第3講_方程綜合運(yùn)用 ._教師版

小學(xué)六年級(jí)奧數(shù) 第 1 頁 共 12 頁 第三講 方程綜合運(yùn)用 例題精講 【例 1】 用邊長相同的正六邊形白色皮塊、正五邊形黑色皮塊總計(jì) 32塊，縫制成一個(gè)足球，如圖所示，每個(gè)黑色皮塊鄰接的都是白色皮塊；每個(gè)白色皮塊相間地與 3 個(gè)黑色皮塊及 3 個(gè)白色皮塊相鄰接問：這個(gè)足球上共有多少塊白色皮塊？ 【解析】 設(shè)這個(gè)足球上共有 x 塊白色皮塊，則共有 3x 條邊是黑白皮塊共有的另一方面，黑色皮塊有32x（ ） 塊，共有 532 x（ ） 條邊是黑白皮塊共有的（如圖）由于在這個(gè)足球上黑白皮塊共 有的邊是個(gè)定值，列得方程： 3 5 32（ ） ，解得 20x 即這個(gè)足球上共有 20 塊白色皮塊 【例 2】 某八位數(shù)形如 2它與 3的乘積形如 4則七位數(shù) 是 【解析】 設(shè) x ，則 ( 2 0 0 0 0 0 0 0 ) 3 1 0 4 ， 7 59999996x ， 8571428x ，即七位數(shù)應(yīng)是8571428 【鞏固】 有一個(gè)六位數(shù) 1以 3后變成 1求這個(gè)六位數(shù) 【解析】 設(shè) x ，則有六位數(shù) 1x 和 1x ，有 1 0 0 0 0 0 3 1 0 1 （ ） ，解得 42857x ，所以原六位數(shù)是 142857 【例 3】 有三個(gè)連續(xù)的整數(shù)，已知最小的數(shù)加上中間的數(shù)的兩倍再加上最大的數(shù)的三倍的和是 68，求這三個(gè)連續(xù)整數(shù) . 【解析】 設(shè)最小的那個(gè)數(shù)為 x ，那么中間的數(shù)和最大的數(shù)分別為 1x 和 2x 則 2 ( 1 ) 3 ( 2 ) 6 8x x x ，10x 所以這三個(gè)連續(xù)整數(shù)依次為 10、 11、 12 【例 4】 小軍原有故事書的本數(shù)是小力的 3 倍，小軍又買來 7 本書，小力買來 6 本書后，小軍所有的書是小力的 2倍，兩人原來各有多少本書？ 【解析】 設(shè)小力原有故事書 小軍原有故事書 3x 本。小力原有故事書 5本，小軍原有故事書 15本 【鞏固】 水果店運(yùn)來的西瓜的個(gè)數(shù)是白蘭瓜的個(gè)數(shù)的 2倍如果每天賣白蘭瓜 40個(gè)，西瓜 50個(gè)，若干天后賣完白蘭瓜時(shí)，西瓜還剩 360個(gè)水果店運(yùn)來的西瓜和白蘭瓜共多少個(gè)？ 【解析】 設(shè)白蘭瓜進(jìn)了 西瓜進(jìn)了 2 4 3 34 5 5x y x yx y x y ，得 4 3 1 5 (1 )5 4 1 5 ( 2 )所以西瓜和白蘭瓜共 （個(gè)） 法一： (涉及到分?jǐn)?shù)，慎重選講 ) 注意到兩種瓜賣的天數(shù)相等這一等量關(guān)系，設(shè)白蘭瓜進(jìn)了 2 30x 個(gè)，則西瓜進(jìn)了 15x 個(gè)， 列方程得： 15x ，解得 15y ， 1 9 1 2 1 5 1 5 1 1 2 0 6 7 3 ， 所以西瓜和白蘭瓜共 480 960 1440個(gè) 法二：設(shè)賣了 27 天，根據(jù)題意列方程得 18，解得 12，所以西瓜和白蘭瓜共有 8 【例 5】 一群學(xué)生進(jìn)行籃球投籃測(cè)驗(yàn)，每人投 10次，按每人進(jìn)球數(shù)統(tǒng)計(jì)的部分情況如下表： 進(jìn)球數(shù) 0 1 2 8 9 10 人數(shù) 7 5 4 3 4 1 還知道至少投進(jìn) 3個(gè)球的人平均投進(jìn) 6個(gè)球，投進(jìn)不到 8個(gè)球的人平均投進(jìn) 3個(gè)球 問：共有多少人參加測(cè)驗(yàn)？ 【解析】 設(shè)有 x 人參加測(cè)驗(yàn) 由上表看出，至少投進(jìn) 3 個(gè)球的有 754x 人，投進(jìn)不到 8 個(gè)球的有 3 4 1x 人 投中的總球數(shù)，既等于進(jìn)球數(shù)不到 3個(gè)的人的進(jìn)球數(shù)加上至少投進(jìn) 3個(gè)球的人的進(jìn)球數(shù)， 為 0 7 1 5 2 4 6 7 5 4 5 8 6 1 6 6 8 3x x x ； 也等于進(jìn)球數(shù)不到 8個(gè)的人的進(jìn)球數(shù)加上至少投進(jìn) 8個(gè)球的人的進(jìn)球數(shù)， 為 3 3 4 1 8 3 9 4 1 0 1 3 8 2 4 3 6 1 0 3 4 6x x x ； 由此可得方程： 6 83 3 46 ，解得 43x 小學(xué)六年級(jí)奧數(shù) 第 2 頁 共 12 頁 故 共有 43 人參加測(cè)驗(yàn) 【例 6】 甲、乙、丙三人同乘汽車到外地旅行，三人所帶行李的重量都超過了可免費(fèi)攜帶行 李的重量，需另付行李費(fèi)，三人共付 4 元，而三人行李共重 150千克 如果一個(gè)人帶 150 千克的行李，除免費(fèi)部分外，應(yīng)另付行李費(fèi) 8元 求每人可免費(fèi)攜帶的行李重量 【解析】 設(shè)每人可免費(fèi)攜帶 x 千克行李 一方面，三人可免費(fèi)攜帶 3x 千克行李，三人攜帶 150千克行李超重 150 3x 千克，超重行李共付 4元行李費(fèi)；另一方面，一人攜帶 150千克行李超重 150x 千克，超重行李需付行李費(fèi) 8元 根據(jù)超重行李每千克應(yīng)付的錢數(shù)相同，可列方程： 1 5 0 3 1 5 048 ， 30x 所以每人可免費(fèi)攜帶的行李重量為 30 千克 【例 7】 某旅游點(diǎn)有兒童票、成人票兩種規(guī)格的門票賣， 兒童票的價(jià)格為 30元，成人票的價(jià)格為 40元，如果是團(tuán)體還可以買平均 32元一位的團(tuán)體票，一個(gè)由 8個(gè)家庭組成的旅游團(tuán) (每個(gè)家庭由兩位大人，或兩個(gè)大人、一個(gè)小孩組成 )來景點(diǎn)旅游，如果他們買團(tuán)體票那么可以比他們各自買票少花120元，問這 個(gè)旅游團(tuán)一共有多少人？ 【解析】 設(shè)八個(gè)家庭中有 x 個(gè)是三口之家， y 是個(gè)兩口之家，則 2 0 ( 2 1 ) 2 4 ( 2 1 ) 9 2 4 2 0 2 4x y x y ，所以旅游團(tuán)一共有 1 6 1 8 9 2 4 2 0 2 4x y y 人 。 【例 8】 有一隊(duì)伍以 /秒的速度行軍，末尾有一通訊員因事要通知排頭，于是以 /秒的速度從末尾趕到排頭并立即返回排尾，共用了 10分 50秒。問：隊(duì)伍有多長？ 【解析】 這是一道“追及又相遇”的問題，通訊員從末尾到排 頭是追及問題，他與排頭所行路程差為隊(duì)伍長；通訊員從排頭返回排尾是相遇問題，他與排尾所行路程和為隊(duì)伍長。如果設(shè)通訊員從末尾到排頭用了 x 秒，那么通訊員從排頭返回排尾用了 650x 秒，于是不難列方程。 設(shè)通訊員從末尾趕到排頭用了 x 秒，依題意得， 2 . 6 1 . 4 2 . 6 6 5 0 1 . 4 6 5 0x x x x ，解得 500x 推知隊(duì)伍長為 2 . 6 1 . 4 5 0 0 6 0 0 （米）。 【鞏固】 解放軍某部快艇追及敵艦，追到 A 島時(shí)敵艦已逃離該島 12分鐘，敵艦每分鐘行 1000 米，我軍快艇每分鐘行 1360 米。如果距敵艦 600 米處可以開炮射擊，解放軍快艇從 A 島出發(fā)經(jīng)過多少分鐘可以開炮射擊敵艦？ 【解析】 根據(jù)題意可以知道題中的等量關(guān)系是：解放軍所行路程 600 米 設(shè)解放軍快艇從 A 島出發(fā)經(jīng)過 x 分鐘可以開炮射擊敵艦，由題意得： 1 3 6 0 ( 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 ) 6 0 0 1 3 6 0 1 0 0 0 6 0 0 1 2 0 0 0 35x 所以，解放軍快 艇從 A 島出發(fā)經(jīng)過 35 分鐘可以開炮射擊敵艦。 【鞏固】 鐵路旁的一條與鐵路平行的小路上，有一行人與騎車人同時(shí)向南行進(jìn)，行人速度為 時(shí)，騎車人速度為 米 /時(shí)，這時(shí)有一列火車從他們背后開過來，火車通過行人用 22秒，通過騎車人用 26 秒，這列火車的車身總長是多少？ 【解析】 本題屬于追及問題，行人的速度為 米 /時(shí) =1 米 /秒，騎車人的速度為 米 /時(shí) =3 米 /秒?；疖嚨能嚿黹L度既等于火車車尾與行人的路程差，也等于火車車尾與騎車人的路程差。如果設(shè)火車的速度為 x 米 /秒，那么火車的車身長度可表示為 22 1x 或 26 3x ，由此不難列出方程。 設(shè)這列火車的速度是 x 米 /秒，依題意列方程，得 2 2 1 2 6 3 ，解得 14x 。 所以火車的車身長為 1 4 1 2 2 2 8 6 （米）。 【例 9】 有甲、乙、丙三個(gè)人，當(dāng)甲的年齡是乙的 2 倍時(shí)；丙是 22 歲，當(dāng)乙的年齡是丙的 2 倍，甲是31歲；當(dāng)甲 60歲時(shí)，丙是多少歲 ? 【解析】 設(shè)丙 22 歲時(shí)，乙的年齡是 x 歲，當(dāng)時(shí)甲的年齡就 是 2x 歲，甲乙的年齡差為 x 歲 那么甲是 3l 歲時(shí)，乙是 (31 )x 歲，丙是 2 2 ( 3 1 2 ) 5 3 2 歲， 列方程得， 3 1 2 (5 3 2 ) ，解得 25x ， 所以乙 25歲時(shí)，甲 50歲，丙 22 歲那么甲 60歲時(shí)，丙 32歲 【鞏固】 甲、乙兩人在 10年前的年齡比為 2： 3，現(xiàn)在 他倆的年齡比為 3： 4，那么 10年后他倆的年齡比為多少？ 【解析】 設(shè) 10年前甲的年齡為 2x 歲，則當(dāng)時(shí)乙的年齡為 3x 歲，那根據(jù)現(xiàn)在兩人的年齡比可得方程： 2 1 0 : 3 1 0 3 : 4 ，等式兩邊前后項(xiàng)交叉相乘可得 8 40 9 30 ，解得 10x ，所以 10年前甲的年齡為 20歲，乙的年齡為 30 歲， 10年后兩人分別是 40 歲、 50歲， 10 年后兩人的年齡小學(xué)六年級(jí)奧數(shù) 第 3 頁 共 12 頁 比為 4： 5 【鞏固】 已知哥哥 5 年后的年齡與弟弟 3 年前的年齡和恰好是 29 歲，而弟弟現(xiàn)在的年齡是兩人年齡差的 4倍，那么試問哥哥今年多少歲？ 【解析】 在這道題中，哥哥和弟弟的年齡是多少都不知道，未知的量不止一個(gè)，那么如何設(shè)未知數(shù)成了問題的關(guān)鍵按理說弟弟的年齡小，如果設(shè)弟弟的年齡未知數(shù)，那哥哥的年齡 如何表示，這就要涉及到題目中的一個(gè)條件 弟弟現(xiàn)在的年齡是兩人年齡差的 4 倍通過這個(gè)條件可以發(fā)現(xiàn)，原來年齡差是他們兩人年齡的最基本的組成元素 設(shè)他們兩人的年齡差是 x 歲，那么弟弟現(xiàn)在的年齡是 4x 歲，而哥哥現(xiàn)在的年齡是 45x x x 歲根據(jù)“哥哥 A 年后的年齡與弟弟 B 年前的年齡和恰好是 B 歲”這個(gè)條件可以得出方程，兩個(gè)人的年齡差是 M 歲，于是弟弟的年齡是 A 歲，哥哥的年齡是 B 歲 【例 10】 金銀合金的重量是 250 克，放在水中稱重時(shí)，重量減輕了 16克，已知金在水中稱重量減輕 119，銀在水中稱重量減輕 110，求這塊合金中金、銀各含多少克？ 【解析】 設(shè) 250 克合金中，金有 x 克，則銀有 (250 )x 克；依題意： 11( 2 5 0 ) 1 61 9 1 0 ，解得 190x ， 所以這塊合金中金有 190 克，銀有 250 190 60克 【鞏固】 有甲、乙兩塊含銅率不同的合金，甲塊重 6 千克，乙塊重 4 千克，現(xiàn)在從甲、乙兩塊合金上各切下重量相等的一部分，將甲塊上切下的部分與乙塊剩余的部分一起熔煉，再將乙塊上切下的部分與甲塊剩余的部分一起熔煉，得到的兩塊新合金的含銅率相同，則切下的重量為 _千克 【解析】 設(shè)切下的部分重量為 x 千克，則甲切下的 x 千克與乙剩下的 (4 )x 千克混合 由于 得到的兩塊新合金的含銅率相同，所以若將這兩塊新合金混合，得到的大塊合金的含銅率應(yīng)與原來的兩塊新合金的含銅率相同，而這一大塊合金是由 6 千克甲塊合金與 4 千克乙塊合金混合而成的，所以 9:7 千克甲塊合金與 7:5 千克乙塊合金混合后的含銅率與 x 千克甲塊合金與 y 千克乙塊合金混合后的含銅率相同，而甲、乙兩塊合金含銅率不同，所以這兩種混合中甲、乙兩種合金的重量比相同，即 1 : 9 : 7: 1 7 : 5 ，所以： 2821，解得 28 21 49 即切下的重量為 27千克 【例 11】 從前有一位王子，有一天，他把幾位妹妹召集起來，出了一道數(shù)學(xué)題考她們題目是：我有金、銀兩個(gè)首飾箱，箱內(nèi)分別裝有若干件首飾，如果把金箱中 ( 7 7 0 ) : ( 3 7 0 ) 7 : 4 的首飾送給第一個(gè)算對(duì)這個(gè)題目的人，把銀箱中 30x 的首飾送給第二個(gè)算對(duì)這個(gè)題目的人，然后我再從金箱中拿出 7 30 210 件送給第 三個(gè)算對(duì)這個(gè)題目的，再從銀箱中拿出 3 30 90 件送給第四個(gè)算對(duì)這個(gè)題目的人最后我的金箱中剩下的首飾比分掉的多 2 件，銀箱中剩下的首飾與分掉的比是x 王子的金箱中原來有首飾 _件，銀箱中原來有首飾 _件 【解析】 設(shè)原來金箱中有首飾 y 件，銀箱中有首飾7370 770 4 件，則： 21090， 90 ，解得 3 ， 7 3 4 ，故金箱中原來有首飾 7 4 3 件，銀箱中原來有首飾 3,4 12 件 【例 12】 運(yùn)來三車蘋果，甲車比乙車多 4 箱，乙車比丙車多 4 箱，甲車比乙車每箱少 3 個(gè)蘋果，乙車比丙車每箱少 5個(gè)蘋果，甲車比乙車總共多 3個(gè)蘋果，乙車比丙車總共多 5個(gè)蘋果，這三車蘋果共有多少個(gè)？ 【解析】 設(shè)乙車運(yùn)來 x 箱，每箱裝 y 個(gè)蘋果，根據(jù)題意列表如下： 車別 甲 乙 丙 箱數(shù) x 7 7 2 ( 7 ) 7 14 2 21 小學(xué)六年級(jí)奧數(shù) 第 4 頁 共 12 頁 每箱蘋果數(shù) 35x 35 35 7 7 49 根據(jù)上表可列出如下方程： 4 3 34 5 5x y x yx y x y ，化簡為 4 3 1 5 (1 )5 4 1 5 ( 2 ) ，得： 2 30x ，于是 15x 將 15x 代入或，可得： 15y 所以甲車運(yùn) 19箱，每箱 12 個(gè)；乙車運(yùn) 15箱，每箱 15個(gè)；丙車運(yùn) 11 箱，每箱 20個(gè)三車蘋果的總數(shù)是：1 9 1 2 1 5 1 5 1 1 2 0 6 7 3 (個(gè) ) 【例 13】 有大、中、小三種包裝的筷子 27 盒，它們分別裝有 18雙、 12雙、 8 雙筷子，一共裝有 330 雙筷子，其中小盒數(shù)是中盒數(shù)的 2 倍問：三種盒各有多少盒？ 【解析】 設(shè)中盒數(shù)為 x ，大盒數(shù)為 y ，那么小盒數(shù)為 2x ，根據(jù)題目條件有兩個(gè)等量關(guān)系： 2 2 71 8 1 2 8 2 3 3 0x x yy x x 該方程組解得 69，所以大盒有 9個(gè)，中盒 有 6個(gè)，小盒有 12 個(gè) . 【鞏固】 用 62 根同樣長的木條釘制出正三角形、正方形和正五邊形總共有 15個(gè) 角形、正方形和五邊形各有多少個(gè)？ 【解析】 設(shè)三角形的個(gè)數(shù)為 x ，五邊形的個(gè)數(shù)為 y ，那么正方形的個(gè)數(shù)為2，由此可列得方程組： 1523 4 5 6 22 該方程組解得： 46，所以 52，因此三角形、正方形、五邊形分別有 4 、 5 、 6 個(gè) . 【例 14】 甲、乙兩人生產(chǎn)一種產(chǎn)品，這種產(chǎn)品由一個(gè) A 配件與一個(gè) B 配件組成甲每天生產(chǎn) 300個(gè) A 配件，或生產(chǎn) 150個(gè) B 配件；乙每天生產(chǎn) 120個(gè) A 配件，或生產(chǎn) 48個(gè) B 配件為了在 10天內(nèi)生產(chǎn)出更多的產(chǎn)品，二人決定合作生產(chǎn)，這樣他們最多能生產(chǎn)出多少套產(chǎn)品？ 【解析】 假設(shè)甲、乙分別有 8x（ ） 天和 y 天在生產(chǎn) 86x 配件，則他們生產(chǎn) 82x 配件所用的時(shí)間分別為 8 6 2x 天和 6 2 16 （ ） 天，那么 10 天內(nèi)共生產(chǎn)了 26x 配件 (300 120 )個(gè)，共生產(chǎn)了 B 配件 1 5 0 ( 1 0 ) 4 8 ( 1 0 ) 1 9 8 0 1 5 0 4 8x y x y 個(gè) 要將它們配成套， A 配件與 B 配件的數(shù)量應(yīng)相等，即 3 0 0 1 2 0 1 9 8 0 1 5 0 4 8x y x y ，得到 7 5 28 330，則 330 2875 此時(shí)生產(chǎn)的產(chǎn)品的套數(shù)為 3 3 0 2 83 0 0 1 2 0 3 0 0 1 2 0 1 3 2 0 875 yx y y y ，要使生產(chǎn)的產(chǎn)品最多，就要使得 y 最大，而 y 最大為 10，所以最多能生產(chǎn)出 1 3 2 0 8 1 0 1 4 0 0 套產(chǎn)品 【鞏固】 某服裝廠有甲、乙兩個(gè)生產(chǎn)車間，甲車間每天能生產(chǎn)上衣 16 件或褲子 20 件；乙車間每天能生產(chǎn)上衣 18件或褲子 24件現(xiàn)在要上衣和褲子配套，兩車間合作 21天，最多能生產(chǎn)多少套衣服？ 【解析】 假設(shè) 甲、乙兩個(gè)車間用于生產(chǎn)上衣的時(shí)間分別為 x 天和 y 天，則他們用于生產(chǎn)褲子的天數(shù)分別為(21 )x 天和 (21 )y 天 ， 那 么 總 共 生 產(chǎn) 了 上 衣 (16 18 )件 ， 生 產(chǎn) 了 褲 子2 0 ( 2 1 ) 2 4 ( 2 1 ) 9 2 4 2 0 2 4x y x y 件 根據(jù)題意，褲子和上衣的件數(shù)相等，所以 1 6 1 8 9 2 4 2 0 2 4x y x y ，即 2 x ，即 7 (2 1) 1 2 x x 那么共生產(chǎn)了 2 6 套衣服要使生產(chǎn)的衣服最多，就要使得 x 最小，則 4x 應(yīng)最大，而 x 最大為 21，此時(shí) 2 4 1 1 4 故最多可以生產(chǎn)出 14 套衣服 【例 15】 米老鼠從 A 到 B ，唐老鴨從 B 到 A ，米老鼠與唐老鴨行走速度之比是 65 ，如下圖所示 小學(xué)六年級(jí)奧數(shù) 第 5 頁 共 12 頁 426 A 、 B 的中點(diǎn)，離 M 點(diǎn) 26千米的 C 點(diǎn)有一個(gè)魔鬼，誰從它處經(jīng)過就要減速 25%，離 M 點(diǎn) 4千米的 從它處經(jīng)過就能加速 25%現(xiàn)在米老鼠與唐老鴨同時(shí)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)，那么 A 與 B 之間的距離是 千米 【解析】 設(shè) B x，米老鼠的 行走速度為 6k ，則唐老鴨的行走速度為 5k ( 0k )，如下圖，則有米老鼠從 A 到 B 需要時(shí)間 x - 430x - 26A C M D 3 0 46 6 ( 1 2 5 % ) 6 ( 1 2 5 % ) ( 1 2 5 % )k k 1 1 61 4 ( 4 )6 1 5 ， 唐老鴨從 B 到 A 需要時(shí)間 4 3 0 2 65 5 ( 1 2 5 % ) 5 ( 1 2 5 % ) ( 1 2 5 % )k k k 1 1 62 0 ( 2 6 )5 1 5 因?yàn)槊桌鲜笈c唐老鴨用的時(shí)間相同，所以列方程 1 1 6 1 1 61 4 ( 4 ) 2 0 ( 2 6 )6 1 5 5 1 5x x x ， 解得 46x 所以， A 、 B 兩地相距 92 千米 【鞏固】 甲、乙兩個(gè)容器共有溶液 2600 克 ,從甲容器取出 14的溶液，從乙容器取出 15的溶液，結(jié)果兩個(gè)容器共剩下 2000 克 個(gè)容器原來各有多少溶液？ 【解析】 設(shè)甲容器有溶液 x 克，乙容器有溶液 y 克，根據(jù)題目條件有兩條等量關(guān)系 ,一是兩容器溶液加起來等于 2600克，二是取溶液后兩容器加起來有 2000克 2600111 1 2 0 0 045 方程組最終解得 16001000，所以甲容器中有溶液 1600克，乙容器中有溶液 1000克 【例 16】 甲、乙兩種商品的原來價(jià)格比是 7:3 如果它們的價(jià)格各自上漲 70 元，它們的價(jià)格比變?yōu)?:4 求甲乙兩種商品的原價(jià)各是多少元？ 【解析】 方法 1 ：設(shè)甲乙兩種商品原來價(jià)格分別為 7x 元， 3x 元，根據(jù)漲價(jià)后價(jià)格比為 7:4 ，列方程得( 7 7 0 ) : ( 3 7 0 ) 7 : 4 ，解得 30x ，所以原來兩種商品的原價(jià)各是 7 30 210 元， 3 30 90元 方法 2 ：設(shè)甲乙兩種商品原價(jià)各是 x 元 ,y 元，依題意列方程組得7370 770 4 解得 21090甲乙兩種商品原價(jià)各是 210 元 ,90 元 方法 3 ：由于原來兩種商品相差 7 3 4 份，漲價(jià)后相差 7 4 3 份，由于漲價(jià)錢數(shù)相同，所以應(yīng)漲 3,4 12份，所以原來兩種商品的價(jià)格比 x ，漲價(jià)后價(jià)格比 41 1 0 18 1 2 ，所以價(jià)格漲了 232x 份，恰是 A 元，小學(xué)六年級(jí)奧數(shù) 第 6 頁 共 12 頁 所以 B 份是 50 元，所以原來兩種商品的價(jià)格各是為 A 元， 3 元 【鞏固】 兄弟兩人每月收入比 B ，支出錢數(shù)比 4 ，他們每月都節(jié)余 10元，求兄弟兩人月收入各多少？ 【解析】 方法 360 :設(shè)兄弟兩人每月收入分別為 290 元， A 元，根據(jù) 支出錢數(shù)比 B 列方程得 A ，解得 x ，所以兄弟兩人 收入各是 B 元， (50 )x 元 方法 A： 9 4 ( 5 0 ) 2 0 0 5x x x ：設(shè)兄弟兩人月收入各是 3 1 0 ( 5 0 ) 5 0 0 7x x x 元， 2 0 0 5 3 6 05 0 0 7 2 9 0元根據(jù)兩個(gè)比例列方程得 30 32x 解得 x 所以兄弟兩人收入各是 A 元， 2700 元 方法 B ：由于兄弟結(jié)余相同，所以兄弟收入差和支出差相同，而收入差為 A 份，支出差為 B 份，所以收入差應(yīng)為和支出差應(yīng)為 A 份，所以兄弟收入比為 B ，所以結(jié)余應(yīng)為 2 0 1 8 1 5 1 3 2 份對(duì)應(yīng) 360 元，所以1 份就是 180 元，所以兄弟兩人月收入各是 180 20 3600 元， 180 15 2700 元 【例 17】 求方程 3x 5y 31 的整數(shù)解 【解析】 方法一：利用歐拉分離法，由原方程，得 x 31 53 y，即 x 10 2y 13y，要使方程有整數(shù)解 13y必須為整數(shù) 取 y 2，得 x 10 2y 13y 10 4 1 7，故 x 7， y 2 當(dāng) y 5，得 x 10 2y 13y 10 10 2 2，故 x 2， y 5 當(dāng) y 8，得 x 10 2y 13y 10 16 3無解 所以方程的解為： 72,25方法二：利用余數(shù)的性質(zhì) 3x 是 3 的倍數(shù)，和 31 除以 3 余 1，所以 5y 除以 3 余 1（ 2y 除以 3 余 1），根據(jù)這個(gè)情況用余數(shù)的和與乘積性質(zhì)進(jìn)行判定為： 取 y 1， 2y 2， 23 02 （舍） y 2， 2y 4， 43 11 （符合題意） y 3， 2y 6， 63 2（舍） y 4， 2y 8， 83 22 （舍） y 5， 2y 10， 103 31 （符合題意） y 6， 2y 12， 123 4（舍） 當(dāng) y 6時(shí)，結(jié)果超過 31，不符合題意。 所以方程的解 為： 72,25【例 18】 解方程 1 8 0 0 1 2 0 0 8 0 0 1 6 0 0 015a b （ 其中 a、 b、 ） 【解析】 根據(jù)等式的性質(zhì)將第一個(gè)方程整理得 9 6 4 8 015a b ，根據(jù)消元的思想將第二個(gè)式子擴(kuò)大 4 倍相減后為： ( 9 6 4 ) 4 ( ) 8 0 4 1 5a b c a b c ，整理后得 5 2 20 ，根據(jù)等式性質(zhì)， 2b 為偶數(shù)， 20 為偶數(shù)，所以 5a 為偶數(shù)，所以 a 為偶數(shù)，當(dāng) 2a 時(shí)， 5 2 2 20b ， 5b ，所以 8c ，當(dāng) 4a 時(shí)， 5 4 2 20b ， 5b ，所以無解。所以方程解為 258 【例 19】 解不定方程 15 3 1 0 03100x y zx y z (其中 x、 y、 【解析】 根據(jù)等式的性質(zhì)將第一個(gè)方程整理得 1 5 9 3 0 0100x y zx y z ，根據(jù)消元思想與第二個(gè)式子相減得小學(xué)六年級(jí)奧數(shù) 第 7 頁 共 12 頁 14 8 200 ，根據(jù)等式的性質(zhì)兩邊同時(shí)除以 2 得： 7 4 100 ，根據(jù)等式性質(zhì) 4y 為 4 的倍數(shù)， 100為 4的倍數(shù)，所以 7y 為 4的倍數(shù)，所以 y 為 4的倍數(shù)試值如下 4 8 1 21 8 , 1 1 , 47 8 8 1 8 4x x xy y yz z z 【例 20】 某公交車起點(diǎn)站已停放 10輛公交車，第一輛公交車開出后，每隔 8分鐘就有一輛公交車開出，在第一輛公交車開出 4 分鐘后，有一輛公交車進(jìn)站，以后每隔 12 分鐘就有一輛公交車進(jìn)站，回站的公交車在原有的公交車依次開出之后又依次每隔 8分鐘開出一輛，問：第一輛公交車開出后，經(jīng)過多少時(shí)間，車站第一 次不能正點(diǎn)發(fā)車？ 【解析】 假設(shè)第一輛公交車開出 x 分鐘后車站無車可發(fā)，可列方程： 41 1 0 18 1 2 ，解得 232x 第一輛公交車開出后第 232 分鐘可以發(fā)一趟車，到第 240分鐘時(shí)就無車可發(fā)了，所以答案是經(jīng)過 240分鐘后車站第一次不能正點(diǎn)發(fā)車 【鞏固】 某工廠接到任務(wù)要用甲、乙兩種原料生產(chǎn) A 、 B 兩種產(chǎn)品共 50 件，已知每生產(chǎn)一件 A 產(chǎn)品需甲原料 9 千克和乙原料 3 千克；每生產(chǎn)一件 B 產(chǎn)品需甲原料 4 千克和乙原料 10千克現(xiàn)在工廠里只有甲原料 360 千克和乙原料 290 千克，那么該工廠利用這些原料，應(yīng)該生產(chǎn) A 、 B 兩種產(chǎn)品各多少件，才能完成任務(wù)？請(qǐng)求出所有的生產(chǎn)方案 【解析】 設(shè)生產(chǎn) A 產(chǎn)品 x 件，則生產(chǎn) B 產(chǎn)品 (50 )x 件 共需要甲原料 9 4 ( 5 0 ) 2 0 0 5x x x 千克，需要乙原料 3 1 0 ( 5 0 ) 5 0 0 7x x x 千克 為避免原料不夠用，則 2 0 0 5 3 6 05 0 0 7 2 9 0，解得 30 32x 由于 x 是整數(shù)，所以共有 3 種方案：生產(chǎn) A 產(chǎn)品 30件， B 產(chǎn)品 20件；生產(chǎn) A 產(chǎn)品 31件， B 產(chǎn)品 19件；生產(chǎn) A 產(chǎn)品 32件， B 產(chǎn)品 18件 【例 21】 如圖，圖中 5 、 8 和 10分別代表包含該數(shù)字的三 個(gè)三角形的面積試問：包含 X 這個(gè)字母的四邊形面積是多少？ 8105【解析】 如圖，設(shè)虛線把四邊形 X 分成面積為 a 、 b 的兩個(gè)三角形 得： 5 5 108a a b （可化簡為 28 ）和 8 8 105b a b （可化簡為 5 4 20 ），由這兩條方程構(gòu)成方程組： 285 4 20，方程組可解得： 1012， 所以四邊形 X 的面積為 10 12 22 . 【鞏固】 三角形 ，1 1 11 1 112A C B A C B C C A ，問： ?D B 1B 1第 8 頁 共 12 頁 【解析】 根據(jù)題意，直接建立 與 的聯(lián)系是解答本題的關(guān)鍵，因?yàn)?112，所以連接 ，既可以使1 建立聯(lián)系，又可使四邊形1也建立聯(lián)系 . 設(shè) 1，1，1，則：1 2，1 2. 根據(jù)題意，1 1 11 1 112A C B A C B C C A ，可列方程： 1332233 ，方程解得421121 ， 所以四邊形1127，同理四邊形117，所以剩下的三角形 面積為 17. 【例 22】 甲、乙、丙三個(gè)人玩三張牌，這三張牌分別寫著不同的自然數(shù)，洗牌后發(fā)給每人一張，按每人所拿的自然數(shù)得分，重復(fù)玩了 3 次后，甲共得 19分，乙和丙各得 13分，那么這三張牌上寫的數(shù)是哪三個(gè)數(shù)？ 【解析】 三張牌上的三個(gè)數(shù)之和是 1 9 1 3 1 3 3 1 5 因?yàn)?3 不能整除 13和 19，所以甲、乙、丙誰也不可能三次拿到同一張牌，又因?yàn)檎l也沒有拿到三張牌各 1 次，所以三人都是拿了某張牌兩次、另一張牌一次設(shè)三張牌從大到小寫的數(shù)依次為 a 、b 、 c 丙各得 13分，推知乙、丙的三張牌是 c 、 c 、 a 和 x 、 24x 、 x 8 2 4 2 2 4x x x x 、 6x 、 x . y 由 24 得 82x y y x . 由 2 4 (1 )8 2 ( 2 )y y x ，從而 3 24 6x . 將 18y 代入 1 、 3 得 5b ， 3c . 所以，三張牌從大到小寫的數(shù)依次是 7 ， 5 ， 3 . 【例 23】 三張卡片上分另標(biāo)有 p 、 q 、 r 數(shù)碼 (整數(shù) )且 0 ，游戲時(shí)將三張卡片隨意分發(fā)給 A 、B 、 C 三個(gè)人，每人各一張，根據(jù)每個(gè)人得到卡片上的數(shù)碼數(shù)分別給他們記 分，如此重復(fù)游戲若干輪，結(jié)果 A 、 B 、三人得分總數(shù)分別為 20、 10、 9已知 B 在最后一輪的得分是 r ，那么 在第一輪得分是 q ；（ 2） p 、 q 、 r 分別是 、 、 【解析】 三人總分為 2 0 1 0 9 3 9 1 3 9 3 1 3 如果游戲進(jìn)行了 39或 13輪，則 1 或 3，與 0 矛盾；如果游戲只進(jìn)行了 1輪，則 20r ，被 A 得到，與“ B 在最后一輪的得分是 r ”矛盾所以游戲進(jìn)行了 3輪，且 13 因?yàn)?B 共得 10分，且最后一次得 r 分，所以前兩次都得 p 分，否則三次至少得 13分因?yàn)?C 三次總分比 B 少，所以 C 沒得過 r 分，前兩次都得 q 分，即第一輪得 q 分的是 C 假設(shè) C 三次都得 q ，由 B 得 10p p r 和 A 得 20r r p ，解得 10r ， 0p ，與 0p 矛盾，所以 C 前兩次得 q ，最后一次得 p 由 2 9,2 10,2 20, 解得 1p ， 4q ， 8r 【例 24】 購買 3斤蘋果， 2斤桔子需要 ；購買 8斤蘋果， 9斤桔子需要 ，那么蘋果、桔子各買 1斤需要 元 . 【解析】 假設(shè)購買 1斤蘋果、桔子分別需要 x 元、 y 元，則： 3 2 6 2 2 ， 小學(xué)六年級(jí)奧數(shù) 第 9 頁 共 12 頁 兩式相加得 11 11 2 ，即 。 所以各買 1斤需要 。 點(diǎn)評(píng)：從上面的過程可以看出，本題可以直接采用算術(shù)解法：買 3 8 11 斤蘋果和 2 9 11 斤蘋果，須6 2 2 2 9 元，所以各買 1斤需要 1 元 . 【例 25】 有甲、乙、丙三種貨物，若購甲 3 件、乙 7 件、丙 1 件，共需 20 元；若購甲 4 件、乙 10件、丙 1件，共需 27 元；則購買甲、乙、丙各 1 件，共需要 元。 【解析】 設(shè)甲、乙、丙的單價(jià)分別為 x ， y ， z ，則 3 7 2 0 (1 )4 1 0 2 7 ( 2 )x y zx y z 由 (1) 3 (2) 2 得 3 2 0 2 2 7 6x y z ，即各買一件需要 6 元。 點(diǎn)評(píng)：本題實(shí)際上是三元一次方程，但整體代入消元的思想與二元一次方程是相同的。 【例 26】 假設(shè)五家共用一井取水，甲用繩 2 根不夠，差乙家繩子 1 根；乙用繩 3 根不 夠，差丙家繩子 1 根；丙用繩子 4 根不夠。差丁家繩子 1 根；丁用繩子 5 根不夠，差戊家繩子 1 根；戊用繩 6 根不夠，差甲家繩子 1 根如果各得所差的繩子 1 根，都能到達(dá)井深問井深，繩長各是多少？（井深為小于 1000 的整數(shù)） 【解析】 依次設(shè)甲、乙、丙、丁、戊家繩長為 A 、 B 、 C 、 D 、 E ，井深 k ，則可列出方程組如下： 23456A B k 這個(gè)方程組不是二元一次方程組，但是解方程組的思想方法與二元一次方程組相同，依次迭代 2B k A ，3 6 2C k B A k ， 4 9 2 4D k C k A ， 5 1 2 0 4 4E k D A k ， 代入最后一個(gè)式子， 6 1 2 0 4 4A k A k ，即 721 265，所以 265A ， 721k 于是， 191B ， 148C ， 129D ， 76E 【例 27】 在同一路線上有 4 個(gè)人 :第一個(gè)人坐汽車，第二個(gè)人開摩托車，第三 個(gè)人乘助力車，第四個(gè)人騎自行車，各種車的速度是固定的，坐汽車的 12時(shí)追上乘助力車的， 14 時(shí)遇到騎自行車的，而與開摩托車的相遇是 16時(shí)開摩托車的遇到乘助力車的是 17時(shí)，并在 18時(shí)追上騎自行車的，問騎自行車的幾時(shí)遇見乘助力車的？ 【解析】 12時(shí)以前的位置關(guān)系對(duì)于這個(gè)問題的解決不起任何作用，所以我們從 12時(shí)開始考慮 設(shè)汽車、摩托車、助力車、自行車的速度分別為 a 、 b 、 c 、 d ，設(shè)在 12時(shí)騎自行車的與坐汽車的距離為 x ，騎自行車的與開摩托車的之間的距離為 y 有 21425364x a dx y a bx y b cy b d 1 2 3 2 2 4 得到 3 10x c d，即 103x c d 設(shè)騎自行車的在 t 時(shí)遇見騎助力車的，則 12x t c d ，即 1012 3t ，所以 1153t 所以騎自行車的在 15時(shí) 20 分遇見騎助力車的 【例 28】 河水是流動(dòng)的，在 Q 點(diǎn)處流入靜止的湖中，一游泳者在河中順流從 P 到 Q ，然后穿過湖到 R ，共用 3 小時(shí)若他由 R 到 Q 再到 P ，共需 6 小時(shí)如果湖水也是流動(dòng)的，速度等于河水的速度，那么從 P 到 Q 再到 R 需 52小時(shí)問在這樣的條件下，從 R 到 Q 再到 P 需幾小時(shí)？ 【解析】 設(shè)游泳者的速度為 1 ，水速為 y ， PQ a ， QR b ，則有： 小學(xué)六年級(jí)奧數(shù) 第 10 頁 共 12 頁 3115212631 y 、 1 y 、 y 均不為 0 12 得 112，即 142 yb y 31 得22 31 ，即 231 52 ya y 2 、 4 、 5 得： 511 4 322 yy a b ，即 5 4 3 于是， 12y由 2 得： 5 1 1 512 2 4 1 5 1 1 511 4 2 2 小時(shí) 即題中所述情況下從 R 到 Q 再到 P 需 152小時(shí) 課 后練習(xí)： 練習(xí) 1. 丁丁和玲玲兩人摘蘋果，丁丁說：“把我摘的蘋果給玲玲 7 個(gè)，玲玲摘的蘋果的個(gè)數(shù)就是我的 2倍 ”玲玲說：“把我摘的蘋果給丁丁 7 個(gè)，他的蘋果個(gè)數(shù)就和我的一樣多了 ”問丁丁和玲玲各摘了多少個(gè)蘋果？ 【鞏固】 設(shè)丁丁摘了 x 個(gè)蘋果，由題意得： 7 7 2 ( 7 ) 7 14 2 21 35x 即丁丁摘了 35 個(gè)蘋果，而玲玲的蘋果個(gè)數(shù)為 35 7 7 49 (個(gè) ) 練習(xí) 2. 大強(qiáng)參加 6次測(cè)驗(yàn)，第三、四次的平均分比前兩次的平均分多 2分，比后兩次的平均分少 2分如果后三次的平均分比前三次的平均分多 3分，那么第四次比第三次多得多少分？ 【解析】 設(shè)第三次分?jǐn)?shù)是 四次的分?jǐn)?shù)為 ） 分，則前兩次的分?jǐn)?shù)之和 24（ ） 分，最后兩次的分?jǐn)?shù)之和 24（ ） 分，有 2 4 2 4 9a x a x a x a （ ） （ ） （ ），解得 1x ，即第四次比第三次多得 1分 練習(xí) 3. 兒子與父親下圍棋，雙方約定父親勝一局就得 2分，兒子勝一局得 8分，負(fù)的一方不管是誰都要扣 1分，比賽 24局以后，父子得分相同，問他們各勝幾局？ 【解析】 法一：設(shè)兒子勝了 x 局，輸了 24x 局，父親勝了 24x 局，輸了 x 局， 則由得分關(guān)系得 8 2 4 2 2 4x x x x ，解得 6x ， 所以兒子贏了 6局，父親贏了 18 局 法二：本題中要求兒子和父親各勝多少局，可分別設(shè)兩個(gè)未知數(shù)為 x 和 y ，要求兩個(gè)未知數(shù)的值，一般要根據(jù)不同的等量關(guān)系列出兩個(gè)方程題中兒子、父親比賽的總局?jǐn)?shù)是 24局，可列出一個(gè)方程： 24 另外，兩人的得分相同，兒子勝的局?jǐn)?shù)正好是父親負(fù)的局?jǐn)?shù)，由此列出另一個(gè)方程： 82x y y x 所以可列出方程組： 2 4 (1 )8 2 ( 2 )y y x 形為 3，代入，得 3 24，解得 6x ，所以 18y 所以兒子勝了 6局，父親勝了 18 局 練習(xí) 4. 一 位牧羊人趕著一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他數(shù)了數(shù)羊的只數(shù)，發(fā)現(xiàn)剩下的羊中，公羊與母羊的只數(shù)比是 9:7 ；過了一會(huì)兒跑走的公羊又回到羊群，卻又跑走了一只母羊，牧羊人又?jǐn)?shù)了數(shù)羊的只數(shù)，發(fā)現(xiàn)公羊與母羊的只數(shù)比是 7:5 這群羊原來有多少只？ 小學(xué)六年級(jí)奧數(shù) 第 11 頁 共 12 頁 【解析】 設(shè)原來公羊有 x 只，母羊有 y 只，那么根據(jù)題目條件有以下數(shù)量關(guān)系： 1 : 9 : 7: 1 7 : 5 根據(jù)有關(guān)比例性質(zhì)，方程組可化簡為： 2821，所以這群羊原來有 28 21