應(yīng)力狀態(tài)分析.ppt

第九章應(yīng)力狀態(tài)分析與強度理論 材料力學(xué) 第九章應(yīng)力狀態(tài)分析和強度理論 9 1應(yīng)力狀態(tài)的概念 9 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 解析法 9 3平面應(yīng)力狀態(tài)分析 圖解法 9 4梁的主應(yīng)力及其主應(yīng)力跡線 9 5三向應(yīng)力狀態(tài)研究 應(yīng)力圓法 9 6平面內(nèi)的應(yīng)變分析 9 7復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系 廣義虎克定律 9 8復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能 9 應(yīng)力狀態(tài)的概念 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 一 引言 1 鑄鐵與低碳鋼的拉 壓 扭試驗現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的 鑄鐵 2 組合變形桿將怎樣破壞 四 普遍狀態(tài)下的應(yīng)力表示 三 單元體 單元體 構(gòu)件內(nèi)的點的代表物 是包圍被研究點的無限小的幾何體 常用的是正六面體 單元體的性質(zhì) a 平行面上 應(yīng)力均布 b 平行面上 應(yīng)力相等 二 一點的應(yīng)力狀態(tài) 過一點有無數(shù)的截面 這一點的各個截面上應(yīng)力情況的集合 稱為這點的應(yīng)力狀態(tài) StateofStressataGivenPoint x y z s x sz s y 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) x y z s x sz s y 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 五 剪應(yīng)力互等定理 TheoremofConjugateShearingStress 過一點的兩個正交面上 如果有與相交邊垂直的剪應(yīng)力分量 則兩個面上的這兩個剪應(yīng)力分量一定等值 方向相對或相離 六 原始單元體 已知單元體 例1畫出下列圖中的A B C點的已知單元體 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 七 主單元體 主面 主應(yīng)力 主單元體 Principalbidy 各側(cè)面上剪應(yīng)力均為零的單元體 主面 PrincipalPlane 剪應(yīng)力為零的截面 主應(yīng)力 PrincipalStress 主面上的正應(yīng)力 主應(yīng)力排列規(guī)定 按代數(shù)值大小 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) s1 s2 s3 x y z sx sy sz 單向應(yīng)力狀態(tài) UnidirectionalStateofStress 一個主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài) 二向應(yīng)力狀態(tài) PlaneStateofStress 一個主應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài) 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 三向應(yīng)力狀態(tài) Three DimensionalStateofStress 三個主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài) 9 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 解析法 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 規(guī)定 截面外法線同向為正 ta繞研究對象順時針轉(zhuǎn)為正 a逆時針為正 圖1 設(shè) 斜截面面積為S 由分離體平衡得 一 任意斜截面上的應(yīng)力 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 圖1 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 考慮剪應(yīng)力互等和三角變換 得 同理 二 極值應(yīng)力 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 在剪應(yīng)力相對的項限內(nèi) 且偏向于 x及 y大的一側(cè) 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 例2分析受扭構(gòu)件的破壞規(guī)律 解 確定危險點并畫其原始單元體 求極值應(yīng)力 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) O 破壞分析 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 鑄鐵 9 3平面應(yīng)力狀態(tài)分析 圖解法 對上述方程消去參數(shù) 2 得 一 應(yīng)力圓 StressCircle 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 此方程曲線為圓 應(yīng)力圓 或莫爾圓 由德國工程師 OttoMohr引入 建立應(yīng)力坐標系 如下圖所示 注意選好比例尺 二 應(yīng)力圓的畫法 在坐標系內(nèi)畫出點A x xy 和B y yx AB與sa軸的交點C便是圓心 以C為圓心 以AC為半徑畫圓 應(yīng)力圓 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 三 單元體與應(yīng)力圓的對應(yīng)關(guān)系 四 在應(yīng)力圓上標出極值應(yīng)力 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 例3求圖示單元體的主應(yīng)力及主平面的位置 單位 MPa A B 解 主應(yīng)力坐標系如圖 AB的垂直平分線與sa軸的交點C便是圓心 以C為圓心 以AC為半徑畫圓 應(yīng)力圓 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) s1 s2 在坐標系內(nèi)畫出點 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) s1 s2 主應(yīng)力及主平面如圖 A B 解法2 解析法 分析 建立坐標系如圖 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 9 4梁的主應(yīng)力及其主應(yīng)力跡線 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 如圖 已知梁發(fā)生剪切彎曲 橫力彎曲 其上M Q 0 試確定截面上各點主應(yīng)力大小及主平面位置 單元體 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 1 s1 s3 s3 s1 s3 4 s1 s1 s3 5 a0 45 a0 s t A1 A2 D2 D1 C O s A2 D2 D1 C A1 O t 2a0 s t D2 D1 C D1 O 2a0 90 s D2 A1 O t 2a0 C D1 A2 s t A2 D2 D1 C A1 O 主應(yīng)力跡線 StressTrajectories 主應(yīng)力方向線的包絡(luò)線 曲線上每一點的切線都指示著該點的拉主應(yīng)力方位 或壓主應(yīng)力方位 實線表示拉主應(yīng)力跡線 虛線表示壓主應(yīng)力跡線 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) x y 主應(yīng)力跡線的畫法 1 1截面 2 2截面 3 3截面 4 4截面 i i截面 n n截面 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 9 5三向應(yīng)力狀態(tài)研究 應(yīng)力圓法 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 1 空間應(yīng)力狀態(tài) 2 三向應(yīng)力分析 彈性理論證明 圖a單元體內(nèi)任意一點任意截面上的應(yīng)力都對應(yīng)著圖b的應(yīng)力圓上或陰影區(qū)內(nèi)的一點 圖a 圖b 整個單元體內(nèi)的最大剪應(yīng)力為 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 例4求圖示單元體的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力 MPa 解 由單元體圖知 yz面為主面 建立應(yīng)力坐標系如圖 畫應(yīng)力圓和點 1 得 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 50 40 30 A B C 9 6平面內(nèi)的應(yīng)變分析 一 疊加法求應(yīng)變分析公式 剪應(yīng)變 直角的增大量 只有這樣 前后才對應(yīng) 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 2 已知一點A的應(yīng)變 畫應(yīng)變圓 二 應(yīng)變分析圖解法 應(yīng)變圓 StrainCircle 1 應(yīng)變圓與應(yīng)力圓的類比關(guān)系 建立應(yīng)變坐標系如圖 在坐標系內(nèi)畫出點A x xy 2 B y yx 2 AB與 a軸的交點C便是圓心 以C為圓心 以AC為半徑畫圓 應(yīng)變圓 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 三 方向上的應(yīng)變與應(yīng)變圓的對應(yīng)關(guān)系 n 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 四 主應(yīng)變數(shù)值及其方位 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 例5已知一點在某一平面內(nèi)的 1 2 3 方向上的應(yīng)變 1 2 3 三個線應(yīng)變 求該面內(nèi)的主應(yīng)變 解 由 i 1 2 3這三個方程求出 x y xy 然后在求主應(yīng)變 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 例6用45 應(yīng)變花測得一點的三個線應(yīng)變后 求該點的主應(yīng)變 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 9 7復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系 廣義虎克定律 一 單拉下的應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系 二 純剪的應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 三 復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系 依疊加原理 得 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) sz sy sx 主應(yīng)力 主應(yīng)變關(guān)系 四 平面狀態(tài)下的應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系 方向一致 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 主應(yīng)力與主應(yīng)變方向一致 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 五 體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系 體積應(yīng)變 體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 例7已知一受力構(gòu)件自由表面上某一點處的兩個面內(nèi)主應(yīng)變分別為 1 240 10 6 2 160 10 6 彈性模量E 210GPa 泊松比為 0 3 試求該點處的主應(yīng)力及另一主應(yīng)變 所以 該點處的平面應(yīng)力狀態(tài) 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 例8圖a所示為承受內(nèi)壓的薄壁容器 為測量容器所承受的內(nèi)壓力值 在容器表面用電阻應(yīng)變片測得環(huán)向應(yīng)變 t 350 l06 若已知容器平均直徑D 500mm 壁厚 10mm 容器材料的E 210GPa 0 25 試求 1 導(dǎo)出容器橫截面和縱截面上的正應(yīng)力表達式 2 計算容器所受的內(nèi)壓力 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) s1 sm p O 圖a 1 軸向應(yīng)力 longitudinalstress 解 容器的環(huán)向和縱向應(yīng)力表達式 用橫截面將容器截開 受力如圖b所示 根據(jù)平衡方程 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 用縱截面將容器截開 受力如圖c所示 2 環(huán)向應(yīng)力 hoopstress 3 求內(nèi)壓 以應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系求之 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 9 8復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 稱為形狀改變比能或歪形能 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 例9用能量法證明三個彈性常數(shù)間的關(guān)系 純剪單元體的比能為 純剪單元體比能的主應(yīng)力表示為 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài) 9 9強度理論的概念 9 10四個強度理論及其相當應(yīng)力 9 11莫爾強度理論及其相當應(yīng)力 9 12強度理論的應(yīng)用 一 引子 9 9強度理論的概念 強度理論 1 鑄鐵與低碳鋼的拉 壓 扭試驗現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的 鑄鐵 2 組合變形桿將怎樣破壞 二 強度理論 是關(guān)于 構(gòu)件發(fā)生強度失效 failurebyloststrength 起因 的假說 1 伽利略播下了第一強度理論的種子 三 材料的破壞形式 屈服 斷裂 2 馬里奧特關(guān)于變形過大引起破壞的論述 是第二強度理論的萌芽 3 杜奎特 C Duguet 提出了最大剪應(yīng)力理論 4 麥克斯威爾最早提出了最大畸變能理論 maximumdistortionenergytheory 這是后來人們在他的書信出版后才知道的 強度理論 9 10四個強度理論及其相當應(yīng)力 一 最大拉應(yīng)力 第一強度 理論 認為構(gòu)件的斷裂是由最大拉應(yīng)力引起的 當最大拉應(yīng)力達到單向拉伸的強度極限時 構(gòu)件就斷了 1 破壞判據(jù) 2 強度準則 3 實用范圍 實用于破壞形式為脆斷的構(gòu)件 強度理論 二 最大伸長線應(yīng)變 第二強度 理論 認為構(gòu)件的斷裂是由最大拉應(yīng)力引起的 當最大伸長線應(yīng)變達到單向拉伸試驗下的極限應(yīng)變時 構(gòu)件就斷了 1 破壞判據(jù) 2 強度準則 3 實用范圍 實用于破壞形式為脆斷的構(gòu)件 強度理論 三 最大剪應(yīng)力 第三強度 理論 認為構(gòu)件的屈服是由最大剪應(yīng)力引起的 當最大剪應(yīng)力達到單向拉伸試驗的極限剪應(yīng)力時 構(gòu)件就破壞了 1 破壞判據(jù) 3 實用范圍 實用于破壞形式為屈服的構(gòu)件 2 強度準則 強度理論 四 形狀改變比能 第四強度 理論 認為構(gòu)件的屈服是由形狀改變比能引起的 當形狀改變比能達到單向拉伸試驗屈服時形狀改變比能時 構(gòu)件就破壞了 1 破壞判據(jù) 2 強度準則 3 實用范圍 實用于破壞形式為屈服的構(gòu)件 強度理論 9 11莫爾強度理論及其相當應(yīng)力 莫爾認為 最大剪應(yīng)力是使物體破壞的主要因素 但滑移面上的摩擦力也不可忽略 莫爾摩擦定律 綜合最大剪應(yīng)力及最大正應(yīng)力的因素 莫爾得出了他自己的強度理論 強度理論 近似包絡(luò)線 極限應(yīng)力圓的包絡(luò)線 O t s 一 兩個概念 1 極限應(yīng)力圓 2 極限曲線 極限應(yīng)力圓的包絡(luò)線 envelope 強度理論 2 強度準則 1 破壞判據(jù) 二 莫爾強度理論 任意一點的應(yīng)力圓若與極限曲線相接觸 則材料即將屈服或剪斷 強度理論 三 相當應(yīng)力 強度準則的統(tǒng)一形式 其中 相當應(yīng)力 強度理論 3 實用范圍 實用于破壞形式為屈服的構(gòu)件及其拉壓極限強度不等的處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的脆性材料的破壞 巖石 混凝土等 9 12強度理論的應(yīng)用 一 強度計算的步驟 1 外力分析 確定所需的外力值 2 內(nèi)力分析 畫內(nèi)力圖 確定可能的危險面 3 應(yīng)力分析 畫危面應(yīng)力分布圖 確定危險點并畫出單元體 求主應(yīng)力 4 強度分析 選擇適當?shù)膹姸壤碚?計算相當應(yīng)力 然后進行強度計算 強度理論 二 強度理論的選用原則 依破壞形式而定 1 脆性材料 當最小主應(yīng)力大于等于零時 使用第一理論 3 簡單變形時 一律用與其對應(yīng)的強度準則 如扭轉(zhuǎn) 都用 2 塑性材料 當最小主應(yīng)力大于等于零時 使用第一理論 4 破壞形式還與溫度 變形速度等有關(guān) 當最小主應(yīng)力小于零而最大主應(yīng)力大于零時 使用莫爾理論 當最大主應(yīng)力小于等于零時 使用第三或第四理論 其它應(yīng)力狀態(tài)時 使用第三或第四理論 強度理論 解 危險點A的應(yīng)力狀態(tài)如圖 例1直徑為d 0 1m的圓桿受力如圖 T 7kNm P 50kN 為鑄鐵構(gòu)件 40MPa