四川省德陽市2012高考數(shù)學難點33函數(shù)的連續(xù)性及其應(yīng)用.doc

難點33 函數(shù)的連續(xù)性及其應(yīng)用函數(shù)的連續(xù)性是新教材新增加的內(nèi)容之一.它把高中的極限知識與大學知識緊密聯(lián)在一起.在高考中，必將這一塊內(nèi)容溶入到函數(shù)內(nèi)容中去，因而一定成為高考的又一個熱點.本節(jié)內(nèi)容重點闡述這一塊知識的知識結(jié)構(gòu)體系.難點磁場()已知函數(shù)f(x)=(1)討論f(x)在點x=1,0,1處的連續(xù)性；(2)求f(x)的連續(xù)區(qū)間.案例探究例1已知函數(shù)f(x)=,(1)求f(x)的定義域，并作出函數(shù)的圖象；(2)求f(x)的不連續(xù)點x0;(3)對f(x)補充定義，使其是R上的連續(xù)函數(shù).命題意圖：函數(shù)的連續(xù)性，尤其是在某定點處的連續(xù)性在函數(shù)圖象上有最直觀的反映.因而畫函數(shù)圖象去直觀反映題目中的連續(xù)性問題也就成為一種最重要的方法.知識依托：本題是分式函數(shù)，所以解答本題的閃光點是能準確畫出它的圖象.錯解分析：第(3)問是本題的難點，考生通過自己對所學連續(xù)函數(shù)定義的了解.應(yīng)明確知道第(3)問是求的分數(shù)函數(shù)解析式.技巧與方法：對分式化簡變形，注意等價性，觀察圖象進行解答.解：(1)當x+20時，有x2因此，函數(shù)的定義域是(,2)(2,+)當x2時，f(x)= =x2,其圖象如上圖(2)由定義域知，函數(shù)f(x)的不連續(xù)點是x0=2.(3)因為當x2時，f(x)=x2,所以=4.因此，將f(x)的表達式改寫為f(x)=則函數(shù)f(x)在R上是連續(xù)函數(shù).例2求證：方程x=asinx+b(a0,b0)至少有一個正根，且它不大于a+b.命題意圖：要判定方程f(x)=0是否有實根.即判定對應(yīng)的連續(xù)函數(shù)y=f(x)的圖象是否與x軸有交點，因此根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，只要找到圖象上的兩點，滿足一點在x軸上方，另一點在x軸下方即可.本題主要考查這種解題方法.知識依托：解答本題的閃光點要找到合適的兩點，使函數(shù)值其一為負，另一為正.錯解分析：因為本題為超越方程，因而考生最易想到畫圖象觀察，而忽視連續(xù)性的性質(zhì)在解這類題目中的簡便作用.證明：設(shè)f(x)=asinx+bx,則f(0)=b0,f(a+b)=asin(a+b)+b(a+b)=asin(a+b)10,又f(x)在(0,a+b內(nèi)是連續(xù)函數(shù)，所以存在一個x0(0,a+b，使f(x0)=0,即x0是方程f(x)=0的根，也就是方程x=asinx+b的根.因此，方程x=asinx+b至少存在一個正根，且它不大于a+b.錦囊妙計1.深刻理解函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)的概念：等式f(x)=f(x0)的涵義是：(1)f(x0)在x=x0處有定義，即f(x0)存在；(2)f(x)存在，這里隱含著f(x)在點x=x0附近有定義；(3)f(x)在點x0處的極限值等于這一點的函數(shù)值，即f(x)=f(x0).函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，反映在圖象上是f(x)的圖象在點x=x0處是不間斷的.2.函數(shù)f(x)在點x0不連續(xù)，就是f(x)的圖象在點x=x0處是間斷的.其情形：(1)f(x)存在；f(x0)存在，但f(x)f(x0);(2)f(x)存在，但f(x0)不存在.(3) f(x)不存在.3.由連續(xù)函數(shù)的定義，可以得到計算函數(shù)極限的一種方法：如果函數(shù)f(x)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，點x0是定義區(qū)間內(nèi)的一點，那么求xx0時函數(shù)f(x)的極限，只要求出f(x)在點x0處的函數(shù)值f(x0)就可以了，即f(x)=f(x0).殲滅難點訓練一、選擇題1.()若f(x)=在點x=0處連續(xù)，則f(0)等于( )A. B.C.1D.02.()設(shè)f(x)=則f(x)的連續(xù)區(qū)間為( )A.(0，2)B.(0，1)C.(0，1)(1，2)D.(1，2)二、填空題3.() =_.4.()若f(x)=處處連續(xù)，則a的值為_.三、解答題5.()已知函數(shù)f(x)=(1)f(x)在x=0處是否連續(xù)？說明理由；(2)討論f(x)在閉區(qū)間1,0和0,1上的連續(xù)性.6.()已知f(x)=(1)求f(x);(2)求常數(shù)a的值，使f(x)在區(qū)間(,+)內(nèi)處處連續(xù).7.()求證任何一個實系數(shù)一元三次方程a0x3+a1x2+a2x+a3=0(a0,a1,a2,a3R,a00)至少有一個實數(shù)根.8.()求函數(shù)f(x)=的不連續(xù)點和連續(xù)區(qū)間.參考答案難點磁場解：(1)f(x)=3, f(x)=1,所以f(x)不存在，所以f(x)在x=1處不連續(xù)，但f(x)=f(1)=1, f(x)f(1),所以f(x)在x=1處右連續(xù)，左不連續(xù)f(x)=3=f(1), f(x)不存在，所以f(x)不存在，所以f(x)在x=1不連續(xù)，但左連續(xù)，右不連續(xù).又f(x)=f(0)=0,所以f(x)在x=0處連續(xù).(2)f(x)中，區(qū)間(,1),1,1,(1,5上的三個函數(shù)都是初等函數(shù)，因此f(x)除不連續(xù)點x=1外，再也無不連續(xù)點，所以f(x)的連續(xù)區(qū)間是(,1),1,1和(1,5.殲滅難點訓練一、1.解析：答案：A2.解析：即f(x)在x=1點不連續(xù)，顯知f(x)在(0,1)和(1,2)連續(xù).答案：C二、3.解析：利用函數(shù)的連續(xù)性，即,答案：答案：三、5.解：f(x)=(1) f(x)=1, f(x)=1,所以f(x)不存在，故f(x)在x=0處不連續(xù).(2)f(x)在(,+)上除x=0外，再無間斷點，由(1)知f(x)在x=0處右連續(xù)，所以f(x)在1，0上是不連續(xù)函數(shù)，在0,1上是連續(xù)函數(shù).6.解：(1)f(x)=(2)要使f(x)在(,+)內(nèi)處處連續(xù)，只要f(x)在x=0連續(xù)，f(x)= =f(x)=(a+bx)=a,因為要f(x)在x=0處連續(xù)，只要 f(x)= f(x)= f(x)=f(0),所以a=7.證明：設(shè)f(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3,函數(shù)f(x