所以問(wèn)題（3.1.16)的解u（x,t)在上的限制。于是當(dāng)時(shí)，（3.1.19)當(dāng)時(shí)，（3.1.20）例2.2.1確定下列方程標(biāo)準(zhǔn)型(1) uxx+2uxy-2uxz+2uyy+6uzz=0(2)解:(1)方程對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣是利用線性代數(shù)中把對(duì)稱矩陣化為對(duì)角型的方法,我們可選取,則 (2) 方程對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣是 因?yàn)槠渲兴匀?則給定的方程化簡(jiǎn)為例3.1.1 求解下列初值問(wèn)題解：利用達(dá)朗貝爾公式（3.3.15）得易見，解關(guān)于x 是奇函數(shù)。4.2.1波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題例4.2.1設(shè)邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的弦，兩端固定，作微小橫振動(dòng)。已知初位移為（x）,初始速度為（x）,試求弦的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解： 該物理問(wèn)題可歸為下列定解問(wèn)題： 1設(shè)上述問(wèn)題有非零變量分離解u(x,t)=X(x)T(t).代入上述問(wèn)題1中得：X(x)T(t)=a2X(x)T(t)， 由此設(shè)：T(t)a2T(t) =X(x)X(x) =-（記-為比值常數(shù)），并得： T(t)+a2T(t) =0 2 X(x)+X(x) = 0, 3再根據(jù)邊界條件u(0,t)=u(L ,t)=0,得：X(0)T(t)=X(L)T(t)=0 , T(t)0,則 X(0)=X(L)=0，由上分析，得： 4（1）=-20時(shí)，方程組4的通解為：X(x)=C1ex+C2e-x,代入X(0)=X(L)=0，解得常數(shù)C1=C2=0,即得零解X(x)=0（u=0），不合初設(shè)u為非零解，舍去；（2）=0時(shí)，方程組4的通解為： X(x)=C1x+C2,代入X(0)=X(L)=0，解得零解X(x)=0（u=0），舍去；（3）=20時(shí)，方程組4的通解為：X(x)=C1cosx+C2sinx.代入X(0)=X(L)=0，解得C1=0,C2sinL=0 則 =n=n2=（n/L）2,n=1,2,. 對(duì)應(yīng)n的特征函數(shù)為：Xn（x）=Cn sin,n=1,2,.5 將特征值n代入2得：T(t)+na2T(t) =0通解為Tn(t)=Ancos+Bnsin 6綜上可知定解問(wèn)題的變量分離特解為：un（x，t）=（ancos+bnsin）sin7其中，an= AnCn ,bn=BnCn 為任意常數(shù)，n=1,2根據(jù)線性疊加原理，將特解un（x，t）疊加起來(lái)，得到通解：u(x,t)=. 8由原定解問(wèn)題： （x）=u(x,0)= (x) =ut(x,0)=，可將（x）， (x)看作是0,L上的傅里葉級(jí)數(shù)，則有：把上面得到的an,bn代入8中，得級(jí)數(shù)通解u(x,t)= ,其中經(jīng)檢驗(yàn)，得到的通解u（x,t）滿足關(guān)于x和t逐項(xiàng)微分二次后一致收斂，因而滿足定解問(wèn)題1中方程和相應(yīng)條件，即通解u（x,t）存在，是定解問(wèn)題的解 例4.2.2設(shè)長(zhǎng)為L(zhǎng)，且兩端自由的均勻細(xì)桿，作縱振動(dòng)，且初始位移為（x），初始速度為（x）。試求桿做自由縱振動(dòng)的位移規(guī)律。解： 令，代入上式得：得到兩個(gè)獨(dú)立的常微分方程又由邊界條件，得所以特征值問(wèn)題為當(dāng)0,函數(shù) 在 滿足狄利克雷條件。我們?nèi)匀挥梅蛛x變量法解這個(gè)問(wèn)題。設(shè) 將其代入到（4.2.38）方程中，得 從而得到關(guān)于 的常微分方程由（4.2.38）中的邊界條件，得 下面求解由方程（4.2.41）和邊界條件（4.2.42）組成的特征值問(wèn)題當(dāng) 時(shí)，邊值問(wèn)題（4.2.41）和（4.2.42）只有零解。當(dāng) 時(shí)，方程（4.2.41）的通解為 由邊界條件（4.2.42），得 為求特征值和特征函數(shù)，設(shè) 所以 記 則上式可表示為 方程（4.2.43）的根可以看作切曲線 與直線 的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，見圖4.6.由此可見，他們交點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)，他們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)方程（4.2.43）的無(wú)窮多個(gè)正根依次為 于是邊值問(wèn)題（4.2.41）和（4.2.42）的特征值和相應(yīng)的特征函數(shù)為 現(xiàn)在證明特征函數(shù)系 在 是正交系.記 則 分別滿足 和邊界條件（4.2.42）.用 乘以（4.2.46），然后（4.2.46），然后兩式相減，并且在 上積分，得因?yàn)楫?dāng) 時(shí)， .所以 即特征函數(shù)系 是 上的正交函數(shù)系.下面將 代入到方程（4.2.40），得解 由此得到滿足方程（4.2.38）中的方程和邊界條件的一組特解 其中任意常數(shù) ,由于方程和邊界條件是其次的利用疊加原理，可設(shè)定解問(wèn)題（4.2.38）的形式解為 用 乘以式（4.2.50），并且利用 是 上的正交函數(shù)性，我們得到這里 將是（4.2.51）代入（4.2.49），即得原定解問(wèn)題（4.2.38）的形式解.例4.4.1解下列非齊次邊界的定解問(wèn)題 0x0,=, =, 0xL, t0。其中A，B是常數(shù)。解：設(shè)u（x,t）= +,將其帶入到上述的方程中，得=為使方程和邊界條件都化為齊次的，我們選取滿足 其解為.再解滿足的定解問(wèn)題 , ,=- 由波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題(例4.2.1)可知其中系數(shù) 例4.4.2解下列初邊值問(wèn)題： 0x0, 其中a,b,A,B是常數(shù)，且a0和解：設(shè)其中滿足顯然可取 那么滿足如下（4.4.14）三等式。 0x0, 易知上式的特征函數(shù)系為 因此上式的形式解為：（4.4.15）其中為待定系數(shù)。把v代入（4.4.14）中的方程得（4.4.16）其中對(duì)等式（4.4.16）兩邊同乘以并且利用三角函數(shù)系在上的正交性，得 （4.4.17）其中n=1,2.(4.4.18)方程（4.4.17）的解為（4.4.19）由（4.4.14）中的初始條件和式（4.4.15）得 所以因此定解問(wèn)題（4.4.13）的形式解為（4.4.21）其中由式（4.4.19）給出，由式（4.4.20）確定。例4.4.2求解下列無(wú)限桿的熱傳導(dǎo)方程的初值問(wèn)題：解：其解為這樣問(wèn)題的解為由卷積定理得同理可得所以處置問(wèn)題的形式解為例5.3.4利用傅里葉變換求解一維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題 （5.3.12）記。那么問(wèn)題（5.3.12）化為（5.3.13）這是一個(gè)帶參數(shù)的常數(shù)微分方程的初值問(wèn)題，其解為 由于以及類似的，有所以原問(wèn)題（5.3.12）的解為這就是波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解例 6.2.2 利用拉普拉斯變換，求解下列初邊值問(wèn)題： x0,t 0, x=0, 解： 因?yàn)橐阎P(guān)于自變量t作變換，設(shè)則由定解問(wèn)題中的方程和初始條件可得其通解是注意到邊界條件得所以 因此 故問(wèn)題的解為.利用積分性質(zhì)和延遲性質(zhì)可得這就是所求的解。例7.3.1求拉普拉斯方程在半空間z0上的狄利克雷問(wèn)題的解： （7.3.1）解：在半空間z0上任取一點(diǎn)M0=M0（x0,y0,z0),在其上放置一單位正電荷，它在無(wú)窮空間形成電場(chǎng)，在上半空間任一點(diǎn)M（x,y,z)處的電位為。然后找出M0關(guān)于邊界z=0的對(duì)稱點(diǎn)M1=M1（x0,y0,-z0),并在其上放置一單位負(fù)電荷。則它與M0點(diǎn)的單位正電荷所產(chǎn)生的電位在平面z=0上電位互相抵消。因?yàn)樵趜0上為調(diào)和函數(shù)，在閉區(qū)域z=0上具有一階偏導(dǎo)數(shù)，故 (7.3.2)便是半空間z0上的格林函數(shù)，其中下面計(jì)算，由于在