2010年全國高考試卷(江西卷).pdf

中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道 2010 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 江西卷 文科數(shù)學(xué) 本試卷分第 卷 選擇題 和第 卷 非選擇題 兩部分 第 卷 1 至 2 頁 第 卷 3 至 4 頁 共 150 分 考生注意 考生注意 1 答題前 考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號 姓名填寫在答題卡上 考生要認(rèn)真核對答題 卡上粘貼的條形碼的 準(zhǔn)考證號 姓名 考試科目 與考生本人準(zhǔn)考證號 姓名是 否一致 2 第 I 卷每小題選出答案后 用 2B 鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑 如需 改動 用橡皮擦干凈后 再選涂其他答案標(biāo)號 第 卷用黑色墨水簽字筆在答題卡 上作答 若在試題卷上作答 答案無效 3 考試結(jié)束 監(jiān)考員將試題卷 答題卡一并收回 參考公式 如果事件 A B互斥 那么球的表面積公式 P ABP AP B 2 4SR 如果事件 A B 相互獨(dú)立 那么其中R表示球的半徑 P A BP AP B 球的體積公式 如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p 那么 3 4 3 VR n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率其中R表示球的半徑 1 kknk nn PkCpp 第第 卷卷 一 選擇題 本大題共一 選擇題 本大題共 12121212 小題 每小題小題 每小題 5 5 5 5 分 共分 共 60606060 分 在每小題給出的四個選項(xiàng)中 只分 在每小題給出的四個選項(xiàng)中 只 有一項(xiàng)是符合題目要求的 有一項(xiàng)是符合題目要求的 1 對于實(shí)數(shù) a b c ab 是 22 acbc 的 A 充分不必要條件B 必要不充分條件C 充要條件D 既不充分也不必要 條件 答案 B 解析 主要考查不等式的性質(zhì) 當(dāng) C 0 時顯然左邊無法推導(dǎo)出右邊 但右邊可以推出左邊 2 若集合 1Ax x 0Bx x 則AB I A 11xx B 0 x x C 01xx D 答案 C 解析 考查集合與簡單不等式 解決有關(guān)集合的問題關(guān)鍵是把握住集合中的元素 由題知 集合 A 是由大于等于 1 小于等于 1 的數(shù)構(gòu)成的集合 所以不難得出答案 3 10 1 x 展開式中 3 x項(xiàng)的系數(shù)為 A 720 B 720C 120D 120 中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道 答案 D 解析 考查二項(xiàng)式定理展開式中特定項(xiàng)問題 解決此類問題主要是依據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng) 由 4 若 42 f xaxbxc 滿足 1 2f 則 1 f A 4 B 2 C 2D 4 答案 B 解析 考查函數(shù)的奇偶性 求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù) 所以選擇 B 5 不等式22xx 的解集是 A 2 B C 2 D 2 2 U 答案 A 解析 考查含絕對值不等式的解法 對于含絕對值不等式主要是去掉絕對值后再求解 可 以通過絕對值的意義 零點(diǎn)分區(qū)間法 平方等方法去掉絕對值 但此題利用代值法會更好 6 函數(shù) 2 sinsin1yxx 的值域?yàn)?A 1 1 B 5 1 4 C 5 1 4 D 5 1 4 答案 C 解析 考查二次函數(shù)型值域問題 通過函數(shù)形狀發(fā)現(xiàn)此函數(shù)很像二次函數(shù) 故令sinXt 可得 2 1ytt 從而求解出二次函數(shù)值域 7 等比數(shù)列 n a中 15252 1 8 aaa aa 則 n a A 1 2 n B 1 2 n C 2 n D 2 n 答案 A 解析 考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 用代特值法解決會更好 8 若函數(shù) 1 ax y x 的圖像關(guān)于直線yx 對稱 則a為 A 1B 1 C 1 D 任意實(shí)數(shù) 答案 B 解析 考查反函數(shù) 因?yàn)閳D像本身關(guān)于直線yx 對稱故可知原函數(shù)與反函數(shù)是同一函數(shù) 所以先求反函數(shù)再與原函數(shù)比較系數(shù)可得答案 或利用反函數(shù)的性質(zhì) 依題知 1 a 2 與 a 2 1 皆在原函數(shù)圖故可得 a 1 9 有n位同學(xué)參加某項(xiàng)選拔測試 每位同學(xué)能通過測試的概率都是p 01 p 所以不存在實(shí)數(shù)a 使得 f x是R上的單調(diào)函數(shù) 18 本小題滿分 12 分 某迷宮有三個通道 進(jìn)入迷宮的每個人都要經(jīng)過一扇智能門 首次到達(dá)此門 系統(tǒng)會隨 機(jī) 即等可能 為你打開一個通道 若是 1 號通道 則需要 1 小時走出迷宮 若是 2 號 3 號通道 則分別需要 2 小時 3 小時返回智能門 再次到達(dá)智能門時 系統(tǒng)會隨機(jī)打開 一個你未到過 的通道 直至走出迷宮為止 1 求走出迷宮時恰好用了 1 小時的概率 2 求走出迷宮的時間超過 3 小時的概率 解析 考查數(shù)學(xué)知識的實(shí)際背景 重點(diǎn)考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計算事件的概率 隨機(jī)事件的數(shù)學(xué)特征和對思維能力 運(yùn)算能力 實(shí)踐能力的考查 解 1 設(shè) A 表示走出迷宮時恰好用了 1 小時這一事件 則 1 3 P A 2 設(shè) B 表示走出迷宮的時間超過 3 小時這一事件 則 1111 6662 P B 19 本小題滿分 12 分 已知函數(shù) 2 1cot sin2sin sin 44 f xxxxx 1 若tan2 求 f 2 若 12 2 x 求 f x的取值范圍 解析 考查三角函數(shù)的化簡 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì) 三角函數(shù)值域問題 依托三角函數(shù) 化簡 考查函數(shù)值域 作為基本的知識交匯問題 考查基本三角函數(shù)變換 屬于中等題 解 1 2 sinsincoscos2f xxxxx 1 cos21 sin2cos2 22 x xx 11 sin2cos2 22 xx 由tan2 得 222 2sincos2tan4 sin2 sincos1tan5 中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道 222 222 cossin1tan3 cos2 sincos1tan5 所以 3 5 f 2 由 1 得 1121 sin2cos2 sin 2 22242 f xxxx 由 12 2 x 得 55 2 4124 x 所以 2 sin 2 1 42 x 從而 2112 sin 2 0 2422 f xx 20 本小題滿分 12 分 如圖 BCD 與MCD 都是邊長為 2 的正三角形 平面MCD 平 面BCD AB 平面BCD 2 3AB 1 求直線AM與平面BCD所成的角的大小 2 求平面ACM與平面BCD所成的二面角的正弦值 解析 本題主要考查了考查立體圖形的空間感 線面角 二面角 空間 向量 二面角平面角的判斷有關(guān)知識 同時也考查了空間想象能力和推理 能力 解法一 1 取CD中點(diǎn)O 連OB OM 則OB CD OM CD 又平面MCD 平面BCD 則MO 平面BCD 所以MO AB A B O M共面 延長AM BO相交于E 則 AEB就是AM與平面BCD所 成的角 OB MO 3 MO AB 則 1 2 EOMO EBAB 3EOOB 所以2 3EBAB 故45AEB o 2 CE是平面ACM與平面BCD的交線 由 1 知 O是BE的中點(diǎn) 則BCED是菱形 作BF EC于F 連AF 則AF EC AFB就是二面角A EC B 的平面角 設(shè)為 因?yàn)?BCE 120 所以 BCF 60 sin603BFBC o D M C B A C H M D E B O A F 中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道 tan2 AB BF 2 5 sin 5 所以 所求二面角的正弦值是 2 5 5 解法二 取CD中點(diǎn)O 連OB OM 則OB CD OM CD 又平面MCD 平面BCD 則MO 平面BCD 以O(shè)為原點(diǎn) 直線OC BO OM為x軸 y軸 z軸 建立空間 直角坐標(biāo)系如圖 OB OM 3 則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為O 0 0 0 C 1 0 0 M 0 0 3 B 0 3 0 A 0 3 23 1 設(shè)直線AM與平面BCD所成的角為 因AM uuuu r 0 3 3 平面BCD的法向量為 0 0 1 n r 則有 32 sincos 26 AM n AM n AMn uuuu r r uuuu r r uuuu rr 所以45 o 2 1 0 3 CM uuuu r 1 3 2 3 CA uuu r 設(shè)平面ACM的法向量為 1 nx y z u r 由 1 1 nCM nCA uruuuu r uruu u r 得 30 32 30 xz xyz 解得 3xz yz 取 1 3 1 1 n u r 又 平 面BCD的 法 向 量 為 0 0 1 n r 則 1 1 1 1 cos 5 n n n n nn ur r u r r urr 設(shè)所求二面角為 則 2 12 5 sin1 55 21 本小題滿分 12 分 已知拋物線 1 C 22 xbyb 經(jīng)過橢圓 2 C 22 22 1 0 xy ab ab 的兩個焦點(diǎn) 1 求橢圓 2 C的離心率 2 設(shè) 3 Qb 又 M N為 1 C與 2 C不在y軸上的兩個交點(diǎn) 若QMN 的重心在拋物線 1 C上 求 1 C和 2 C的方程 解析 考查橢圓和拋物線的定義 基本量 通過交點(diǎn)三角形 N x Q M O y y x M D C B O A z N x Q M O y 中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道 來確認(rèn)方程 解 1 因?yàn)閽佄锞€ 1 C經(jīng)過橢圓 2 C的兩個焦點(diǎn) 12 0 0 FcF c 所以 22 0cbb 即 22 cb 由 2222 2abcc 得橢圓 2 C的離心率 2 2 e 2 由 1 可知 22 2ab 橢圓 2 C的方程為 22 22 1 2 xy bb 聯(lián)立拋物線 1 C的方程 22 xbyb 得 22 20ybyb 解得 2 b y 或yb 舍去 所以 6 2 xb 即 66 2222 bb MbNb 所以QMN 的重心坐標(biāo)為 1 0 因?yàn)橹匦脑?1 C上 所以 22 10bb 得1b 所以 2 2a 所以拋物線 1 C的方程為 2 1xy 橢圓 2 C的方程為 2 2 1 2 x y 22 本小題滿分 14 分 正實(shí)數(shù)數(shù)列 n a中 12 1 5aa 且 2 n a成等差數(shù)列 1 證明數(shù)列 n a中有無窮多項(xiàng)為無理數(shù) 2 當(dāng)n為何值時 n a為整數(shù) 并求出使200 n a 故241 k n a 241 k n a 與 24 24 1 kk nn aa 矛盾 所以 2 124 k n a kN 都是無理數(shù) 即數(shù)列 n a中有無窮多項(xiàng)為無理數(shù) 方法二 因?yàn)?2 1 124 n annN 當(dāng)n的末位數(shù)字是3 4 8 9時 1 24n 的末位 數(shù)字是3和7 它不是整數(shù)的平方 也不是既約分?jǐn)?shù)的平方 故此時 1 1 24 n an 不是有 理數(shù) 因這種n有無窮多 故這種無理項(xiàng) 1n a 也有無窮多 2 要使 n a為整數(shù) 由 1 1 24 1 nn aan 可知 1 1 nn aa 同為偶數(shù) 且其中一個必為 3 的倍數(shù) 所以有16 n am 或16 n am 當(dāng)61 n am 時 有 22 361211 12 31 n ammmm mN 又 31 mm 必為偶數(shù) 所以61 n am mN 滿足 2 124 1 n an 即 31 1 2 mm n mN 時 n a為整數(shù) 同理 61 n ammN 有 22 361211 12 31 n ammmm mN 也滿足 2 124 1 n an 即 31 1 2 mm n mN 時 n a為整數(shù) 顯然 61 n ammN 和61 n am mN 是數(shù)列中的不同項(xiàng) 所以當(dāng) 31 1 2 mm n mN 和 31 1 2 mm n mN 時 n a為整數(shù) 由61200 n am mN 有033m 由61200 n am mN 有133m 設(shè) n a中滿足200 n a 所以不存在實(shí)數(shù)a 使得 f x是R上的單調(diào)函數(shù) 18 本小題滿分 12 分 解 1 設(shè) A 表示走出迷宮時恰好用了 1 小時這一事件 則 1 3 P A 2 設(shè) B 表示走出迷宮的時間超過 3 小時這一事件 則 1111 6662 P B 19 本小題滿分 12 分 解 1 2 sinsincoscos2f xxxxx 1 cos21 sin2cos2 22 x xx 11 sin2cos2 22 xx 由tan2 得 222 2sincos2tan4 sin2 sincos1tan5 222 222 cossin1tan3 cos2 sincos1tan5 所以 3 5 f 2 由 1 得 1121 sin2cos2 sin 2 22242 f xxxx 由 12 2 x 得 55 2 4124 x 所以 2 sin 2 1 42 x 從而 2112 sin 2 0 2422 f xx 中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道 20 本小題滿分 12 分 解法一 1 取CD中點(diǎn)O 連OB OM 則OB CD OM CD 又平面MCD 平面BCD 則MO 平面BCD 所以MO AB A B O M共面 延 長AM BO相交于E 則 AEB就是AM與平面BCD所成的角 OB MO 3 MO AB 則 1 2 EOMO EBAB 3EOOB 所以2 3EBAB 故45AEB o 2 CE是平面ACM與平面BCD的交線 由 1 知 O是BE的中點(diǎn) 則BCED是菱形 作BF EC于F 連AF 則AF EC AFB就是二面角A EC B 的平面角 設(shè)為 因?yàn)?BCE 120 所以 BCF 60 sin603BFBC o tan2 AB BF 2 5 sin 5 所以 所求二面角的正弦值是 2 5 5 解法二 取CD中點(diǎn)O 連OB OM 則OB CD OM CD 又平面MCD 平面BCD 則MO 平面BCD 以O(shè)為原點(diǎn) 直線OC BO OM為x軸 y軸 z軸 建立空間 直角坐標(biāo)系如圖 OB OM 3 則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為O 0 0 0 C 1 0 0 M 0 0 3 B 0 3 0 A 0 3 23 1 設(shè)直線AM與平面BCD所成的角為 因AM uuuu r 0 3 3 平面BCD的法向量為 0 0 1 n r 則有 32 sincos 26 AM n AM n AMn uuuu r r uuuu r r uuuu rr 所以45 o 2 1 0 3 CM uuuu r 1 3 2 3 CA uuu r 設(shè)平面ACM的法向量為 1 nx y z ur 由 1 1 nCM nCA uruuuu r uruu u r得 30 32 30 xz xyz 解得 z y x M D C B O A z C H M D E B O A F 中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道 3xz yz 取 1 3 1 1 n u r 又 平 面BCD的 法 向 量 為 0 0 1 n r 則 1 1 1 1 cos 5 n n n n nn ur r u r r urr 設(shè)所求二面角為 則 2 12 5 sin1 55 21 本小題滿分 12 分 解 1 因?yàn)閽佄锞€ 1 C經(jīng)過橢圓 2 C的兩個焦點(diǎn) 12 0 0 FcF c 所以 22 0cbb 即 22 cb 由 2222 2abcc 得橢圓 2 C的 離心率 2 2 e 2 由 1 可知 22 2ab 橢圓 2 C的方程為 22 22 1 2 xy bb 聯(lián)立拋物線 1 C的方程 22 xbyb 得 22 20ybyb 解得 2 b y 或yb 舍去 所以 6 2 xb 即 66 2222 bb MbNb 所以QMN 的重心坐標(biāo)為 1 0 因?yàn)橹匦脑?1 C上 所以 22 10bb 得1b 所以 2 2a 所以拋物線 1 C的方程為 2 1xy 橢圓 2 C的方程為 2 2 1 2 x y 22 本小題滿分 14 分 證明 1 由已知有 2 124 1 n an 從而1 24 1 n an 方法一 取 21 124 k n 則 2 124 k n a kN 用反證法證明這些 n a都是無理數(shù) N x Q M O y 中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道