2013年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標ⅱ）（含解析版）.pdf

關注公眾號 麥田筆墨 獲取更多干貨 第 1頁 共 12頁 2013 年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷 理科年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷 理科 新課標 新課標 一一 選擇題選擇題 本大題共本大題共 12 小題小題 每小題每小題 5 分分 共共 60 分分 在每個小題給出的四個選項中在每個小題給出的四個選項中 只有一項是只有一項是 符合題目要求的 符合題目要求的 1 5 分 已知集合 M x x 1 2 4 x R N 1 0 1 2 3 則 M N A 0 1 2 B 1 0 1 2 C 1 0 2 3 D 0 1 2 3 2 5 分 設復數(shù) z 滿足 1 i z 2i 則 z A 1 iB 1 iC 1 iD 1 i 3 5 分 等比數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn 已知 S3 a2 10a1 a5 9 則 a1 A B C D 4 5 分 已知 m n 為異面直線 m 平面 n 平面 直線 l 滿足 l m l n l l 則 A 且 l B 且 l C 與 相交 且交線垂直于 lD 與 相交 且交線平行于 l 5 5 分 已知 1 ax 1 x 5的展開式中 x2的系數(shù)為 5 則 a A 4B 3 C 2D 1 6 5 分 執(zhí)行右面的程序框圖 如果輸入的 N 10 那么輸出的 S A B C D 7 5 分 一個四面體的頂點在空間直角坐標系 O xyz 中的坐標分別是 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 畫該四面體三視圖中的正視圖時 以 zOx 平面為投影面 則得到正視圖可以為 A B C D 8 5 分 設 a log36 b log510 c log714 則 A c b aB b c aC a c bD a b c 9 5 分 已知 a 0 實數(shù) x y 滿足 若 z 2x y 的最小值為 1 則 a A 2B 1C D 10 5 分 已知函數(shù) f x x3 ax2 bx c 下列結論中錯誤的是 A x0 R f x0 0 B 函數(shù) y f x 的圖象是中心對稱圖形 C 若 x0是 f x 的極小值點 則 f x 在區(qū)間 x0 單調遞減 D 若 x0是 f x 的極值點 則 f x0 0 11 5 分 設拋物線 C y2 2px p 0 的焦點為 F 點 M 在 C 上 MF 5 若以 MF 為直徑的圓過 點 0 2 則 C 的方程為 A y2 4x 或 y2 8xB y2 2x 或 y2 8x C y2 4x 或 y2 16xD y2 2x 或 y2 16x 12 5 分 已知點 A 1 0 B 1 0 C 0 1 直線 y ax b a 0 將 ABC 分割為面積相 等的兩部分 則 b 的取值范圍是 A 0 1 B C D 二 填空題 本大題共二 填空題 本大題共 4 小題 每小題小題 每小題 5 分 分 13 5 分 已知正方形 ABCD 的邊長為 2 E 為 CD 的中點 則 關注公眾號 麥田筆墨 獲取更多干貨 第 2頁 共 12頁 14 5 分 從 n 個正整數(shù) 1 2 n 中任意取出兩個不同的數(shù) 若取出的兩數(shù)之和等于 5 的概率為 則 n 15 5 分 設 為第二象限角 若 tan 則 sin cos 16 5 分 等差數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn 已知 S10 0 S15 25 則 nSn的最小值為 三 解答題 解答應寫出文字說明 證明過程或演算步驟 三 解答題 解答應寫出文字說明 證明過程或演算步驟 17 12 分 ABC 在內(nèi)角 A B C 的對邊分別為 a b c 已知 a bcosC csinB 求 B 若 b 2 求 ABC 面積的最大值 18 12 分 如圖 直棱柱 ABC A1B1C1中 D E 分別是 AB BB1的中點 AA1 AC CB AB 證明 BC1 平面 A1CD 求二面角 D A1C E 的正弦值 19 12 分 經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品 在一個銷售季度內(nèi) 每售出 1t 該產(chǎn)品獲利潤 500 元 未售出的 產(chǎn)品 每 1t 虧損 300 元 根據(jù)歷史資料 得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖 如圖所 示 經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了 130t 該農(nóng)產(chǎn)品 以 x 單位 t 100 x 150 表示下一個銷 售季度內(nèi)的市場需求量 T 單位 元 表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤 將 T 表示為 x 的函數(shù) 根據(jù)直方圖估計利潤 T 不少于 57000 元的概率 在直方圖的需求量分組中 以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值 并以需求量落入該區(qū)間的 頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率 例如 若 x 100 110 則取 x 105 且 x 105 的概率等 于需求量落入 100 110 的頻率 求 T 的數(shù)學期望 20 12 分 平面直角坐標系 xOy 中 過橢圓 M a b 0 右焦點的直線 x y 0 交 M 于 A B 兩點 P 為 AB 的中點 且 OP 的斜率為 求 M 的方程 C D 為 M 上的兩點 若四邊形 ACBD 的對角線 CD AB 求四邊形 ACBD 面積的最大值 關注公眾號 麥田筆墨 獲取更多干貨 第 3頁 共 12頁 21 12 分 已知函數(shù) f x ex ln x m 設 x 0 是 f x 的極值點 求 m 并討論 f x 的單調性 當 m 2 時 證明 f x 0 選考題選考題 第第 22 題題 第第 24 題為選考題題為選考題 考生根據(jù)要求作答考生根據(jù)要求作答 請考生在第請考生在第 22 23 24 題中任選擇一題題中任選擇一題 作答 如果多做 則按所做的第一部分評分 作答時請寫清題號 作答 如果多做 則按所做的第一部分評分 作答時請寫清題號 22 10 分 選修 4 1 幾何證明選講 如圖 CD 為 ABC 外接圓的切線 AB 的延長線交直線 CD 于點 D E F 分別為弦 AB 與弦 AC 上的點 且 BC AE DC AF B E F C 四點共圓 1 證明 CA 是 ABC 外接圓的直徑 2 若 DB BE EA 求過 B E F C 四點的圓的面積與 ABC 外接圓面積的比值 23 已知動點 P Q 都在曲線 為參數(shù) 上 對應參數(shù)分別為 與 2 0 2 M 為 PQ 的中點 1 求 M 的軌跡的參數(shù)方程 2 將 M 到坐標原點的距離 d 表示為 的函數(shù) 并判斷 M 的軌跡是否過坐標原點 24 選修 4 5 不等式選講 設 a b c 均為正數(shù) 且 a b c 1 證明 關注公眾號 麥田筆墨 獲取更多干貨 第 4頁 共 12頁 2013 年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷 理科年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷 理科 新課標 新課標 參考答案與試題解析參考答案與試題解析 一一 選擇題選擇題 本大題共本大題共 12 小題小題 每小題每小題 5 分分 共共 60 分分 在每個小題給出的四個選項中在每個小題給出的四個選項中 只有一項是只有一項是 符合題目要求的 符合題目要求的 1 考點 交集及其運算 一元二次不等式及其應用 菁優(yōu)網(wǎng)版 權所有 分析 求出集合 M 中不等式的解集 確定出 M 找出 M 與 N 的公共元素 即可確定出兩集合的交 集 解答 解 由 x 1 2 4 解得 1 x 3 即 M x 1 x 3 N 1 0 1 2 3 M N 0 1 2 故選 故選 A 點評 此題考查了交集及其運算 熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵 2 考點 復數(shù)的運算 菁優(yōu)網(wǎng)版 權所有 分析 根據(jù)所給的等式兩邊同時除以 1 i 得到 z 的表示式 進行復數(shù)的除法運算 分子和分母同 乘以分母的共軛復數(shù) 整理成最簡形式 得到結果 解答 解 復數(shù) z 滿足 z 1 i 2i z 1 i 故選 故選 A 點評 本題考查代數(shù)形式的除法運算 是一個基礎題 這種題目若出現(xiàn)一定是一個送分題目 注意 數(shù)字的運算 3 考點 等比數(shù)列的前 n 項和 菁優(yōu)網(wǎng)版 權所有 分 析 設 等 比 數(shù) 列 an 的 公 比 為 q 利 用 已 知 和 等 比 數(shù) 列 的 通 項 公 式 即 可 得 到 解出即可 解答 解 設等比數(shù)列 an 的公比為 q S3 a2 10a1 a5 9 解得 故選 故選 C 點評 熟練掌握等比數(shù)列的通項公式是解題的關鍵 4 考點 平面的基本性質及推論 平面與平面之間的位置關系 菁優(yōu)網(wǎng)版權所有 分析 由題目給出的已知條件 結合線面平行 線面垂直的判定與性質 可以直接得到正確的結論 解答 解 由 m 平面 直線 l 滿足 l m 且 l 所以 l 又 n 平面 l n l 所以 l 由直線 m n 為異面直線 且 m 平面 n 平面 則 與 相交 否則 若 則推出 m n 與 m n 異面矛盾 故 與 相交 且交線平行于 l 故選 故選 D 點評 本題考查了平面與平面之間的位置關系 考查了平面的基本性質及推論 考查了線面平行 線面垂直的判定與性質 考查了學生的空間想象和思維能力 是中檔題 5 考點 二項式定理 菁優(yōu)網(wǎng)版權所有 分析 由題意利用二項展開式的通項公式求得展開式中 x2的系數(shù)為 a 5 由此解得 a 的值 解答 解 已知 1 ax 1 x 5 1 ax 1 x x2 x3 x4 x5 展開式中 x2的系數(shù)為 a 5 解得 a 1 故選 故選 D 點評 本題主要考查二項式定理的應用 二項式展開式的通項公式 求展開式中某項的系數(shù) 屬于 中檔題 6 考點 程序框圖 菁優(yōu)網(wǎng)版權所有 分析 從賦值框給出的兩個變量的值開始 逐漸分析寫出程序運行的每一步 便可得到程序框圖表 關注公眾號 麥田筆墨 獲取更多干貨 第 5頁 共 12頁 示的算法的功能 解答 解 框圖首先給累加變量 S 和循環(huán)變量 i 賦值 S 0 1 1 k 1 1 2 判斷 k 10 不成立 執(zhí)行 S 1 k 2 1 3 判斷 k 10 不成立 執(zhí)行 S 1 k 3 1 4 判斷 k 10 不成立 執(zhí)行 S 1 k 4 1 5 判斷 i 10 不成立 執(zhí)行 S k 10 1 11 判斷 i 10 成立 輸出 S 算法結束 故選 故選 B 點評 本題考查解決程序框圖中的循環(huán)結構時 常采用寫出前幾次循環(huán)的結果 找規(guī)律 7 考點 簡單空間圖形的三視圖 菁優(yōu)網(wǎng)版 權所有 分析 由題意畫出幾何體的直觀圖 然后判斷以 zOx 平面為投影面 則得到正視圖即可 解答 解 因為一個四面體的頂點在空間直角坐標系 O xyz 中的坐標分別是 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 幾何體的直觀圖如圖 是正方體的頂點為頂點的一個正四面體 所以 以 zOx 平面為投影面 則得到正視圖為 故選 故選 A 點評 本題考查幾何體的三視圖的判斷 根據(jù)題意畫出幾何體的直觀圖是解題的關鍵 考查空間想 象能力 8 考點 對數(shù)值大小的比較 菁優(yōu)網(wǎng)版權所有 分析 利用 loga xy logax logay x y 0 化簡 a b c 然后比較 log32 log52 log72 大小即可 解答 解 因為 a log36 1 log32 b log510 1 log52 c log714 1 log72 因為 y log2x 是增函數(shù) 所以 log27 log25 log23 所以 log32 log52 log72 所以 a b c 故選 故選 D 點評 本題主要考查不等式與不等關系 對數(shù)函數(shù)的單調性的應用 不等式的基本性質的應用 屬 于基礎題 9 考點 簡單線性規(guī)劃 菁優(yōu)網(wǎng)版權所有 分析 作出不等式對應的平面區(qū)域 利用線性規(guī)劃的知識 通過平移即先確定 z 的最優(yōu)解 然后確 定 a 的值即可 解答 解 作出不等式對應的平面區(qū)域 陰影部分 由 z 2x y 得 y 2x z 平移直線 y 2x z 由圖象可知當直線 y 2x z 經(jīng)過點 C 時 直線 y 2x z 的截距最小 此時 z 最 小 即 2x y 1 由 解得 即 C 1 1 點 C 也在直線 y a x 3 上 1 2a 解得 a 故選 故選 C 關注公眾號 麥田筆墨 獲取更多干貨 第 6頁 共 12頁 點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用 利用數(shù)形結合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法 10 考點 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 菁優(yōu)網(wǎng)版 權所有 分析 利用導數(shù)的運算法則得出 f x 分 0 與 0 討論 列出表格 即可得出 解答 解 f x 3x2 2ax b 1 當 4a2 12b 0 時 f x 0 有兩解 不妨設為 x1 x2 列表如下 x x1 x1 x1 x2 x2 x2 f x 0 0 f x 單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增 由表格可知 x2是函數(shù) f x 的極小值點 但是 f x 在區(qū)間 x2 不具有單調性 故 C 不正確 f x x3 ax2 bx c 2c f x 點 P為對稱中心 故 B 正確 由表格可知 x1 x2分別為極值點 則 故 D 正確 x 時 f x x f x 函數(shù) f x 必然穿過 x 軸 即 x R f x 0 故 A 正確 2 當 0 時 故 f x 在 R 上單調遞增 此時不存在極值點 故 D 正 確 C 不正確 B 同 1 中 正確 x 時 f x x f x 函數(shù) f x 必然穿過 x 軸 即 x0 R f x0 0 故 A 正確 綜上可知 錯誤的結論是 C 由于該題選擇錯誤的 故選 故選 C 點評 熟練掌握導數(shù)的運算法則 中心得出的定義 單調性與極值的關系等基礎知識與方法 考查 了分類討論的思想方法等基本方法 11 考點 拋物線的標準方程 菁優(yōu)網(wǎng)版權所有 分析 根據(jù)拋物線方程算出 OF 設以 MF 為直徑的圓過點 A 0 2 在 Rt AOF 中利用勾股 定理算出 AF 再由直線 AO 與以 MF 為直徑的圓相切得到 OAF AMF Rt AMF 中利 用 AMF 的正弦建立關系式 從而得到關于 p 的方程 解之得到實數(shù) p 的值 進而得到拋物線 C 的方程 解答 解 拋物線 C 方程為 y2 2px p 0 焦點 F 坐標為 0 可得 OF 以 MF 為直徑的圓過點 0 2 設 A 0 2 可得 AF AM Rt AOF 中 AF sin OAF 根據(jù)拋物線的定義 得直線 AO 切以 MF 為直徑的圓于 A 點 OAF AMF 可得 Rt AMF 中 sin AMF MF 5 AF 關注公眾號 麥田筆墨 獲取更多干貨 第 7頁 共 12頁 整理得 4 解之可得 p 2 或 p 8 因此 拋物線 C 的方程為 y2 4x 或 y2 16x 故選 故選 C 方法二 拋物線 C 方程為 y2 2px p 0 焦點 F 0 設 M x y 由拋物線性質 MF x 5 可得 x 5 因為圓心是 MF 的中點 所以根據(jù)中點坐標公式可得 圓心橫坐標為 由已知圓半徑也為 據(jù)此可知該圓與 y 軸相切于點 0 2 故圓心縱坐標為 2 則 M 點縱坐標為 4 即 M 5 4 代入拋物線方程得 p2 10p 16 0 所以 p 2 或 p 8 所以拋物線 C 的方程為 y2 4x 或 y2 16x 故選 故選 C 點評 本題給出拋物線一條長度為 5 的焦半徑 MF 以 MF 為直徑的圓交拋物線于點 0 2 求拋 物線的方程 著重考查了拋物線的定義與簡單幾何性質 圓的性質和解直角三角形等知識 屬于中 檔題 12 考點 三角形的面積公式 確定直線位置的幾何要素 點到直線的距離公式 菁優(yōu)網(wǎng)版 權所有 分析 解法一 先求得直線 y ax b a 0 與 x 軸的交點為 M 0 由 0 可得點 M 在 射線 OA 上 求出直線和 BC 的交點 N 的坐標 若點 M 和點 A 重合 求得 b 若點 M 在點 O 和點 A 之間 求得 b 若點 M 在點 A 的左側 求得 b 1 再把以上得到的 三個 b 的范圍取并集 可得結果 解法二 考查臨界位置時對應的 b 值 綜合可得結論 解答 解 解法一 由題意可得 三角形 ABC 的面積為 1 由于直線 y ax b a 0 與 x 軸的交點為 M 0 由直線 y ax b a 0 將 ABC 分割為面積相等的兩部分 可得 b 0 故 0 故點 M 在射線 OA 上 設直線 y ax b 和 BC 的交點為 N 則由可得點 N 的坐標為 若點 M 和點 A 重合 則點 N 為線段 BC 的中點 故 N 把 A N 兩點的坐標代入直線 y ax b 求得 a b 若點 M 在點 O 和點 A 之間 此時 b 點 N 在點 B 和點 C 之間 由題意可得三角形 NMB 的面積等于 即 即 可得 a 0 求得 b 故有 b 若點 M 在點 A 的左側 則 b 由點 M 的橫坐標 1 求得 b a 設直線 y ax b 和 AC 的交點為 P 則由求得點 P 的坐標為 此時 由題意可得 三角形 CPN 的面積等于 即 1 b xN xP 即 1 b 化簡可得 2 1 b 2 a2 1 由于此時 b a 0 0 a 1 2 1 b 2 a2 1 1 a2 兩邊開方可得 1 b 1 1 b 化簡可得 b 1 故有 1 b 關注公眾號 麥田筆墨 獲取更多干貨 第 8頁 共 12頁 再把以上得到的三個 b 的范圍取并集 可得 b 的取值范圍應是 故選 故選 B 解法二 當 a 0 時 直線 y ax b a 0 平行于 AB 邊 由題意根據(jù)三角形相似且面積比等于相似比的平方可得 b 1 趨于最小 由于 a 0 b 1 當 a 逐漸變大時 b 也逐漸變大 當 b 時 直線經(jīng)過點 0 再根據(jù)直線平分 ABC 的面積 故 a 不存在 故 b 綜上可得 1 b 故選 故選 B 點評 本題主要考查確定直線的要素 點到直線的距離公式以及三角形的面積公式的應用 還考察 運算能力以及綜合分析能力 分類討論思想 屬于難題 二 填空題 本大題共二 填空題 本大題共 4 小題 每小題小題 每小題 5 分 分 13 2 考點 平面向量數(shù)量積的性質及其運算 菁優(yōu)網(wǎng)版 權所有 分析 根據(jù)兩個向量的加減法的法則 以及其幾何意義 可得要求的式子為 再根據(jù)兩個向量垂直的性質 運算求得結果 解答 解 已知正方形 ABCD 的邊長為 2 E 為 CD 的中點 則 0 故 4 0 0 2 故答案為 2 點評 本題主要考查兩個向量的加減法的法則 以及其幾何意義 兩個向量垂直的性質 屬于中檔 題 14 8 考點 古典概型及其概率計算公式 菁優(yōu)網(wǎng)版權所有 分析 列出從 n 個正整數(shù) 1 2 n 中任意取出兩個不同的數(shù)的所有取法種數(shù) 求出和等于 5 的 種數(shù) 根據(jù)取出的兩數(shù)之和等于 5 的概率為列式計算 n 的值 解答 解 從 n 個正整數(shù) 1 2 n 中任意取出兩個不同的數(shù) 取出的兩數(shù)之和等于 5 的情況有 1 4 2 3 共 2 種情況 從 n 個正整數(shù) 1 2 n 中任意取出兩個不同的數(shù)的所有不同取法種數(shù)為 由古典概型概率計算 公式得 從 n 個正整數(shù) 1 2 n 中任意取出兩個不同的數(shù) 取出的兩數(shù)之和等于 5 的概率為 p 所以 即 解得 n 8 故答案為 8 點評 本題考查了古典概型及其概率計算公式 考查了組合數(shù)公式 解答此題時既可以按有序取 也可以按無序取 問題的實質是一樣的 此題是基礎題 15 考點 GG 同角三角函數(shù)間的基本關系 GP 兩角和與差的三角函數(shù) 菁優(yōu)網(wǎng)版權所有 分析 已知等式利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡 求出 tan 的值 再根 據(jù) 為第二象限角 利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出 sin 與 cos 的值 即可求出 sin cos 的值 解答 解 tan tan 關注公眾號 麥田筆墨 獲取更多干貨 第 9頁 共 12頁 而 cos2 為第二象限角 cos sin 則 sin cos 故答案為 點評 此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式 以及同角三角函數(shù)間的基本關系 熟練掌握公式是 解本題的關鍵 16 49 考點 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 等差數(shù)列的性質 等差數(shù)列的前 n 項和 菁優(yōu)網(wǎng)版 權所有 分析 由等差數(shù)列的前 n 項和公式化簡已知兩等式 聯(lián)立求出首項 a1與公差 d 的值 結合導數(shù)求出 nSn的最小值 解答 解 設等差數(shù)列 an 的首項為 a1 公差為 d S10 10a1 45d 0 S15 15a1 105d 25 a1 3 d Sn na1 d n2 n nSn n3 n2 令 nSn f n f n n2 n 當 n 時 f n 取得極值 當 n 時 f n 遞減 當 n 時 f n 遞增 因此只需比較 f 6 和 f 7 的大小即可 f 6 48 f 7 49 故 nSn的最小值為 49 故答案為 49 點評 此題考查了等差數(shù)列的性質 以及等差數(shù)列的前 n 項和公式 熟練掌握性質及公式是解本題 的關鍵 三 解答題 解答應寫出文字說明 證明過程或演算步驟 三 解答題 解答應寫出文字說明 證明過程或演算步驟 17 解答 解 由已知及正弦定理得 sinA sinBcosC sinBsinC sinA sin B C sinBcosC cosBsinC sinB cosB 即 tanB 1 B 為三角形的內(nèi)角 B S ABC acsinB ac 由已知及余弦定理得 4 a2 c2 2accos 2ac 2ac 整理得 ac 當且僅當 a c 時 等號成立 則 ABC 面積的最大值為 2 1 點評 此題考查了正弦 余弦定理 三角形的面積公式 兩角和與差的正弦函數(shù)公式 以及基本不 等式的運用 熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵 18 解答 解 證明 連結 AC1交 A1C 于點 F 則 F 為 AC1的中點 又 D 是 AB 中點 連結 DF 則 BC1 DF 因為 DF 平面 A1CD BC1 平面 A1CD 所以 BC1 平面 A1CD 因為直棱柱 ABC A1B1C1 所以 AA1 CD 由已知 AC CB D 為 AB 的中點 所以 CD AB 又 AA1 AB A 于是 CD 平面 ABB1A1 設 AB 2 則 AA1 AC CB 2 得 ACB 90 CD A1D DE A1E 3 故 A1D2 DE2 A1E2 即 DE A1D 所以 DE 平面 A1DC 又 A1C 2 過 D 作 DF A1C 于 F DFE 為二面角 D A1C E 的平面角 在 A1DC 中 DF EF 所以二面角 D A1C E 的正弦值 sin DFE 關注公眾號 麥田筆墨 獲取更多干貨 第 10頁 共 12頁 點評 本題考查直線與平面平行的判定定理的應用 二面角的平面角的求法 考查空間想象能力與 計算能力 19 解答 解 由題意得 當 x 100 130 時 T 500 x 300 130 x 800 x 39000 當 x 130 150 時 T 500 130 65000 T 由 知 利潤 T 不少于 57000 元 當且僅當 120 x 150 由直方圖知需求量 X 120 150 的頻率為 0 7 所以下一個銷售季度的利潤 T 不少于 57000 元的概率的估計值為 0 7 依題意可得 T 的分布列如圖 T45000530006100065000 p0 10 20 30 4 所以 ET 45000 0 1 53000 0 2 61000 0 3 65000 0 4 59400 點評 本題考查用樣本的頻率分布估計總體分布及識圖的能力 求解的重點是對題設條件及直方圖 的理解 了解直方圖中每個小矩形的面積的意義 是中檔題 20 解答 解 把右焦點 c 0 代入直線 x y 0 得 c 0 0 解得 c 設 A x1 y1 B x2 y2 線段 AB 的中點 P x0 y0 則 相減得 又 即 a2 2b2 聯(lián)立得 解得 M 的方程為 CD AB 可設直線 CD 的方程為 y x t 聯(lián)立 消去 y 得到 3x2 4tx 2t2 6 0 直線 CD 與橢圓有兩個不同的交點 16t2 12 2t2 6 72 8t2 0 解 3 t 3 設 C x3 y3 D x4 y4 CD 聯(lián)立得到 3x2 4x 0 解得 x 0 或 交點為 A 0 B AB S四邊形ACBD 當且僅當 t 0 時 四邊形 ACBD 面積的最大值為 滿足 四邊形 ACBD 面積的最大值為 關注公眾號 麥田筆墨 獲取更多干貨 第 11頁 共 12頁 點評 本題綜合考查了橢圓的定義 標準方程及其性質 點差法 中點坐標公式 直線與橢圓相 交問題轉化為方程聯(lián)立得到一元二次方程根與系數(shù)的關系 弦長公式 四邊形的面積計算 二次函 數(shù)的單調性等基礎知識 考查了推理能力 數(shù)形結合的思想方法 計算能力 分析問題和解決問題 的能力 21 解答 解 x 0 是 f x 的極值點 解得 m 1 所以函數(shù) f x ex ln x 1 其定義域為 1 設 g x ex x 1 1 則 g x ex x 1 ex 0 所以 g x 在 1 上為增函數(shù) 又 g 0 0 所以當 x 0 時 g x 0 即 f x 0 當 1 x 0 時 g x 0 f x 0 所以 f x 在 1 0 上為減函數(shù) 在 0 上為增函數(shù) 證明 當 m 2 x m 時 ln x m ln x 2 故只需證明當 m 2 時 f x 0 當 m 2 時 函數(shù)在 2 上為增函數(shù)