第4講 數學概念的劃分和命題.ppt

第四講數學概念和命題 數學概念的劃分 概念的內涵借助于定義來揭示 那么概念的外延借助于哪種方法來揭示呢 前面講述的概念間的關系是揭示外延的一種方法 此外還有借助于概念的劃分來揭示概念外延的方法 概念的劃分是把一個屬概念 按一定標準分為若干個不相容的種概念的邏輯方法 劃分是一種科學的分類 與通常將某一事物分成若干種情況的說法 在意義上有較大差別 劃分必須按一定標準進行 邏輯學上的劃分是一種專有名詞的任何劃分包含三部分 它們是劃分的母項 屬概念 劃分的子項 各個種概念 以及劃分的標準 劃分必須遵守一定的原則 要求 劃分必須按照同一標準 定義所規(guī)定 劃分的各子項間必須是不相容關系 定義所規(guī)定 劃分必須相稱 即劃分的子項的外延之和必須等于被劃分的屬概念的外延 劃分不能越級 而被劃分的屬概念必須是劃分的各子概念的最鄰近的屬概念 是保證劃分的一致性 不能混亂 要求 和 是保證劃分 不漏 不重 要求 是保證劃分層次分明 清晰 合理 不符合要求 和 劃分中沒有同一標準 且各子項關系不是不相容關系 不符合要求 其中只有兩邊相等的三角形被漏掉 不符合要求 直角梯形最鄰近的屬是梯形 而不是四邊形 按劃分的要求 四邊形應劃分為 這樣的劃分是按照標準 四邊形的每組對邊的平行關系 其中沒有一組對邊平行為一類 只有一組對邊平行為一類 有兩組對邊平行為一類 共三類 故劃分為個子項 數學的判斷判斷同概念一樣也是思維的一種形式 它反映了概念與概念的聯系 判斷表達人們對思維對象具有某種屬性或不具有某種間的屬性的斷定判斷是對思維對象有所斷定的思維形式 判斷必須通過語言或符號來表達與用詞語表達概念不同 判斷的表達形式是語句 我們將表達判斷的語句叫做命題 這3個語句都是判斷 它們都表達了對思維對象的性質或關系作出了肯定或否定 命題是一種特殊表達形式的語句 有所斷定 是判斷的基本特征 如 4是素數嗎 不是判斷 無所斷定的語句不是判斷即不是命題 因為它既沒有肯定什么 也沒有否定什么 命題具有真 假意義如 凡直角都相等 是真的 正三角形是中心對稱圖形 是假的 因此可知 命題是具有真假意義的語句 具有真意義的命題稱為真命題 反之為假命題 判斷的種類在邏輯學中 判斷可按不同的標準進行分類 按判斷的量分類 有全稱判斷 特稱判斷按判斷的質分類 有肯定判斷 否定判斷按判斷的關系分類 有直言判斷 假言判斷 選言判斷按質與量來分 共有4類 按判斷本身是否還包含有其他判斷可分為簡單判斷和復合判斷 簡單判斷是不包含有其他判斷的判斷 復合判斷是包含有至少一個其他判斷的判斷 如下列的判斷分別是相應的簡單判斷和復合判斷 1 所有的自然數不是無理數 簡單判斷 性質判斷 2 2小于3 簡單判斷 關系判斷 3 如果兩個角是對頂角 那么這兩個角相等 復合判斷 充分條件假言判斷 4 一個自然數只有能被3整除 才能被9整除 復合判斷 必要條件假言判斷 5 當且僅當兩直線的斜率相等時 這兩直線才平行 復合判斷 充分必要條件假言判斷 6 平面上的兩直線若不平行 則互相垂直或互相不垂直 復合判斷 選言判斷 7 3既是整數又是實數 復合判斷 聯言判斷 8 并非所有實數都是有理數 復合判斷 負判斷 數學命題 1 數學命題的意義3 2 a b 2 a2 2ab b2 ABC A B C 判斷有真假之分 命題也相應地有真假之分 用A B C或者p q r表示任意的命題 當p是真命題時 記作 p 1 p是假命題時 記作 p 0 1和0稱為命題的真值 2 命題的基本運算命題的基本運算有否定 非 合取 與 析取 或 蘊涵 若 則 等價 當且僅當 等 1 否定 2 合取 3 析取 4 蘊涵 5 等價 非 與 或 若 則 當且僅當統稱為邏輯聯結詞 在一個命題中若沒有邏輯聯結詞出現 則該命題稱為簡單命題 否則叫做復合命題 以p q分別表示簡單命題 以上五個聯結詞結合簡單命題形成如下五類復合命題 負命題聯言命題選言命題充分條件假言命題充分必要條件假言命題 3 命題運算律 1 復合命題的真值 一個復合命題的真值取決于構成它的各個命題的值 可以利用真值表來計算 2 命題運算中常用的定律 數學命題的四種形式及其關系 在數學中 為了全面地研究命題中條件和結論的邏輯聯系 往往把一個命題的條件和結論換位 或者把條件和結論變?yōu)樗鼈兊姆穸?就可以得到三個新的命題 互逆關系 互否關系 互逆否關系 例1原命題 若一個四邊形是平行四邊形 則它的對角線互相垂直 假 逆命題 若一個四邊形的對角線互相垂直 則它是平行四邊形 假 否命題 若一個四邊形不是平行四邊形 則它的對角線不互相垂直 假 逆否命題 若一個四邊形的對角線不互相垂直 則它不是平行四邊形 假 例2原命題 在 ABC中 若AB AC 則 C B 真 逆命題 在 ABC中 若 C B 則AB AC 真 否命題 在 ABC中 若AB AC 則 C B 真 逆否命題 在 ABC中 若 C B