高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)空間向量及其運(yùn)算(b)

9 6 空間向量及其運(yùn)算 B 知識(shí)梳理 空間兩個(gè)向量的加法 減法法則類同于平面向量 即平行四邊形法則及三角形法則 a b a b cos a b a2 a 2 a 與 b 不共線 那么向量 p 與 a b 共面的充要條件是存在實(shí)數(shù) x y 使 p xa yb a b c 不共面 空間的任一向量 p 存在實(shí)數(shù) x y z 使 p xa yb zc 點(diǎn)擊雙基 1 在以下四個(gè)式子中正確的有 a b c a b c a b c a b a b A 1 個(gè) B 2 個(gè) C 3 個(gè) D 0 個(gè) 解析 根據(jù)數(shù)量積的定義 b c 是一個(gè)實(shí)數(shù) a b c 無(wú)意義 實(shí)數(shù)與向量無(wú)數(shù)量積 故 a b c 錯(cuò) a b a b cos a b 只有 a b c 正確 答案 A 2 設(shè)向量 a b c 不共面 則下列集合可作為空間的一個(gè)基底的是 A a b b a a B a b b a b C a b b a c D a b c a b c 解析 由已知及向量共面定理 易得 a b b a c 不共面 故可作為空間的一個(gè)基底 故選 C 答案 C 3 在平行六面體 ABCD A B C D 中 向量 是B A D A BD A 有相同起點(diǎn)的向量B 等長(zhǎng)的向量 C 共面向量D 不共面向量 解析 D A B A DB BD 共面 B A D A BD 答案 C 4 已知 a 1 0 b m m m 0 則 a b 答案 45 5 已知四邊形 ABCD 中 a 2c 5a 6b 8c 對(duì)角線 AC BD 的中點(diǎn)分別ABCD 為 E F 則 EF 解析 EFEAABBF 又 EFECCDDF 兩式相加 得 2 EFEAECABCDBFDF E 是 AC 的中點(diǎn) 故 0 同理 0 EAECBFDF 2 a 2c 5a 6b 8c 6a 6b 10c 3a 3b 5c EFABCDEF 答案 3a 3b 5c 典例剖析 例 1 證明空間任意無(wú)三點(diǎn)共線的四點(diǎn) A B C D 共面的充分必要條件是 對(duì)于 空間任一點(diǎn) O 存在實(shí)數(shù) x y z 且 x y z 1 使得 x y z OAOBOCOD 剖析 要尋求四點(diǎn) A B C D 共面的充要條件 自然想到共面向量定理 解 依題意知 B C D 三點(diǎn)不共線 則由共面向量定理的推論知 四點(diǎn) A B C D 共面對(duì)空間任一點(diǎn) O 存在實(shí)數(shù) x1 y1 使得 x1 y1 OAOB BC BD x1 y1 1 x1 y1 x1 y1 取OBOCOBODOBOBOCOD x 1 x1 y1 y x1 z y1 則有 x y z 且 x y z 1 OAOBOCOD 特別提示 向量基本定理揭示了向量間的線性關(guān)系 即任一向量都可由基向量唯一的線性表示 為向量的坐標(biāo)表示奠定了基礎(chǔ) 共 線 面向量基本定理給出了向量共 線 面的充要條件 可用以證明點(diǎn)共 線 面 本題的結(jié)論 可作為證明空間四點(diǎn)共面的定理使用 例 2 在平行四邊形 ABCD 中 AB AC 1 ACD 90 將它沿對(duì)角線 AC 折起 使 AB 與 CD 成 60 角 求 B D 間的距離 解 如下圖 因?yàn)?ACD 90 A A C C B B D D 1 2 所以 0 同理 0 ACCDBAAC 因?yàn)?AB 與 CD 成 60 角 所以 60 或 120 因?yàn)?BACDBDBAACCD 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 BDBAACCDBAACBACDACCDBAACCD 3 2 1 1 cos 4 60 BACDBACD BACD 2 120 BACD 所以 2 或 BD2 即 B D 間的距離為 2 或 2 例 3 在棱長(zhǎng)為 1 的正方體 ABCD A1B1C1D1中 BD1交平面 ACB1于點(diǎn) E A A D D B B C C 1 1 1 1 E M 求證 1 BD1 平面 ACB1 2 BE ED1 2 1 證明 1 我們先證明 BD1 AC 1 BD BC CD 1 DDACAB BC 1 BDACBCCD 1 DDABBC BCBC CDAB BC 2 2 1 1 0 BC ABAB BC AB BD1 AC 同理可證 BD1 AB1 于是 BD1 平面 ACB1 2 設(shè)底面正方形的對(duì)角線 AC BD 交于點(diǎn) M 則 即 2BM 2 1 BD 2 1 11D B 對(duì)于空間任意一點(diǎn) O 設(shè) b m b1 d1 則上述等式BM 11D BOBOM 1 OB 1 OD 可改寫(xiě)成 2 m b d1 b1或 b1 2m d1 2b 記 e 此即表明 由 e 向量 21 2 1 mb 21 2 1 bd 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn) E 分線段 B1M 及 D1B 各成 2 之比 所以點(diǎn) E 既在線段 B1M B1M 面 ACB1 上又在線段 D1B 上 所以點(diǎn) E 是 D1B 與平面 ACB1之交點(diǎn) 此交點(diǎn) E 將 D1B 分成 2 與 1 之比 即 D1E EB 2 1 BE ED1 2 1 思考討論 利用空間向量可以解決立體幾何中的線線垂直 線線平行 四點(diǎn)共面 求長(zhǎng)度 求夾 角等問(wèn)題 闖關(guān)訓(xùn)練 夯實(shí)基礎(chǔ)夯實(shí)基礎(chǔ) 1 平行六面體ABCD A1B1C1D1中 M 為AC 和BD 的交點(diǎn) 若 a b 11B A 11D AAA1 c 則下列式子中與相等的是MB1 A A B B C C D D 1 11 1 M A a b c B a b c 2 1 2 1 2 1 2 1 C a b cD a b c 2 1 2 1 2 1 2 1 解析 c MB1BB1BMBB1 2 1 BABCAA1 2 1 11B A 2 1 11D A a b 故選 A 2 1 2 1 答案 A 2 O A B C 為空間四個(gè)點(diǎn) 又 為空間的一個(gè)基底 則OAOBOC A O A B C 四點(diǎn)不共線B O A B C 四點(diǎn)共面 但不共線 C O A B C 四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線D O A B C 四點(diǎn)不共面 解析 由基底意義 三個(gè)向量不共面 但 A B C 三種情形都有可OAOBOC 能使 共面 只有 D 才能使這三個(gè)向量不共面 故應(yīng)選 D OAOBOC 答案 D 3 已知 a 3b 與 7a 5b 垂直 且 a 4b 與 7a 2b 垂直 則 a b 解析 由條件知 a 3b 7a 5b 7 a 2 15 b 2 16a b 0 及 a 4b 7a 2b 7 a 2 8 b 2 30a b 0 兩式相減得 46a b 23 b 2 a b b 2 代入上面兩個(gè)式子中的任 2 1 意一個(gè) 即可得到 a b cos a b ba ba 2 2 2 1 b b 2 1 a b 60 答案 60 4 試用向量證明三垂線定理及其逆定理 已知 如下圖 PO PA 分別是平面 的垂線和斜線 OA 是 PA 在 內(nèi)的射影 a 求證 a PAa OA P O A a a 證明 設(shè)直線 a 上非零向量 a 要證 a PAa OA 即證 a 0a 0 AP AO a a 0 a a a a a OPAPAOOPAOOPAO a 0a 0 即 a PAa OA AP AO 評(píng)述 向量的數(shù)量積為零是證明空間直線垂直的重要工具 在應(yīng)用過(guò)程中 常需要通過(guò) 加 減法對(duì)向量進(jìn)行轉(zhuǎn)換 當(dāng)然 轉(zhuǎn)換的方向是有利于計(jì)算向量的數(shù)量積 5 直三棱柱 ABC A1B1C1中 BC1 AB1 BC1 A1C 求證 AB1 A1C A A D B B C C 1 1 1 證明 CA1 11111111111 CCBCCCCABCCACCBCCCCA 11C A 0 2 1 CCBC AB AC 又 A1A B1B A1C AB1 評(píng)述 本題在利用空間向量來(lái)解決位置關(guān)系問(wèn)題時(shí) 要用到空間多邊形法則 向量的 運(yùn)算 數(shù)量積以及平行 相等和垂直的條件 培養(yǎng)能力培養(yǎng)能力 6 沿著正四面體 OABC 的三條棱 的方向有大小等于 1 2 3 的三個(gè)力OAOBOC f1 f2 f3 試求此三個(gè)力的合力 f 的大小以及此合力與三條棱所夾角的余弦 A B C O 1 2 3 解 用 a b c 分別代表棱 上的三個(gè)單位向量 則OAOBOC f1 a f2 2b f3 3c 則 f f1 f2 f3 a 2b 3c f 2 a 2b 3c a 2b 3c a 2 4 b 2 9 c 2 4a b 6a c 12b c 1 4 9 4 a b cos a b 6 a c cos a c 12 b c cos b c 14 4cos60 6cos60 12cos60 14 2 3 6 25 f 5 即所求合力的大小為 5 且 cos f a a f af 5 32 2 cabaa 5 2 3 11 10 7 同理 可得 cos f b cos f c 5 4 10 9 7 在空間四邊形 ABCD 中 求證 0 ABCDACDBAD BC 證法一 把拆成 后重組 ABACCBABCDACDBAD BC AC CBCDACDBAD BC ACCDCBCDACDBAD BC AC CDDBCBCDDAACCBCBCACBACCA 0 0 CB 證法二 如下圖 設(shè) a b c DADBDC 則 b a c ABCDACDBAD BC c a b a c b b c a c c b a b a c a b 0 A B CD 評(píng)述 把平面向量的運(yùn)算推廣到空間后 許多基本的運(yùn)算規(guī)則沒(méi)有變 證法一中體現(xiàn)了 向量的拆分重組技巧 要求較高 證法二設(shè)定三個(gè)向量為基底 而原式中所有向量化歸為 關(guān)于 a b c 的式子 化簡(jiǎn)時(shí)的思路方向較清楚 探究創(chuàng)新探究創(chuàng)新 8 2004 年全國(guó) 理 20 如下圖 已知四棱錐 P ABCD PB AD 側(cè)面 PAD 為 邊長(zhǎng)等于 2 的正三角形 底面 ABCD 為菱形 側(cè)面 PAD 與底面 ABCD 所成的二面角為 120 P A B C D 1 求點(diǎn) P 到平面 ABCD 的距離 2 求面 APB 與面 CPB 所成二面角的大小 1 解 如下圖 作 PO 平面 ABCD 垂足為點(diǎn) O 連結(jié) OB OA OD OB 與 AD 交于點(diǎn) E 連結(jié) PE P O A B C D E AD PB AD OB PA PD OA OD 于是 OB 平分 AD 點(diǎn) E 為 AD 的中點(diǎn) PE AD 由此知 PEB 為面 PAD 與面 ABCD 所成二面角的平面角 PEB 120 PEO 60 由已知可求得 PE PO PE sin60 3 即點(diǎn)P到平面ABCD的距離為 3 2 3 2 3 2 3 2 解法一 如下圖建立直角坐標(biāo)系 其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn) x 軸平行于 DA P O A B C D G E x y z P 0 0 B 0 0 PB 中點(diǎn) G 的坐標(biāo)為 0 連結(jié) AG 2 3 2 33 4 33 4 3 又知 A 1 0 C 2 0 2 3 2 33 由此得到 1 GA 4 3 4 3 0 2 0 0 PB 2 33 2 3 BC 于是有 0 0 GAPB BC PB 的夾角 等于所求二面角的平面角 GAPB BC PBGA BC 于是 cos BCGA BCGA 7 72 所求二面角的大小為 arccos 7 72 解法二 如下圖 取PB 的中點(diǎn)G PC 的中點(diǎn)F 連結(jié)EG AG GF 則 AG PB FG BC FG BC 2 1 P O A B C D G F E AD PB BC PB FG PB AGF 是所求二面角的平面角 AD 面 POB AD EG 又 PE BE EG PB 且 PEG 60 在 Rt PEG 中 EG PE cos60 2 3 在 Rt GAE 中 AE AD 1 于是 tan GAE 2 1 AE EG 2 3 又 AGF GAE 所求二面角的大小為 arctan 2 3 思悟小結(jié) 1 若表示向量 a1 a2 an的有向線段終點(diǎn)和始點(diǎn)連結(jié)起來(lái)構(gòu)成一個(gè)封閉折圖形 則 a1 a2 a3 an 0 2 應(yīng)用向量知識(shí)解決幾何問(wèn)題時(shí) 一方面要選擇恰當(dāng)?shù)幕蛄?另一方面要熟練地進(jìn) 行向量運(yùn)算 教師下載中心 教學(xué)點(diǎn)睛教學(xué)點(diǎn)睛 1 要使學(xué)生正確理解空間向量的加法法則 減法法則以及空間向量的數(shù)量積 掌握空 間向量平行 垂直的條件及三個(gè)向量共面及四點(diǎn)共面的條件 2 空間中的任何一個(gè)向量都可以用不共面的三個(gè)向量線性表示 這三個(gè)向量也稱為一 個(gè)基底 在證明兩個(gè)向量平行 垂直或求其夾角時(shí) 往往把它們用同一個(gè)基底來(lái)表示 從而 實(shí)現(xiàn)解題的目的 拓展題例拓展題例 例 1 下列命題中不正確的命題個(gè)數(shù)是 若 A B C D 是空間任意四點(diǎn) 則有 0 a b a b 是AB BC CDDA a b 共線的充要條件 若 a b 共線 則 a 與 b 所在直線平行 對(duì)空間任意點(diǎn) O 與不 共線的三點(diǎn) A B C 若 x y z 其中 x y z R 則 P A B C 四OPOAOBOC 點(diǎn)共面 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 易知只有 是正確的 對(duì)于 若 O平面 ABC 則 不共面 OAOBOC 由空間向量基本定理知 P 可為空間任一點(diǎn) 所以 P A B C 四點(diǎn)不一定共面 答案 C 例 2 A 是 BCD 所在平面外一點(diǎn) M N 分別是 ABC 和 ACD 的重心 若 BD 4 試求 MN 的長(zhǎng) A B C D EF NM 解 連結(jié) AM 并延長(zhǎng)與 BC 相交于 E 連結(jié) AN 并延長(zhǎng)與 CD 相交于 E 則 E F 分別 是 BC 及 CD 的中點(diǎn) 現(xiàn)在 MNANAM 3 2 AF 3 2 AE 3 2 AFAE 3 2 EF 3 2 CFCE 3 2 2 1 CD 2 1 CB 3 1 CDCB 3 1 B