全等三角形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

1 A B C D E F 全等三角形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題全等三角形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 一 一 知識(shí)回顧 知識(shí)回顧 動(dòng)態(tài)幾何題 是指以幾何知識(shí)和幾何圖形為背景 滲透運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)的一類試題 而通過(guò)對(duì)幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化 使同學(xué)們經(jīng)歷由觀察 想象 推理等發(fā)現(xiàn) 探索的過(guò)程 是 中考數(shù)學(xué)試題中 考查創(chuàng)新意識(shí) 創(chuàng)新能力的重要題型 解決這類問(wèn)題 要善于探索圖形 的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)和規(guī)律 抓住變化中圖形的性質(zhì)與特征 化動(dòng)為靜 以靜制動(dòng) 熱身練習(xí) 熱身練習(xí) 1 如圖 在等腰 ACB 中 AC BC 5 AB 8 D 為底邊 AB 上一動(dòng)點(diǎn) 不與點(diǎn) A B 重合 DE AC DF BC 垂足分別為 E F 則 DE DF 2 例題辨析 例題辨析 例 1 如圖 在等腰 Rt ABC 中 ACB 90 AC CB AC 8 F 是 AB 邊上的中點(diǎn) 點(diǎn) D E 分別在 AC BC 邊上運(yùn)動(dòng) 且始終保持 AD CE 連接 DE DF EF 1 求證 ADF CEF 2 試證明 DFE 是等腰直角三角形 3 在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中 四邊形 CDFE 的面積是否保持不變 試 說(shuō)明理由 4 求 CDE 面積的最大值 例 2 如圖 ABC 的邊 BC 在直線 上 AC BC 且 AC BC EFP 的邊 FP 也在直線 上 邊 EF 與邊 AC 重合 且 EF FP 2 1 在圖 1 中 請(qǐng)你通過(guò)觀察 測(cè)量 猜想并寫(xiě)出 AB 與 AP 所滿足的 數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系 2 將 EFP 沿直線 向左平移到圖 2 的位置時(shí) EP 交 AC 于點(diǎn) Q 連 結(jié) AP BQ 猜想并寫(xiě)出 BQ 與 AP 所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系 請(qǐng)證 明你的猜想 練習(xí) 1 如圖 在等腰 Rt ABC 中 C 90 AC 8 F 是 AB 邊上的中點(diǎn) 點(diǎn) D E 分 別在 AC BC 邊上運(yùn)動(dòng) 且保持 AD CE 連接 DE DF EF 在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中 下列 結(jié)論 DFE 是等腰直角三角形 DE 長(zhǎng)度的最小值為 4 四邊形 CDFE 的面積保持不 變 CDE 面積的最大值為 8 其中正確的結(jié)論是 A B C D 2 2011 湖北隨州 18 7 分 在等腰三角形 ABC 中 ABC 90 D 為 AC 邊上中點(diǎn) 過(guò) D 點(diǎn)作 DE DF 交 AB 于 E 交 BC 于 F 若 AE 4 FC 3 求 EF 長(zhǎng) 3 例 2 在中 交的延長(zhǎng)線于點(diǎn) 一等腰直角三角尺按如ABC ABAC CGBA BAG 圖 1 所示的位置擺放 該三角尺的直角頂點(diǎn)為 一條直角邊與邊在一條直線上 另FAC 一條直角邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn) B 1 在圖 1 中請(qǐng)你通過(guò)觀察 測(cè)量與的長(zhǎng)度 猜想并寫(xiě)出與滿足的數(shù)量關(guān)BFCGBFCG 系 然后證明你的猜想 2 當(dāng)三角尺沿方向平移到圖2 所示的位置時(shí) 一條直角邊仍與邊在同一直線上 ACAC 另一條直角邊交邊于點(diǎn) 過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn) 此時(shí)請(qǐng)你通過(guò)觀察 測(cè)量 BCDDDEBA EDE 與的長(zhǎng)度 猜想并寫(xiě)出與之間滿足的數(shù)量關(guān)系 然后證明你的猜想 DFCGDEDF CG 3 當(dāng)三角尺在 的基礎(chǔ)上沿方向繼續(xù)平移到圖 3 所示的位置 點(diǎn)在線段上 ACFAC 且點(diǎn)與點(diǎn)不重合 時(shí) 中的猜想是否仍然成立 不用說(shuō)明理由 FC A B C FG 圖1 A BC E F G 圖2 D A B C D E F G 圖3 例 3 如圖 在等邊 ABC 中 AB 9cm 點(diǎn) P 從點(diǎn) C 出發(fā)沿 CB 邊向點(diǎn) B 點(diǎn)以 2cm s 的速 度移動(dòng) 點(diǎn) Q 點(diǎn)從 B 點(diǎn)出發(fā)沿 BA 邊向 A 點(diǎn)以 5cm s 速度移動(dòng) P Q 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā) 它們 移動(dòng)的時(shí)間為 t 秒鐘 1 你能用 t 表示 BP 和 BQ 的長(zhǎng)度嗎 請(qǐng)你表示出來(lái) 2 請(qǐng)問(wèn)幾秒鐘后 PBQ 為等邊三角形 3 若 P Q 兩點(diǎn)分別從 C B 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā) 并且都按順時(shí)針?lè)较蜓?ABC 三邊運(yùn)動(dòng) 請(qǐng)問(wèn)經(jīng)過(guò)幾秒鐘后點(diǎn) P 與點(diǎn) Q 第一次在 ABC 的哪條邊上相遇 4 三 三 歸納總結(jié) 歸納總結(jié) 動(dòng)點(diǎn)一般在中考都是壓軸題 步驟不重要 重要的是思路 動(dòng)點(diǎn)類題目一般都有好幾問(wèn) 前一問(wèn)大都是后一問(wèn)的提示 就像幾何探究類題一樣 如果后面的題難了 可以反過(guò)去看 看前面問(wèn)題的結(jié)論 四 四 拓展延伸 拓展延伸 例 1 在 Rt ABC 中 AC BC C 90 D 為 AB 邊的中點(diǎn) EDF 90 EDF 繞 D 點(diǎn) 旋轉(zhuǎn) 它的兩邊分別交 AC CB 或它們的延長(zhǎng)線 于 E F 1 當(dāng) EDF 繞 D 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 DE AC 于 E 時(shí) 如圖 1 易證 1 2 DEFCEFABC SSS 2 當(dāng) EDF 繞 D 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 DE 和 AC 不垂直時(shí) 在圖 2 和圖 3 這兩種情況下 上述結(jié)論是 否成立 若成立 請(qǐng)給予證明 若不成立 S DEF S CEF S ABC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系 請(qǐng) 寫(xiě)出你的猜想 不需證明 例 2 2014 德州 第 23 題 10 分 問(wèn)題背景 如圖 1 在四邊形 ABC 中 AB AD BAD 120 B ADC 90 E F 分別是 BC CD 上 的點(diǎn) 且 EAF 60 探究圖中線段 BE EF FD 之間的數(shù)量關(guān)系 小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是 延長(zhǎng) FD 到點(diǎn) G 使 DG BE 連結(jié) AG 先證明 ABE ADG 再證明 AEF AGF 可得出結(jié)論 他的結(jié)論應(yīng)是 EF BE DF 5 探索延伸 如圖 2 若在四邊形 ABCD 中 AB AD B D 180 E F 分別是 BC CD 上的點(diǎn) 且 EAF BAD 上述結(jié)論是否仍然成立 并說(shuō)明理由 實(shí)際應(yīng)用 如圖 3 在某次軍事演習(xí)中 艦艇甲在指揮中心 O 處 北偏西 30 的 A 處 艦艇乙在指揮 中心南偏東 70 的 B 處 并且兩艦艇到指揮中心的距離相等 接到行動(dòng)指令后 艦艇甲向 正東方向以 60 海里 小時(shí)的速度前進(jìn) 艦艇乙沿北偏東 50 的方向以 80 海里 小時(shí)的速度前 進(jìn) 1 5 小時(shí)后 指揮中心觀測(cè)到甲 乙兩艦艇分別到達(dá) E F 處 且兩艦艇之間的夾角為 70 試求此時(shí)兩艦艇之間的距離 例 3 如圖 1 一等腰直角三角尺 GEF EGF 90 GEF GFE 45 GE GF 的兩條直 角邊與正方形 ABCD 的兩條邊分別重合在一起 現(xiàn)正方形 ABCD 保持不動(dòng) 將三角尺 GEF 繞 斜邊 EF 的中點(diǎn) O 點(diǎn) O 也是 BD 中點(diǎn) 按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 1 如圖 2 當(dāng) EF 與 AB 相交于點(diǎn) M GF 與 BD 相交于點(diǎn) N 時(shí) 通過(guò)觀察或測(cè)量 BM FN 的長(zhǎng)度 猜想 FN BM 相等嗎 并說(shuō)明理由 2 若三角尺 GEF 旋轉(zhuǎn)到如圖 3 所示的位置時(shí) 線段 FE 的延長(zhǎng)線與 AB 的延長(zhǎng)線相交 于點(diǎn) M 線段 BD 的延長(zhǎng)線與 GF 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) N 此時(shí) 1 中的猜想還成立嗎 請(qǐng) 說(shuō)明理由 6 例 4 在平面內(nèi) 旋轉(zhuǎn)變換是指某一圖形繞一個(gè)定點(diǎn)按順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度而 得到新位置圖形的一種變換 活動(dòng)一 如圖 1 在 Rt ABC 中 D 為斜邊 AB 上的一點(diǎn) AD 2 BD 1 且四邊形 DECF 是正方形 求陰影部分的面積 小明運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)的方法 將 DBF 繞點(diǎn) D 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 得到 DGE 如圖 2 所示 一眼就看出這題的答案 請(qǐng)你寫(xiě)出陰影部分的面積 活動(dòng)二 如圖 3 在四邊形 ABCD 中 AB AD BAD C 90 BC 5 CD 3 過(guò)點(diǎn) A 作 AE BC 垂足為點(diǎn) E 求 AE 的長(zhǎng) 小明仍運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)的方法 將 ABE 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 得到 ADG 如圖 4 所 示 則 四邊形 AECG 是怎樣的特殊四邊形 答 AE 的長(zhǎng)是 活動(dòng)三 如圖 5 在四邊形 ABCD 中 AB AD CD AD 將 BC 按逆時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn) B 旋 轉(zhuǎn) 90 得到線段 BE 連接 AE 若 AB 2 DC 4 求 ABE 的面積 例 5 已知 在中 為銳角 是射線上一動(dòng)點(diǎn) 與不重合 以ABC ACB DBCDC 為一邊向右側(cè)作等邊 與不重合 連接 ADADE CECE 若為等邊三角形 當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí) 如圖 1 所示 則直線與ABC DBCBD 直線所夾銳角為 度 CE 若為等邊三角形 當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí) 如圖 2 所示 你在ABC DBC 中得到的結(jié)論是否仍然成立 請(qǐng)說(shuō)明理由 若不是等邊三角形 且 如圖 3 所示 試探究當(dāng)點(diǎn)在線段ABC BCAC D 7 上時(shí) 你在 中得到的結(jié)論是否仍然成立 若成立 請(qǐng)說(shuō)明理由 若不成BC 立 請(qǐng)指出當(dāng)滿足什么條件時(shí) 能使 中的結(jié)論成立 并說(shuō)明理由 ACB 1 F E DCB A 2 BCDF A E 3 BCF A 問(wèn)題 1 中結(jié)論不成立 當(dāng) ACB 60 時(shí) 能使直線 BD 與直線 CE 所夾銳角為 60 證明 當(dāng) CD AC 時(shí) 在 CB 上截取一點(diǎn) G 使得 CG CA 連接 AG 如圖所示 ACB 60 GAC 是等邊三角形 AC AG AGC GAC 60 ADE 是等邊三角形 AE AD DAE 60 DAE CAD GAC CAD 從而 CAE GAD ACE AGD SAS ACE AGD 60 ECF 180 ACB ACE 60 此時(shí)直線 BC 與直線 CE 所夾銳角為 60 當(dāng) CD AC 時(shí) 點(diǎn) C 與點(diǎn) E 重合 不符合題意 當(dāng) CD AC 時(shí) 延長(zhǎng) EC 到 H 在 CB 上截取一點(diǎn) G 使得 CG CA 連接 AG 如圖所示 同 1 可證 ACE AGD ACE AGD 180 AGC 120 HCF DCE 120 ACB 60 此時(shí)直線 BC 與直線 CE 所夾銳角為 60 點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì) 根據(jù)已知進(jìn)行分類討論當(dāng) CD AC 時(shí) 當(dāng) CD AC 時(shí) 當(dāng) CD AC 時(shí)得出答案是解題關(guān)鍵 例 6 在等邊的兩邊 所在直線上分別有兩點(diǎn)為外一點(diǎn) 且ABC ABACMND ABC 探究 當(dāng)點(diǎn)分別愛(ài)直線上移動(dòng)60MDN 120BDC BDCD MN AB AC 時(shí) 之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)與等邊的周長(zhǎng)的關(guān)系 BMBN MN AMN QABC L 8 M N D CB A M N D C B A N M D C B A 如圖 當(dāng)點(diǎn)在邊上 且時(shí) 之間的MN AB AC DMDN BMNC MN 數(shù)量關(guān)系式 此時(shí) Q L 如圖 當(dāng)點(diǎn)在邊上 且時(shí) 猜想 1 問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論MN AB AC DMDN 還成立嗎 寫(xiě)出你的猜想并加以證明 如圖 當(dāng)點(diǎn)分別在邊的延長(zhǎng)線上時(shí) 若 則MN AB CA ANx 用表示 Q x L 5 5 課后作業(yè) 課后作業(yè) 1 如圖 在等邊的頂點(diǎn) A C 處各有一只蝸牛 它們同時(shí)出發(fā) 分別以每分鐘 1 各ABC 單位的速度油 A 向 B 和由 C 向 A 爬行 其中一只蝸牛爬到終點(diǎn)時(shí) 另一只也停止運(yùn)動(dòng) 經(jīng) 過(guò) t 分鐘后 它們分別爬行到 D E 處 請(qǐng)問(wèn) 1 在爬行過(guò)程中 CD 和 BE 始終相等嗎 2 若蝸牛沿著 AB 和 CA 的延長(zhǎng)線爬行 EB 與 CD 交于點(diǎn) Q 其他條件不變 如圖 2 所示 蝸牛爬行過(guò)程中 的大小條件不變 求證 CQE 60CQE 9 3 如果將原題中 由 C 向 A 爬行 改為 沿著 BC 的延長(zhǎng)線爬行 連接 DE 交 AC 于 F 其他條件不變 則爬行過(guò)程中 DF 始終等于 EF 是否正確 2 如圖 1 ABC 為等邊三角形 動(dòng)點(diǎn) D 在邊 CA 上 動(dòng)點(diǎn) P 邊 BC 上 若這兩點(diǎn)分別從 C B 點(diǎn)同時(shí)出發(fā) 以相同的速度由 C 向 A 和由 B 向 C 運(yùn)動(dòng) 連接 AP BD 交于點(diǎn) Q 兩點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中 AP BD 成立嗎 請(qǐng)證明你的結(jié)論 2 如果把原題中 動(dòng)點(diǎn) D 在邊 CA 上 動(dòng)點(diǎn) P 邊 BC 上 改為 動(dòng)點(diǎn) D P 在射線 CA 和射 線 BC 上運(yùn)動(dòng) 其他條件不變 如圖 2 所示 兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中 BQP 的大小保持不 變 請(qǐng)你利用圖 2 的情形 求證 BQP 60 3 如果把原題中 動(dòng)點(diǎn) P 在邊 BC 上 改為 動(dòng)點(diǎn) P 在 AB 的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng) 連接 PD 交 BC 于 E 其他條件不變 如圖 3 則動(dòng)點(diǎn) D P 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中 DE 始終等于 PE 嗎 寫(xiě)出 證明過(guò)程 圖 1 圖2 圖 3 10 3 如圖如圖 點(diǎn) 點(diǎn)A E F C在一條直線上 在一條直線上 AE CF 過(guò)點(diǎn) 過(guò)點(diǎn)E F 分別作分別作DE AC BF AC 連接 連接B D交交AC于點(diǎn)于點(diǎn)G 若 若 AB CD 1 試說(shuō)明 試說(shuō)明BD平分平分EF 2 若將 若將 DEC的邊的邊EC沿沿AC方向移動(dòng)到如圖方向移動(dòng)到如圖 所示位置時(shí) 其所示位置時(shí) 其 余條件不變 上述結(jié)論是否成立 試說(shuō)明理由 余條件不變 上述結(jié)論是否成立 試說(shuō)明理由 4 如圖 1 中 垂足為 D AF 平 分 交于點(diǎn) E 交 CB 于點(diǎn) F 11 1 求