成都理工大學(xué) 高數(shù)下 重修 PPT D9_5隱函數(shù)求導(dǎo).ppt

第四節(jié) 隱函數(shù)微分法 一 一個方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 定理1 設(shè)函數(shù) 則方程 單值連續(xù)函數(shù)y f x 并有連續(xù) 隱函數(shù)求導(dǎo)公式 定理證明從略 僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) 的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個 在點 的某一鄰域內(nèi)滿足 滿足條件 導(dǎo)數(shù) 兩邊對x求導(dǎo) 在 的某鄰域內(nèi) 則 若F x y 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù) 二階導(dǎo)數(shù) 則還可求隱函數(shù)的 例1 驗證方程 在點 0 0 某鄰域 可確定一個單值可導(dǎo)隱函數(shù) 解 令 連續(xù) 由定理1可知 導(dǎo)的隱函數(shù) 則 在x 0的某鄰域內(nèi)方程存在單值可 且 并求 兩邊對x求導(dǎo) 兩邊再對x求導(dǎo) 令x 0 注意此時 導(dǎo)數(shù)的另一求法 利用隱函數(shù)求導(dǎo) 定理2 若函數(shù) 的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 則方程 在點 并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 定一個單值連續(xù)函數(shù)z f x y 定理證明從略 僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下 滿足 在點 滿足 某一鄰域內(nèi)可唯一確 兩邊對x求偏導(dǎo) 同樣可得 則 例2 設(shè) 解法1利用隱函數(shù)求導(dǎo) 再對x求導(dǎo) 解法2利用公式 設(shè) 則 兩邊對x求偏導(dǎo) 例3 設(shè)F x y 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 解法1利用偏導(dǎo)數(shù)公式 確定的隱函數(shù) 則 已知方程 故 對方程兩邊求微分 解法2微分法 二 方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù) 隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形 由F G的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式 稱為F G的雅可比行列式 以兩個方程確定兩個隱函數(shù)的情況為例 即 雅可比 定理3 的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏 設(shè)函數(shù) 則方程組 的單值連續(xù)函數(shù) 且有偏導(dǎo)數(shù)公式 在點 的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件 滿足 導(dǎo)數(shù) 有隱函數(shù)組 則 兩邊對x求導(dǎo)得 設(shè)方程組 在點P的某鄰域內(nèi) 解的公式 故得 系數(shù)行列式 同樣可得 例4 設(shè) 解 方程組兩邊對x求導(dǎo) 并移項得 求 由題設(shè) 故有 練習(xí) 設(shè) 求 提示 習(xí)題 分別由下列兩式確定 又函數(shù) 有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) 1 設(shè) 解 兩個隱函數(shù)方程兩邊對x求導(dǎo) 得 解