薄板振動特性的實驗研究.doc

畢業(yè)設(shè)計（論文）任務(wù)書專業(yè) 機械設(shè)計制造及其自動化 班級 機械067姓名 張鵬 下發(fā)日期 20?-?-?題目薄板結(jié)構(gòu)振動特性的實驗研究專題主要內(nèi)容及要求主要技術(shù)參數(shù)進(jìn)度及完成日期教學(xué)院長簽字日 期教研室主任簽字日 期指導(dǎo)教師簽字日 期指 導(dǎo) 教 師 評 語 指導(dǎo)教師: 年 月 日指 定 論 文 評 閱 人 評 語 評閱人: 年 月 日答 辯 委 員 會 評 語評定成績指導(dǎo)教師給定成績(30%)評閱人給定成績(30%)答辯成績（40%）總 評答辯委員會主席簽字青島理工大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書摘要隨著科技水平的發(fā)展，隨著振動理論以及結(jié)構(gòu)學(xué)的發(fā)展，越來越多的結(jié)構(gòu)，開始使用薄板，薄板，即為厚度小于長度方向的1/6。由于薄板，重量輕，體積小，節(jié)省材料。在一定程度上，尤其是對以工業(yè)生產(chǎn)，可以降低成本。但是，由于薄板的厚度比較薄，在實際情況中的振動，尤其是長期的振動條件下，損壞可能會較嚴(yán)重。為了解決薄板的耐震壽命，以及了解在振動環(huán)境中，薄板結(jié)構(gòu)的振動特點，做了實驗研究。首先，薄板的理論研究，已經(jīng)趨于成熟。無論是從基本的薄板的振動理論，還是發(fā)展到今天的各種薄板振動精確解的求解方法。所以，對于理論的學(xué)習(xí)，是做薄板振動實驗的基礎(chǔ)。從理論的角度，了解了薄板結(jié)構(gòu)在邊界條件下的振動特點，包括振動阻尼、頻率以及振型函數(shù)的特點。其次，是對于實驗儀器的選擇。包括，激振方式的選擇，傳感器的選擇，以及后續(xù)處理實驗設(shè)備的選擇和選擇的注意事項。再次，在實驗?zāi)M條件下，進(jìn)行薄板的振動研究。通過力錘進(jìn)行敲擊，通過傳感器采集信號，以及后續(xù)的處理系統(tǒng)，得到薄板振動的振型函數(shù)、振動頻率、以及直觀的了解薄板結(jié)構(gòu)在試驗狀態(tài)下的振動特點，分析了自由振動條件下和強迫振動條件下，薄板結(jié)構(gòu)的振動特點，而且還分析了，不同的試驗條件下，不同的輸入條件下得到不同的輸出響應(yīng)，以及各自的特點。本文對薄板結(jié)構(gòu)的振動特性做了實驗研究。重點探討了，在不同的激振條件下，薄板結(jié)構(gòu)所表現(xiàn)出來的振動特性。即在三種不同情況下，包括單輸入單輸出（SISO）、單輸入多輸出（SIMO）和多輸入多輸出（MIMO）情況下，薄板結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出來的各自的振動特點，以及不同點。從而驗證了理論研究中，所得到的結(jié)果。而且，還可以通過比較，確定在實際的情況中，根據(jù)不同的需要，使用不同的約束條件、可以避免減少對薄板結(jié)構(gòu)的損害，延長耐振壽命。關(guān)鍵詞：薄板結(jié)構(gòu)；振動特性；實驗研究AbstractWith the development of scientific and technological level, with the development of the vibration theory and the structure of science, more and more of the structure, start using the thin plate, that is, the length of the direction of thickness of less than 1 / 6. As the thin, light weight, small size, material savings. To some extent, especially in industrial production, to reduce costs. However, due to the thickness of thin sheet metal, the vibration in the actual case, especially in long-term vibration conditions, the damage may be more serious. In order to solve the seismic plate life, and to understand the vibration environment, the vibration characteristics of thin plate and do experiments.Fristly，the thin plate theoryhas been maturing. Either from the basic theory of thin plate, or developed to a variety of thin plate solution of the exact solutions. Therefore, study of the theory is the basis for doing sheet metal vibration test. From a theoretical point of view, understanding of the thin structure in the vibration characteristics of the boundary conditions, including vibration damping, frequency and vibration mode function features.Secondly, the choice of the experimental apparatus. Include the choice of excitation methods, sensor selection, and subsequent processing laboratory equipment selection and choice of notes.Thirdly, the experiment simulated conditions, to the vibration of sheet metal. Carried out by hammer tapping, collecting signals through sensors, and follow-up treatment systems, are rectangular plate vibration mode function, vibration frequency, and the intuitive understanding of thin plate vibration in the experimental conditions to the characteristics of the free vibration conditions and under forced vibration, the vibration characteristics of thin plate structures, but also analyzes the different experimental conditions, different input conditions are different output response, and their respective characteristics. In this paper, thin structure of the vibration characteristics is studied. Focus on, and at different excitation conditions, plate structure shown by vibration. That is, in three different cases, including single-input single-output (SISO), single-input multiple-output (SIMO) and multiple-input multiple-output (MIMO) case, the thin plate shown their vibration characteristics, and different points. To verify the theoretical study, the results obtained. Moreover, it can be compared to determine the actual situation, according to the different needs of different constraints, can be avoided to reduce the damage to the sheet structure, vibration-resistant to extend life span.Keywords: thin plate; vibration characteristics; experimental study目錄摘要IABSTRACTII第1章 緒論11.1 課題研究的意義及現(xiàn)狀11.2 薄板理論的發(fā)展簡況11.3 振動實驗研究的發(fā)展簡況21.4 論文主要研究內(nèi)容3第2章 薄板振動的基本原理42.1 振動的基本概念以及特點42.1.1 振動的基本概念42.1.2 振動的基本特征量42.1.3 振動的基本形式42.2 薄板的橫向振動的微分方程42.2.1 彈性薄板橫向振動的基本假設(shè)52.2.2 彈性薄板橫向振動的幾何方程與物理方程52.2.3 彈性薄板的內(nèi)力分析82.2.4 彈性薄板自由振動的微分方程和邊界條件102.3 矩形板的固有振動112.3.1 四邊簡支矩形板122.3.2 一對邊簡支一對邊任意的矩形板142.4 薄板的強迫振動16第3章 薄板振動的實驗研究183.1 研究振動的意義183.2 研究薄板振動的意義193.3 工程測振的一般方法193.4 實驗儀器的選擇203.4.1 激振方式的選擇203.4.2 激振試驗設(shè)備的選擇223.4.3 傳感器的選擇233.5 不同試驗條件下，薄板振動特性的研究283.5.1 自由振動下，薄板振動特性的研究303.5.2 諧振激勵下，薄板振動特性的研究303.5.3 三種不同的激勵方式下的，薄板振動特性的研究30致謝31附件132附件24950第1章 緒論1.1 課題研究的意義及現(xiàn)狀近年來，隨著結(jié)構(gòu)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域的不斷發(fā)展，在航空航天領(lǐng)域，船舶海洋領(lǐng)域，以及機械、汽車、電子領(lǐng)域，薄板結(jié)構(gòu)的應(yīng)用日趨廣泛，相較于傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，薄板結(jié)構(gòu)的主要優(yōu)勢在于重量輕，體積小，節(jié)省材料。在今天全球性的資源短缺，節(jié)約資源已成為各個行業(yè)不可避免的課題。采用薄板結(jié)構(gòu)，雖然節(jié)省了材料，但是相對于厚板結(jié)構(gòu)，薄板結(jié)構(gòu)的振動有其不穩(wěn)定性。換句話說，在相同的激勵下，薄板結(jié)構(gòu)所表現(xiàn)出來的振動特性，往往更容易產(chǎn)生不穩(wěn)定相。如何使薄板結(jié)構(gòu)的振動趨于穩(wěn)定，并將薄板結(jié)構(gòu)更好的應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)中，就成了科研工作者研究的重要課題之一。在工程上，越來越多的結(jié)構(gòu)采用板殼結(jié)構(gòu)，比如艦船甲板和外殼、海洋平臺導(dǎo)管架等的主體結(jié)構(gòu)都采用板殼構(gòu)件。但是，對于這類板殼結(jié)構(gòu)，在使用過程中，可能受到比較嚴(yán)重的振動，振動會影響精密儀器設(shè)備的功能、降低加工精度、加劇構(gòu)件的疲勞和磨損，縮短機器的使用壽命，最為嚴(yán)重的是會影響結(jié)構(gòu)本身的安全和正常使用，所以我們需要研究薄板的振動特性，進(jìn)而控制薄板的振動。1.2 薄板理論的發(fā)展簡況本文研究的薄板屬于彈性板，所以植根于彈性板理論。作用在結(jié)構(gòu)上的載荷有靜載荷和動載荷之分。建立基本方程的時候，一般都是從靜載荷作用下的結(jié)構(gòu)開始研究的。但是關(guān)于板的研究，卻是從板的自由振動開始研究的。彈性板理論隸屬于應(yīng)用彈性理論的范疇。彈性理論的建立，開始于法國工程師、橋梁專家Navier，L.M.H(17851836)在1821年給出的彈性體平衡和微分方程。但是有關(guān)彈性板的研究，卻開始于1766年，著名的科學(xué)家Euler，L.（17071783）對薄膜振動的研究。他在描述一個薄膜振動振動時，將薄膜當(dāng)做由兩組相互正交，且拉緊的線條組成。從而解決的圓形與矩形薄膜的自由振動問題。而且給出了數(shù)學(xué)表達(dá)式： （1-1）其中，為撓度，A、B為兩個常量。歐拉的學(xué)生Jacques Bernoulli（17591789）將歐拉的比擬用于板的彎曲，從而給出方程， （1-2）認(rèn)為橫向載荷強度q是由x、y兩組梁來分擔(dān)的。但是，這只是近似方程。而且，兩梁截面的交線在變形后仍是兩條線，這是由于，Bernoulli的理論仍采用了梁理論中的平面假設(shè)導(dǎo)致的。在實際情況，以及后來的研究中發(fā)現(xiàn)，該理論還是忽略了扭轉(zhuǎn)所承擔(dān)的一部分載荷。1808年，德國物理學(xué)家Chladni，E.F.F在做板的振動試驗中，反現(xiàn)了自由振動的各種振型，這引起了極大的關(guān)注。隨后，很多的科學(xué)家開始參與“探求板振動的數(shù)學(xué)理論”，并要求實驗驗證，這項活動中。正是在這項活動中，法國數(shù)學(xué)家Sophie Germain（17761831），從彎曲形變能的積分式出發(fā)，用變分原理得到了撓度的微分方程，而后拉格朗日對其理論進(jìn)行了修改，得到了索菲諾曼-拉格朗日方程： （1-3）彈性理論奠基人Navier給出了第一個完整的板彎理論，他以傅里葉提出的三角級數(shù)理論為依據(jù)，給出了雙三角計數(shù)法，用于求解四邊簡支的矩形板的彎曲問題。1829年泊松進(jìn)一步修改了板的理論，提出了方程： （1-4）同時，泊松還討論了板的邊界條件。給出的邊界條件方程與現(xiàn)在通用的是一致的。他要求有三個邊界條件，但是板的控制微分方式是四階的，而一邊上三個邊界條件，相矛盾。1850年，kirchhoff提出了薄板的兩個基本假設(shè)，確立了板彎理論。糾正了泊松的矛盾，指出邊界條件只存在兩個。之后，Kelvin應(yīng)用圣維南定理，解釋了邊界條件只需要兩個的原因。19世紀(jì)末，levy，M.（18381910）研究了對邊簡支另兩邊任意的矩形板，提出了“單三角計數(shù)法”。之后，又有很多專著出現(xiàn)。隨著深入研究，克?；舴蜷_始考慮非線性板問題。1907年，von karman提出了重要的著名的卡曼方程組。由于現(xiàn)代航空航天、造船、建筑、橋梁、公路等發(fā)展迅速，對板結(jié)構(gòu)的分析提出了更高的要求。所以，再繼續(xù)追求板的精確解的同時，也在致力于近似解的研究。比如說，李茲發(fā)，伽遼金法，差分法的應(yīng)用越來越廣泛。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，有限元法、有限條法、邊界積分法等，也開始廣泛應(yīng)用。1.3 振動實驗研究的發(fā)展簡況最早，振動試驗只應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域，為了保證在大量資金的投入下，可以把損失減到最小。之后，隨著科技的不斷進(jìn)步，以及工業(yè)的快速發(fā)展，更多的領(lǐng)域開始要求產(chǎn)品或者一起的可靠性、穩(wěn)定性和耐用性。尤其是對，那些使用在振動環(huán)境中的儀器設(shè)備，或者是長期使用在惡劣環(huán)境中，都要要求儀器的準(zhǔn)確性、抗干擾性以及使用效果。所以，振動試驗開始出現(xiàn)在平常的工業(yè)生產(chǎn)中，為了保證儀器的或者產(chǎn)品的質(zhì)量，都要做振動試驗。而且，對于研究某種結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性、耐振性、以及改正結(jié)構(gòu)中的不足，都要使用振動試驗。20世紀(jì)80年代以來，振動測試儀器有了顯著的進(jìn)步，如傳遞函數(shù)分析儀、實時頻率分析儀和快速傅里葉分析儀的相繼應(yīng)用，并與電子計算機相結(jié)合，為振動測試和測試結(jié)果的分析處理提供了方便的條件，從而也進(jìn)一步推動了振動理論的研究和發(fā)展。系統(tǒng)的振動特性也可以應(yīng)用激光全息照相法拍下實物或模型在振動時的全息照片，根據(jù)全息照片中的干涉條紋圖案來分析。進(jìn)入21世紀(jì)以來，隨著電子計算機的發(fā)展，以及各種集成技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)在的振動試驗，使用到的儀器，趨于集成化、智能化和靈敏化。不再是振動試驗的各個部分獨立出來，而是把分析、顯示儀器集成到一起，利用電子計算機的快速運算能力以及準(zhǔn)確性，短時間內(nèi)得到想要的結(jié)果，提高了效率和準(zhǔn)確性。1.4 論文主要研究內(nèi)容本論文主要研究在實驗條件下，薄板結(jié)構(gòu)的振動特性。包括在給定的激勵之下，不同的試驗條件下，薄板結(jié)構(gòu)所表現(xiàn)出來的振動特性，測量實驗的頻響函數(shù)，以及識別結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，并對不同激勵下和不同實驗條件下的特性和參數(shù)進(jìn)行比較分析。全文的主要內(nèi)容包括以下幾個方面：首先，介紹薄板振動的概念和特點，主要包括薄板振動的模態(tài)參數(shù)，薄板振動的振型參數(shù)。其次，在對薄板振動概念和特點的基礎(chǔ)上，重點討論彈性薄板橫向振動的微分方程，包括彈性薄板橫向振動的假設(shè)條件、幾何與物理方程、內(nèi)力分析，以及彈性薄板在不同的邊界條件下所表現(xiàn)出來的試驗特性一邊簡支，三邊自由、一對邊簡支，一對邊自由、四邊簡支、三邊簡支，一邊自由的情況。本文還討論了薄板的固有振動和強迫振動。最后，通過實驗了解研究傳感器在不同的位置，所測定的薄板振動的模態(tài)參數(shù)，對了解薄板振動特點的影響，以及，各種不同的輸入條件下，包括，單輸入單輸出、單入多輸出和多輸入多輸出，薄板的振動特點，所表現(xiàn)出來的實驗特性的不同性質(zhì)，以便，在以后實際的研究中，對不同的薄板結(jié)構(gòu)和采用不同的測振方法，達(dá)到比較好的測振效果。第2章 薄板振動的基本原理2.1 振動的基本概念以及特點2.1.1 振動的基本概念從廣義上說，振動是任何一個物理量在某一位置附近發(fā)生周期性的變化，從狹義上說，振動是物體在一定位置附近的往返運動，也叫做機械振動。2.1.2 振動的基本特征量振動最突出的特征就是運動的周期性，為此引入振幅、周期、頻率等物理量來描述振動的周期性的運動特征。2.1.3 振動的基本形式振動及系統(tǒng)根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)，可以有不同的分類方法：1.按照運動微分方程的形式分為，線性振動，相應(yīng)的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的一個重要特征是線性疊加原理成立；非線性系統(tǒng)，相應(yīng)的系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)，線性疊加原理不成立。2.按照激勵的有無和性質(zhì)，可以分為，固有振動，自由振動，強迫振動，隨機振動，自激振動，參數(shù)振動。本論文研究的薄板的振動屬于線性振動，要研究薄板的自由振動和強迫振動。2.2 薄板的橫向振動的微分方程根據(jù)趙玫、周海亭、陳光冶、朱蓓麗主編的機械振動與噪聲學(xué)中的描述，所謂平板式兩個平行面和垂直于這兩個平行面的柱面或棱柱所圍成的物體。兩個平行面之間的對稱面稱為中面。板厚度h為上下平行面和中面垂直方向的距離。如果板厚h遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于中面的最小尺寸a，工程上認(rèn)為當(dāng)ha/6時，這樣的板稱之為薄板。如圖（1）所示，以板變形前的中面為xOy平面建立直角坐標(biāo)系，規(guī)定、分別為沿x、y、z三個方向的線位移， 、分別為繞x、y、z三個軸線的角位移。在直角坐標(biāo)系中，沿用彈性力學(xué)中的規(guī)定，六個應(yīng)力分量為、和，六個應(yīng)變量為、和。2.2.1 彈性薄板橫向振動的基本假設(shè)1）直線假設(shè)法，認(rèn)為變形前垂直于中面的直線在板變形后仍舊是直線，并與中面垂直。意味著板內(nèi)變形狀態(tài)只取決于中面撓曲面形狀，使三維問題簡化為二維問題。2）忽略與中面垂直的法向應(yīng)力。3）只考慮質(zhì)量移動的慣性力4）當(dāng)板作微振動時，中面內(nèi)各點均沒有平行于中面的位移。即，或，。一般認(rèn)為z方向的位移(1/5)h時，符合微振動條件。根據(jù)上述薄板橫向振動的假設(shè)，板的應(yīng)力分量，且有。2.2.2 彈性薄板橫向振動的幾何方程與物理方程根據(jù)倪振華主編的振動力學(xué)里面相關(guān)內(nèi)容，可以知道：根據(jù)以上假設(shè)，中面?zhèn)€點橫向位移為時，板上任意一點沿x、y、z三個方向的位移分量u、分別為 （2-1）根據(jù)彈性力學(xué)的有關(guān)知識，從應(yīng)變和幾何位移的關(guān)系可得到薄板各點的三個主要應(yīng)變分量為 （2-2）式（2-2）表明薄板內(nèi)應(yīng)變分量沿厚度方向是線性變化的。其中，。、分別代表彈性曲面在x，y方向的曲率，代表彈性曲面在x，y方向上的扭率。若記向量和為則，式（2-2）可表示為 （2-3）由廣義胡克定律知，應(yīng)力與應(yīng)變有以下關(guān)系 （2-4）其中，為材料的泊松比，E為材料的彈性模量。記為， （2-5）式（2-4）可表示為 （2-6）由上式可見薄板中的應(yīng)力分量、都是沿板的厚度呈線性分布的。在中面上的值為零，他們又是z的奇函數(shù)，因此在薄板的厚度上的總和為零。只能合成彎矩和扭矩。圖中（a），（b）表示微小六面體（尺寸為hdxdy）上應(yīng)力的分布情況。圖2-1由圖可以看出，在垂直于x方向的截面上，正應(yīng)力合成彎矩，剪應(yīng)力合成扭矩，若記為和分別為單位寬度上的彎矩和扭矩，則可以得到 （2-7）在垂直于y方向上的截面上則可以得到下列彎矩與扭矩， （2-8）其中，這是因為剪力=。若記為 （2-9）則上面的內(nèi)力分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系可以表示為 （2-10）將式（2-6）代入上式中，可以得到 （2-11）其中 （2-12）稱為薄板的抗彎剛度，矩陣D稱為彈性矩陣。若將上式具體寫出，則有 （2-13）薄板橫截面上還存在橫向剪應(yīng)力和，他們合成下列橫向剪力 （2-14）其中和分別是垂直于x軸及垂直于y軸的截面上單位寬度的橫向剪力，他們與上述彎矩及扭矩的正方向如上圖（c）所示。由于不計應(yīng)變和，剪力和并不做功。2.2.3 彈性薄板的內(nèi)力分析薄板微單元受力情況如圖所示，圖2-2以中面上的矩形微元dxdy代替微元體hdxdy，圖2-2即表示了微元的受力情況，其中所有內(nèi)力分量都按正向規(guī)定畫出，在坐標(biāo)有增量的截面上，內(nèi)力分量也都有相應(yīng)的的增量。假設(shè)是分布在單位面積上的激振力，記為單位體積薄板的質(zhì)量，則為單位面積薄板上的慣性力。根據(jù)y方向、x方向的力矩平衡及z方向上的力的平衡條件，可以得到以下方程： （2-15）將（2-13）代入（2-15）的前兩式中，可以得到 （2-16）其中為調(diào)和算子，定義為將（2-16）代入（2-15）的三式中，便可以得到下列的薄板的橫向振動微分方程： （2-17）上式也可以寫為 （2-18）其中為重調(diào)和算子，定義為2.2.4 彈性薄板自由振動的微分方程和邊界條件根據(jù)式（2-17）可以知道，當(dāng)系統(tǒng)無外部載荷時，得到薄板的自由振動方程，即 （2-19）對于邊界S上轉(zhuǎn)角未給定的的情況（簡支邊或自由邊）下，邊界條件為 （2-20）式中為邊界各點的彎矩；為給定邊界的外法線與x軸的夾角。對于邊界S上位移未給定的情況（自由邊）下，若為邊界各點剪力，側(cè)邊界條件為 （2-21）對于邊界S上轉(zhuǎn)角給定的情況（固定邊）下，邊界條件為 （2-22）對于邊界S上位移給定的情況（簡支邊或者固定邊）下，邊界條件為 （2-23）2.3 矩形板的固有振動設(shè)板的長、寬、厚分別為a、b、h，在式（2-18）中，令px，y，t=0，便可以得到薄板的自由振動的方程： （2-24）假設(shè)主振型為 （2-25）其中為主振型，將上式代入（2-24）中，可以得到 （2-26）其中，。將式（2-25）帶入邊界條件時，形式不變，只要將其中的w改寫為W即可。與梁的橫向振動類似，在薄板的任意一邊上，邊界條件總是撓度或總剪力中的一個與轉(zhuǎn)角或彎矩中的一個同時為零，因此矩形薄板的邊界條件可以概括為下列情況的組合： （2-27）或 （2-28）上式（2-27）與（2-28）組成了矩形薄板振動微分方程的特征值為題，式（2-27）中的稱為特征值，即為固有頻率，主振型又稱為特征函數(shù)。對于不同的邊界條件，薄板有不同的主振型及相應(yīng)的固有頻率。但只有四邊簡支的矩形板才可以得到固有振動的精確解，如果矩形板有一對簡支邊，問題也可以大大簡化，但是如果矩形板中沒有一對邊是簡支的，知道在目前的科技水平下，得不到精確解，只能得到近似解。所以下面討論比較簡單的幾種情況。2.3.1 四邊簡支矩形板如圖所示的四邊簡支的矩形板，主振型可以假設(shè)為 （2-29）不難可以驗證，上式滿足下列四邊簡支的邊界條件： （2-30）式（2-29）還要必須滿足（2-26）所示的微分方程，這時才是真實的主振型，將式（2-29）代入（2-26）中得到 （2-31）上式即為頻率方程，由式（2-31）與式（2-28）可以解出固有頻率為 （2-32）如式（2-32）與式（2-29）所示，在板的振動問題中，通常采用兩個下標(biāo)對固有頻率以及相應(yīng)的主振型進(jìn)行編號。由式（2-31）可以看出，對于某種長寬比，兩組不同的（i，j）值可能給出相同的固有頻率，對于正方形板的這種現(xiàn)象會比較的明顯。在式（2-32）中令b=a，則可以得到，正方形板的固有頻率為 （2-33）顯然，當(dāng)ij時，每個固有頻率至少是頻率方程的二重根，即有在二重根的情況下，都是對應(yīng)于一個固有頻率的主振型，因此相應(yīng)于固有頻率的主振型為的線性組合，即 （2-34）現(xiàn)在來討論四邊簡支矩形板（ab）的前幾階固有頻率以及相應(yīng)的主振型。當(dāng)i=j=1時，由式（2-33）與（2-30）可以得到這時薄板沿x及y方向只有一個正弦半波，最大的撓度在板的中央，及x=a2，y=b2。當(dāng)i=2，j=1時，固有頻率及相應(yīng)的主振型為振型圖如圖3（b）所示，薄板沿x方向有兩個正弦半波，沿y向只有一個正弦半波，這時沿x=a/2出現(xiàn)一條節(jié)線，節(jié)線兩旁板的撓度方向相反，節(jié)線位置可以從節(jié)線方程得到。圖3（c）及（d）分別是振型圖。圖3從圖3可以看到，四邊簡支矩形板內(nèi)出現(xiàn)的節(jié)線總是與周邊平行，而且對應(yīng)于一個固有頻率一般有固定的節(jié)線位置。但是對于正方形板，由于每個固有頻率都是重根，對應(yīng)于同一個固有頻率的主振型會出現(xiàn)不同的節(jié)線位置。2.3.2 一對邊簡支一對邊任意的矩形板如圖（4）所示的矩形板，圖4若矩形板x=0，x=a處為簡支，其振型方程為 （2-35） 上式顯然滿足兩條簡支邊上的邊界條件，即為,將式（2-35）代入（2-26），得到下列常微分方程： （2-36）由式（2-28）可以知道，y=0及y=b兩條邊上的邊界條件是下列情況的組合： （2-37）這樣，式（2-26）與式（2-28）組成的偏微分方程特征值問題簡化為（2-36）和（2-37）組成的常微分方程特征值問題。為了求頻率方程，可設(shè)代入式（2-36），可以得到由上式可以解出如果y=0以及y=b兩條邊是自由邊，這時相當(dāng)于兩端簡支梁，當(dāng)考慮材料的泊松比時，其固有頻率寫為這樣，當(dāng)y=0及y=b不全是自由邊時，薄板因剛度增加，其固有頻率必定要大于上述值，即有 （2-38）由上式以及（2-27）得知如果令 ， （2-39）則式（2-36）的通解為 （2-40）若假定矩形板以y=0為簡支邊，y=b為固定邊，則邊界條件為式（2-35）代入上面兩式后，可以得到由此以及式（2-40）可以得出要有非零解，其系數(shù)的行列式必須為零，從而得到下列頻率方程 （2-41）由上式可以解出固有頻率，從式（2-26及式（2-38）可以得到相應(yīng)的，再代入式（2-39）得 （） （2-42）其中為常數(shù)，由式（2-40）的后兩式得知 （2-43）最后將式（2-42）代入式（2-34），得到三邊簡支一邊固定的矩形板的主振型為 （2-44）同樣的方法可以分析得出一對邊簡支，一對邊固定等其他邊界條件下的矩形板，求出板的各階固有頻率及相應(yīng)的主振型后，板的固有振動就等于各階主振動的疊加，即為 （2-45）2.4 薄板的強迫振動由于薄板的振動是線性微分方程，則滿足線性疊加原理。根據(jù)薄板的主振型之間的正交性條件，可以應(yīng)用振型疊加法求解強迫振動。重寫式（2-18）如下： （2-46）將薄板響應(yīng)按正則振型展開，則有： （2-47）其中，為正則坐標(biāo)，將上式代入（2-46）中，可以得到， （2-48）上式兩邊分別乘以，并在薄板的面積域Q上對x,y積分，可以得到， （2-49）由正交性條件可知，上式成為， （2-50）式（2-50）即為正則方程，其中為正則廣義力，為 （2-51）假定薄板的初始條件為， （2-52）將式（2-49）代入上式中，可以得到 （2-53）上面兩式乘以，并在面積域Q上積分，利用正交性條件，可以得到，正交坐標(biāo)的初始條件， （2-54）根據(jù)單自由度系統(tǒng)的振動理論，從式（2-50）到（2-54）可以得到正則響應(yīng)為 （2-55）將各個形如上式的正則響應(yīng)代入（2-49）中，即可得到薄板的強迫振動的振型函數(shù)。第3章 薄板振動的實驗研究3.1 研究振動的意義狹義的說，振動測試在于通過傳感器、放大儀器以及顯示儀器，測量運動機械或者工程結(jié)構(gòu)在外界的激勵（包括環(huán)境激勵）或運行工況中其重要部件的位移、速度、加速度等運動量，從而了解機械或結(jié)構(gòu)的運動狀態(tài)。從廣義的來講，通過運動量的測量，我們希望了解的是機械部件或者是結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性，包括固有頻率、固有振型、阻尼以及動剛度等特性參數(shù)，為機械或者結(jié)構(gòu)的動力設(shè)計服務(wù)。無論是生產(chǎn)機械、運輸機械，還是工程結(jié)構(gòu)，日益向高效、高速、高精度以及大型化發(fā)展。在許多情況下，限制其振動效應(yīng)或者是提高其抗振性能，成為設(shè)計成功與否的關(guān)鍵。在這種情況下，振動測試和設(shè)計計算是相輔相成的。在設(shè)計中，往往要通過模型試驗或已有近似設(shè)備來考驗計算方法的可靠性。新的設(shè)備建成后，往往要通過測試來確定其性能的好壞?；蛘咧苯油ㄟ^試驗獲得動態(tài)響應(yīng)，微結(jié)構(gòu)的修改提供依據(jù)。在大多數(shù)情況下，設(shè)備的振動，常常是伴隨正常運行而產(chǎn)生的一種消極甚至有害的現(xiàn)象，振動測試分析的目的在于，盡量降低或消除其影響。但是，在某些情況下，振動則可以利用。比如說，振動傳動、振動篩、機械錘等。在這種情況下，振動試驗的目的在于，如何讓產(chǎn)生我們所需要的振動或沖擊的效果。研究振動，具有以下意義：1.任何產(chǎn)品因運送、使用、保存、會產(chǎn)生碰撞振動而使產(chǎn)品于某一段時間產(chǎn)生不良。所以，要進(jìn)行振動實驗，確保產(chǎn)品的穩(wěn)定，安全使用。2.真正能于設(shè)計生產(chǎn)質(zhì)量即可幫助產(chǎn)品預(yù)期看不到的缺點顯示再加以改進(jìn)。比如：a）設(shè)計是，可分析破環(huán)點、易不良點 b）質(zhì)量時，可分析每一批閃所產(chǎn)生的不同易不良點。c）生產(chǎn)時，可完全一邊振動一邊測量，更使產(chǎn)品不良率早發(fā)現(xiàn)。d）耐久測量，讓產(chǎn)品耐久使用、使不耐久的組件提早改進(jìn)?？傊?，進(jìn)行振動實驗，為了更好的改進(jìn)產(chǎn)品、儀器的質(zhì)量，保證設(shè)備儀器，可以運行更長的時間，而且不會經(jīng)常性的出現(xiàn)故障。保證生產(chǎn)的順利進(jìn)行?，F(xiàn)今世界經(jīng)濟潮流，已從過去地域性的經(jīng)濟模式而走向全球性的經(jīng)濟貿(mào)易。無論是地域性市場或進(jìn)軍全球市場，高質(zhì)量的表現(xiàn)是不容諱言的。所以，為了產(chǎn)品的質(zhì)量、公司的名聲、以及市場的占有率問題，都使得，無論是做研究，還是生產(chǎn)，都要研究振動，為產(chǎn)品做振動試驗，保證自己，在市場上占據(jù)有利地位。振動實驗的目的，是在于實驗中作一連串可控制的振動模擬，測試產(chǎn)品在壽命周期中，是否能承受運送或振動環(huán)境因素的考驗，也能確定產(chǎn)品設(shè)計及功能的要求標(biāo)準(zhǔn)。據(jù)統(tǒng)計的數(shù)據(jù)顯示提升3%的設(shè)計水平，將增加20%的回收及減少18%的各項不必要支出。振動模擬依據(jù)不同的目的也有不同的方法如共振搜錄、共振駐留、循環(huán)掃描、隨機振動及應(yīng)力篩檢等，而振動的效應(yīng)計有：一、結(jié)構(gòu)的強度二、結(jié)合物的松脫。三 保護材料的磨損。四、零組件的破損。五、電子組件之接觸不良。六、電路短路及斷續(xù)不穩(wěn)。七、各件之標(biāo)準(zhǔn)值偏移。八、提早將不良件篩檢出。九、找尋零件、結(jié)構(gòu)、包裝與運送過程間之共振關(guān)系，改良其共振因素。3.2 研究薄板振動的意義對于本實驗來說，研究薄板在外界的激勵條件下，所表現(xiàn)出來的振動特性，對于如何對薄板結(jié)構(gòu)進(jìn)行改善，如何避免使薄板結(jié)構(gòu)產(chǎn)生大的翹曲，都有很好的應(yīng)用效果。在規(guī)定的振動條件下（振動頻率、強度、時間）進(jìn)行振動試驗，以檢驗產(chǎn)品的耐振壽命。3.3 工程測振的一般方法根據(jù)李德葆、張元潤主編的振動測量與實驗分析中所提到的，在工程振動測試領(lǐng)域中，測試手段與方法多種多樣，但是按各種參數(shù)的測量方法及測量過程的物理性質(zhì)來分，可以分成三類。三者各自的特點入下表所示：種類特點機械式測量方法將工程振動的參量轉(zhuǎn)換成機械信號，再經(jīng)機械系統(tǒng)放大后，進(jìn)行測量、記錄，常用的儀器有杠桿式測振儀和蓋格爾測振儀，它能測量的頻率較低，精度也較差。但在現(xiàn)場測試時較為簡單方便。主要用于低頻大幅振動以及扭振的測量。光學(xué)式測量方法將工程振動的參量轉(zhuǎn)換為光學(xué)信號，經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)放大后顯示和記錄。利用光杠桿原理，讀數(shù)顯微鏡，光波干涉原理，激光多普勒效應(yīng)等進(jìn)行測量。如讀數(shù)顯微鏡和激光測振儀等。光學(xué)式測振可以不受電磁場干擾，測量精度高，適于對質(zhì)量小以及不易安裝傳感器的試件做非接觸測量。在精密測量和傳感器、測振儀的標(biāo)定中應(yīng)用廣泛。電測方法將工程振動的參量轉(zhuǎn)換成電信號，經(jīng)電子線路放大后顯示和記錄。電測 法的要點在于先將機械振動量轉(zhuǎn)換為電量（電動勢、電荷、及其它電量），然后再對電量進(jìn)行測量，從而得到所要測量的機械量。電測法的靈敏度高，頻率范圍及動態(tài)、線性范圍寬，便于分析和遙感，但是容易受到電磁場的干擾。這是目前應(yīng)用得最廣泛的測量方法上述三種測量方法的物理性質(zhì)雖然各不相同，但是，組成的測量系統(tǒng)基本相同，它們都包含拾振環(huán)節(jié)、測量線路、信號分析及顯示、記錄環(huán)節(jié)。各環(huán)節(jié)的主要作用，如下表所示：系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)主要作用拾振環(huán)節(jié)把被測的機械振動量轉(zhuǎn)換為機械的、光學(xué)的或電的信號，完成這項轉(zhuǎn)換工作的器件叫傳感器。測量線路測量線路的種類甚多，它們都是針對各種傳感器的變換原理而設(shè)計的。比如，專配壓電式傳感器的測量線路有電壓放大器、電荷放大器等；此外，還有積分線路、微分線路、濾波線路、歸一化裝置等等。信號分析及顯示、記錄環(huán)節(jié)從測量線路輸出的電壓信號，可按測量的要求輸入給信號分析儀或 輸送給顯示儀器（如電子電壓表、示波器、相位計等）、記錄設(shè)備（如光線示波器、磁帶記錄儀、XY 記錄儀等）等。也可在必要時記錄在磁帶上，然后再輸入到信號分析儀進(jìn)行各種分析處理，從而得到最終結(jié)果?；诒緦嶒灋檠芯勘“宓恼駝犹匦?，和以上三種不同測振方法的不同比較，和現(xiàn)實的實驗條件，選擇采用電測法。3.4 實驗儀器的選擇3.4.1 激振方式的選擇在結(jié)構(gòu)動態(tài)特性的實驗中, 對被測對象施加特定的激勵, 使它按測試的要求作受迫振動或自由振動。振動的激勵方式通常有穩(wěn)態(tài)正弦激振、隨機激振和瞬態(tài)激振三種。1、穩(wěn)態(tài)正弦激振穩(wěn)態(tài)正弦激振又稱簡諧激振，它是借助于激振設(shè)備對被測對象施加一個頻率可控的簡諧激振力。它的優(yōu)點是激振功率大、信噪比高、能保證響應(yīng)測試的精度。因而是一種應(yīng)用最為普遍的激振方法。其工作原理就是對被測對象施加一個穩(wěn)定的單一頻率 的正弦激振力，即(t)= F0sin（t+）。該頻率是可調(diào)的。在一定頻段內(nèi)對被測系統(tǒng)進(jìn)行逐點的給定頻率的正弦激勵的過程稱掃描。穩(wěn)定正弦激振方法優(yōu)點是設(shè)備通用，可靠性較高；缺點是需要較長的時間，因為系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)需要一定的時間，特別當(dāng)系統(tǒng)阻尼較小時，要有足夠的響應(yīng)時間。因此，掃頻的范圍有限，所以此方法也稱為窄帶激振技術(shù)。在進(jìn)行穩(wěn)態(tài)正弦激振時，一般進(jìn)行掃頻激振，通過掃頻激振獲得系統(tǒng)的大概特性，而在靠近固有頻率的重要頻段再進(jìn)行穩(wěn)態(tài)正弦激振獲取嚴(yán)格的動態(tài)特性。隨著電子技術(shù)的迅猛發(fā)展，以小型計算機和快速傅里葉變換為核心的譜分析儀和數(shù)據(jù)處理器在“實時”能力、分析精確度、頻率分辨力、分析功能等方面提高很快，而且價格也越來越便宜，因此各種寬帶激振的技術(shù)也越來越受到重視。2、自動正弦掃描激振使正弦激勵信號在所需的頻率范圍內(nèi)作快速掃描(在數(shù)秒內(nèi)完成)，激振信號頻率在掃描周期T內(nèi)成線性增加，而幅值保持恒定。掃描信號的頻譜曲線幾乎是一根平滑的曲線，如圖所示，從而能達(dá)到寬頻帶激勵的目的?？焖僬覓呙栊盘柤捌漕l譜3、 瞬態(tài)激振瞬態(tài)激振給被測系統(tǒng)提供的激勵信號是一種瞬態(tài)信號，它屬于一種寬頻帶激勵，即一次激勵，可同時給系統(tǒng)提供頻帶內(nèi)各個頻率成分的能量使系統(tǒng)產(chǎn)生相應(yīng)頻帶內(nèi)的頻率響應(yīng)。因此，它是一種快速測試方法。同時由于測試設(shè)備簡單，靈活性大，故常在生產(chǎn)現(xiàn)場使用。目前常用的瞬態(tài)激振方法有脈沖錘擊和階躍松弛激勵等方法。（1）脈沖激振理想脈沖信號的頻譜等于常數(shù)，即在無限頻帶內(nèi)具有均勻的能量，這在物理上是無法實現(xiàn)的。實際的脈沖都有一定的寬度，其頻譜范圍一般與寬度成反比，改變脈沖的寬度，即可控制激振頻率范圍。脈沖激振既可以由脈沖信號控制激振器實現(xiàn)，也可以用敲擊錘對試件直接施加脈沖力。敲擊錘本身帶有力傳感器稱力錘。脈沖寬度或激振頻率范圍，可以通過不同的錘頭材料(橡膠、塑料、鋁或鋼等)來控制。力脈沖的幅值可以通過力錘本身的質(zhì)量和配置來調(diào)節(jié)。（2） 階躍激振階躍激振信號形如階躍函數(shù)，也是一種瞬態(tài)激振方式。在試件激振點由一根剛度大、質(zhì)量小的張力弦索經(jīng)力傳感器給試件以初始變形，然后突然切斷弦索，即可產(chǎn)生階躍激振力。階躍激振的特點是激振頻率范圍較