解析幾何大題的解題技巧.doc

解析幾何大題的解題技巧（只包括橢圓和拋物線）。一、設(shè)點(diǎn)或直線做題一般都需要設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)或直線方程，其中點(diǎn)或直線的設(shè)法有很多種。直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)一般可以設(shè)為（x1, y1），（x2, y2）,等。對(duì)于橢圓上的唯一的動(dòng)，還可以設(shè)為，在拋物線上的點(diǎn)，也可以設(shè)為。還要注意的是，很多點(diǎn)的坐標(biāo)都是設(shè)而不求的。對(duì)于一條直線，如果過定點(diǎn)(x0, y0)并且不與y軸平行，可以設(shè)點(diǎn)斜式y(tǒng) - y0 = k (x - x0)，如果不與x軸平行，可以設(shè)x - x0 = m(y - y0)（m是傾斜角的余切，即斜率的倒數(shù)，下同），如果只是過定點(diǎn)而且需要求與長(zhǎng)度或面積有關(guān)的式子，可以設(shè)參數(shù)方程x = x0 + tcosa，y = y0 + tsina，其中是直線的傾斜角。一般題目中涉及到唯一動(dòng)直線時(shí)才可以設(shè)直線的參數(shù)方程。如果直線不過定點(diǎn)，干脆在設(shè)直線時(shí)直接設(shè)為y = kx + m或x = my + n。（注意：y = kx + m不表示平行于y軸的直線，x = my + n不表示平行于x軸的直線）由于拋物線的表達(dá)式中不含x的二次項(xiàng)，所以直線設(shè)為x - x0 = m(y y0)或x =my + n聯(lián)立起來更方便。二、轉(zhuǎn)化條件有的時(shí)候題目給的條件是不能直接用或直接用起來不方便的，這時(shí)候就需要將這些條件轉(zhuǎn)化一下。對(duì)于一道題來說這是至關(guān)重要的一步，如果轉(zhuǎn)化得巧，可以極大地降低運(yùn)算量。下面列出了一些轉(zhuǎn)化工具所能轉(zhuǎn)化的條件。1、向量：平行、銳角或點(diǎn)在圓外（向量積大于0）、直角或點(diǎn)在圓上、鈍角或點(diǎn)在圓內(nèi)（向量積小于0）、平行四邊形2、斜率：平行（斜率差為0）、垂直（斜率積為-1）、對(duì)稱（兩直線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱則斜率和為0，關(guān)于y=x對(duì)稱則斜率積為1（使用斜率轉(zhuǎn)化一定不要忘了單獨(dú)討論斜率不存在的情況！）3、幾何：相似三角形（依據(jù)相似列比例式）、等腰直角三角形（構(gòu)造全等）有的題目可能不需要轉(zhuǎn)化直接帶入條件解題即可，有的題目給的條件可能有多種轉(zhuǎn)化方式，這時(shí)候最好先別急著做題，多想幾種轉(zhuǎn)化方法，估計(jì)一下哪種方法更簡(jiǎn)單，三思而后行。三、代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化完條件只需要算數(shù)了。很多題目都要將直線與圓錐曲線聯(lián)立以便使用一元二次方程的韋達(dá)定理，但要注意并不是所有題目都需要聯(lián)立。1、求弦長(zhǎng)解析幾何中有的題目可能需要算弦長(zhǎng)，可以用弦長(zhǎng)公式，設(shè)參數(shù)方程時(shí)，弦長(zhǎng)公式可以簡(jiǎn)化為2、求面積解析幾何中有時(shí)要求面積，如果O是坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上兩點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為（x1, y1）和（x2, y2），AB與x軸交于D，則 (d是點(diǎn)O到AB的距離；第三個(gè)公式教材上沒有，解要用的話需要把下面的推導(dǎo)過程抄一下)。如果考試允許使用課外知識(shí)的話，直接寫就可以了。3、分式取值判斷解析幾何題目的運(yùn)算中可能需要求分式的取值范圍，所以我這里也總結(jié)一下常見的六種類型分式取值范圍的求法。設(shè)，其中f(x)的次數(shù)為m，g(x)的次數(shù)為n4、點(diǎn)差法的使用在橢圓的題目中還有一種方法叫點(diǎn)差法，雖然適用范圍不大，但是能用點(diǎn)差法做的題目用點(diǎn)差法真的會(huì)比常規(guī)方法簡(jiǎn)單不少。這類題目一般都會(huì)涉及到弦的中點(diǎn)，做題時(shí)一定不要忘了點(diǎn)差法的存在。設(shè)橢圓上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，將兩點(diǎn)在橢圓上的方程相減，整理即可得到這兩點(diǎn)的中點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)與這兩點(diǎn)連線的斜率的關(guān)系式，或者說得到兩點(diǎn)聯(lián)線斜率與中點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率積。因?yàn)辄c(diǎn)差法得到的是斜率關(guān)系，所以將點(diǎn)差法與轉(zhuǎn)化斜率關(guān)系一起使用效果更佳。（當(dāng)然前提是這道題得能用斜率轉(zhuǎn)化）為了是大家更好地認(rèn)識(shí)點(diǎn)差法，我單找了一些點(diǎn)差法的例題，希望大家能對(duì)點(diǎn)差法有更深的理解例一例二例三拋物線也有點(diǎn)差法，用拋物線的點(diǎn)差法可以得到拋物線上兩點(diǎn)的連線斜率與這兩點(diǎn)中點(diǎn)縱坐標(biāo)的乘積是焦準(zhǔn)距，但是用的不多。四、能力要求做解析幾何的題目，首先對(duì)人的耐心與信心是一種考驗(yàn)。在做題過程中可能遇到會(huì)一大長(zhǎng)串的式子要化簡(jiǎn)，這時(shí)候，只要你方向沒錯(cuò)，堅(jiān)持算下去肯定能看到最終的結(jié)果。另外運(yùn)算速度和準(zhǔn)確率也是很重要的，在真正考試的時(shí)候肯定不像平時(shí)做題的時(shí)候能容你慢慢做題，因此需要有一定的做題速度，在做題的時(shí)候運(yùn)算準(zhǔn)確也是必須要保證的，因?yàn)橐坏┧沐e(cuò)數(shù)，就很可能功虧一簣。使自己的這些能力得到培養(yǎng)必然少不了平時(shí)的訓(xùn)練。五、補(bǔ)充知識(shí)這一部分主要說一些對(duì)做題有幫助的公式、定理、推論等內(nèi)容關(guān)于直線：1、將直線的兩點(diǎn)式整理后，可以得到這個(gè)方程: 。如果需要寫過（x1, y1）和（x2, y2）兩點(diǎn)的直線方程，直接代入這個(gè)式子就可以得到，沒必要由直線的兩點(diǎn)式或點(diǎn)斜式重新化簡(jiǎn)。至于這兩點(diǎn)連線是否與x軸垂直，是否與y軸垂直都沒有關(guān)系。2、直線一般式Ax+By+C=0所表示的直線和向量（A, B）垂直；過定點(diǎn)(x0, y0)的直線的一般式可以由化簡(jiǎn)得到。一句這兩條推論可以直接寫出兩點(diǎn)的垂直平分線的方程。3、可能有的老師沒仔細(xì)講直線的參數(shù)方程，所以我在這里補(bǔ)充一點(diǎn)直線的參數(shù)方程的東西，希望對(duì)大家解題有幫助。PS：用直線的參數(shù)方程設(shè)拋物線的焦點(diǎn)弦并與拋物線聯(lián)立，可以解出兩焦點(diǎn)坐標(biāo)，而且沒有根號(hào)！關(guān)于橢圓：4、橢圓的焦點(diǎn)弦弦長(zhǎng)為（其中是直線的傾斜角，k是l的斜率）。5、根據(jù)橢圓的第二定義，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到同一側(cè)的準(zhǔn)線的距離之商等于橢圓的離心率。橢圓的準(zhǔn)線是。（如果老師講過，請(qǐng)無視這一條）下面是推導(dǎo)過程：上面給出的幾個(gè)內(nèi)容大都是教材中沒有的，但這不代表這些東西在考場(chǎng)上不能用。比如前兩條內(nèi)容，用的時(shí)候稍稍變換一下，老師也不一定知道你是在套結(jié)論。如果想用第4條的話，可以裝模作樣地算算，實(shí)際上再套用結(jié)論，估計(jì)老師也未必能看出來。至于第5個(gè)內(nèi)容，如果老師沒講過，解體又用得著，那就把下面的推導(dǎo)過程