上海市閘北區(qū)2016屆高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）含答案解析

第 1 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 2016 年上海市閘北區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 一、填空題本大題共有 10題，要求在答題紙相應(yīng)題序的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得 6分，否則一律得零分 1已知函數(shù) f（ x） =ax+a x（ a 0， a1），且 f（ 1） =3，則 f（ 0） +f（ 1） +f（ 2）的值是 2已知集合 A=x|x 2| a， B=x|2x 3 0，若 BA，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 3如果復(fù)數(shù) z 滿足 |z|=1 且 z2=a+中 a， bR，則 a+b 的最大值是 4在直角坐標(biāo) 系 ，已知三點(diǎn) A（ a， 1）， B（ 2， b）， C（ 3， 4），若向量 ， 在向量方向上的投影相同，則 3a 4b 的值是 5某科技創(chuàng)新大賽設(shè)有一、二、三等獎(jiǎng)（參與活動(dòng)的都有獎(jiǎng)）且相應(yīng)獎(jiǎng)項(xiàng)獲獎(jiǎng)的概率是以 a 為首項(xiàng)，2 為公比的等比數(shù)列，相應(yīng)的獎(jiǎng)金分別是以 7000 元、 5600 元、 4200 元，則參加此次大賽獲得獎(jiǎng)金的期望是 元 6 已知 橢圓 C： （ a b 0）的兩個(gè)焦點(diǎn)， P 為橢圓 C 上一點(diǎn)，且 若 面積為 9，則 b= 7 ， a， b， c 分別是 A， B， C 的對(duì)邊且 ac+c2= 大邊長(zhǎng)是 且 小邊的邊長(zhǎng)為 8在極坐標(biāo)系中，曲線 = 與 的公共 點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為 9如圖， A， B 是直線 l 上的兩點(diǎn)，且 兩個(gè)半徑相等的動(dòng)圓分別與 l 相切于 A， B 點(diǎn)， C 是這兩個(gè)圓的公共點(diǎn)，則圓弧 ， 與線段 成圖形面積 S 的取值范圍是 10設(shè)函數(shù) f（ x） =1，對(duì)任意 x ， +）， f（ ） 4x） f（ x 1） +4f（ m）恒成立，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 二、選擇題本大題共有 3題，每題都給出四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，必須把答題紙上相應(yīng)題序內(nèi)的正確結(jié)論代號(hào)涂黑，選對(duì)得 5分，否則一律得零分 . 第 2 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 11向量 ， 均為單位向量，其夾角為 ，則命題 “p： | | 1”是命題 q： ， ）的（ ）條件（ ） A充分非必要條件 B必要非充分條件 C充分必要條件 D非充分非必要條件 12已知 S， A， B， C 是球 O 表面上的點(diǎn)， 平面 B=1， ，則球O 的表面積等于（ ） A 4 B 3 C 2 D 13已知數(shù)列 ， =3下列關(guān)于 說(shuō)法正確 的是（ ） A一定為等差數(shù)列 B一定為等比數(shù)列 C可能為等差數(shù)列，但不會(huì)為等比數(shù)列 D可能為等比數(shù)列，但不會(huì)為等差數(shù)列 三、解答題（本題滿分 75分）本大題共有 5題，解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對(duì)應(yīng)的題號(hào)）內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟 14（理）在長(zhǎng)方體 ， ， ，點(diǎn) E 在棱 移動(dòng) （ 1）探求 于何值時(shí)，直線 平面 45角； （ 2）點(diǎn) E 移動(dòng)為棱 點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn) E 到平面 距離 15某公司生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的銷售量 P 萬(wàn)件（生產(chǎn)量與銷售量相等）與促銷費(fèi)用 x 萬(wàn)元滿足 P=（其中 0xa， a 為正常數(shù)）已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本 6（ P+ ）萬(wàn)元（不含促銷費(fèi)用），產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為（ 4+ ）元 /件 （ 1）將該產(chǎn)品的利潤(rùn) y 萬(wàn)元表示為促銷費(fèi)用 x 萬(wàn)元的函數(shù)； （ 2）促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，該公司的利潤(rùn)最大？ 第 3 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 16已知函數(shù) f（ x） =x+）（ 0， 0 ）的周期為 ，圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（ ，0），將函數(shù) f（ x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的 2 倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得到的圖象向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù) g（ x）的圖象 （ 1）求函數(shù) f（ x）與 g（ x）的解析式； （ 2）求證：存在 ， ），使得 f（ g（ f（ g（ 按照某種順序成等差數(shù)列 17若動(dòng)點(diǎn) M 到定點(diǎn) A（ 0， 1）與定直線 l： y=3 的距離之和為 4 （ 1）求點(diǎn) M 的軌跡方程，并畫(huà)出方程的曲線草圖； （ 2）記（ 1）得到的軌跡為曲線 C，問(wèn)曲線 C 上關(guān)于點(diǎn) B（ 0， t）（ tR）對(duì)稱的不同點(diǎn)有幾對(duì)？請(qǐng)說(shuō)明理由 18已知數(shù)列 其前 n 項(xiàng)的和，滿足 （ 1）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ 2）設(shè)數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和為 列 前 n 項(xiàng)和為 證：當(dāng) n2， nN*時(shí) 1=n（ 1）； （ 3）已知當(dāng) nN*，且 n6 時(shí)有（ 1 ） n（ ） m，其中 m=1， 2， ， n，求滿足 3n+4n+（ n+2）n=（ ） n 的值 第 4 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 2016 年上海市閘北區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、填空題本大題共有 10題，要求在答題紙相應(yīng)題 序的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得 6分，否則一律得零分 1已知函數(shù) f（ x） =ax+a x（ a 0， a1），且 f（ 1） =3，則 f（ 0） +f（ 1） +f（ 2）的值是 12 【考點(diǎn)】 指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；函數(shù)的值 【專題】 計(jì)算題 【分析】 由 f（ 1） =3 可得到關(guān)于 a 的式子，由 f（ 0） +f（ 1） +f（ 2）得到關(guān)于 a 的式子，尋找與已知表達(dá)式的聯(lián)系即可求解 【解答】 解： f（ 1） =a+a 1=3， f（ 0） =2， f（ 2） =a2+a 2=（ a+a 1） 2 2=7， f（ 1） +f（ 0） +f（ 2） =12 故答案為： 12 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查指數(shù)冪的運(yùn)算和運(yùn)算法則，屬基本運(yùn)算的考查 2已知集合 A=x|x 2| a， B=x|2x 3 0，若 BA，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 a3 【考點(diǎn)】 集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用 【專題】 數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；不等式的解法及應(yīng)用；集合 【分析】 利用絕對(duì)值不等式的解法、一元二次不等式的解法分別解出 A， B，再利用 BA 即可得出 【解答】 解：由 |x 2| a，可得 2 a x 2+a（ a 0）， A=（ 2 a， 2+a）（ a 0） 由 2x 3 0，解得 1 x 3 B=（ 1， 3） BA，則 ，解得 a3 故答案為： a3 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了不等式的解法、集合的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題 3如果復(fù)數(shù) z 滿足 |z|=1 且 z2=a+中 a， bR，則 a+b 的最大值是 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【專題】 計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù) 第 5 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 【分析】 由 |z|=1，得 |1，結(jié)合 z2=a+ a2+，然后利用基本不等式求得 a+b 的最大值 【解答】 解： |z|=1， |1， 由 z2=a+ a2+， （ a+b） 22（ a2+=2， 故當(dāng) 時(shí)， a+b 的最大值是 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查復(fù)數(shù)模的求法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是基礎(chǔ)題 4在直角坐標(biāo)系 ，已知三點(diǎn) A（ a， 1）， B（ 2， b）， C（ 3， 4），若向量 ， 在向量方向上的投影相同，則 3a 4b 的值是 2 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【專題】 計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；向量法；平面向量及應(yīng)用 【分析】 構(gòu)造三個(gè)向量，起點(diǎn)是原點(diǎn)，那么三個(gè)向量的坐標(biāo)和點(diǎn)的坐標(biāo)相同，根據(jù)投影的概念，列出等式，用坐標(biāo)表示，移項(xiàng)整理得到結(jié)果 【解答】 解：向量 ， 在向量 方向上的投影相同， = ， A（ a， 1）， B（ 2， b）， C（ 3， 4）， 3a+4=6+4b， 3a 4b=2， 故答案為： 2 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算、投影，考查了推理能力 ，屬于基礎(chǔ)題 5某科技創(chuàng)新大賽設(shè)有一、二、三等獎(jiǎng)（參與活動(dòng)的都有獎(jiǎng)）且相應(yīng)獎(jiǎng)項(xiàng)獲獎(jiǎng)的概率是以 a 為首項(xiàng)，2 為公比的等比數(shù)列，相應(yīng)的獎(jiǎng)金分別是以 7000 元、 5600 元、 4200 元，則參加此次大賽獲得獎(jiǎng)金的期望是 5000 元 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差 【專題】 計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì) 【分析】 由已知求出獲得一、二、三等獎(jiǎng)的概率分別為 ，由此利用一、三、三等獎(jiǎng)相應(yīng)的獎(jiǎng)金分別是以 7000 元、 5600 元、 4200 元，能求出參加此 次大賽獲得獎(jiǎng)金的期望 第 6 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 【解答】 解： 某科技創(chuàng)新大賽設(shè)有一、二、三等獎(jiǎng)（參與活動(dòng)的都有獎(jiǎng)）且相應(yīng)獎(jiǎng)項(xiàng)獲獎(jiǎng)的概率是以 a 為首項(xiàng)， 2 為公比的等比數(shù)列， 獲得一、二、三等獎(jiǎng)的概率分別為 a， 2a， 4a，且 a+2a+4a=1，解得 a= ， 獲得一、二、三等獎(jiǎng)的概率分別為 ， 一、三、三等獎(jiǎng)相應(yīng)的獎(jiǎng)金分別是以 7000 元、 5600 元、 4200 元， 參加此次大賽獲得獎(jiǎng)金的期望 E（ X） = =5000 元 故答案為： 5000 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列的數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用 6已知 橢圓 C： （ a b 0）的兩個(gè)焦點(diǎn)， P 為橢圓 C 上一點(diǎn)，且 若 面積為 9，則 b= 3 【考點(diǎn)】 橢圓的應(yīng)用；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【專題】 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程 【分析】 由已知得 |2a， =4，由此能得到 b 的值 【解答】 解： 橢圓 C： （ a b 0）的兩個(gè)焦點(diǎn)， P 為橢圓 C 上一點(diǎn)，且 |2a， =4， （ | 2=4|4 36=4（ =4 b=3 故答案為 3 【點(diǎn)評(píng)】 主要考查橢圓的定義、基本性質(zhì)和平面向量的知識(shí) 7 ， a， b， c 分別是 A， B， C 的對(duì)邊且 ac+c2= 大邊長(zhǎng)是 且 小邊的邊長(zhǎng)為 1 第 7 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 正弦定理 【專題】 方程思想；綜合法；解三角形 【分析】 根據(jù)余弦定理求出 ，故 b= ，由 c=2a，代入余弦定理計(jì)算 a 【解答】 解： ac+c2= = ， B= ， b= c=2a， 三角形的最短邊為 a 由余弦定理得 ，解得 a=1 故答案為 1 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了余弦定理，正弦定理，判斷三角形的最長(zhǎng)邊和最短邊是關(guān)鍵，屬于中檔題 8在極坐標(biāo)系中，曲線 = 與 的公共點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為 1+ 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程 【專題】 計(jì)算題；規(guī)律型；轉(zhuǎn)化思想；坐標(biāo)系和參數(shù)方程 【分析】 聯(lián)立方程組 消去 【 解答】 解： = 與 消去 得 （ 2） =2，由于 0，解得 =1+ 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，利用 的幾何意義是解題的關(guān)鍵 9如圖， A， B 是直線 l 上的兩點(diǎn)，且 兩個(gè)半徑相等的動(dòng)圓分別與 l 相切于 A， B 點(diǎn)， C 是這兩個(gè)圓的公共點(diǎn)，則圓弧 ， 與線段 的取值范圍是 【考點(diǎn)】 圓與圓的位置關(guān)系及其判定 【專題】 計(jì)算題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合 第 8 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 【分析】 結(jié)合圖形，可見(jiàn)當(dāng) 切于點(diǎn) C 時(shí)， S 最大，圓弧 線段 成圖形面積 S 就是矩形 面積減去兩扇形面積，解答即可 【解答】 解：如圖，當(dāng) 切于點(diǎn) C 時(shí)， S 最大， 此時(shí)，兩圓半徑為 1， S 等于矩形 ， 隨著圓半徑的變化， C 可以向直線 l 靠近， 當(dāng) C 到直線 l 的距離 d0 時(shí)， S0， S 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查圓與圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合的思想，是中檔題 10設(shè)函數(shù) f（ x） =1，對(duì)任意 x ， +）， f（ ） 4x） f（ x 1） +4f（ m）恒成立 ，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 【考點(diǎn)】 函數(shù)的值；函數(shù)恒成立問(wèn)題 【專題】 計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 由已知得 4 +1 在 x ， +）上恒成立，上由此能求出實(shí)數(shù) m 的取值范圍 【解答】 解：依據(jù)題意 得 1 41） （ x 1） 2 1+4（ 1）在 x ， +）上恒定成立， 即 4 +1 在 x ， +）上恒成立 當(dāng) x= 時(shí)，函數(shù) y= +1 取得最小值 ， 4 ，即（ 3）（ 43） 0， 第 9 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 解得 m 或 m ， 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意函數(shù)性質(zhì)和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用 二、選擇題本大題共有 3題，每題都給出四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，必須把答題紙上相應(yīng)題序內(nèi)的正確結(jié)論代號(hào)涂黑，選對(duì)得 5分，否則一律得零分 . 11向量 ， 均為單位向量，其夾角為 ，則命題 “p： | | 1”是命題 q： ， ）的（ ）條件（ ） A充分非必要條件 B必要非充分條件 C充分必要條件 D非充分非必要條件 【考點(diǎn)】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【專題】 平面向量及應(yīng)用；簡(jiǎn)易邏輯 【分析】 根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算公式，以及充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論 【解答】 解：若 | | 1，則平方得： 2 2 + 2=2 2 1，即 ，則 ， （ ， ，即 p： （ ， ， 命題 q： ， ）， p 是 q 的必要不充分條件， 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用求出向量夾角是解決本題的關(guān)鍵 12已知 S， A， B， C 是球 O 表面上的點(diǎn)， 平面 B=1， ，則球O 的表面積等于（ ） A 4 B 3 C 2 D 【考點(diǎn)】 直線與平面垂直的性質(zhì)；球的體積和表面積 第 10 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 【專題】 壓軸題 【分析】 先尋找球心，根據(jù) S， A， B， C 是球 O 表面上的點(diǎn)，則 B=S，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知 O 為 中點(diǎn)，則 為直徑，根據(jù)球的面積公式求解即可 【解答】 解： 已知 S， A， B， C 是球 O 表面上的點(diǎn) B=S=1 又 平面 B=1， ， 球 O 的直徑為 2R=， R=1， 表面積為 4 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，以及球的表面積等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題 13已知數(shù)列 ， =3下列關(guān)于 說(shuō)法正確的是（ ） A一定為等差數(shù)列 B一定為等比數(shù)列 C可能為等差數(shù)列，但不會(huì)為等比數(shù)列 D可能為等比數(shù)列，但不會(huì)為等差數(shù)列 【考點(diǎn)】 等差關(guān)系的確定；等比關(guān)系的確定 【專題】 等差數(shù)列與等比數(shù)列 【分析】 由條件可得 =4 類討論，即可得出結(jié)論 【解答】 解： =3 =4 若 ，則數(shù)列 等差數(shù)列； 第 11 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 若 ，則數(shù)列 首項(xiàng)為 比為 4 的等比數(shù)列， 14n 1， 此時(shí) n 1=3n 2（ n2），即數(shù)列從第二項(xiàng)起，后面的項(xiàng)組成等比數(shù)列 綜上，數(shù)列 能為等差數(shù)列，但不會(huì)為等比數(shù)列 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確分類討論是關(guān)鍵 三、解答題 （本題滿分 75分）本大題共有 5題，解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對(duì)應(yīng)的題號(hào)）內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟 14（理）在長(zhǎng)方體 ， ， ，點(diǎn) E 在棱 移動(dòng) （ 1）探求 于何值時(shí)，直線 平面 45角； （ 2）點(diǎn) E 移動(dòng)為棱 點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn) E 到平面 距離 【考點(diǎn)】 直線與平面所成的角；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算 【專題】 計(jì)算題 【分析】 （ 1）解法一：先找到直線 平面 成的平面角，放入直角三角形中，根據(jù)角的大小為 45，來(lái)求三角形中邊之間的關(guān)系，即可求出 度 解法二：利用空間向量來(lái)解，先建立空間直角坐標(biāo)系，求出 坐標(biāo)，以及平面 法向量的坐標(biāo)，因?yàn)橹本€ 平面 45角，所以 與平面 法向量成 45角，再用向量的數(shù)量積公式即可求出 坐標(biāo)，進(jìn)而判斷 E 點(diǎn)位置 （ 2）利用空間向量的知識(shí)，點(diǎn)到平面的距離可用公式 來(lái)求，其中 為平面的法向量，為 E 點(diǎn)到平面上任意一點(diǎn)的向量 第 12 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 【解答】 解：（ 1）解法一：長(zhǎng)方體 ，因?yàn)辄c(diǎn) E 在棱 移動(dòng)，所以 平面 而 直線 平面 成的平面角， ， 5 解法二：以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 x、 y、 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)0， 0， 1），平面 法向量為 ，設(shè) E（ 1， y， 0），得 ， 由 ，得 ， 故 （ 2）以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 射線 次為 x、 y、 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn) E（ 1，1， 0）， 1， 0， 1）， 0， 2， 1）， 從而 ， ， 設(shè)平面 法向量為 ，由 令 ， 所以點(diǎn) E 到平面 距離為 =1 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了向量法求直線與平面所成角，以及點(diǎn)到平面的距離屬于立體幾何的常規(guī)題 15某公司生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的銷售量 P 萬(wàn)件（生產(chǎn)量與銷售量相等）與促銷費(fèi)用 x 萬(wàn)元滿足 P=（其中 0xa， a 為正常數(shù)）已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本 6（ P+ ）萬(wàn)元（不含促銷費(fèi)用），產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為（ 4+ ）元 /件 （ 1）將該產(chǎn)品的利潤(rùn) y 萬(wàn)元表示為促銷費(fèi)用 x 萬(wàn)元的函數(shù)； （ 2）促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，該公司的利潤(rùn)最大？ 【考點(diǎn)】 函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用 【專題】 應(yīng)用題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 第 13 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 【分析】 （ 1）根據(jù)產(chǎn)品的利潤(rùn) =銷售額產(chǎn)品的成本建立函數(shù)關(guān)系； （ 2）利用導(dǎo)數(shù)基本不等式可求出該函數(shù)的最值，注意等號(hào)成立的條件 【解答】 解：（ ）由題意知， y=（ 4+ ） p x 6（ p+ ）， 將 p= 代入化簡(jiǎn)得： y=19 x（ 0xa）； （ ） y=22 （ +x+2） 22 3 =10， 當(dāng)且僅當(dāng) =x+2，即 x=2 時(shí)，上式取等號(hào)； 當(dāng) a2 時(shí)，促銷費(fèi)用投入 2 萬(wàn)元時(shí)，該公司的利潤(rùn)最大； y=19 x， y= ， a 2 時(shí)，函數(shù)在 0， a上單調(diào)遞增， x=a 時(shí)，函數(shù)有最大值即促銷費(fèi)用投入 a 萬(wàn)元時(shí)，該公司的利 潤(rùn)最大 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題 16已知函數(shù) f（ x） =x+）（ 0， 0 ）的周期為 ，圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（ ，0），將函數(shù) f（ x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的 2 倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得到的圖象向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù) g（ x）的圖象 （ 1）求函數(shù) f（ x）與 g（ x）的解析式； （ 2）求證：存在 ， ），使得 f（ g（ f（ g（ 按照某種順序成等差數(shù)列 【考點(diǎn)】 函數(shù) y=x+）的圖象變換；函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用 【專題】 函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 【分析】 （ 1）由周期公式可得 ， 0，再由對(duì)稱中心可得 值，可得 f（ x）解析式，由函數(shù)圖象變換和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得； （ 2）當(dāng) x（ ， ）時(shí) 題轉(zhuǎn)化為方程 2（ ，）內(nèi)是否有解，由函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理可得 第 14 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 【解答】 解：（ 1） 函數(shù) f（ x） =x+）的周期為 ， 0， ， 又曲線 y=f（ x） 的一個(gè)對(duì)稱中心為（ ， 0）， （ 0， ）， 2 +） =0，可得 ， f（ x） = 將函數(shù) f（ x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的 2 倍（縱坐標(biāo)不變）后可得 y=圖象， 再將 y=圖象向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù) g（ x） =x ）的圖象， 由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得 g（ x） = （ 2）當(dāng) x（ ， ）時(shí)， ， ， 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程 2（ ， ）內(nèi)是否有解 設(shè) G（ x） =2x（ ， ）， ， ，且函數(shù) G（ x）的圖象連續(xù)不斷， 函數(shù) G（ x）在（ ， ）內(nèi)存在零點(diǎn) 即存在 ， ），使得 f（ g（ f（ g（ 按照某種順序成等差數(shù)列 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查三角函數(shù)圖象變換，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程 2（ ， ）內(nèi)是否有解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題 17 若動(dòng)點(diǎn) M 到定點(diǎn) A（ 0， 1）與定直線 l： y=3 的距離之和為 4 （ 1）求點(diǎn) M 的軌跡方程，并畫(huà)出方程的曲線草圖； （ 2）記（ 1）得到的軌跡為曲線 C，問(wèn)曲線 C 上關(guān)于點(diǎn) B（ 0， t）（ tR）對(duì)稱的不同點(diǎn)有幾對(duì)？請(qǐng)說(shuō)明理由 【考點(diǎn)】 軌跡方程 【專題】 綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程 【分析】 （ 1）設(shè) M（ x， y），由題意 ，分類討論，可得點(diǎn) M 的軌跡方程，并畫(huà)出方程的曲線草圖； 第 15 頁(yè)（共 18 頁(yè)） （ 2）當(dāng) t0 或 t4 顯然不存在符合題意的對(duì)稱點(diǎn)當(dāng) 0 t 4 時(shí) ，注意到曲線 C 關(guān)于 y 軸對(duì)稱，至少存在一對(duì)（關(guān)于 y 軸對(duì)稱的）對(duì)稱點(diǎn)，下面研究曲線 C 上關(guān)于 B（ 0， t）對(duì)稱但不關(guān)于 y 軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)即可 【解答】 解：（ 1）設(shè) M（ x， y），由題意 ：當(dāng) y3 時(shí)，有 ，化簡(jiǎn)得： y ：當(dāng) y 3 時(shí)，有 ，化簡(jiǎn)得： 12（ y 4）（二次函數(shù)） 綜上所述：點(diǎn) M 的軌跡方程為 （如圖） （ 2）當(dāng) t0 或 t4 顯然不存在符合題意的對(duì)稱點(diǎn) 當(dāng) 0 t 4 時(shí)，注意到曲線 C 關(guān)于 y 軸對(duì)稱，至少存在一對(duì)（關(guān)于 y 軸對(duì)稱的）對(duì)稱點(diǎn) 下面研究曲線 C 上關(guān)于 B（ 0， t）對(duì)稱但不關(guān)于 y 軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn) 設(shè) P（ 軌跡 y（ y3）上任意一點(diǎn)，則 ，它關(guān)于 B（ 0， t）的對(duì)稱點(diǎn)為 Q（ 2t 由于點(diǎn) Q 在軌跡 12（ y 4）上， 所以 ，聯(lián)立方程組 （ *）得 4 12（ 2t 4），化簡(jiǎn)得 當(dāng) 0， 3）時(shí)，