華師大版八年級下19.3正方形與特殊的四邊形綜合題專訓(二)

華師大版八年級下冊 方形與特殊的四邊形綜合題專訓 一、 正方形與平行四邊形綜合 試題、 如圖， 正方形 次得點 E、 F、 G、 H，求證：四邊形 【分析】 如圖，連接 D通過證明 推知 D， 證四邊形 理， F=G，所以 F， 四邊形 【解答】 證明：如圖，連接 D 四邊形 P， P 又 80， 80 在 ， D， 又 同理， D， F， 四邊形 同理， C= 又 F， 四邊形 【點評】 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)證得 試題、 （ 2015春 江陰市期中）如圖，在正方形 ，點 接 D 相交于點 G，連接 對角線 ， F， G （ 1）求證： （ 2）求 （ 3）若 ，則 2 【分析】 （ 1）利用平行四邊形的判定及其性質(zhì)定理即可解決問題； （ 2）作輔助線構(gòu)造出一對全等三角形，利用等邊三角形的判定及其性質(zhì)即可解決問題； （ 3）借助 旋轉(zhuǎn)變換將 過作輔助線求出 題即可解決 【解答】 解：（ 1） 四邊形 又 F， 四邊形 故 （ 2）連接 四邊形 5， 5； 故 5， 5， F； F， G； 在 ， ， G； 又 G， G= 故 0 （ 3）延長 ，使 G；過點 K ； 0， 0 60=30； 在 ， C=4， 故 0， ， ， 【點評】 考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其應用問題；解題的關鍵是通過作輔助線構(gòu)造出全等三角形，結(jié)合等邊三角形的判定及其性質(zhì)來解決問題；對綜合運用能力及探究思維能力提出了較高的要求 試題、 （ 2013惠東縣校級模擬）如圖，四邊形 正方形，點 E， C， ，點A 的延長線上，且 K= （ 1）求證： G； （ 2）尺規(guī)作圖：以線段 求：只保留作圖痕跡，不寫作法和證明）； （ 3）連接（ 2）中的 想并寫出四邊形 證明你的猜想 【分析】 （ 1） 根據(jù)正方形性質(zhì)求出 C， 0，根據(jù)全等三角形判定推出即可； 根據(jù)全等得出 出 0即可； （ 2）分別以 G、 弧交于 F，連接 （ 3）推出 K， 據(jù)平行四邊形的判定推出即可 【解答】 （ 1） 證明： 四邊形 C， 0， 在 G； 四邊形 0， 0， （ 2）解：如圖所示：； （ 3）四邊形 證明： 四邊形 B= 0， D， 在 K， B=90， 0， 0， 80 90=90， 四邊形 F= 0= 四邊形 【點評】 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，正方形性質(zhì)的應用，主要考查學生的推理能力 試題、 （ 2015春天水期末）如圖所示：在 別以 同側(cè)作等邊 邊 邊 （ 1）求證：四邊形 （ 2）探究下列問題：（只填條件，不需證明） 當 50 條件時，四邊形 當 0 條件時，以 D、 A、 E、 當 50且 C 條件時，四邊形 【分析】 （ 1）由等邊三角 形的性質(zhì)得出 E=D=F= 0，求出 出 A=理C=可得出結(jié)論； （ 2） 求出 據(jù)矩形的判定得出即可； 證出 D、 A、 可得出結(jié)論； 由 得出四邊形 由 C可得出結(jié)論【解答】 （ 1）證明： E=D=F= 0， 0 在 ， A= 同理： C= 四邊形 （ 2）解： 當 A=150時，四邊形 由如下： 0， 60 60 60 150=90， 四邊形 四邊形 故答案為： =150； 當 0時，以 D、 A、 E、 由如下： 0， 0， 點 D、 A、 以 D、 A、 E、 故答案為： 0； 當 50，且 C，四邊形 由如下： 由 得：當 50時，四邊形 當 （ 1）得： B=C= C， E， 四邊形 四邊形 四邊形 故答案為： 50， C 【點評】 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、平行四邊形的判定、菱形的判定、矩形的判定以及正方形的判定；解此題的關鍵是求出 A=C=要考查了學生的推 理能力 試題、 （ 2011嘉興）以四邊形 B、 角頂點分別為 E、 F、 G、 H，順次連接這四個點，得四邊形 （ 1）如圖 1，當四邊形 們發(fā)現(xiàn)四邊形 圖 2，當四邊形判斷：四邊形 要求證明）； （ 2）如圖 3，當四邊形 （ 0 90）， 試用含 的代數(shù)式表示 求證： G； 四邊形 說明理由 【分析】 （ 1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到 E= F= G= H=90，求出四邊形是矩形，根據(jù)勾股定理求出 D= C= F= E= 出G=H，根據(jù)正方形的判定推出四邊形 （ 2） 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出， 80 ，根據(jù) 到 5，求出 根據(jù) 出 行四邊形的性質(zhì)得出 D，求出 0+a= 據(jù) 據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出 G； 與 證明過程類似求出 F， E，推出 F=E，得出菱形 出 0， 0，即可推出結(jié)論 【解答】 （ 1）解：四邊形 （ 2）解： 0+， 在平行四邊形 B 80 80 ， 5， 60 60 45 45（ 180 a） =90+， 答：用含 的代數(shù)式表示 0+ 證明： 等腰直角三角形， 在平行四邊形 D， G， 5， 0+= 等腰直角三角形， D， G 答：四邊形 理由是：由 同理可得： F， E， G， F=E， 四邊形 0， 0， 四邊形 【點評】 本題主要考查對正方形的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，綜合運用性質(zhì)進行推理是解此題的關鍵二、 正方形與矩形綜合 試題、 （ 2013海安縣校級模擬）正方形 形 們的邊平行于中，點 A， 線 C， N 上， 3， 3），正方形 若矩形 0，面積為 6，則點 （ 7， 5），（ 8， 5） 【分析】 由 3， 3），正方形 得出直線 求出 矩形 a，則長為 5 a，再根據(jù)面積為6即可得出 點 的坐標為（ e， e），由矩形的邊長可用 出 F、根據(jù) 可得出結(jié)論 【解答】 解： 3， 3）， 直線 y=x， 正方形 ， C（ 4， 2）， 設直線 y=k0）， 2=4k， 解得 k= ， 直線 y= x； 設矩形 a，則長為 5 a， 矩形 ， a（ 5 a） =6， 解得： a=2或 a=3， 當 a=2即 時， 2=3， 點 點 e， e）， F（ e， e 2）， G（ e+3， e 2）， 點 e 2= （ e+3）， 解得： e=7， F（ 7， 5）； 當 a=3即 時， 3=2， 點 點 e， e）， F（ e， e 3）， G（ e+2， e 3）， 點 e 3= （ e+2）， 解得： e=8， F（ 8， 5） 故答案為：（ 7， 5），（ 8， 5） 【點評】 本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、一次函數(shù)解析式的求法；根據(jù)題意得出直線 解答時要注意進行分類討論 試題、 （ 2016春江陰市月考）如圖，在正方形 ，點 D 上，且不與 A、 D、 、 ，垂足為 Q，過 H （ 1）求證： P； （ 2）若正方形 2， ，求線段 【分析】 （ 1）由正方形的性質(zhì)和已知條件可分別證明 E，進而可證明 全等三角形的性質(zhì)即可得到 P； （ 2）連接，設 AF=x，則 F=12 x，在 42+ 12 x） 2，解方程求出 【解答】 解 ：（ 1） 0= 又 四邊形 A= D=90， D， 0= A= D， 四邊形 H， 又 D， H， 在 ， H； （ 2）連結(jié) P， F， 設 AF=x，則 F=12 x， 在 42+ 12 x） 2， x= ， 【點評】 本題考查的是正方形的性質(zhì)、勾股定理的運用、全等三角形的判定和性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關鍵 試題、 （ 2015春霸州市期末）如圖， 點 ，交 （ 1）試說明 O； （ 2）當點 邊形 （ 3）若 上存在點 O，使四邊形 想 【分析】 （ 1）根據(jù) 分 到相等的角，即 根據(jù)等邊對等角得 C，同理 F，可得 O （ 2）利用矩形的判定解答，即有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形 （ 3）利用已知條件及正方形的性質(zhì)解答 【解答】 解：（ 1） C， 同理， F， F （ 2）當點 邊形 如圖 O， O， 四邊形 同理， （ = 180=90， 四邊形 （ 3） 四邊形 0， 0， 【點評】 本題主要考查利用平行線的性質(zhì) “等角對等邊 ”證明出結(jié)論（ 1），再利用結(jié)論（ 1）和矩形的判定證明結(jié)論（ 2），再對（ 3）進行判斷解答時不僅要注意用到前一問題的結(jié)論，更要注意前一問題為下一問題提供思路，有相似的思考方 法是矩形的判定和正方形的性質(zhì)等的綜合運用試題、 （ 2015春萬州區(qū)期末）如圖，在正方形 ，點 E、 F、 G、 H G 交于點 O，且 G，若 ， （ 1）求正方形 （ 2）設 AE=a， BE=b，求代數(shù)式 a4+ 【分析】 （ 1）根據(jù)四邊形 到 C， D，由于出四邊形 邊形 矩形，根據(jù) 得到矩形 3，設 E=DH=x， H=y，列出 ，即可得到結(jié)果； （ 2）由（ 1）求得 ， ，代入即可得到結(jié)果 【解答】 解：（ 1） 四邊形 C， D， 四邊形 邊形 H， H， 矩形 3， 設 E=DH=x， H=y， ， ， ， ， E+， 正方形 44=16； （ 2）由（ 1）求得 ， ， a=3， b=1， a4+4+11=82 【點評】 本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，正方形的面積，三角形的面積，充分利用已知條件列方程組求出各線段是解題的關鍵 試題、 （ 2015春冷水江市校級期末）如圖，矩形 中 E、 點連結(jié) （ 1）求證： G； （ 2）求證： （ 3）試探究 【分析】 （ 1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知得出 C， 出四邊形 據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出 C， 出四邊形 可得出答案； （ 2）根據(jù)平行線得出 80，求出 據(jù) 80即可得 出答案； （ 3）過 M 據(jù)平行線的性質(zhì)得出 出 據(jù)垂直得出 0，即可得出答案 【解答】 （ 1）證明： 四邊形 E、 D、 C， 四邊形 C， 又 四邊形 G， G， 四邊形 G； （ 2）證明： 四邊形 80， 四邊形 又 80， （ 3） 0， 證明：過 M 則 0， 0 【點評】 本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)的應用，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關鍵 三、 正方形與菱形綜合 試題、 （ 2012深圳模擬）如圖，正方形 ，以對角線 C、 E、 （ 1）求 （ 2）求 【分析】 （ 1）首先連接 ，過點 H ，由正方形 邊形 求得 D=2 ，由 求得 C= ，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，求得 （ 2）首先過點 G ，即可得 后設G=x，在 得方程：（ 2 ） 2=（ 2+x） 2+此方程即可求得 長，繼而求得 長 【解答】 解：（ 1）連接 ，過點 H ， 正方形 ， C=2 ， ， 四邊形 D=2 ， 點 C、 E、 C= ， 在 ， = = ， 0， 5 30=15； （ 2）過點 G ， 5， G， 設 EG=x， 則 C+x， 在 ， 即（ 2 ） 2=（ 2+x） 2+ 即 2x 4=0， 解得： x= 1或 x= 1（舍去）， 1， （ 1） = 【點評】 此題考查了正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值以及勾股定理的知識此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應用 試題、 （ 2013春莒南縣期末）如圖，正方形 ，以對角線 C 交于 ） A 30、 B 30、 C D 【分析】 根據(jù)正方形的對角線平分一組對角可得 5，根據(jù)菱形的四條邊都相等可得 E，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出 后根據(jù) 根據(jù)正方形的對角線等于邊長的 倍求出 C，然后根據(jù) E 算即可得解 【解答】 解：在正方形 ， 5， 四邊形 E， （ 180 = （ 180 45） = 45= 正方形 ， C=2 ， E 2 故選 C 【點評】 本題考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，熟記兩圖形的性質(zhì)并準確識圖是解題的關鍵 試題、 （ 2015春遂寧期末）如圖，正方形 C 是菱形 【分析】 根據(jù)正方形的性質(zhì)求出 5，再根據(jù)菱形的對角線平分一組對角解答即可 【解答】 解： 四邊形 正方形， 5， 四邊形 45= 故答案為： 【點評】 本題考查了正方形的對角線平分一組對角，菱形的對角線平分一組對角的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關鍵 試題、 （ 2014重慶校級二模）如圖，已知正方形 ，菱形 三個頂點 E、G、 形的邊 ，則 3 【分析】 由菱形邊長來確定 【解答】 解： ， = ， 此時 = ， 此時 ， 當 重合時，菱形的邊最小， 3 故答案為： 3 【點評】 本題主要考查了正方形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)，解題的關鍵是由菱形邊長來確定 試題、 （ 2014春椒江區(qū)校級期中）如圖， 15 【分析】 過 F，垂足為 G，由正方形的性質(zhì)可得出正方形的四條邊相等，且四個角為直角，三角形 得出 5，設正方形的邊長為1，根據(jù)勾股定理求出 即菱形的四條邊為 ，由 C 垂直，且 得 直于 而得到 5，即三角形 ，可求出 在直角三角形 到 0，再根據(jù)菱形的對角相等，可得 0，由 【解答】 解：過 G 足為 G，如圖所示： 四邊形 5， 0， 設正方形 ，即 C=D=1， 根據(jù)勾股定理得： = ， 四邊形 F=D= ， 又 0， 0 45=45，又 0， ， ，又 ， 在 F=30， 0， 則 5 30=15 故答案是： 15 【點評】 此題考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線 練掌握圖形的性質(zhì)是解本題的關鍵 試題、 （ 2015荊州）如圖 1，在正方形 D 的延長線上，且 E， （ 1）證明： E； （ 2）求 （ 3）如圖 2，把正方形 他條件不變，當 20時，連接 探究線段 E 的數(shù)量關系，并說 明理由 【分析】 （ 1）先證出 C，由于 E，得 E； （ 2）由 而得 C，得到 E， E，最后 0得到結(jié)論； （ 3）借助（ 1）和（ 2）的證明方法容易證明結(jié)論 【解答】 （ 1）證明：在正方形 C， 5， 在 ， C， E， E； （ 2）由（ 1）知， E， E， E， 頂角相等）， 180 80 E， 即 0； （ 3）在菱形 C， 0， 在 ， C， E， E， C， 頂角相等）， 180 80 即 80 80 120=60， E， E 【點評】 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)確定出 解題的關鍵 四、 正方形與正方形綜合 試題、 （ 2016貴陽模擬）將五個邊長都為 2方形按如圖所示擺放，點 A、 B、 C、 圖中四塊陰影面積的和為（ ） A 2 4 6 8分析】 連接 N， 5，易得 而可得四邊形 理可得答案 【解答】 解：如圖，連接 則 N， 5， 0， 四邊形 而 而正方形的面積為 4， 四邊形 塊陰影面積的和為 4 故選 B 【點評】 本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)變化前后，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離 相等以及每一對對應點與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等要注意旋轉(zhuǎn)的三要素： 定點旋轉(zhuǎn)中心； 旋轉(zhuǎn)方向； 旋轉(zhuǎn)角度 試題、 現(xiàn)有一張邊長等于 a（ a 16）的正方形紙片，從距離正方形的四個頂點 8 45角畫線，將正方形紙片分成 5部分，則陰影部分是 正方形 （填寫圖形的形狀）（如圖），它的一邊長是 【分析】 延長小正方形的一邊交大正方形于一點，連接此點與距大正方形 頂點 8造直角邊長為 8的等腰直角三角形，將小正方形的邊長轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形的斜邊長來求解即可【解答】 解：如圖，作 長小正方形的另一邊與大正方形的一邊交于 ， 陰影正方形的邊長 = 故答 案為：正方形， 【點評】 本題考查了正方形的性質(zhì)與勾股定理的知識，題目同時也滲透了轉(zhuǎn)化思想 試題、 已知，正方形 邊 正方形 長 ，使 E， E，求證：四邊形 【分析】 根據(jù)正方形的性質(zhì)得出 C=D， B= 0， E= 0，求出 E= B=90， F=F，H=D，證 據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出F=H， 出 0，根據(jù)正方形的判定得出即可 【解答】 證明： 四邊形 C=D， B= 0， E= 0， E= B=90， E， E， F=F， H=D， 在 F=H， 0， 0， 四邊形 正方形 【點評】 本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，解此題的關鍵是推出 意：有一個角是直角的菱形是正方形 試題、 （ 2013歷城區(qū)一模）如圖，四邊形 接 下列結(jié)論： G， D， 5正確結(jié)論的個數(shù)為（ ） A 2個 B 3個 C 4個 D 5個 【分析】 根據(jù)正方形的性質(zhì)可得 D， G， 0，然后求出 利用 “邊角邊 ”證明 據(jù)全等三角形對應邊相等可得G，判定 正確；根據(jù)全等三角形對應角相等可