高中數(shù)學(xué)練習題6.doc

授課時間： 2006年9月11日 使用班級： 高管06-1(3) 授課時間： 2006年10月11日 使用班級： 造價06-1(3) 授課時間： 2006年10月9日 使用班級： 造價06-2(3) 授課時間： 2006年9月11日 使用班級： 經(jīng)管06-1(3) 授課時間： 2006年9月12日 使用班級： 隧道工程06-1(3) 授課章節(jié)名稱：第1章 極限與連續(xù)第1節(jié) 初等函數(shù)教學(xué)目的：1、復(fù)習基本初等函數(shù)的定義、圖像、性態(tài)，為研究微積分做好準備2、理解復(fù)合函數(shù)的概念，熟練掌握復(fù)合函數(shù)的分解3、理解初等函數(shù)的概念及與分段函數(shù)的關(guān)系4、了解從實際問題中的建立函數(shù)關(guān)系教學(xué)重點：基本初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的概念、復(fù)合函數(shù)的分解教學(xué)難點：反三角函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的分解教學(xué)方法：講授，啟發(fā)式、講練結(jié)合教學(xué)手段：傳統(tǒng)式作業(yè)：P18 3、5、12、16、18教案實施效果追記：1、文科同學(xué)對反三角函數(shù)不熟悉，重點復(fù)習2、復(fù)合函數(shù)的分解強調(diào)是復(fù)合過程的分解，注意其結(jié)果形式第1章 極限與連續(xù)第1節(jié) 初等函數(shù)講授新內(nèi)容一、基本初等函數(shù)定義 設(shè)D是一個實數(shù)集，若對屬于D的每一個數(shù)，按照某個對應(yīng)關(guān)系，都有唯一確定的值和它對應(yīng)，則叫做定義在數(shù)集D上的的函數(shù)，記作 。叫做自變量，數(shù)集D叫做函數(shù)的定義域。當取遍D中一切數(shù)值時，與它對應(yīng)的函數(shù)值的集合M叫做函數(shù)的值域。但在同一個問題中，如需要討論幾個不同的函數(shù)，為區(qū)別起見，可用不同的函數(shù)記號來表示。例如，以為自變量的函數(shù)也可表示為F（）， （），y（），S（）等。函數(shù)當時，對應(yīng)的函數(shù)值，可記作或。在研究函數(shù)時，必須注意函數(shù)的定義域。在考慮實際問題時，應(yīng)根據(jù)問題的實際意義來確定定義域。對于用數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)，它的定義域可由函數(shù)表達式本身來確定，即要使運算有意義。例如（1）在分式中，分母不能為零；（2）在根式中，負數(shù)不能開偶次方；（3）在對數(shù)式中，真數(shù)要大于零；（4）在反三角函數(shù)式中，要符合反三角函數(shù)的定義域；（5）若函數(shù)表達式中含有分式、根式、對數(shù)式或反三角函數(shù)式，則應(yīng)取各部分定義域的交集。例1求下列函數(shù)的定義域。 （1） （2） （3） 解（略）注意：兩個函數(shù)只有當它們的定義域和對應(yīng)規(guī)律完全相同時，這兩個函數(shù)才認為是相等的。 例如函數(shù)與y=1，它們的定義域和對應(yīng)規(guī)律都相同，所以它們是相等的函數(shù)。又如函數(shù) 與，它們的定義域不同，所以它們是不同的函數(shù)。 例2 設(shè)，求，。另外，在函數(shù)的定義中，并沒有要求自變量變化時函數(shù)值一定要變，只要求對于自變量都有唯一確定的y與它對應(yīng)。故常量也符合函數(shù)的定義，因當時，所對應(yīng)的值都是確定的常數(shù)，通常稱（為常數(shù)）為常函數(shù)。函數(shù)的表示方法，常用的有解析法、表格法和圖像法三種。冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)這5類函數(shù)叫做基本初等函數(shù)。這些函數(shù)在中學(xué)的數(shù)學(xué)課程里已經(jīng)學(xué)過。圖1-1（1）冪函數(shù) 它的定義域和值域依的取值不同而不同，但是無論取何值，冪函數(shù)在內(nèi)總有定義。常見的冪函數(shù)的圖形如圖1-1所示。（2）指數(shù)函數(shù) 圖1-2它的定義域為，值域為。指數(shù)函數(shù)的圖形如圖1-2所示（3）對數(shù)函數(shù) 定義域為，值域為。對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)圖1-3的反函數(shù)。其圖形見圖1-3。在工程中，常以無理數(shù)e2.718 281 828作為指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底，并且記，而后者稱為自然對數(shù)函數(shù)。（4）三角函數(shù)三角函數(shù)有正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)和余割函數(shù)。其中正弦、余弦、正切和余切函數(shù)的圖形見圖1-4。圖1-4圖1-5（5）反三角函數(shù)反三角函數(shù)主要包括反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)和反余切函數(shù)等它們的圖形如圖1-5所示。二、復(fù)合函數(shù)定義 設(shè)函數(shù)，而是的函數(shù)，若的函數(shù)值全部或部分在的定義域內(nèi)，此時也是的函數(shù)，我們稱此函數(shù)為由函數(shù)和復(fù)合而成的函數(shù)，簡稱復(fù)合函數(shù)，記為，其中稱為中間變量。例3 指出下列各復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程和定義域：（1） ； （2）解 （略）注意1、不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)。例如和就不能復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)。因為，對于的定義域為（-，+）中的任何值所對應(yīng)的值都大于或等于2，它們不能使有意義。2、把一個復(fù)合函數(shù)分解成若干個較簡單的函數(shù),一般應(yīng)遵循的原則是,使分解后的每一個函數(shù)都是基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)與常數(shù)的四則運算的形式。3、復(fù)合函數(shù)的中間變量有時不止一個。請看下例例4 指出下列各復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程，并求定義域(1) ; (2) (3) (4) 三、初等函數(shù)定義 由基本初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的復(fù)合所構(gòu)成的，并可用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。初等函數(shù)能用一個式子表示，例如都是初等函數(shù)。初等函數(shù)是微積分研究的主要對象。分段函數(shù)，能化為，而是由和復(fù)合而成的，因此它是一個初等函數(shù)。而分段函數(shù)不能用一個式子表示，因此它不是初等函數(shù)。求分段函數(shù)的函數(shù)值時，應(yīng)把自變量的值代入相應(yīng)取值范圍的表示式進行計算。例5 設(shè)函數(shù) ，求復(fù)合函數(shù)。解 這是一個分段函數(shù)復(fù)合問題，先畫出中間變量的圖像由于可知，有，當時，有，當時，有。綜上所述，所求復(fù)合函數(shù)也是一個分段函數(shù)，即四、建立函數(shù)關(guān)系舉例例6 將直徑為的圓木料鋸成截面為矩形的木材（圖1-13），列出矩形截面與它的兩條邊長之間的函數(shù)關(guān)系。解 （略）例7 彈簧受力伸長。由實驗得知，在彈性限度內(nèi)，伸長量和受力大小成正比。現(xiàn)在已知一彈性限度為牛頓的彈簧，受力9.8牛頓時，伸長0.02米，求彈簧的伸長量和受力之間的函數(shù)關(guān)系。解 （略）例8 已知一個單三角形脈沖電壓，其波形如圖1-15所示，求電壓與時間t的函數(shù)關(guān)系式。 解（略）小結(jié)（時間：2分鐘）：1、基本初等函數(shù)是構(gòu)成初等函數(shù)的要素，應(yīng)熟記其圖像、性質(zhì)、特點。2、復(fù)合關(guān)系不同于四則運算關(guān)系，應(yīng)掌握分解其復(fù)合過程。3、初等函數(shù)、分段函數(shù)是微積分的研究對象， 兩者之間有交集。授課時間： 2006年9月14日 使用班級： 高管06-1(3) 授課時間： 2006年10月13日 使用班級： 造價06-1(3) 授課時間： 2006年10月11日 使用班級： 造價06-2(3) 授課時間： 2006年9月15日 使用班級： 經(jīng)管06-1(3) 授課時間： 2006年9月15日 使用班級： 隧道工程06-1(3) 授課章節(jié)名稱：第1章 極限與連續(xù)第2節(jié) 數(shù)列極限的定義與性質(zhì) 第3節(jié) 函數(shù)的極限教學(xué)目的：1、理解數(shù)列極限的兩個定義，會利用數(shù)列的極限描述性定義求極限。2、記憶并應(yīng)用無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式。3、理解當時函數(shù)極限的兩個定義及其關(guān)系，并會根據(jù)圖像求簡單函數(shù)的極限。4、理解當時函數(shù)極限的兩個定義及其關(guān)系，并會利用其關(guān)系討論分段函數(shù)在分界點處的極限的存在性。教學(xué)重點：數(shù)列極限概念、當時函數(shù)極限概念教學(xué)難點：極限概念的定義教學(xué)方法：講授，啟發(fā)式、數(shù)形結(jié)合教學(xué)手段：傳統(tǒng)式作業(yè)：P22 1、2、3、4教案實施效果追記：通過各種類型數(shù)列舉例和其在直角坐標中的圖像演示，大多數(shù)同學(xué)能夠理解定義。第1章 極限與連續(xù)第2節(jié) 數(shù)列極限的定義與性質(zhì) 第3節(jié) 函數(shù)的極限一、數(shù)列的極限極限概念是由于求某些實際問題的精確解答而產(chǎn)生的。例如，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀）利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法割圓術(shù)，就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用。設(shè)有一圓，首先作內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為；再作內(nèi)接正十二邊形，其面積記為；再作內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為；循此下去，每次邊數(shù)加倍，一般地把內(nèi)接正邊形的面積記為。這樣，就得到一系列內(nèi)接正多邊形的面積：它們構(gòu)成一列有次序的數(shù)。當越大，內(nèi)接正多邊形與圓的差別就越小，從而以作為圓面積的近似值也越精確。但是無論取得如何大，只要取定了，終究只是多邊形的面積，而還不是圓的面積。因此，設(shè)想無限增大（記為，讀作趨于無窮大），即內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加，在這個過程中，內(nèi)接正多邊形無限接近于圓，同時也無限接近于某一確定的數(shù)值，這個確定的數(shù)值就理解為圓的面積。這個確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上稱為上面這列有次序的數(shù)（所謂數(shù)列）當時的極限。在圓面積問題中我們看到，正是這個數(shù)列的極限才精確地表達了圓的面積。在解決實際問題中逐漸形成的這種極限方法，已成為高等數(shù)學(xué)中的一種基本方法，因此有必要作進一步的闡明。數(shù)列又稱整標函數(shù)，即以正整數(shù)集或以其子集為定義域的函數(shù)?，F(xiàn)在我們考察當自變量無限增大時，數(shù)列的變化趨勢。先看下面幾個數(shù)列：（1） （2） （3）（4） （5） （4）為了清楚起見，我們把這兩個數(shù)列的前幾項分別在直角坐標上表示出來。（圖略）由圖看出，當越來越大時，數(shù)列（1）（2）（3）（4）中的值以各種方式越來越接近于某一常數(shù)；數(shù)列（5）的數(shù)值在1和-1之間來回跳動，（6）的數(shù)值無限增大。定義 若當無限增大時，數(shù)列無限接近于一個確定的常數(shù)A，則稱A為數(shù)列的極限，記為 或（當 時）。 由定義及（1）、（2）可知，當時，數(shù)列的極限為零；數(shù)列，的極限為1，它們可分別記為與。若A為數(shù)列的極限，便說數(shù)列收斂于A。一個數(shù)列若有極限，便說它是收斂的，否則稱它為發(fā)散的。例1 考察數(shù)列的變化趨勢，寫出它們的極限。（1）； （2）； （3）解 （1） 當n=1，2，3，4，5時，數(shù)列的各項依次為由此可知，當n無限增大時，無限接近于，所以由定義得。 （2）由于，即不論項數(shù)n為何值，數(shù)列恒等于2，所以當時，2與完全相同，因此。（3）由于，顯然，。可以看出，當時，的值可以達到任意小，與0無限接近。因此。為了更精確的描述數(shù)列的極限，我們給出數(shù)列極限的“”定義。引例 已知數(shù)列問當取何值時有： 定義 若對于任意給定的正數(shù)，不管它多么小，總存在一個正整數(shù)，使得當時，不等式恒成立，則稱常數(shù)為數(shù)列的極限，記作 或 等比數(shù)列當時,該等比數(shù)列稱為無窮遞縮等比數(shù)列。它的前項和現(xiàn)在求時,的極限。 也就是說無窮遞縮等比數(shù)列（公比）的求和公式：。例11 求等比數(shù)列前項和，并求當時，的極限值。解 因為公比，所以。例12 將循環(huán)小數(shù)化成分數(shù). 第三節(jié) 函數(shù)的極限1、當時函數(shù)的極限表示自變量的絕對值無限增大。為了區(qū)別起見，把且無限增大，記為；且無限增大，記為?？疾飚敃r，函數(shù)的變化趨勢。由圖可以看出，當?shù)慕^對值無限增大時，的值無限趨于零，即當時，。 對于這種當時，函數(shù)的變化趨勢，給出下面的定義： 定義：設(shè)函數(shù)在上有定義，若當?shù)慕^對值無限增大（即）時，函數(shù)無限接近于一個確定的常數(shù)，則稱為函數(shù)當時的極限，記為或（當時）定義： 設(shè)函數(shù)在（或）上有定義，若當（或）時，函數(shù)無限接近于一個確定的常數(shù)，則就稱為函數(shù)當（或）時的極限，記為 或（當時）舉幾個例子：1、由圖觀察得和由于，當和時，函數(shù)不是無限接近于同一個確定的常數(shù)，所以不存在。2、 求和解 如圖所示，可知 ，。由定義1與定義2可知，引例：已知，問為何值時有（證明分析略）定義： 函數(shù)在處有定義，若對于任意給定的正數(shù)，不管它多么小，總存在一個正整數(shù),使得當時所有，不等式 恒成立，則稱常數(shù)為函數(shù)當時的極限，記為或當時,.三、當時，函數(shù)的極限定義： 以為中心，以為長度的開區(qū)間，如圖 (a)所示，叫做點的鄰域在點的鄰域中去掉點，所得區(qū)間如圖 (b)所示，稱為點的去心鄰域引例：考察當時，函數(shù)的變化趨勢（分析略）。由此可知，當時，函數(shù)的值無限接近于2 。對于這種當時，函數(shù)的變化趨勢，給出下面的定義。定義： 設(shè)函數(shù)在點的某個去心鄰域內(nèi)有定義，若當無限接近于定值，即（可以不等于）時，函數(shù)無限接近于一個確定的常數(shù)，則稱為函數(shù)當時的極限，記為 或（當時）。例2 在單位圓上觀察和的值。解 作單位圓，并取AOB=弧度，如圖1- 23，則sin=BA，cos=OB。當時，BA無限接近于0，OB無限接近于 1，所以，例3 考察極限（為常數(shù)）和。解 設(shè)=C，因為當時，的值恒等于C，所以因為當時，的值無限接近于，所以。引例 設(shè)函數(shù)，為何值時有：（1）（2）。（證明略）定義： 設(shè)函數(shù)在點的某個去心鄰域內(nèi)有定義,若對于任意給定的正數(shù)，不管它多么小，總存在一個正整數(shù),使得當時，不等式 恒成立,則稱常數(shù)為函數(shù)當時的極限,記為或當時,。注：若極限存在時（1）是唯一的確定的常數(shù)；（2）表示從的左右兩側(cè)同時趨于；（3）極限的存在與在有無定義或定義的值無關(guān)。定義： 若函數(shù)在內(nèi)有定義，并且當僅從的左側(cè)無限接近于（即）時，函數(shù)無限接近于一個確定的常數(shù)A，則稱A為函數(shù)當時的左極限，記為（或）若函數(shù)在內(nèi)有定義，并且當僅從的右側(cè)無限接近于（即）時，函數(shù)無限接近于一個確定的常數(shù)A，則稱A為函數(shù)當時的右極限，記為（或）。左極限和右極限統(tǒng)稱為函數(shù)的單側(cè)極限。容易證明，若極限，則一定有；反之，結(jié)論也成立。但當及都存在但不相等時， 不存在。例6 討論函數(shù)當時的極限。解 作函數(shù)的圖像，如圖所示 由圖可知，函數(shù)當時左極限為 右極限為 因為 ，所以不存在。例8 討論函數(shù)當時的極限。（解略） 小結(jié)：1.正確理解數(shù)列極限的概念，會通過觀察得出數(shù)列的收斂情況。 2.正確理解函數(shù)當時的極限及兩個單向極限的概念和關(guān)系，會觀察簡單函數(shù)無窮遠處的極限。3.函數(shù)當及左、右極限的概念及其關(guān)系。授課時間： 2006年10月9日 使用班級： 高管06-1(3) 授課時間： 2006年10月18日 使用班級： 造價06-1(3) 授課時間： 2006年10月16日 使用班級： 造價06-2(3) 授課時間： 2006年10月9日 使用班級： 經(jīng)管06-1(3) 授課時間： 2006年10月11日 使用班級： 隧道工程06-1(3)授課章節(jié)名稱：第1章 極限與連續(xù)第4節(jié) 極限的運算法則教學(xué)目的：能夠熟練應(yīng)用極限的四則運算法則求函數(shù)的極限，在應(yīng)用中掌握 型極限的處理方法。教學(xué)重點：應(yīng)用極限的四則運算法則計算極限教學(xué)難點：各種極限的處理方法教學(xué)方法：講授，啟發(fā)式、講練結(jié)合教學(xué)手段：傳統(tǒng)式作業(yè)：P33 1、2、3、4 教案實施效果追記： 極限的運算是本章內(nèi)容的重點，要求學(xué)生知道每一步驟的原理，從而采取相應(yīng)的方法。第1章 極限與連續(xù) 第4節(jié) 極限的運算法則復(fù)習及課題的引入：前面我們給出了函數(shù)極限的定義，并觀察求出了簡單函數(shù)的極限，但對于較復(fù)雜的函數(shù)的極限就難以觀察求得，因此需要研究函數(shù)極限的運算。講授新內(nèi)容：一、極限的四則運算法則：設(shè)，則推論1當時，由得，（為常數(shù)）推論2：當時，由得，推廣，對于正整數(shù)，有 （）注意：(1)上述運算法則對、或、的情形也是成立的。（2）法則和可以推廣到有限多個具有極限的函數(shù)情形。（3）上述函數(shù)極限的運算法則，對數(shù)列的極限也適用。例1 求例2 求 例3 求例4 求極限。解 當時，分母的極限為零，所以不能應(yīng)用極限運算法則。但因為即 是當時的無窮小，根據(jù)無窮大與無窮小的關(guān)系可知，它的倒數(shù)是當時的無窮大，即。例5 求解 因為和都不存在，所以不能應(yīng)用極限的運算法則。但因為即是時的無窮小，所以它的倒數(shù)是當時的無窮大，即。例6 求解 因為分子及分母的極限都不存在，所以不能應(yīng)用極限運算法則,先用同除分子、分母, 然后取極限.。例7 求。解 由無窮大與無窮小的關(guān)系，得 例6、例7所用的方法，稱為無窮小分出法，歸納例5、例6的方法可得以下的一般結(jié)論，即當時，有 例8 求解 因為 所以 例9 求解 = 例10 求解 原式小結(jié)：1、本節(jié)介紹了極限的四則運算求極限，它是求極限的最基本方法，利用此法則求極限時，要注意：(1)參與運算的每一個函數(shù)的極限存在;分母的極限不能為零。(2)若分母的極限為零時,可以用無窮小與無窮大的關(guān)系求極限。(3)若分子、分母的極限均為零時, 這時分子、分母必有公因子，設(shè)法消去分子、分母中極限為零的公因子之后再求極限。(4)若分子、分母的極限均為無窮大時, 先將分子、分母同時除以分母的最高次冪，再利用極限的描述性定義求極限。 授課時間： 2006年10月12日 使用班級： 高管06-1(3) 授課時間： 2006年10月20日 使用班級： 造價06-1(3) 授課時間： 2006年10月18日 使用班級： 造價06-2(3) 授課時間： 2006年10月13日 使用班級： 經(jīng)管06-1(3) 授課時間： 2006年10月13日 使用班級： 隧道工程06-1(3)授課章節(jié)名稱：第1章 極限與連續(xù)第5節(jié) 兩個重要極限教學(xué)目的：熟練掌握利用兩個重要極限求極限教學(xué)重點：兩個重要極限求極限教學(xué)難點：同上教學(xué)方法：講授，啟發(fā)式、舉例教學(xué)手段：傳統(tǒng)式作業(yè)：P37 1、2教案實施效果追記： 強調(diào)重要極限的基礎(chǔ)性第1章 極限與連續(xù)第5節(jié) 兩個重要極限講授新內(nèi)容 注意1 為了更好利用第一個重要極限求極限，應(yīng)掌握好如下模型：成立的條件是在給定的趨勢下，兩個應(yīng)該是一模一樣的無窮小量。2 第一個重要極限可以解決型，含三角函數(shù)的未定式。例1 求極限解 令，則當時，有，于是例2 求極限。解 由于令，當時，故例3求極限解由于時，可得例4 求極限 。解 。例5 求.解 令，則，當時，有，于是 例6 求解 因為 當時， ,(1-)，所以。注意：求極限過程中，一個無窮小量可以用與其等價的無窮小量代替，但只能在因式情況下使用，和、差情況不能用。例如 。 若另，則時，因此有于是得重要極限的另一常用形式 。注意1， ， 三種形式也可統(tǒng)一為模型成立的條件是在給定趨勢下，兩個是一模一樣的無窮小量。2 第二個重要極限解決的對象是型未定式。例7 求極限 解 先將改寫為，再另，由于當時，從而。例8 求極限解 令，則當時，故 =。例9求極限解 令 ,則 ,由于,當時,所以 小結(jié)：利用兩個重要極限求極限時,要注意把原式湊成與公式等價的式子,如 與 等價； 與等價，湊成與公式等價的式子后便可利用直接求極限。授課時間： 2006年10月16日 使用班級： 高管06-1(3) 授課時間： 2006年10月25日 使用班級： 造價06-1(3) 授課時間： 2006年10月23日 使用班級： 造價06-2(3) 授課時間： 2006年10月23日 使用班級： 經(jīng)管06-1(3) 授課時間： 2006年10月25日 使用班級： 隧道工程06-1(3)授課章節(jié)名稱：第1章 極限與連續(xù)第6節(jié) 無窮小與無窮大教學(xué)目的：1、正確理解無窮小和無窮大的概念。2、掌握無窮小的性質(zhì)，理解無窮小與極限的關(guān)系定理和無窮小與無窮大之間的關(guān)系。3、了解無窮小的代替定理求極限教學(xué)重點：無窮小與無窮大的概念、無窮小的性質(zhì)教學(xué)難點：同上教學(xué)方法：講授，啟發(fā)式、舉例教學(xué)手段：傳統(tǒng)式作業(yè)：P42 1、3、4、6教案實施效果追記：學(xué)生只注意到等價無窮小的代替計算極限步驟較簡單，需強調(diào)重要極限的基礎(chǔ)性。第1章 極限與連續(xù) 第6節(jié) 無窮小與無窮大講授新內(nèi)容一、無窮小1.無窮小的定義新課的引入：在實際問題中，我們經(jīng)常遇到極限為零的變量例如，單擺離開鉛直位置而擺動，由于空氣阻力機械摩擦力的作用，它的振幅隨著時間的增加而逐漸減少并趨近于零。又如，電容器放電時，其電壓隨著時間的增加而逐漸減小并趨近于零。定義： 若當（或）時，函數(shù)的極限為零，則稱函數(shù)為當（或）時的無窮小量，簡稱無窮小。例如，因為=0，所以函數(shù)是當時的無窮小。應(yīng)該注意：（1）說一個函數(shù)是無窮小，必須指明自變量的變化趨向，如函數(shù)-1是當時的無窮小，而當趨向其它數(shù)值時，-1就不是無窮小。（2）不要把一個絕對值很小的常數(shù)（如0.00001或-0.00001）說成是無窮小，因為這個常數(shù)在（或）時，極限為常數(shù)本身，并不是零。（3）常數(shù)中只有“0”是無窮小，因為， 。（4）無窮小的概念包括數(shù)列趨于0的情形。2. 無窮小的性質(zhì)性質(zhì)1 有限個無窮小的代數(shù)和是無窮小。性質(zhì)2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。性質(zhì)3 有限個無窮小的乘積是無窮小。以上各性質(zhì)證明從略。例1 求解 當時，的極限不存在。但因為，所以，是當時的無窮小。而，所以是有界函數(shù)，根據(jù)無窮小的性質(zhì)2，可知例2 求解 當時，分子及分母的極限都不存在，所以不能應(yīng)用極限法則但可以看作是與的乘積因為當時，是無窮小，而是有界函數(shù)，所以根據(jù)無窮小的性質(zhì)2，可知3. 函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系下面的定理將說明函數(shù)、函數(shù)的極限與無窮小三者之間的重要關(guān)系。定理3 若，則（其中）；反之，若且，則。（證明從略）這就說明了；具有極限的函數(shù)等于它的極限與一個無窮小之和反之，設(shè)，其中為常數(shù)，是當時的無窮小，則這就說明了若函數(shù)可表示為常數(shù)與無窮小之和，則該常數(shù)就是這個函數(shù)的極限類似地可以證明當時的情形二、無窮大1無窮大的定義定義： 若當（或）時，函數(shù)的絕對值無限增大，則稱函數(shù)為當（或）時的無窮大量，簡稱無窮大。若函數(shù)當（或）時為無窮大，則它的極限是不存在的，但為了便于描函數(shù)的這種變化趨勢，我們也說“函數(shù)的極限是無窮大”，并記為如果在無窮大的定義中，對于某個鄰域的（或?qū)τ诮^對值相當大的），對應(yīng)的函數(shù)值都是正的或都是負的，就分別記為或例如 ，當時， 應(yīng)該注意：（1）說一個函數(shù)是無窮大，必須指明自變量的變化趨向，如函數(shù)是當時的無窮大，而當時，它就不是無窮大而是無窮小了。（2）不要把一個絕對值很大的常數(shù)（如1000000000或-1000000000）說成是無窮大，因為這個常數(shù)在（或）時，極限為常數(shù)本身，并不是無窮大。2無窮大與無窮小的關(guān)系我們知道，當時，函數(shù)-1是無窮小，是無窮大。一般地，關(guān)于無窮大與無窮小之間的關(guān)系有如下定理：定理1-4 在自變量的某一變化過程中，若函數(shù)是無窮大，則是無窮??；反之，若函數(shù)為無窮小，且，則是無窮大。后面我們會利用無窮大與無窮小的關(guān)系求一些函數(shù)的極限。三、無窮小的比較觀察當時，無窮小趨向于0的快慢。且有。兩個無窮小之比的極限的各種不同情況，反映了不同的無窮小趨向零的快慢程度。下面就以兩個無窮小之商的極限所出現(xiàn)的各種情況來說明兩個無窮小之間的比較。定義 設(shè)和都是在同一自變量的變化過程中的無窮小，又也是在這個變化過程中的極限。（1） 如果，就說是比較高階的無窮小；（2） 如果，就說是比較低階的無窮??；（3） 如果（為不等于零的常數(shù)）；就說與是同階無窮?。唬?） ，就說與是等價的無窮小，記為。顯然，等價無窮小是同階無窮小的特例，即的情形。以上定義對于數(shù)列的極限也同樣適用根據(jù)以上定義，可知當時，是比3較高階的無窮小；3是比較低階的無窮小；3是與同階的無窮小。例13 比較當時，無窮小與階數(shù)的高低。解 因為=所以是比較低階的無窮小。定理 (等價無窮小的替換原理) 在自變量同一變化過程中,都是無窮小,且，如果 存在，那么 。根據(jù)此定理,在求兩個無窮小之比的極限時,若此極限不易求得,可用分子、分母各自的等價無窮小來替換,如果選得適當,可簡化運算。證明 例：求解 因為當時，所以 。注意：只有因子才可以用等價無窮小代替。小結(jié)：1.無窮小與無窮大的概念，無窮小的性質(zhì)，無窮小與無窮大的關(guān)系。2.通過比較無窮小定義了無窮小的比較定義，會比較其階的高低。3.無窮小代替求極限是推導(dǎo)出的方法，我們暫且不把它作為重要方法。授課時間： 2006年10月23日 使用班級： 高管06-1(3) 授課時間： 2006年11月1日 使用班級： 造價06-1(3) 授課時間： 2006年10月25日 使用班級： 造價06-2(3) 授課時間： 2006年10月30日 使用班級： 經(jīng)管06-1(3) 授課時間： 2006年11月1日 使用班級： 隧道工程06-1(3)授課章節(jié)名稱：第1章 極限與連續(xù)第7節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點教學(xué)目的：1、理解函數(shù)在某一點、左右連續(xù)；開區(qū)間、閉區(qū)間連續(xù)的概念2、理解初等函數(shù)的連續(xù)性3、會討論函數(shù)的連續(xù)性，判斷函數(shù)間斷點的類型教學(xué)重點：連續(xù)的定義，間斷點的討論教學(xué)難點：連續(xù)定義的理解、討論連續(xù)性教學(xué)方法：講解，啟發(fā)式、舉例教學(xué)手段：傳統(tǒng)式作業(yè)：P54 1、2、3、4教案實施效果追記：1、通過圖像的幫助，大多數(shù)同學(xué)能夠連續(xù)和間斷的本質(zhì)。2、有些同學(xué)討論連續(xù)性不夠嚴密，須強調(diào)步驟完整。第1章 極限與連續(xù)第7節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點講授新內(nèi)容一、函數(shù)連續(xù)性的概念在許多實際問題中變量的變化常常是“連續(xù)”不斷的。例如氣溫隨著時間而變化著，當時間的改變極為微小時，氣溫的改變也極為微小，這就是說氣溫是“連續(xù)變化”的。自然界的許多“連續(xù)變化”的現(xiàn)象，在函數(shù)關(guān)系上的反映就是函數(shù)的連續(xù)性。這一節(jié)里我們將運用極限來定義函數(shù)的連續(xù)性。下面先介紹函數(shù)增量的概念。1函數(shù)的增量定義：當變量由變到時，終值與初值的差叫做變量的增量（或改變量），記作，即=。注意：增量可以是正的，也可以是負的。當為正時，變量是增加的；當為負時，變量是減少的。設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，當自變量由變到時，即點處有增量時，函數(shù)相應(yīng)地從變化到，因此，函數(shù)y的相應(yīng)增量為這個關(guān)系式的幾何解釋如下圖所示。在圖中，(1)為；(2)為；(3)為；(4)為。例1 設(shè)-1，求適合下列條件的自變量的增量和函數(shù)的增量：（1） 當由1變到1.5；（2） 當由1變到0.5；（3） 當由1變到。 2函數(shù)在點處的連續(xù)性由圖分析得出函數(shù)在點處連續(xù)的定義。定義1：設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，若當自變量在點處的增量趨近于零時，函數(shù)相應(yīng)的增量也趨近于零，即則稱函數(shù)在點處連續(xù)。 例2證明函數(shù)在點=1處連續(xù)。在定義1中，設(shè)，即，則當時，有 ，此時。因此，函數(shù)在點處的連續(xù)定義又可敘述如下： 定義2：設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)當時的極限存在且等于它在點處的函數(shù)值，即 則稱函數(shù)在點處連續(xù)。注：指出了函數(shù)在點處連續(xù)必須同時滿足下述三個條件：（1）函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義；（2）存在；（3）。 例3 證明函數(shù)在點=1連續(xù)。3函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性下面先介紹函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù)的概念。定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，若左極限存在且等于，即則稱函數(shù)在點處左連續(xù)。設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，若右極限存在且等于，即 則稱函數(shù)在點處右連續(xù)。例4 作出函數(shù)的圖像，并討論函數(shù)在點=1及點=-1的連續(xù)性。解 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義。因為所以，函數(shù)在點=1處左連續(xù)。因為左極限不等于右極限，所以不存在，即函數(shù)在點=-1處不連續(xù)。若函數(shù)在點處連續(xù)，則在點處既左連續(xù)又右連續(xù)；反之，若在點處既左連續(xù)又右連續(xù)，則函數(shù)在點處一定連續(xù)。定義：如果函數(shù)在區(qū)間（，b）內(nèi)每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)在開區(qū)間（，b）內(nèi)連續(xù)，區(qū)間（，b）叫做函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。定義： 若函數(shù)在，b上有定義，在（，b）內(nèi)連續(xù)，且在右端點處左連續(xù)，在左端點處右連續(xù)，即則函數(shù)就在閉區(qū)間，上連續(xù)。如果函數(shù)在閉區(qū)間，上連續(xù)，則稱它為，上的連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線。可以證明：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。4初等函數(shù)的連續(xù)性定理：（連續(xù)函數(shù)的四則運算法則） 若函數(shù)與在點處連續(xù)，則（1） 函數(shù)；（2） 函數(shù)；（3） 函數(shù) （當時）都在點處連續(xù)。只對（1）進行證明，（2）、（3）讀者自證。證設(shè)因為與在點處連續(xù)，所以。又因為所以，函數(shù)在點處連續(xù)，即在點處連續(xù)。類似地可證明，在點處連續(xù)。定理：（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)在點處連續(xù)，函數(shù)在處連續(xù)，且，則復(fù)合函數(shù)在點處連續(xù)。由定理可知，若復(fù)合函數(shù)在點處連續(xù)。則有 。可見，求復(fù)合函數(shù)的極限時，如果在處是連續(xù)的，又在對應(yīng)的處連續(xù)，則極限符號可以與函數(shù)符號交換。例5 討論函數(shù)的連續(xù)性。解 函數(shù)可以看作由及復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，在（-，+）內(nèi)是連續(xù)的，在（-，0）和（0，+）內(nèi)是連續(xù)的，根據(jù)定理1-7可知，函數(shù)在區(qū)間（-，0）和（0，+）內(nèi)是連續(xù)的。我們知道：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。由初等函數(shù)的定義及上面的兩個定理可以證明：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。二、函數(shù)的間斷點一般說來，如果函數(shù)有下列三種情形之一：（1）函數(shù)在處沒有定義；（2）在點處有定義，但不存在；（3）在點處有定義，且存在，但則函數(shù)在點處不連續(xù)。我們把點叫做函數(shù)的不連續(xù)點或間斷點。例5 求下列函數(shù)的間斷點（1）； （2）； （3） 上述兩種間斷點的特點:在間斷點處函數(shù)的左極限與右極限都存在， 我們稱這樣的間斷點為函數(shù)的第一類間斷點。若左極限與右極限中至少有一個不存在，則點稱為函數(shù)的第二類間斷點。例如函數(shù)在沒有定義，所以，點是函數(shù)的間斷點。因為即左、右極限都不存在，所以點是第二類間斷點。我們又稱點是的無窮間斷點。又如函數(shù) 在點=0有定義，但即左極限存在，右極限不存在。所以點=0是第二類間斷點。例6 求函數(shù)的間斷點并說明其類型。如果是可去間斷點則補充定義，使其連續(xù)。解 函數(shù) 在=0處無定義且 。所以，點=0是可去間斷點。如果令=0時y=2，即 則函數(shù)在點=0處連續(xù)。小結(jié)：1、我們用極限定義了函數(shù)在一點連續(xù)性，要理解在一點的兩個定義及左連續(xù)、右連續(xù)、在區(qū)間內(nèi)連續(xù)、區(qū)間上連續(xù)等概念。2、一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。3、在求初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間時，只需求該函數(shù)的定義域區(qū)間即可；對于分段函數(shù)，由于在每一段上都是初等函數(shù)的形式，因此對于研究段函數(shù)的連續(xù)區(qū)間問題，主要討論在分段點處的連續(xù)性。授課時間： 2006年10月30日 使用班級： 高管06-1(3) 授課時間： 2006年11月3日 使用班級： 造價06-1(3) 授課時間： 2006年10月30日 使用班級： 造價06-2(3) 授課時間： 2006年11月3日 使用班級： 經(jīng)管06-1(3) 授課時間： 2006年11月3日 使用班級： 隧道工程06-1(3)授課章節(jié)名稱：第1章 極限與連續(xù)第8節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性第9節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)目的：1、掌握利用函數(shù)的連續(xù)性求極限3、理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及推論教學(xué)重點：利用函數(shù)的連續(xù)性求極限，最值定理和介值定理教學(xué)難點：兩個型不定式的求極限方法、定理及推論的理解教學(xué)方法：講解，啟發(fā)式、舉例教學(xué)手段：傳統(tǒng)式作業(yè)：P29 5、7教案實施效果追記： 本節(jié)內(nèi)容理解性較多，注意從幾何直觀上幫助學(xué)生掌握。第1章 極限與連續(xù)第8節(jié)連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性第9節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)講授新內(nèi)容一、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限利用初等函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)在其定義域內(nèi)一點的極限，只需計算的就可以了，這一結(jié)論給我們求極限，特別是求復(fù)合函數(shù)的極限帶來了很大方方便。例1 求下列各極限（1）； （2）；（3）。例2求極限解 定理： 設(shè)函數(shù)當時的極限存在且等于，即，而函數(shù)在點連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)當時的極限也存在且等于，即。例3求。解 。特別地：當時， .例4求解 令，則當時，于是 特別地：當時， .例5已知求常數(shù)、b的值解 因為所以得a=2，于是=故。二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定義:設(shè)在區(qū)間上有定義，如果至少存在一點0，使得每一個，都有 （ 或）則稱是函數(shù)在區(qū)間上的最大值（或最小值），并記 或（）；稱為函數(shù)的最大值點（或最小值點），函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為最值。例如，函數(shù) 在區(qū)間0，2上有最大值2和最小值0。又如，符號函數(shù)=在區(qū)間（-，+）上有最大值1和最小值-1。從上述幾個例子可以看到，如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在該閉區(qū)間上有最大值和最小值，若在閉區(qū)間上不連續(xù)，就未必有最大值或最小值，因此有下面的定理。定理（最值定理）：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它在上一定有最大值和最小值。證明略 上圖給出了該定理的幾何直觀圖形。注意：定理的條件是充分的，也就是說，在滿足定理條件下，函數(shù)一定在閉區(qū)間上能取得最大值和最小值。在不滿足定理條件下，不一定取得最大值和最小值，例如：在區(qū)間上不連續(xù)，則在該區(qū)間上也不一定取得了最大值和最小值，例如：定理（介值定理）： 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在此區(qū)間的兩