第3章+經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2(1).ppt

第三章經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析 第一節(jié)離散時(shí)間函數(shù)與Z變換原理第二節(jié)離散時(shí)間經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的描述第三節(jié)離散時(shí)間經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的求解 第一節(jié)離散時(shí)間函數(shù)與Z變換原理 3 一 離散時(shí)間函數(shù) 在離散時(shí)間系統(tǒng)中存在一個(gè)取整數(shù)值的變量k k 0 1 2 而系統(tǒng)中的其它變量隨k的變化而變化 即為k的函數(shù) 表示為x k 如 x 0 x 1 x 2 表示向量x k 在k 0 1 2 時(shí)的值 此時(shí) K稱為時(shí)間 X K 稱向量函數(shù)X在k時(shí)刻的值 4 二 Z變換的定義和性質(zhì) 解 5 二 Z變換的定義和性質(zhì) 6 1 線性定理 Z變化是一種線性變化 滿足齊次性和疊加性 式中 c1 c2為任意常數(shù) f1 k f2 k 是任意的可求Z變化的時(shí)間序列離散函數(shù) 7 2 時(shí)移定理 位移定理 如果f k 的Z變化是F z 則f k N 的Z變化為 8 2 時(shí)移定理 位移定理 如果f k 的Z變化是F z 則f k N 的Z變化為 9 2 時(shí)移定理 位移定理 n 1 2 3 如果f k 的Z變化是F z 則f k N 的Z變化為 10 3 初值定理 11 4 終值定理 有了初值定理和終值定理可以在不求出Z反變換的條件下 得到f k 的初值和終值 12 例2 解 13 三 離散時(shí)間系統(tǒng)的控制元件 14 1 向量延遲器 15 2 向量函數(shù)發(fā)生器 特別注意函數(shù)關(guān)系 16 3 矩陣增益放大器 17 4 向量求和器 第二節(jié)離散時(shí)間經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)描述 19 一 離散系統(tǒng)的輸入輸出描述 20 設(shè)k為現(xiàn)在時(shí)刻 已知與現(xiàn)在時(shí)刻k相鄰的前j個(gè)時(shí)刻的輸出值y k 1 y k 2 y k j 已知現(xiàn)在時(shí)刻及與現(xiàn)在時(shí)刻相鄰的前i個(gè)時(shí)刻的輸入值u k u k 1 u k 2 u k i 則可唯一地確定現(xiàn)在時(shí)刻k的輸出值y k 表達(dá)式含義 21 線性定常輸入 輸出方程 22 例1 儲(chǔ)蓄 貸款問題 某人每月初到銀行存一定數(shù)量的錢 第k個(gè)月的存款額為u k 元 銀行每月支付利息的利率為i 按復(fù)利方式計(jì)息 求 該儲(chǔ)戶在第k個(gè)月初的本利和y k 調(diào)查 23 解 第k個(gè)月初的本利和y k 的構(gòu)成 24 二 經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 現(xiàn)代控制理論研究系統(tǒng)內(nèi)部的變化特征 故提出下列概念 狀態(tài)狀態(tài)變量狀態(tài)空間狀態(tài)空間描述 1 狀態(tài) 系統(tǒng)過去 現(xiàn)在和將來的運(yùn)行狀態(tài) 25 2 狀態(tài)變量 指能夠用來描述系統(tǒng)狀態(tài)的個(gè)數(shù)最少的一組變量 n表示變量的個(gè)數(shù) 26 系統(tǒng)狀態(tài)變量的特點(diǎn) 滿足兩個(gè)條件 當(dāng)初始狀態(tài)給定 時(shí) 系統(tǒng)在輸入u k 作用下的行為就完全由狀態(tài)變量確定 對(duì)任何給定的時(shí)刻k0 能表示系統(tǒng)在k0時(shí)刻的狀態(tài) 稱初始狀態(tài) 27 狀態(tài)變量的表示 28 3 狀態(tài)空間 是以狀態(tài)變量為坐標(biāo)所構(gòu)成的n維空間 狀態(tài)向量x k 在給定時(shí)刻k0時(shí)的值x k0 是狀態(tài)空間中的一個(gè)點(diǎn) 29 4 狀態(tài)方程 描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量之間關(guān)系的一階差分方程組 離散時(shí)間系統(tǒng) 稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程 5 輸出方程 描述系統(tǒng)輸出變量與系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入變量之間關(guān)系的代數(shù)方程稱為輸出方程 30 6 狀態(tài)空間描述 用狀態(tài)空間法描述系統(tǒng)的 輸入 狀態(tài) 輸出 狀態(tài)方程 x k 1 f x k u k 輸出方程 y k g x k u k 狀態(tài)空間法既研究系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)又研究系統(tǒng)的外部作用 31 注意 對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng) 狀態(tài)空間的描述不是唯一的 即狀態(tài)方程和輸出方程可以有多種形式 但維數(shù)是相同的 它們反應(yīng)同一個(gè)系統(tǒng) 使用狀態(tài)空間模型時(shí) 并不要求每一個(gè)狀態(tài)分量都具有直接的經(jīng)濟(jì)解釋 32 線性定常離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的標(biāo)準(zhǔn)模型 x k 1 f x k u k Ax k Bu k 系統(tǒng)的狀態(tài)方程y k g x k u k Cx k Du k 系統(tǒng)的輸出方程式中 x k 時(shí)刻k的狀態(tài)向量u k 時(shí)刻k的輸入向量 又稱控制向量y k 時(shí)刻k的輸出向量 又稱測(cè)量向量 33 線性定常離散時(shí)間系統(tǒng) A稱為系統(tǒng)矩陣 B稱為輸入矩陣 C稱為輸出矩陣 D稱為前饋矩陣 34 方框圖 35 例1 五日移動(dòng)平均價(jià)格原理 狀態(tài)方程 輸出方程 36 寫成矩陣形式 37 五日移動(dòng)平均價(jià)格控制方框圖 38 例2 動(dòng)態(tài)乘數(shù) 加速數(shù)模型 加速原理 是凱恩斯的繼承者漢森對(duì)乘數(shù)原理的發(fā)展 研究了國(guó)民收入的增加對(duì)投資的影響 即引致投資 39 加速系數(shù) 40 設(shè) Y k 表示第k期的國(guó)民收入C k 表示第k期的消費(fèi)I k 表示第k期的投資U k 表示第k期的政府支出 政府收入的來源 41 四個(gè)變量之間有如下關(guān)系 a 加速系數(shù) 已知常數(shù) a 0 反應(yīng)國(guó)民收入對(duì)投資的作用 b 邊際消費(fèi)傾向 已知常數(shù) 0 b 1 表示消費(fèi)對(duì)收入的比率 C0 自發(fā)消費(fèi) I0 自發(fā)投資 式中 Y k C k I k U k 42 取狀態(tài)變量 狀態(tài)變量的取法不惟一 43 寫成矩陣形式 狀態(tài)方程 輸出方程 44 畫結(jié)構(gòu)圖 45 結(jié)論 動(dòng)態(tài)乘數(shù) 加速數(shù)模型 是包含兩個(gè)狀態(tài)變量 一個(gè)輸入變量和一個(gè)輸出變量的線性定常離散系統(tǒng) 例宏觀經(jīng)濟(jì)模型之一經(jīng)濟(jì)學(xué)中薩繆爾森乘數(shù) 加速模型 設(shè)y k c k I k g k 分別表示第k期的國(guó)民收入 消費(fèi)水平 投資水平和政府財(cái)政支出 薩繆爾森乘數(shù) 加速模型如下 其中a b為常數(shù) a為加速數(shù) b為邊際消費(fèi)傾向 a 0 0 b 1 該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的輸入為g k 輸出為y k 將 1 的后兩式代入第一式 整理得差分方程 上式為系統(tǒng)的輸入輸出方程 如果取控制變量為u k g k 狀態(tài)變量x1 k c k x2 k I k 輸出變量為y k 則該離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 48 三 輸入輸出描述和狀態(tài)空間描述的關(guān)系 區(qū)別 輸入輸出描述僅給出了系統(tǒng)的外部變換規(guī)律 狀態(tài)空間描述同時(shí)給出了系統(tǒng)的內(nèi)部和外部的變換規(guī)律 由于描述著同一個(gè)系統(tǒng) 故兩者之間必然存在一定的聯(lián)系 49 狀態(tài)空間描述與輸入輸出描述的轉(zhuǎn)換 從狀態(tài)方程和輸出方程中 消去狀態(tài)變量x k 得到系統(tǒng)的輸入輸出描述 根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出描述求解系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述稱之為系統(tǒng)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn) 求出狀態(tài)變量個(gè)數(shù)最少時(shí)的A B C D 稱為最小實(shí)現(xiàn) 第三節(jié)線性離散時(shí)間系統(tǒng)的解 51 設(shè)有離散線性定常系統(tǒng) 解狀態(tài)方程 問題的提出 若已知系統(tǒng)的初始狀態(tài)x 0 和所有時(shí)刻的輸入u k k 0 1 2 要求系統(tǒng)任何時(shí)刻的y k k 0 1 2 52 一 迭代法求解差分方程 1 首先討論齊次解令u k 0 k 0 1 2 不考慮輸入 用迭代法 x 1 Ax 0 x 2 Ax 1 A2x 0 x 3 Ax 2 A3x 0 k 0 1 2 線性定常離散系統(tǒng)的齊次解 53 討論 a 若x 0 0 則x k 0 k 0 1 2 b 若k L為任意時(shí)刻 且k L 則 54 2 非齊次線性定常離散系統(tǒng)的解 假設(shè)系統(tǒng)有非零的輸入u k 此時(shí) 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 用迭代法 55 2 非齊次線性定常離散系統(tǒng)的解 系統(tǒng)對(duì)輸入作用的響應(yīng) 系統(tǒng)對(duì)初始狀態(tài)的響應(yīng) 56 子女上學(xué)費(fèi)用 按月存100元 年息3 1歲開始存 6歲上學(xué)使用 K 5 12 月 U k 100元 月i 3 12 月 Y 60 1 3 12 Y 59 100 如何計(jì)算 57 用迭代法 y 0 0y 1 1 0025 y 0 100y 2 1 0025 y 1 100y 3 1 0025 y 2 100y 4 1 0025 y 3 100 y 60 1 0025 y 59 100 6464 67完畢 58 二 用Z變化法求解差分方程 設(shè)有 非齊次線性定常離散系統(tǒng) 初始條件為x 0 已知 兩邊同時(shí)取Z變換 移項(xiàng)整理得 59 假設(shè) zI A 可逆 則 求Z反變換 二 用Z變化法求解差分方程 60 例1 x k 1 0 8x k 1 x 0 2 解 取Z變換 代入初值合并 移項(xiàng)整理 得 求Z反變換 得到差分方程解的表達(dá)式為 61 例2 人口遷移問題 62 解 則有 初始條件 63 寫成矩陣形式 64 用Z變化求方程的解