【走向高考】2012屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 4-8同步練習(xí) 北師大版

用心 愛心 專心 1 第第 4 4 章章 第第 8 8 節(jié)節(jié) 一 選擇題 1 一船向正北航行 看見正西方向有相距 10 海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上 繼續(xù)航行半小時(shí)后 看見一燈塔在船的南偏西 60 另一燈塔在船的南偏西 75 則這只 船的速度是每小時(shí) A 5 海里 B 5海里 3 C 10 海里 D 10海里 3 答案 C 解析 依題意有 BAC 60 BAD 75 所以 CAD CDA 15 從而 CD CA 10 在直角三角形ABC中 可得AB 5 于是這只船的速度是 10 海里 小時(shí) 5 0 5 2 如圖所示 設(shè)A B兩點(diǎn)在河的兩岸 一測量者在A所在的河岸邊選定一點(diǎn)C 測出 AC的距離為 50m ACB 45 CAB 105 后 就可以計(jì)算A B兩點(diǎn)的距離為 A 50m B 50m 23 C 25m D m 2 25 2 2 答案 A 解析 由題意知 ABC 30 由正弦定理 AC sin ABC AB sin ACB AB 50 m AC sin ACB sin ABC 50 2 2 1 22 3 一船自西向東勻速航行 上午 10 時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西 75 距塔 68 海里的M 處 下午 2 時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處 則這只船的航行速度為 A 海里 小時(shí) B 34海里 小時(shí) 17 6 26 用心 愛心 專心 2 C 海里 小時(shí) D 34海里 小時(shí) 17 2 22 答案 A 解析 如圖所示 在 PMN中 PM sin45 MN sin120 MN 34 v 海里 小時(shí) 68 3 26 MN 4 17 2 6 4 為測量某塔AB的高度 在一幢與塔AB相距 20m 的樓頂D處測得塔頂A的仰角為 30 測得塔基B的俯角為 45 那么塔AB的高度是 A 20m B 20m 1 3 3 1 3 2 C 20 1 m D 30m 3 答案 A 解析 如圖所示 四邊形CBMD為正方形 而CB 20m 所以 BM 20m 又在 Rt AMD中 DM 20m ADM 30 AM DMtan30 m 20 3 3 AB AM MB 20 20m 20 3 3 1 3 3 5 如圖所示 D C B三點(diǎn)在地面同一直線上 DC a 從C D兩點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角分 別是 0 x 1 6 7 如圖 在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為 15 向山頂前進(jìn) 100 米到達(dá)B后 又測得C對于山坡的斜度為 45 若CD 50 米 山坡 對于地平面的坡角為 則 cos A B 2 3 23 C 1 D 3 2 2 答案 C 解析 在 ABC中 BC ABsin BAC sin ACB 50 100sin15 sin 45 15 62 在 BCD中 sin BDC 1 由圖知 BCsin CBD CD 50 6 2 sin45 503 cos sin ADE sin BDC 1 3 8 空中有一氣球 在它的正西方A點(diǎn)測得它的仰角為 45 同時(shí)在它南偏東 60 的B 點(diǎn) 測得它的仰角為 30 若A B兩點(diǎn)間的距離為 266 米 這兩個(gè)觀測點(diǎn)均離地 1 米 那 么測量時(shí)氣球到地面的距離是 A 米 B 米 266 7 7 266 7 7 1 用心 愛心 專心 4 C 266 米 D 266米 7 答案 B 解析 如圖 D為氣球C在過AB且與地面平行的平面上的正投影 設(shè)CD x米 依題 意知 CAD 45 CBD 30 則AD x米 BD x米 在 ABD中 由余弦定理得 3 AB2 AD2 BD2 2AD BD cos ADB 即 2662 x2 x 2 2x x cos150 7x2 解 33 得x 故測量時(shí)氣球到地面的距離是米 故選 B 266 7 7 266 7 7 1 二 填空題 9 海上有A B兩個(gè)小島相距 10 海里 從A島望C島和B島成 60 的視角 從B島望 C島和A島成 75 的視角 則B C的距離是 答案 5海里 6 解析 在 ABC中由正弦定理得 10 sin45 BC sin60 BC 5 6 10 我艦在島A南 50 西 12 海里的B處 發(fā)現(xiàn)敵艦正從島沿北 10 西的方向以每小時(shí) 10 海里的速度航行 若我艦要用 2 小時(shí)追上敵艦 則速度為 答案 14 海里 小時(shí) 解析 設(shè)我艦在C處追上敵艦 速度為V 則在 ABC中 AC 20 AB 12 BAC 120 BC2 784 V 14 海里 小時(shí) 11 2009 年 8 月 9 日 莫拉克臺風(fēng)即將登陸福建省霞浦縣 如圖 位于港口O正東方向 20 海里的B處的漁船回港避風(fēng)時(shí)出現(xiàn)故障 位于港口南偏西 30 方向 距港口 10 海里的C 處的拖輪接到海事部門營救信息后以 30 海里 小時(shí)的速度沿直線CB去營救漁船 則拖輪到 B處需要 小時(shí) 分析 求解本題的關(guān)鍵是把實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題 然后再利用余弦定理解 決 用心 愛心 專心 5 答案 7 3 解析 由題易知 BOC 120 因?yàn)锽C2 OC2 OB2 2 OC OB cos120 700 所以BC 10 所以拖輪到達(dá)B處需要的時(shí)間t 小時(shí) 7 10 7 30 7 3 三 解答題 12 如圖某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東 75 距離為 12n mile 在A處看燈塔C在貨輪的北偏西 30 距離為 8n 63 mile 貨輪由A處向正北航行到D處時(shí) 再看燈塔B在南偏東 60 求 1 A處與D處的距離 2 燈塔C與D處的距離 結(jié)果精確到 1n mile 解析 1 在 ABD中 ADB 60 B 45 由正弦定理得 AD 24 n mile ABsinB sin ADB 12 6 2 2 3 2 2 在 ADC中 由余弦定理得 CD2 AD2 AC2 2AD ACcos30 解得CD 8 14 n mile 3 即A處與D處的距離為 24n mile 燈塔C與D處的距離約為 14n mile 13 某海域內(nèi)一觀測站A 某時(shí)刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東 50 且 與A相距 80 海里的位置B 經(jīng)過 1 小時(shí)又測得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東 50 其中 sin 0 90 且與A相距 60 海里的位置C 15 8 1 求該船的行駛速度 2 若該船不改變航行方向繼續(xù)向前行駛 求船在行駛過程中離觀測站A的最近距離 解析 1 如圖 AB 80 AC 60 BAC sin 15 8 用心 愛心 專心 6 由于 0 90 所以 cos 1 15 8 2 7 8 由余弦定理得BC 40 AB2 AC2 2AB ACcos 所以船的行駛速度為 40 海里 小時(shí) 2 在 ABC中 由正弦定理得 BC sin BAC AC sin ABC sin ABC AC sin BAC BC 60 15 8 40 3 15 16 自A作BC的垂線 交BC的延長線于D 則AD的長是船離觀測站的最近距離 在 Rt ABD中 AD ABsin ABD 80 15 海里 3 15 1615 船在行駛過程中離觀測站A最近距離為 15海里 15 14 2010 陜西理 如圖A B是海面上位于東西方向相距 5 3 海里的兩個(gè)觀測點(diǎn) 現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東 45 B點(diǎn)北偏西 3 60 的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號 位于B點(diǎn)南偏西 60 且與B 點(diǎn)相距 20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救 其航行速度為 30 3 海里 小時(shí) 該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長時(shí)間 解析 本題考查正余弦定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用 本題要結(jié)合圖像確定恰當(dāng)三角形進(jìn) 行邊角的求解 求解過程中三角函數(shù)的變形 轉(zhuǎn)化是易錯(cuò)點(diǎn) 注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性 由題意知AB 5 3 海里 3 DBA 90 60 30 DAB 45 ADB 105 在 DAB中 由正弦定理得 DB sin DAB AB sin ADB DB AB sin DAB sin ADB 5 3 3 sin45 sin105 5 3 3 sin45 sin45 cos60 sin60 cos45 10 海里 5 3 3 1 3 1 23 又 DBC DBA ABC 30 90 60 60 BC 20 海里 3 在 DBC中 由余弦定理得 CD2 BD2 BC2 2BD BC cos DBC 用心 愛心 專心 7 300 1200 2 10 20 900 33 1 2 CD 30 海里 則需要的時(shí)間t 1 小時(shí) 30 30 答 救援船到達(dá)D點(diǎn)需要 1 小時(shí) 點(diǎn)評 1 解決實(shí)際應(yīng)用問題 要過好語言關(guān) 圖形關(guān)和數(shù)理關(guān) 考生在平時(shí)訓(xùn)練中要注 意加強(qiáng) 2 本題若認(rèn)定 DBC為直角三角形 由勾股定理正確求得CD 同樣可以 15 2010 福建文 某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上 在 小艇出發(fā)時(shí) 輪船位于港口O北偏西 30 且與該港口相距 20 海里的A處 并正以 30 海里 小里的航行速度沿正東方向勻速行駛 假設(shè)該小船沿直線方向以v海里 小時(shí)的航 行速度勻速行駛 經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇 1 若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小 則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少 2 為保證小艇在 30 分鐘內(nèi) 含 30 分鐘 能與輪船相遇 試確定小艇航行速度的最小值 3 是否存在v 使得小艇以v海里 小時(shí)的航行速度行駛 總能有兩種不同的航行方向 與輪船相遇 若存在 試確定v的取值范圍 若不存在 請說明理由 解析 本小題主要考查解三角形 二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識 考查推理論證能力 抽象概 括能力 運(yùn)算求解能力 應(yīng)用意識 考查函數(shù)與方程思想 數(shù)形結(jié)合思想 化歸與轉(zhuǎn)化思 想 1 設(shè)相遇時(shí)小艇的航行距離為S海里 則 S 900t2 400 2 30t 20 cos 90 30 900t2 600t 400 900 t 1 3 2 300 故當(dāng)t 時(shí) Smin 10 v 30 1 33 10 3 1 33 即小艇以 30海里 小時(shí)的速度航行 相遇時(shí)小艇的航行距離最小 3 2 設(shè)小艇與輪船在B處相遇 由題意可得 vt 2 202 30t 2 2 20 30t cos 90 30 化簡得 v2 900 400 2 675 400 t2 600 t 1 t 3 4 用心 愛心 專心 8 由 00 400 t2 600 t 1 t 于是 400u2 600u 900 v2 0 小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇 等價(jià)于方程 應(yīng)有兩個(gè)不等正根 即 Error 解得 15 v0 時(shí) 可得 4m 2cosx 對一切實(shí)數(shù)x都成立 1 2cosx 4m min 2cosx 1 2cosx 而 2cosx 2 當(dāng)且僅當(dāng) cosx 時(shí)取等號 1 2cosx 1 2 故 4m 2 即m 1 2 當(dāng) cosx2R或a b 2R時(shí) 所求的 ABC不存在 當(dāng)a 2R且b a時(shí) A 90 所求的 ABC只存在一個(gè) 且c a2 b2 當(dāng)a 2R且b a時(shí) A B 且A B都是銳角 由 sinA sinB A B唯一確 a 2R b 2R 定 因此 所求的 ABC只存在一個(gè) 且c 2a cosA a R4R2 a2 當(dāng)b a 2R時(shí) B總是銳角 A可以是鈍角也可以是銳角 因此 所求的 ABC存在兩 個(gè) 由 sinA sinB 得 a 2R b 2R 當(dāng)A90 時(shí) cosA 1 2R4R2 a2 c a2 b2 ab 2R2 4R2 a2 4R2 b2 ab 三 三角函數(shù)與平面向量的綜合 例 3 已知向量m m f x cosx n n sinx cosx 1 且m m n n 3 1 求函數(shù)f x 的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間 2 若函數(shù)f x 的圖像關(guān)于直線x x0對稱 且 0 x0 1 求x0的值 分析 對于 1 利用已知求出函數(shù)f x 的解析式 轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)知識 進(jìn)一步解決 問題 對于 2 根據(jù)對稱坐標(biāo)之間的關(guān)系求x0即可 解析 1 由m m n n得 f x 1 cosx sinx cosx 0 則f x 3 sinxcosx cos2x sin2x cos2x sin 3 3 2 1 2 1 2 2x 6 1 2 用心 愛心 專心 11 T 2 2 由 2k 2x 2k k Z Z 得 2 6 2 k x k k Z Z 3 6 f x 的最小正周期為 單調(diào)遞增區(qū)間為 k Z Z k 3 k 6 2 f x 的圖像關(guān)于直線x x0對稱 2x0 k 即x0 k Z Z 6 2 k 2 6 0 x0 1 x0 6 四 三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 例 4 某單位在抗雪救災(zāi)中 需要在A B兩地之間架設(shè)高壓電線 測量人員在相距 6000m 的C D兩地 A B C D在同一平面上 測得 ACD 45 ADC 75 BCD 30 BDC 15 如圖 假設(shè)考慮到電線的自然下垂的施工損耗等原因 實(shí)際所 需電線長度大約是A B距離的 1 2 倍 問 施工單位至少應(yīng)該準(zhǔn)備多長的電線 參考數(shù)據(jù) 1 4 1 7 2 6 237 分析 解決此類問題的一般步驟是 1 根據(jù)題意 抽象 地構(gòu)造出三角形 2 確定實(shí)際問題所涉及的數(shù)據(jù)以及要求解的結(jié)論與所構(gòu)造 的三角形的邊和角