三角形三條高線交于一點(diǎn)的六種證明方法

三角形三條高線交于一點(diǎn)的證明 證法一：運(yùn)用同一法證三條高兩兩相交的交點(diǎn)是同一點(diǎn)。已知：ABC的兩條高BE、CF相交于點(diǎn)O，第三條高AD交高BD于點(diǎn)Q，交高CF于點(diǎn)P。求證：P、Q、O三點(diǎn)重合證明：如圖，BEAC，CFABAEB = AFC = 90又BAE = CAFABE ACF，即ABAF = ACAE又ADBCAEQ ADC，AFP ADB，即ACAE = ADAQ，ABAF = ADAPABAF = ACAE，ACAE = ADAQ，ABAF = ADAPADAQ = ADAPAQ = AP點(diǎn)Q、P都在線段AD上點(diǎn)Q、P重合AD與BE、AD與CF交于同一點(diǎn)兩條不平行的直線只有一個(gè)交點(diǎn)BE與CF也交于此點(diǎn)點(diǎn)Q、P、O重合。證法二：連結(jié)一頂點(diǎn)和兩高交點(diǎn)的線垂直于第三邊，運(yùn)用四點(diǎn)共圓性質(zhì)。已知：ABC的兩條高AD、BE相交于點(diǎn)O，第三條高CF交高AB于點(diǎn)F，連結(jié)CO交AB于點(diǎn)F。求證：CFAB。證明:ADBC于D，BEAC于EA、B、D、E四點(diǎn)共圓1ABE同理212ABEABE+BAC90，2+BAC90即CFAB。注：證法一和證法二是證明共點(diǎn)線的常用方法。證法三：證明兩條高的交點(diǎn)在第三條高線上，建立直角坐標(biāo)系運(yùn)用代數(shù)方法證明。證明：如圖6，以直線BC為x軸，高AD為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(0 , a) , B(b , 0) , C(c , 0),由兩條直線垂直的條件xCDOyABFE則三條高的直線方程分別為：解（2）和（3）得 這說明BE和CF得交點(diǎn)在AD上，所以三角形的三條高相交于一點(diǎn)。注：有時(shí)候考慮直角坐標(biāo)系這一有力的數(shù)形結(jié)合工具可以有效地解決問題。證法四：轉(zhuǎn)化為證明另一個(gè)三角形的三條中垂線（或中線）交于一點(diǎn)。已知：AD、BE、CF是ABC的三條高。求證：AD、BE、CF相交于一點(diǎn)。證明：過點(diǎn)A、B、C分別作BC、AC、AB的平行線ML、MN、NL AMBC，MBAC 四邊形AMBC是平行四邊形 AMBC 同理，ALBC AMAL ADMLAD是ML的垂直平分線同理，BE、CF分別是MN、NL的垂直平分線而三角形的三條垂直平分線相交于一點(diǎn) AD、BE、CF相交于一點(diǎn)。注：三角形的三條中線（可中垂線、角平分線）相交于一點(diǎn)，這事實(shí)學(xué)生容易理解，也不難證明，把證明三角形的三條垂線相交于一點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為另一三角形的三條中線（中垂線）相交于一點(diǎn)，這種化陌生為熟悉、化難為易的轉(zhuǎn)化方法必須讓學(xué)生理解掌握。證法五：運(yùn)用錫瓦（Ceva）定理證明。已知：AD、BE、CF是ABC的三條高。求證：AD、BE、CF相交于一點(diǎn)。證明：如圖，ADBC于E，BEAC于E ABD CBF （1）同理，由ADC BEC得 ， （2）由AFC AEB （3）三式相乘得 即AD、BE、CF相交于一點(diǎn)。注：錫瓦定理是證明共點(diǎn)線的有力工具，雖然中學(xué)不作要求，但對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生不妨引導(dǎo)他們自己研究，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。錫瓦定理可以用梅涅勞（Menelaus）定理證明，而梅涅勞定理可以由平行線分線段成比例定理輕松得到。在適當(dāng)情況下適當(dāng)?shù)膯l(fā)有利于學(xué)生思維的擴(kuò)散，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。證法六設(shè)ABC，三條高線為AD、BE、CF，AD與BE交于H，連接CF。向量HA=向量a，向量HB=向量b，向量HC=向量c。因?yàn)锳DBC，BEAC，所以向量HA向量BC=0，向量HB向量CA=0，即向量a(向量c-向量b)=0，向量b(向量a-向量c)=0，亦即向量a向量c-向量a向量b