05年美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題特等獎(jiǎng)?wù)撐姆g.pdf

2005 年年 B 題題 公路收費(fèi)亭的設(shè)置公路收費(fèi)亭的設(shè)置 諸如美國(guó)新澤西州的風(fēng)景區(qū)干道 95 號(hào)州際公路等交通繁忙的收費(fèi) 公路都是多車道的交通干線 每隔一定距離設(shè)有過(guò)路費(fèi)收費(fèi)區(qū) 由于 收取過(guò)路費(fèi)一般是不得人心的 因此通過(guò)限制由于過(guò)路費(fèi)收費(fèi)區(qū)造成 的交通混亂把駕車人的煩惱減到極小是很值得做的 通常 收費(fèi)區(qū)內(nèi) 收費(fèi)亭的數(shù)目遠(yuǎn)多于進(jìn)入過(guò)路費(fèi)收費(fèi)區(qū)的車道數(shù) 進(jìn)入過(guò)路費(fèi)收費(fèi)區(qū) 時(shí) 車流扇形散開(kāi)分流 分別在各個(gè)收費(fèi)亭交費(fèi) 離開(kāi)收費(fèi)區(qū)時(shí) 車 流又會(huì)匯合到和進(jìn)入收費(fèi)區(qū)時(shí)一樣多的車道離開(kāi) 因此 在交通繁忙 時(shí) 通行的車輛會(huì)在離開(kāi)收費(fèi)區(qū)時(shí)出現(xiàn)擁塞 更嚴(yán)重的時(shí)候 收費(fèi)站 的入口也會(huì)出現(xiàn)擁堵 1 g 試構(gòu)建一個(gè)模型 用來(lái)決定攔路過(guò)路費(fèi)收費(fèi)區(qū)內(nèi)收費(fèi)亭的最優(yōu)數(shù) 目的配置 明確考慮如下情景 即在進(jìn)來(lái)的每個(gè)車道恰好只有一個(gè)收 費(fèi)亭 在什么情況下你制訂的方案要比現(xiàn)有的方案效率多少要高一點(diǎn) 注意 最優(yōu) 的定義要由你自己來(lái)決定 論文 論文 收費(fèi)亭為誰(shuí)而收費(fèi)收費(fèi)亭為誰(shuí)而收費(fèi) 一 一 摘要摘要 我們運(yùn)用排隊(duì)理論和元胞自動(dòng)機(jī)的結(jié)合 對(duì)收費(fèi)站附近的交通情 況進(jìn)行建模 從而決定收費(fèi)亭的最優(yōu)數(shù)量 我們假設(shè)到達(dá)收費(fèi)站的汽 車數(shù)量服從泊松分布 并且汽車離開(kāi)收費(fèi)站的概率是無(wú)記憶的 這使 得我們能夠把等待收費(fèi)窗口開(kāi)放的車輛作為 MIMIn 隊(duì)列進(jìn)行完整的 分析和描述 然后我們使用改進(jìn)的 NS 細(xì)胞自動(dòng)機(jī)方案為等待進(jìn)入收 費(fèi)站和離開(kāi)收費(fèi)站回到高速公路上的汽車構(gòu)建模型 該模型得到了非 常一致的結(jié)果 并對(duì)模擬的結(jié)論進(jìn)行了驗(yàn)證 我們用 NS 模型測(cè)量了 車輛在收費(fèi)站等待的平均時(shí)間 并根據(jù)這個(gè)結(jié)果證實(shí)了一個(gè)通過(guò)選擇 收費(fèi)亭數(shù)目使得等待時(shí)間最少的一般方法 對(duì) 于 2 通道的高速公路來(lái) 說(shuō) 收費(fèi)亭的最優(yōu)數(shù)量是 4 對(duì)于 3 通道的高速公路來(lái)說(shuō) 最優(yōu)數(shù)量 是 6 對(duì)于更多通道的高速公路 結(jié)果取決于車輛到達(dá)率 我們的模型建立在大量的理論和實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上 其一致性表明它是 準(zhǔn)確和強(qiáng)大的 排隊(duì)論得到的結(jié)果和 NS 模型得到的結(jié)果也具有高度 的一致性 并且我們 NS 模型結(jié)果的一些特殊案例在一些文獻(xiàn)中的經(jīng) 驗(yàn)數(shù)據(jù)中得到了證實(shí) 此外 改變收費(fèi)站等待時(shí)間的分布和改變隨機(jī) 制動(dòng)的概率 并不會(huì)有效的改變我們的方案建議 這為我們的模型和 一般方法提供了一個(gè)令人信服的證明 二 二 簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介 收費(fèi)站通過(guò)兩種方式使車輛減速 1 如果沒(méi)有足夠多的收費(fèi)亭 車輛就會(huì)形成排隊(duì)的情況 2 如果收費(fèi)站過(guò)多 車輛合并到窄的高速公路時(shí)又會(huì)造成擁堵 我們用排隊(duì)論來(lái)預(yù)測(cè)車輛在得到一個(gè)收費(fèi)亭服務(wù)之前需要等待多長(zhǎng) 時(shí)間 通過(guò)用元胞自動(dòng)機(jī)構(gòu)建單個(gè)車輛模型 我們證實(shí)了對(duì)等待時(shí)間 的預(yù)測(cè) 車輛 水平模型被用來(lái)預(yù)測(cè)車輛離開(kāi)收費(fèi)站后如何合流 三 三 初始假設(shè)初始假設(shè) 1 最佳系統(tǒng)使得平均等待時(shí)間最少 我們不考慮收費(fèi)亭運(yùn)作時(shí)的時(shí) 間損耗 2 車輛到達(dá)收費(fèi)站在時(shí)間上符合一致性 并且時(shí)間間隔服從參數(shù)為 的指數(shù)分布 交通高峰時(shí)間段我們可以變動(dòng)參數(shù) 3 車輛在收費(fèi)亭前的等待時(shí)間是無(wú)記憶性的 服從參數(shù)為 的指數(shù)分 布 這個(gè)假設(shè)在海爾對(duì)收費(fèi)站的研究中得到證實(shí) 4 汽車之間不加以區(qū)分 所有車輛具有相同的長(zhǎng)度和最大速度 5 收費(fèi)站附近沒(méi)有斜坡或出口 我們不考慮額外車輛進(jìn)入的可能性 只考慮已經(jīng)在主道路上的車輛 雙向公路等同于兩條獨(dú)立的公路 我們只考慮已經(jīng)劃分好的公路 四 四 由于收費(fèi)亭由于收費(fèi)亭太少而造成的延遲太少而造成的延遲 1 符合符合 M M n 隊(duì)列隊(duì)列的收費(fèi)亭的收費(fèi)亭 當(dāng)一輛汽車到達(dá)收費(fèi)站時(shí) 有 n 個(gè)收費(fèi)亭可供選擇為自己服務(wù) 車輛趨向于可到達(dá)的最短的隊(duì)列 我們通過(guò)假設(shè)所有車輛形成一個(gè)單 一的隊(duì)列來(lái)簡(jiǎn)化排隊(duì)行為 當(dāng) n 個(gè)收費(fèi)亭中的一個(gè)可用時(shí)隊(duì)列中的下 一輛車馬上就會(huì)到達(dá) 然而真實(shí)系統(tǒng)的效率是比較低的 因此我們要 在一個(gè)更詳細(xì)的仿真模擬中預(yù)測(cè)多次 我們假設(shè)車輛在一個(gè)均勻分布 的時(shí)間里到達(dá) 另外 我們假設(shè)服務(wù)時(shí)間的分布服從指數(shù)分布 這類 模型被稱為無(wú)記憶到達(dá) 無(wú)記憶服務(wù)時(shí)間 n 個(gè)收費(fèi)亭提供服務(wù)獲或 者稱之為 M M n 隊(duì)列 圖 1 M M n 隊(duì)列 車輛到達(dá)率為 服務(wù)率為 p 我們定義 X t 為在時(shí)間 t 的時(shí)候正在隊(duì)伍中等待或正在收費(fèi)亭的 汽車數(shù)目 我們還定義了固定的概率 pk 就是在固定的狀態(tài)下 隊(duì)伍具有長(zhǎng)度 k 的概率為 pk 通過(guò) M M n 隊(duì)列的輸入輸出關(guān)系 固定概率必須滿足 此系統(tǒng)的解決方法是 其中 令隨機(jī)變量 W 為一輛汽車在這個(gè)系統(tǒng)中花費(fèi)的時(shí)間 排隊(duì)時(shí)間 在收費(fèi)亭停留的時(shí)間 W 的期望值分布如下 這個(gè)結(jié)果描述了這個(gè)一般問(wèn)題的第一部分 汽車如何排隊(duì)取決于 收費(fèi)亭的數(shù)目 n 為了建立通過(guò)收費(fèi)亭后車輛合流的模型 描述汽車 如何離開(kāi) M M n 隊(duì)列顯得尤為重要 此隊(duì)列的輸出時(shí)間服從以 為參數(shù)的指數(shù)分布 并且輸出過(guò)程和 輸入過(guò)程具有相同的分布 根據(jù)無(wú)記憶概率的性質(zhì) 離開(kāi)時(shí)間間隔是 相互獨(dú)立的 我們定義 D 為在時(shí)間間隔 t 內(nèi)離開(kāi)收費(fèi)廳的汽車數(shù)量 那么 d 輛汽車在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)離開(kāi)的概率為 其中 是在 t 時(shí)間段內(nèi)到達(dá)收費(fèi)亭的汽車的平均數(shù) M M n 隊(duì)列提供了一個(gè)簡(jiǎn)單并且成熟的收費(fèi)站模型 尤其是可 以知道平均等待時(shí)間和輸出過(guò)程 并且允許我們變動(dòng)仿真結(jié)果 2 M M n 隊(duì)列的局限性隊(duì)列的局限性 雖然有用 但 M M n 隊(duì)列是不完整的 并且過(guò)分簡(jiǎn)化了問(wèn)題 雖 然隊(duì)列可以讓我們簡(jiǎn)單的找到車輛離開(kāi)的時(shí)間分布 但它的假設(shè)條件 導(dǎo)致它不會(huì)是一個(gè)完整的解決辦法 通過(guò)使用單隊(duì)列理論 我們假設(shè) 任何車輛可以到達(dá)任何一個(gè)收費(fèi)亭 這樣就顯得過(guò)分樂(lè)觀啦 尤其是 當(dāng)交通流量比較大的時(shí)候 我們希望我們的預(yù)測(cè)對(duì)低密度車流是行之 有效的 或許 最重要的是 隊(duì)列只是模擬了問(wèn)題的一半 在收費(fèi)亭 前等待的時(shí)間 五 五 用元寶自動(dòng)機(jī)構(gòu)建交通模型用元寶自動(dòng)機(jī)構(gòu)建交通模型 1 概述概述 復(fù)雜的交通系統(tǒng)可以根據(jù)簡(jiǎn)單的自動(dòng)機(jī)進(jìn)行建模 我們?cè)谝粋€(gè)微 觀的層面上用元胞自動(dòng)機(jī)構(gòu)建交通流模型 在這個(gè)方案里 我們?cè)陔x 散的空間和時(shí)間里引進(jìn)汽車依據(jù)一些細(xì)小的規(guī)則運(yùn)作的情況 元胞自動(dòng)機(jī)在進(jìn)行一些具體問(wèn)題的仿真時(shí)很適合 因?yàn)樵谑召M(fèi)站 有很多單獨(dú)的車輛 他們之間都在相互作用 連續(xù)的或宏觀的模型無(wú) 法捕捉到它們之間的相互作用 并且也無(wú)法知道它們?cè)诘竭_(dá)收費(fèi)亭之 前和離開(kāi)收費(fèi)亭之后自發(fā)形成的交通堵塞所扮演的角色 我們首先構(gòu)建了一個(gè)單通道高速公路模型 然后把支付通行費(fèi)所 造成的時(shí)間耽擱加進(jìn)去 在單車道的仿真中 我們可以讓沒(méi)有通過(guò)的 車輛在停止的車輛之后聚集并且排成隊(duì)列 我們可以把這個(gè)模型擴(kuò)展 到多車道的系統(tǒng)模型 在道路進(jìn)入或離開(kāi)一個(gè)收費(fèi)站的多車道系統(tǒng)中 車道的數(shù)量是不連續(xù)的 2 單車道單車道 NS 交通模型交通模型 大多數(shù)用來(lái)仿真交通的自動(dòng)機(jī)是 NS 元胞自動(dòng)機(jī)模型的一般化 NS 模型是用來(lái)仿真交通流的標(biāo)準(zhǔn)工具 并且也已經(jīng)被證實(shí)和實(shí)際結(jié) 果相吻合 我們使用這種自動(dòng)機(jī)創(chuàng)建一個(gè)數(shù)值模型來(lái)證明排隊(duì)理論的預(yù)測(cè) 在 NS 模型中 一輛汽車被一個(gè)整數(shù)位置 x 和整數(shù)速度 v 代表 這些 汽車的移動(dòng)情況由它們的速度 xn xn vn來(lái)決定 該系統(tǒng)通過(guò)以下的程 序發(fā)展 3 NS 算法算法 圖 2 NS 算法的規(guī)律 1 加速 如果汽車能夠在不超過(guò)最大速度 vmax的情況下加速 那 么他的速度增加單位一 vn vn 1 否則該汽車具有一個(gè)恒定的速 vn 2 防止碰撞 如果前車和后車之間的距離 dn小于或等于 vn 那么 第 n 輛車如果不減速的話將會(huì)發(fā)生碰撞 然后 vn dn 1 3 隨機(jī)減速 汽車經(jīng)常會(huì)因?yàn)橐恍┓墙煌ㄒ蛩販p速 如接電話 打翻了咖啡杯 甚至是筆記本電腦 這時(shí)候司機(jī)會(huì)做一些非理性的 選擇 我們假設(shè)這種情況發(fā)生的概率為 pbrake 導(dǎo)致速度 vn vn 1 假 設(shè) vn 0 4 車輛嘗試合并 如果它的正向路徑受阻擋 dR 0 車輛隨機(jī) 選擇預(yù)定的方向 向左或者向右 如果該預(yù)定的方向上被阻止 這輛 車在另一個(gè)方向上移動(dòng) 除非兩個(gè)方向都被阻止 汽車被包圍 這 是符合邊界限制的 也和李凱爾特等人所提出的規(guī)則是一致的 1996 我們選擇的單元格大小為 7 5m 以匹配 NS 模型 因?yàn)橐话闫?車所具有的最大速度位于 30 35m s 簡(jiǎn)單起見(jiàn) 我們還使用了周期性 的邊界條件 我們選擇 Vmax 5 m s 以使得耽擱時(shí)間段接近于 1s 然 后我們放棄了這些邊界條件 因?yàn)殚_(kāi)放條件下的泊松發(fā)生器和接收器 和 M M n 隊(duì)列相吻合 此外 研究結(jié)果表明周期性邊界可能過(guò)分簡(jiǎn) 化了汽車的分布情況 我們?cè)谝粋€(gè)給定車輛密度的初始狀態(tài)下應(yīng)用了這個(gè)算法 這個(gè)系 統(tǒng)是在給定每個(gè)單元格被占用的概率為 c 的條件下創(chuàng)建的 也就是汽 車密度參數(shù) 這和格林和格里菲斯的方法相吻合 NS 模型所得到的結(jié)果和哈利所援引的典型案例比較相似 在圖 3 中 系統(tǒng)在時(shí)間段 i 的狀態(tài)被畫(huà)在第 i 列 白色像素處表示有汽車 黑色像素處是開(kāi)放的空間 這兩幅圖都顯示了被擁堵的車輛打斷的一 般的連續(xù)汽車流 a NS 模型的結(jié)果 c 0 2 p 0 25 b 喬杜里的結(jié)果 圖 3 兩個(gè)模型的典型結(jié)果 4 NS 模型的性能及支持模型的性能及支持 單車道 NS 模型是前后一致 靈活的 并符合已知的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù) NS 模型的一些屬性是可以預(yù)測(cè)分析的 內(nèi)格爾赫爾曼 1993 年 我們使用這些信息以及實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)測(cè)試我們的模型 在極限情況下的 隨機(jī)制動(dòng)概率為零 這對(duì)車輛巡航是可能的 在這種狀態(tài)下車輛總是 以最大速度運(yùn)動(dòng) 相應(yīng)的流量為 J cvmax 只有空間足夠時(shí)這才是有 可能的 一旦 孔的密度 或者給剩余空間賦予 1 c 值 小于這個(gè)流 量的時(shí)候 自由空間的缺乏就會(huì)限制車輛的速度 流量和密度之間的 關(guān)系式為 J c min cvmax 1 c 1 其中 J 是的汽車的流量 即單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)一個(gè)單元格的汽車數(shù)量 c 是汽車的密度 我們?cè)?pbrake 0 的條件下讓 NS 自動(dòng)機(jī)運(yùn)行 20 次 在 平均值和理論值之間達(dá)到良好的一致性 如圖 4 這個(gè)圖雖然美觀 但它只是表明該模型是一致的并且可以近似 得到 并不表明它能代表一個(gè)真實(shí)的系統(tǒng) 我們查閱了車流量的經(jīng)驗(yàn) 數(shù)據(jù) 如圖 5b 顯然 NS 模型是已知數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確近似 另外 也可以使用平均場(chǎng)理論來(lái)描述 NS 模型 即使 Pbrake 0 Vmax 1 的情況用這項(xiàng)技術(shù)也可以得到解決 對(duì)于我們的系統(tǒng) Vmax 5 這使得計(jì)算上比較困難 5 添加延遲添加延遲 延遲防止周期性邊界條件的使用 為了模擬與收費(fèi)站的遭遇 我們必須增加一個(gè)延遲的通暢系統(tǒng) 西蒙和內(nèi)格爾針對(duì)堵塞情況構(gòu)建了 NS 模型 但只有一個(gè)固定的延遲 時(shí)間概率 我們假設(shè)服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布 概率為 1 exp t 任何一個(gè)收費(fèi)站在 t 時(shí)間內(nèi)能夠完成服務(wù) 所以我們也使用這個(gè)假 設(shè)在我們的 NS 模型中描述延遲的情況 引進(jìn)這種延遲時(shí)創(chuàng)建了一個(gè)不對(duì)稱的問(wèn)題 屏障右側(cè)的車輛必須 繞一圈才能夠到達(dá) 收費(fèi)亭 而左邊的車輛將會(huì)立即影響它 因此 我們?cè)谲嚨赖乃姆种缓退姆种熊嚲€上測(cè)量汽車流量 如圖 6 圖 6 中的基本關(guān)系圖 證實(shí)了我們關(guān)于汽車流量和瓶頸 收費(fèi)亭 的相互關(guān)系的直覺(jué) 因?yàn)橄鄬?duì)較低的車流密度 和四分之三行車線處 相比較四分之一行車線處的車流量出現(xiàn)下滑 這超越了瓶頸 因此 繁忙的交通流入 使得車輛比在通過(guò)收費(fèi)亭后更快的聚集成隊(duì)列 這些基本的關(guān)系圖顯示周期邊界條件并不適合這種計(jì)算 在周期 邊界的情況下 隊(duì)列的輸入速率受限制于環(huán)繞在其右側(cè)的車輛 較小 流量 這并不代表真實(shí)的交通堵塞 在沒(méi)有周期邊界的條件下 堵塞 無(wú)法影響他們上游的車輛流量 六 六 模擬完整系統(tǒng)模擬完整系統(tǒng) 1 多車道多車道情況情況 通過(guò)對(duì)單車道自動(dòng)機(jī)添加一個(gè)新的規(guī)則 我們可以建立多車道公 路模型 我們使用單車道模型以確保我們的自動(dòng)機(jī)是現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè) 合適代表 但實(shí)際問(wèn)題是多車道的 雙車道模型的研究比單車道模型 要少 多車道模型更加罕見(jiàn) 喬杜里 2000 年 納格爾 1998 年凱爾 特 1996 年 我們通過(guò)擴(kuò)展自動(dòng)機(jī)的規(guī)則設(shè)置來(lái)描述車道的變化情況 使用增加了一個(gè)規(guī)則的單車道 NS 模型來(lái)研究多車道模型 2 改變公路形狀改變公路形狀 通過(guò)使用多車道自動(dòng)機(jī) 我們可以建立具有現(xiàn)實(shí)中車道變換行為 的多車道公路模型 然而 這仍然不能實(shí)現(xiàn)公路與收費(fèi)亭的數(shù)量之間 的過(guò)渡 若要建立收費(fèi)站 我們引入多個(gè)邊界強(qiáng)制自動(dòng)機(jī)來(lái)改變車道 以 避免觸及邊界 邊界勾勒出從高速公路延伸出往返于一個(gè)更大的收費(fèi) 站的斜坡邊緣的輪廓 圖 8 這是這種模式不一般的惟一方面 通過(guò)引入不同的邊界 我們可以輕松地模擬不同的問(wèn)題 為了模擬在 收費(fèi)亭的等待情況 就像在單車道情況中那樣 我們還在中心位置添 加了一個(gè)延遲 以前的模型假設(shè)路面的寬度是固定的 也就是說(shuō)車道數(shù)量不會(huì) 改變 通過(guò)限制道路的幾何形狀來(lái)表示收費(fèi)站 請(qǐng)注意圖 8 中的 鉆 石 形狀 并引入從收費(fèi)站離開(kāi)合流的行為 我們?cè)跊](méi)有做額外假設(shè) 的前提下增加了模型的靈活性 七 七 MIMIn 隊(duì)列和隊(duì)列和 NS 模型的一致性模型的一致性 MIMIn 隊(duì)列是一種理想化的系統(tǒng) 它預(yù)測(cè)的時(shí)間比實(shí)際收費(fèi)站 的等待時(shí)間短 因?yàn)樗鼪](méi)有考慮隊(duì)列 圖 9 中效率低下的問(wèn)題 但 是 MIMIn 隊(duì)列能夠預(yù)測(cè)正確的分配 此外 MIMIn 隊(duì)列的穩(wěn)定性和 NS 模型的穩(wěn)定性也有很大的不同 如果 n MIMIn 隊(duì)列可以達(dá) 到穩(wěn)定狀態(tài) 為到達(dá)率 為服務(wù)率 n 為收費(fèi)亭的數(shù)量 我們注 意到在對(duì) NS 模型進(jìn)行仿真模擬的時(shí)候 收費(fèi)站前的車輛會(huì)積累的越 來(lái)越多 甚至相應(yīng)的 MIMIn 隊(duì)列處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)也是如此 盡管存在這些明顯的不一致 但是在排隊(duì)論預(yù)測(cè)和觀測(cè)的結(jié)果之 間存在著非常強(qiáng)有力的一致性 從排隊(duì)論分析 我們知道離開(kāi)收費(fèi)站 的汽車數(shù)量的概率分布為 P D d e t d t d 這個(gè)方程提供了關(guān)于隊(duì)列的大量信息 并且這個(gè)概率在元胞自動(dòng)機(jī)模 型中可以很容易的被測(cè)量出來(lái) 我們比較圖 10 中的模擬和理論概率 的分布 這兩個(gè)分布是非常相似的 他們的差異會(huì)變得越來(lái)越小 在 經(jīng)過(guò)104次的迭代后要比 NS 模型的小 2 八 八 時(shí)間自動(dòng)機(jī)模型預(yù)測(cè)時(shí)間自動(dòng)機(jī)模型預(yù)測(cè) 1 收費(fèi)亭收費(fèi)亭的最優(yōu)數(shù)量的最優(yōu)數(shù)量 收費(fèi)亭的最優(yōu)配置能最大限度地減少等待時(shí)間 所以為了確定正 確的收費(fèi)亭數(shù)量 我們需要測(cè)量車輛進(jìn)入收費(fèi)站排隊(duì)等候然后離開(kāi)收 費(fèi)站重新回到告訴公路上的平均時(shí)間 我們通過(guò)跟蹤自動(dòng)機(jī)來(lái)確定從 進(jìn)入到離開(kāi)該系統(tǒng)的平均時(shí)間 1 計(jì)算平均時(shí)間計(jì)算平均時(shí)間 通過(guò)我們系統(tǒng)所需的平均時(shí)間取決于到達(dá)率 控制擁堵 車 道 數(shù)量 以及收費(fèi)亭數(shù)量 我們認(rèn)為平均服務(wù)速率是固定的 為 5 秒 海爾使用 9 秒 1963 不過(guò) 雖然改變服務(wù)率確實(shí)改變平均時(shí)間的長(zhǎng) 短 但這種變化并不影響 n 的最佳值 我們把進(jìn)入車道數(shù)固定為 k 并且搜索到收費(fèi)亭的數(shù)量 n 車輛到 達(dá)率為 對(duì)于不同的 n 和 值我們運(yùn)用元胞自動(dòng)機(jī)模型計(jì)算平均等 待時(shí)間 并且我們是在一個(gè)比較長(zhǎng)的時(shí)間段內(nèi)計(jì)算平均等待時(shí)間 以 消除瞬態(tài)效應(yīng) 不過(guò) 這些范圍應(yīng)該是什么 我們假定 n 不大于車道數(shù)的三或四 倍 我們之所以增加這個(gè)限制 是因?yàn)槲覀冏⒁獾疆?dāng) n 遠(yuǎn)大于 1 的時(shí) 候等待時(shí)間會(huì)劇烈增加 的范圍應(yīng)該由常識(shí)性的限制來(lái)決定 如果 是在一個(gè)時(shí)間段內(nèi)到達(dá)的汽車的平均數(shù) 則 不應(yīng)超過(guò)交通流入的 車道數(shù)量 因?yàn)檫@是道路的物理容量 2 2 車道的最優(yōu)車道的最優(yōu)結(jié)果結(jié)果 我們?cè)试S n 的范圍從 2 到 8 變化 的范圍從 0 到 2 變化 我們 在圖 11 中根據(jù) n 和 的值繪制了平均時(shí)間圖 在該圖中 最小值很明 確地落在 n 4 這條線上 即使對(duì)于不同的 值也是如此 這表明 即使對(duì)于不同的到達(dá)率 最優(yōu)的收費(fèi)亭數(shù)量也是 4 這是一個(gè)非常穩(wěn) 定的解決方案 不需要改變車輛流量率 至少對(duì)典型值來(lái)說(shuō)是這樣的 雖然 4 是收費(fèi)亭的最佳數(shù)目 2 也非常接近最優(yōu) 但 3 這個(gè)結(jié)果非常 差 n 3 時(shí) 額外的增加的這個(gè)車道造成了更嚴(yán)重的交通堵塞 對(duì) 于小的n值 收費(fèi)亭數(shù)量比車道數(shù)多1時(shí) 等待時(shí)間是局部的最大值 3 3 車道的最優(yōu)結(jié)果車道的最優(yōu)結(jié)果 通過(guò)改變 從 0 6 至 2 7 和 n 從 3 9 我們發(fā)現(xiàn) 當(dāng)最小值出現(xiàn) 時(shí) 對(duì)再次獨(dú)立的 n 6 圖 12 圖 11 對(duì)于一個(gè)兩車道系統(tǒng) 設(shè)置 4 個(gè)收費(fèi)站時(shí) 時(shí)間最短 圖 圖 12 對(duì)于三車道系統(tǒng) 設(shè)置 6 個(gè)收費(fèi)站時(shí) 時(shí)間最短 2 多車道情況多車道情況 迄今為止的結(jié)果表明最優(yōu)的收費(fèi)亭數(shù)量總是兩倍于進(jìn)入車道的 數(shù)量 不幸的是 四條車道的情況推翻了這種猜測(cè) 對(duì)于不同的到達(dá) 率 最優(yōu)收費(fèi)亭數(shù)量會(huì)發(fā)生改變 對(duì)一個(gè)小的 來(lái)說(shuō) n 從 6 開(kāi)始變 化 收費(fèi)亭的擁有者可以測(cè)量交通流量 然后根據(jù)需要開(kāi)啟或關(guān)閉收 費(fèi)亭 歸納這些結(jié)果歸納這些結(jié)果 為了確定這些結(jié)果的穩(wěn)定性 我們還對(duì)隨機(jī)制動(dòng)概率為 0 1 而不 僅僅是 0 的情況做了計(jì)算 對(duì)于每個(gè) 值 即使等待時(shí)間發(fā)生變化 收費(fèi)亭的最優(yōu)數(shù)量也不會(huì)變化 對(duì)于任何必要的設(shè)置變化 這個(gè)過(guò)程 都可以進(jìn)行重復(fù) 至此 我們已經(jīng)說(shuō)明了確定收費(fèi)亭最優(yōu)數(shù)量的一般 方法 3 每條車道一個(gè)收費(fèi)站每條車道一個(gè)收費(fèi)站 如果汽車不允許變更車道 每條車道一個(gè)收費(fèi)亭的情況將會(huì)簡(jiǎn)化 為 k 個(gè)相互獨(dú)立的單車道模型 這將相當(dāng)于我們的單車道高速公路 但是我們知道 事實(shí)并非如此 汽車會(huì)傾向于進(jìn)入隊(duì)列最短的車道 我們的結(jié)果中 n k 的情況是典型的非最佳 唯一的例外是雙 車道公路 在這里 n 2 時(shí)的時(shí)間只不過(guò)是勉強(qiáng)長(zhǎng)于 n 4 時(shí) 然 而 這并不是因?yàn)?n k 時(shí)總是 壞的 而是因?yàn)橥ǔＤ苷业揭粋€(gè)更好的 結(jié)果 隨著車道數(shù)目的增加 收費(fèi)亭的數(shù)量也會(huì)顯著增加 如