高考數(shù)學(xué)難點突破_難點03__運用向量法解題

I 難點 3 運用向量法解題 平面向量是新教材改革增加的內(nèi)容之一，近幾年的全國使用新教材的高考試題逐漸加大了對這部分內(nèi)容的考查力度，本節(jié)內(nèi)容主要是幫助考生運用向量法來分析，解決一些相關(guān)問題 . 難點磁場 ( )三角形 A(5， 1)、 B( 1， 7)、 C(1， 2)，求： (1)上的中線 長； (2) 平分線 長； (3) 案例探究 例 1如圖，已知平行六面體 菱形，且 (1)求證： (2)當(dāng)1值為多少時，能使 面 給出證明 . 命題意圖：本題主要考查考生應(yīng)用向量法解決向量垂直，夾角等問題以及對立體幾何圖形的解讀能力 . 知識依托：解答本題的閃光點是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，這就使幾何問題代數(shù)化，使繁瑣的論證變得簡單 . 錯解分析：本題難點是考生理不清題目中的線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系 . 技巧與方法：利用 a b a b=0 來證明兩直線垂直，只要證明兩直線對應(yīng)的向量的數(shù)量積為零即可 . (1)證明：設(shè) a, b, 1c,依題意， |a|=|b|， 兩兩所成夾角 為 ，于是 =a b， 1 =c(a b)=c a c b=|c| |a| |c| |b|0, (2)解：若使 面 須證 由 )()( 1111 =(a+b+c) (a c)=|a|2+a b b c |c|2=|a|2 |c|2+|b| |a| |b| |c| 0,得 當(dāng) |a|=|c|時， 理可證當(dāng) |a|=|c|時， 11 時， 面 例 2如圖，直三棱柱 面 ， B=1， 0， ， M、 1 (1)求 長； (2)求 3)求證： 命題意圖：本題主要考查考生運用向量法中的坐標(biāo)運算的方法來解決立體幾何問題 級題目 . 知識依托：解答本題的閃光點是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系 O 而找到點的坐標(biāo)和求出向量的坐標(biāo) . 錯解分析：本題的難點是建系后，考生不能正確找到點的坐標(biāo) . 技巧與方法：可以先找到底面坐標(biāo)面 、 B、 后利用向量的模及方向來找出其他的點的坐標(biāo) . (1)解：如圖，以 依題意得： B(0， 1， 0)， N(1， 0， 1) | = 3)01()10()01( 222 . (2)解：依題意得： ， 0， 2)， C(0， 0， 0)， ， 1， 2). 1 1),2,1,1( =(0， 1， 2) 11 =1 0+( 1) 1+2 2=3 | 1= 6)02()10()01( 222 5)02()01()00(| 2221 056 3|,c o )證明：依題意得： ， 0， 2)， M( 2,21,21) )2,1,1(),0,21,21( 11 ,00)2(21121)1( 1111 錦囊妙計 要善于運用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進行向量的各種運算，加深對向量的本質(zhì)的認(rèn)識 向量垂直、射影、夾角等問題中 用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點間距離的問題 . 考： (1)要解決的問題可用什么向量知識來解決？需要用到哪些向量？ 2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？ (3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？ (4)怎樣對已經(jīng)表示出來的所需向量進行運算，才能得到需要的結(jié)論？ 殲滅難點訓(xùn)練 一、選擇題 1.( )設(shè) A、 B、 C、 D 四點坐標(biāo)依次是 ( 1， 0)， (0， 2)， (4， 3)， (3， 1)，則四邊形 ) 2.( )已知 B =a， b， a b0， S 15,|a|=3,|b|=5,則 a 與 b 的夾角是 ( ) B. 150 150 二、填空題 3.( )將二次函數(shù) y=a 平移后得到的圖象與一次函數(shù) y=2x 5 的圖象只有一個公共點 (3， 1)，則向量 a=_. 4.( )等腰 t 公共的底邊 們所在的平面成 60角，若 6 C=17 _. 三、解答題 5.( )如圖，在 ，設(shè) a， =b， =c, a,(0 1), = b(0 1),試用向量 a， b 表示 c. 6.( )正三棱柱 a,側(cè)棱長為 2 a. (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出 A、 B、 (2)求 7.( )已知兩點 M( 1， 0)， N(1， 0)，且點 P 使 , 成公差小于零的等差數(shù)列 . (1)點 P 的軌跡是什么曲線？ (2)若點 P 坐標(biāo)為 (x0,Q 為 夾角，求 8.( )已知 E、 F、 G、 H 分別是空間四邊形 邊 (1)用向量法證明 E、 F、 G、 H 四點共面； (2)用向量法證明： 面 (3)設(shè) M 是 證：對空間任一點 O，有 )(41 . 考答案 難點磁場 解： (1)點 M 的坐標(biāo)為 )29,0(,292 27;02 11 91()05(| 22 5)21()15(|,10)71()15(|)2( 2222 D 點分 比為 2. 1121 227,3121 121 111()315(| 22 (3) A 與 夾角，而 (6， 8）， (2， 5） . 1 4 52 6 2 9291052)5(2)8(6)5()8(26|c o s 2222 殲滅難點訓(xùn)練 一、 =(1， 2）， =(1， 2）， 又線段 線段 | 平行四邊形，又 |= 5 ， =(5， 3）， |= 34 ， | | , 是菱形，更不是正方形；又 (4， 1）， 1 4+2 1=6 0, 垂直于 不是矩形，故選 D. 答案： D 21415 3 5 21,則 =30或 =150 . 又 a b 0, =150 . 答案： C 二、 3.(2,0) 、 線， m( =m( b a), a+m( b a)=(1 m)a+m b V 又 線， n( =n( a b), b+n( a b)=n a+(1 n)b 由，得 (1 m） a+ 1 n)b. a 與 b 不共線， 01 0111 mn 即 解方程組得： m= 11,11 得 c=(1 m)a+m b=1 1 (1 )a+ (1 )b . (1)以點 A 為坐標(biāo)原點 O，以 在直線為 ，以 經(jīng)過原點且與平面 x 軸，建立空間直角坐標(biāo)系 . 由已知，得 A(0， 0， 0）， B(0， a,0） ,0, 2 a), ,2,23 a). (2)取 ，于是有 M(0， 2,2連 1(23a,0,0） , 且 (0， a,0） , 1(0,0 2 a) 由于 1 0， 1 10，所以 M 所成的角就是 1 ),2,2,0(),2,2,2 3( 9240 221 324|,324143| 22221 而 2323349,c o 所以 1 所成的角，即 0 . (1)設(shè) P(x,y） ,由 M( 1， 0）， N(1， 0）得， = ( 1 x, y） , =(1x, y), = (2,0), 2(1+x), x2+1, =2(1 x) , 是公差小于零的等差數(shù)列，等價于 03 0)1(2)1(2)1(2)1(2211 222 所以，點 P 的軌跡是以原點為圓心， 3 為半徑的右半圓 . (2)點 P 的坐標(biāo)為 (x0,30,1c o 041|c o 4)(24()1()1(|,21020200020202022020|3c o ss i nt a