江蘇省高三歷次模擬數(shù)學試題分類匯編：第6章平面向量與復數(shù)

- 1 - 目錄 （基礎復習部分） 第六章 平面向量與復數(shù) . 2 第 35 課 向量的有關概念和線性運算 . 2 第 36 課 平面向量基本定理和坐標運算 . 2 第 37 課 平面向量的數(shù)量積 . 4 第 38 課 平面向量的應用 . 6 第 39 課 復數(shù) . 10 - 2 - 第六章 平面向量與復數(shù) 第 35課 向量的有關概念和線性運算 已知向量12,122a e e與12b e e共線，則 12（南京鹽城二模） 平面四邊形 ， D 相交于點 O，E 為線段 中點，若 （ R, ），則 34 第 36課 平面向量基本定理和坐標運算 已知向量 ),1,0(),1,2( ,/)( 則實數(shù) . 0 （鎮(zhèn)江期末） 已知向量 ( 2 1, 1) ， (2, 1)， ，則 x . 1 (蘇錫常鎮(zhèn)二模 )已知向量 1 , 2 , 0 , 1 , , 2a b c k ，若 2 ，則實數(shù) k （金 海南三校聯(lián)考 ） 設 x0， y0，向量 a=(1 x， 4)， b=(x， y)，若 a/b，則 x y 的最小值為 南通一中期中 ) 已知平面向量 (2, 1)a ，向量 (1,1)b ，向量 ( 5,1)c . 若 ( )/ka b c ，則實數(shù) k 的值為 12（蘇北四市期末） 已知向量 (1 , 2 a ， ( s ) , 1)3b， R (1) 若 求 的值 ； (2) 若 a b ， 且 (0 , )2， 求 的 值 （ 1） 因為 以 =0 2 分 所以 2 s i n s i n 03 ， 即 53s i n c o s 022 4 分 因為 ， 所以 3 6 分 （ 2） 由 a b ，得 2 s i n s i n 13， 8 分 即 2 2 s i n c o s 2 s i n c o s s i n 133 ， 即 131 c o s 2 s i n 2 122 ， 整理得， 1s i n 26211 分 又 0,2 ， 所以 5 2,6 6 6 ， 所以 266 ， 即 6 14 分 已知向量 s ) , 36a， (1, 4 ab ， (0,) （ 1）若 a b ，求 值； （ 2）若 a b ，求 的值 題圖 - 3 - 解：（ 1）因為 a b ，所以 s i n ( ) 1 2 c o s 06 ， 2 分 即 31s i n c o s 1 2 c o s 022 ，即 3 2 5s i n c o s 022 ， 4 分 又 ，所以 25 3 6 分 （ 2）若 a b ，則 4 c o s s i n ( ) 36 ， 8 分 即 314 c o s ( s i n c o s ) 322 ， 所以 3 s i n 2 c o s 2 2 ， 10 分 所以 ) 16 ， 11 分 因為 (0,) ，所以 132 ( , )6 6 6 ， 13 分 所以 262，即 6 14 分 （泰州二模） 已知向量 13( , )22a， ( 2 c o s , 2 s i n )b ， 0 （ 1）若 a b ，求角 的大??； （ 2）若 a b b ，求 的值 解： (1) 因為 /以 132 s i n 2 c o ，即 s i n 3 c o s ， 所以 ， 又 0 ，所以 23 分 (2)因為 a b b ，所以 22()a b b ，化簡得 2 20 a a b ， 又 13( , )22a， ( 2 c o s , 2 s i n )b ，則 2 1a ， c o s 3 s i n 所以 13 s i n c o ，則 1s i n ( ) 064 ， 10 分 又 0 ， 15c o s ( )64 ， 所以 s i n ( ) s i n ( ) c o s c o s ( ) s i 6n 6s 6 15 38 在平面直角坐標系中，已知三點 ),6(),2,(),0,4( 為坐標原點 . (1) 若 是直角三角形，求 t 的值； (2) 若四邊形 平行四邊形，求 最小值 . - 4 - 解 ： （ 1）由條件， 4 , 2 , 2 , , 6 , 2A B t A C t B C t t ， - 若直角 中， 90A ，則 0C，即 2 4 2 0 ， 2t； 若直角 中， 90B ，則 0C，即 4 6 2 2 0t t t ， 6 2 2t ； 若直角 中， 90C ，則 0C，即 2 6 2 0t t t ，無解， 所以，滿足條件的 t 的值為 2 或 6 2 2 （ 2） 若四邊形 平行四邊形， 則 C ，設 D 的坐標為 ( , )即 4 , 6 , 2x y t t ， 4 6 62 即 (1 0 , 2 )D t t 2 2 2( 1 0 ) ( 2 ) 2 2 4 1 0 4O D t t t t ， 所以當 6t 時， 最小值為 42， 第 37課 平面向量的數(shù)量積 平面向量 a ( 3,1) ， b ( 2 3, 2) ，則 a 與 b 的夾角為 23 1,1a ， 1,1b ，設向量 c 滿足 2 3 0 a c b c ，則 c 的最大值為 26 已知 向量 a (2， 1)， b (0， 1) 若 (a b) a，則實數(shù) 5 （鹽城期中） 若 ,且 ( 2 )a a b ，則 , . 3已知 O A B、 、 三點的坐標分別為 ( 0 , 0 ) ( 3 , 0 ) ( 0 , 3 )O A B， ，且 P 在線段， ( 0 1 )A P t A B t 則 P最大值為 9 如圖， 中， 90,4,3 是 中點，則的值為 . 17 平行四邊形 ， E 為 中點， 于點 M， 2, 1，且 16M A M B ，則 D 34 已知菱形 邊長為 2， 120o ，點 E ， F 分別在邊 B A C D 第 9 題圖 A C B O M （南通一） - 5 - A B C D E F （第 11 題） P ， C ， D A E B F?則 = (南通調研一 ) 如上圖，圓 O 內接 中 ， M 是 中點， 3 若 4M，則 . 7 （蘇州期末） 如圖，在 中，已知 4， 6， 60 ，點 D ， E 分別在邊 2D ， 3E ，點 F 為 點，則 E 的值為 . 4 （淮安宿遷摸底） 如圖，已知 中， 4C， 90， C 的中點， 若 向量 14A M A B m A C ， 且 終點 M 在的內部 （不含邊界） ，則 M 的取值范圍是 2,6 （南通調研二） 在平行四邊形 ， A C A D A C B D 3 ，則線段 【答案】 3 （南通調研三） 如圖，已知正方形 邊長為 2，點 E 為 中點以 A 為圓心， 半徑，作弧交 點 F 若 P 為劣弧 的動點，則 最小值為 【 答案 】 5 2 5 （蘇北三市調研三） 如圖，半徑為 2 的扇形的圓心角為 120 ， 分別為線段 的中點， A 為 任意一點，則 N 的取值范圍是 . 35 . 22（南京三模） 在 ， 120， 2， 3， D， E 是線段 三等分 點，則 119 （鹽城三模） 在邊長為 1 的菱形 ， 23A ，若點 P 為對角線 一點，則 D 的最大值為 . 121 如圖，已知點 O 是 重心， B， ，則 答案： 72 A D F E B C(淮安宿遷摸底 ) D C B A A M N O P Q 蘇北三市調研 A B C O - 6 - 15已知 2 , 1， a 與 b 的夾角為 135 （ 1）求 ( ) ( 2 )a b a b 的值； （ 2）若 k 為實數(shù)，求 a 的最小值 解：因為 22( ) ( 2 ) 2a b a b a b a b 3 分 24 1 2 1 ( ) 22 6 分 （ 2） 2 2 2 2 2a k b a k b k a b 8 分 222 2 ( 1 ) 1k k k 10 分 當 1k 時， 2a 的最小值為 1， 12 分 即 a 的最小值為 1 14 分 第 38課 平面向量的應用 已知平行四邊形 ， 2，3A B A D A A D A C，則 平行四邊形 面積為 23 如圖 , 半徑為 3 的圓 O 的直徑 , P 是圓 O 上異于 , Q 是線段 靠近 A 的三等分點 , 且 4,B則 P 的值為 已知 中線 ， 若 120Ao ， 2C 則 |最小值是 1 在梯形 ， 2C ， 6， P 為梯形所在平面上一點，且滿足 40A P B P D P ， D A C B D A D P ， Q 為邊 的一個動點，則 最小值為 答案 ： 423； （揚州期末） 已知 A(0， 1)，曲線 C： 過點 B，若 P 是曲線 C 上的動點，且 P 的最小值為 2，則 a = . e （蘇北四市期末） 在 ，已知 3， 45A ， 點 D 滿足2B ，且 13則 長 為 3 24M E D A B C 鹽城期中 - 7 - （鹽城期中） 如圖，在等腰 中， =C ， M 為 點， 點 D 、 E 分別在邊 ，且1= 2B ， =3C ，若 90D M E，則 . 15 （泰州二模） 在 中， D 為邊 一點， 4 , 6A B A D A C ，若 的外心恰在線段 ，則 2 10 （前黃姜堰四校聯(lián)考） 在 ， 點 D 是 線段 中點，若 0 16 0 ,2A A B A C ，則 |最小值是 . 32（金海南三校聯(lián)考） 在平面直角坐標系 ，設 A， B 為函數(shù) f(x)=1 圖象與 x 軸的兩個交點， C，D 為函數(shù) f(x)的圖象上的兩個動點，且 C， D 在 x 軸上方 (不含 x 軸 )，則 D 的取值范圍為 . ( 4， 3 32 94 由題意 A( 1， 0)， B(1， 0)，設 C(1 D(1 1 1，則 (1)(1) (1 1 (1)(1)記 f(x) (1)x 1 x 1 （ 1）當 1 12時，則 0 2(1) 1， 12(1) 1，又 1 0，所以 f(x)在 ( 1， 1)上 單調遞 增 ， 因為 f( 1) 0， f(1) 2，所以 0 f(x) 2又 1 0，所以 2(1) 0 根據(jù) 1 12，則 4 0 （ 2）當 12 1 時 ， 則 1 2(1) 1， 1 12(1) 14又 1 0，所以 f(x)在 ( 1， 1)上先 減 后增， x 12(1)時 取的最小值 f( 12(1) 14(1)， 又 f(1) 2， 所以 14(1) f(x) 2又 1 0，所以 2(1) 14(1)(1 令 g(x) x(1 x) 1 x4(x 1)， 則 g(x) x 14 12(x 1)， g(x) 1 2x 12 (x 1)2 4612(x 1)2 (2x 1)(x 3 12 )(x 3 12 )2(x 1)2 ，當12 x3 12 時， g(x) 0；3 12 x 1 時 g(x) 0；所以 g(x) 在 ( 12， 1)上先增后減，所以 g(x)g( 3 12 ) 3 32 94 又 2(1) 3， 所以 3 3 32 94 綜上 ， 的取值范圍是 ( 4， 3 32 94 A B C D - 8 - （南師附中四校聯(lián)考） 如圖，在 ， . （ 1）若 （ 為實數(shù)），求 的值； （ 2）若 ， ， 0，求 的值 . （ 1） ， )(2 ， 3 分 又 )( )( 5 分 共線，313231,1 7 分 （ 2） )()3132( 10 分 22313231 12 分 =34 14 分 已知扇形 半徑等于 1， 120A O B， P 是圓弧 的一點 （ 1）若 30， 求 B值 （ 2） 若 O P O A O B 求 ,滿足的條件； 求 22+的取值范圍 解：（ 1） 因為 30， 120A O B， 所以 1 2 0 3 0 9 0B O P A O B A O P o o o, 0B ()O P A B O P O B O A O P O B O P O A u u ur u u ur u u ur u u ur u u r u u ur u u ur u u ur u u r 3 分 30 c o s 3 0 o 5 分 （ 2） 由余弦定理，知 2 2 2| | | | | | c o s 6 02 | | | |O A O B O O B ou u r u u ur u u u r u u 7 分 故 22+ 1 1 ,得 221 ，所以 ,滿足的條件 - 9 - 為22001. ， ， 10 分 由 0, 0 ，知 22 11 （當且僅當 0 或 0 時取“ =”） 12 分 由 2222 112 ， 知 222 （當且僅當 時取“ =”） 14 分 于是 22 的取值范圍為 1,2 15 分 （南通調研二） 在平面直角坐標系 ，已知向量 a (1 ， 0)， b (0 ， 2) )b ， k b ，其中 0 . （ 1）若 4k ， 6，求 x y 的值； （ 2）若 x/ y，求實數(shù) k 的最大值，并求取最大值時 的值 . 解：（ 1）（方法 1）當 4k ， 6時， 1 2 3，x ， y ( 44， )， 2 分 則 1 ( 4 ) 2 3 4 4 4 3 6 分 （方法 2）依題意， 0 2 分 則 22331 4 2 4 2 122 a b a b a b 34 2 1 4 4 4 32 6 分 （ 2） 依題意， 1 2 2 c o s ，x ， 2s ，y， 因為 x/ y， 所以 2 ( 2 2 c o s )s i n k ， 整理 得， 1 s i n c o s 1k ， 9 分 令 ( ) s i n c o s 1f ， 則 ( ) c o s c o s 1 s i n ( s i n )f 22 c o s c o s 1 - 10 - 2 c o s 1 c o s 1 . 11 分 令 ( ) 0f ，得 1或 ， 又 0 ， 故 23. 列表： 故當 23時，f 334，此時實數(shù) k 取最大值 439. 14 分 （注：第（ 2）小問中，得到 1 2 2 c o s ，x ， 2s ，y， 及 k 與 的等式， 各 1 分） 第 39課 復數(shù) 2 設復數(shù) 3m （ 0m ， i 為虛數(shù)單位），若 ，則 m 的值為 3 1 若復數(shù)122 , 1 ,z a i z i 且12 則實數(shù) a 的值為 2 已知復數(shù) z 11 i，其中 i 是虛數(shù)單位，則 |z| 22 3 如果 1 ， 與 是共軛復數(shù) （ x、 y 是實數(shù) ），則 34 4 已知 )(21)( 為虛數(shù)單位），若復數(shù) z 在復平面內對應的點在實軸上，則a . 125 已知復數(shù) i(1 i)( 為虛數(shù)單位），則復數(shù) z 在復平面上對應的點位于第 象限一 6 復數(shù) z 滿足 34iz i （ i 是虛數(shù)單位），則 z 答案 ： 43i ； 若復數(shù) 51 2i m（ i 為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實數(shù) m 1 已知復數(shù) z 滿足 ( )11i z + ，則 z 的模為 南通調研一） 已知復數(shù) z 滿足 3 4 1(i z i為虛數(shù)單位 )，則 z 的模為 南京鹽城模擬一） 若復數(shù) （其中 i 為 虛數(shù)單位）的實部與虛部相等，則實數(shù) a . 答案： 1 2 20 3， 23 2 3 ， ()f 0 ()f 極小值 334 - 11 - （蘇州期末） 已知 23 (i a b i ， b R， i 為虛數(shù)單位 ) ，則 . 1 （揚州期末） 已知 i 是虛數(shù)單位，則21(1 ) 的實部為 . 12 （鎮(zhèn)江期末） 記復數(shù) z a （ i 為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)為 z a （ a ， b R）， 已知 2 ，則 2z . 3 4i （蘇北四市期末） 設復數(shù) z 滿足 i( 4)=3+2 （