特殊平行四邊形(二)教學設計.doc

第三章 證明（三）特殊平行四邊形（二）一、學生知識狀況分析在八年級教材中，學生已經對菱形、正方形的性質及其判別方法，通過一些直觀的方法進行了大量的探索，所以學生對所要學習的結論已經有所了解。其次經歷了證明（一）、證明（二）的學習，通過推理訓練，學生們已經具備了一定的推理能力，樹立了初步的推理意識，為嚴格的推理證明打下了基礎。再次在以前的數學學習中，學生已經經歷了很多合作學習的過程，具有了一定合作學習的經驗，具備了一定的合作與交流的能力。二、教學任務分析因為這節(jié)課所涉及的很多命題，學生已有所了解，對于這些命題，教科書利用提問的方式讓學生聯想回憶，然后利用已有的定理證明它們，讓學生從中體會證明的必要性，理解證明的基本過程，掌握用綜合法證明的格式，初步感受公理化思想。因此，本節(jié)課注重新舊知識的結合及學生推理能力的提高，而不要追求證明題的數量和證明的技巧。對證明方法和證明過程的體驗，成為本節(jié)課的重點。此外，這部分題目多數有多種思路，注意引導學生選用不同的知識點、從不同的角度思考問題；注意讓學生對解題思路和辦法進行辨析，從而能對眾多解法作優(yōu)化選擇；注意滲透歸納、類比、轉化等數學思想方法，而不是給學生一個固有的模式往題目中套。三、教學準備1、課前布置學生動手制作一個菱形和一個正方形。2、課前需要對學生進行分組，前后桌4人一組，每組包括能力不同的學生，設組長1名，中心發(fā)言人1名。組長主要負責引領和鼓舞同學學習積極性。四、教學過程分析本節(jié)課設計了五個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：情境引入；第二環(huán)節(jié)：探究新知（分為兩部分）；第三環(huán)節(jié)：歸納應用（分為兩部分）；第四環(huán)節(jié)：感悟與收獲；第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。（一）設置問題情境，引入新課我們曾在前面探討過另一種特殊的平行四邊形-菱形，大家還記得它嗎？我們來共同回憶一下。1、菱形的定義2、菱形的性質3、菱形的判別方法師：菱形的這些性質和判別方法我們是怎樣得到的?那么你能用幾何推理過程來證明它們嗎？這節(jié)課我們就來證明菱形的性質和判別方法。設計意圖：（1）以問題串的形式引入新課，讓學生明確本節(jié)課所要解決的問題。（2）讓學生回憶菱形性質和判定的探索過程及其得出的結論，目的是啟發(fā)引導學生體會探索結論和證明結論的相互關系，即合情推理與演繹推理的相互依賴和相互補充的辨證關系。實際效果：因為前面對平行四邊形及矩形的學習，學生回答問題比較有針對性，能概括地從“邊、角、對角線”等幾個方面回答，較有條理。當然也有個別學生語言表述不到位，需老師同學適時點撥、補充、鼓勵。（二）探究新知師：同學們自己推證菱形性質，行嗎？說明：小組內交流，中心發(fā)言人回答，及時讓學生補充不同的思路，關注每一個學生的參與情況。學生A：平行四邊形對邊平行且相等，對角相等，對角線互相平分而菱形是特殊的平行四邊形，所以菱形也具有平行四邊形具有的一切性質。學生B：菱形是一組鄰邊相等的平行四邊形，所以根據平行四邊形對邊相等可以獲得菱形的四條邊都相等。學生C：因為菱形的兩條對角線將菱形分割成了四個全等的三角形，所以我們可以得到菱形的對角線互相垂直，并且每條對角線平分一組對角。師：誰能說出B、C兩個同學所說的菱形性質的已知，求證呢？學生D：已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=BCDA 求證：AB=BC=CD=AD證明：四邊形ABCD是菱形BC AD=BC，AB=CD 又AB=BC AB=BC=CD=AD學生E：已知：如圖，菱形ABCD的對角線相交于O點 求證：ACBD，AC平分BAD和BCD，BD平分ABC和ADCABDCO證明：四邊形ABCD是菱形 AB=AD，OB=OD ACBD，AC平分BAD （等腰三角形的三線合一） 同理得：AC平分BCD BD平分 ABC和ADC設計意圖：首先引導學生類比平行四邊形的性質感知菱形性質的特殊性，符合學生的認知規(guī)律。其次整個過程重新回顧了命題證明需經歷的步驟，為進一步發(fā)展學生的推理論證能力奠定了基礎。再次整個過程采用合作學習的策略，鼓勵學生多層面、多角度地思考菱形性質的論證過程，目的在于加深學生對性質本身的理解和掌握，同時也豐富了交流的內容，激發(fā)了交流的氣氛，使新舊知識融會貫通，達到同學間的溝通、互補、共同提高的目的。實際效果：課堂學習氣氛濃厚，大多數同學會象B同學和C同學那樣運用合情推理的方式論證，對于D同學的問題，個別學生在回答已知時，只寫了已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，未注明里面已隱含的一組相等的鄰邊，導致證明時，遇到了困難。另外對于E同學的問題，學生們回答的思路也是多角度的，有想到利用等腰三角形三線合一的，也有利用三角形全等的。在多種思路中老師引導同學做了優(yōu)化選擇，并且利用課件作了展示，加深了印象。（三）歸納應用1、菱形的性質：（1）菱形具有平行四邊形的一切性質ADCBE（1）菱形的四條邊都相等。（2）菱形的對角線互相垂直，并且每條對角線平分一組對角師：接下來我們來看一個例題以熟悉鞏固菱形的性質。2、利用性質解決問題例2 如圖,四邊形ABCD是邊長為13cm的菱形,其中對角線BD長10cm.通過以上已知條件你能獲得哪些結論？若將菱形ABCD的邊長改為10cm.你又能獲得那些結論？并說明你的理由。設計意圖：設置開放性題目是培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維的有效方式之一，同時也有利于學生積極地參與數學活動。本環(huán)節(jié)將教材的例題加以改編，以開放題的形式呈現，讓學生從多角度思考問題，既能培養(yǎng)學生的數學思維能力，又能調動學生學習數學的積極性。兩個問題的設置滲透了從一般到特殊的思維方法。實際效果：由于問題開放性較大，不同層次的學生都能根據自己的發(fā)現，提出不同的問題。所以學生情緒高漲，討論熱烈，思維完全放開，有見地的結論不斷涌現。課堂上利用課件展示了對角線AC及菱形面積的求解過程，使學生進一步感受了數學幾何語言的嚴謹性。師：同學們再來看例題的圖形，你還會發(fā)現什么？ 3、方法總結：學生F：菱形的每一條對角線可以把菱形分成兩個全等的三角形，菱形的兩條對角線可以把菱形分成四個全等的直角三角形，因此關于菱形問題往往可以轉化為等腰三角形或直角三角形的問題來解決。學生G：如果菱形的兩條對角線長分別為a、b則菱形面積為abCFBEAD設計意圖：由于學生的智力差異，每道例題學完后，總有部分學生對例題所講的思想方法、解題思路掌握得不牢靠，在例題教學后回顧和總結解題思路則顯得十分必要。在反思中，學生對例題進行再認識、再理解、再提高，既培養(yǎng)了學生歸納、概括的能力，又訓練了學生思維的深刻性。4、試一試：（1）已知：菱形ABCD中，E、F分別是CB、CD上的點且BE=DF。 求證：(1)ABEADF （2）連接AC你能確定AC與EF的關系嗎？ （）已知菱形的對角線長分別為6、8，則周長為20 面積為24 設計意圖：華羅庚說過：學數學而不練，猶如入寶山而空返，該練習將新舊知識聯系起來，深化對菱形性質的理解，提高學生對問題的轉換能力與探索能力。5、想一想：請同學們拿出課前準備的正方形，觀察它與我們剛學習的菱形有什么不同？正方形是怎樣定義的？正方形具有哪些性質？你能證明他們嗎？設計意圖：學生經歷了矩形、菱形性質的探索、論證過程，不難想到：從正方形的定義出發(fā)探討正方形所具有的性質，這既是對矩形、菱形性質本身及探索方法的鞏固，又把證明作為了探索活動的自然延續(xù)和必要發(fā)展，更有利于學生對證明的全面理解。實際效果：雖然學生對于正方形的書面定義有所淡忘，但大多數學生都知道正方形是特殊的矩形和菱形，應該具有矩形和菱形具有的一切性質。對于正方形性質的證明，課堂上學生們采用的是合情推理的方法，只要條理清楚，言之有據，老師均給予了肯定和鼓勵，另外在學生敘述的基礎上，老師利用課件進行了總結，加深印象。師：同學們歸納、論述的很好，但不知在具體的問題情景中大家是否會用，不妨試一試！ADBCEF6、例3如圖，四邊形ABCD是正方形，延長BC至點E，使CE=AC，連結AE，交CD于F，你能求出AFC的度數嗎？解：正方形ABCDBAD=90 DAC= BAD= 90=45 D=90， ADBCADBC DAE=ECE=ACCAE=EDAE=CAE= 45=22.5AFC=DAE+D=22.5+90=112.5練一練：若AC=4，則正方形邊長 ;正方形面積 8設計意圖:既是對正方形的性質的落實，又進一步發(fā)展了學生的推理能力，根據學生的回答，利用課件加以演示，引導學生使用規(guī)范性的幾何語言清晰、有條理地表達自己的思考過程，做到言之有理，落筆有據。對于正方形面積的求法可以借助于勾股定理，也可以用對角線之積的一半來完成，對于想到后者的同學要肯定其思維的靈活性。實際效果:課堂上學生們探索了各種不同的解題思路,通過交流比較能作優(yōu)化選擇。（四）探究新知內容：問題引入：請大家將課前準備的菱形拿出，以小組為單位用自己手中的工具：直尺、三角板或圓規(guī)迅速檢查一下你們小組成員所做的四邊形是不是菱形，你是怎樣檢查的？你為什么要這樣做？用你的檢查方法判斷你們小組有幾個人做得不標準？你還記得怎樣判別一個平行四邊形是菱形嗎?那么滿足什么條件的四邊形是菱形?你能證明嗎？設計意圖：每一個學生都經歷了制作菱形的過程，做前學生就必然要考慮怎樣做，并且他會以自己做的標準檢測同伴所做的圖形，達到了同學間知識的交流與互補。另外培養(yǎng)了學生良好的思維習慣，通過直覺感知的知識，還須得到理論的證明，形成辨證唯物主義的思維方式。實際效果：因為所用工具及在測量過程中出現的誤差，小組成員間有了爭議。被測者想了各種方法去說服測量者，達到了讓學生進一步體會證明的必要性的目的。另外經歷了平行四邊形、矩形的學習，個別學生想到判定定理與性質定理是互為逆命題，由菱形的性質定理想到菱形可能具有的判別方法。歸納要點：菱形的判別方法：1、定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。2、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。3、四條邊都相等的四邊形是菱形。說明：利用課件將學生能想到的判別方法作了總結，除定義外，其他的判別方法要求學生：選擇其中一個畫圖，寫已知、求證，并思考證明過程，老師巡視指導，然后小組間交流，中心發(fā)言人回答，通過引導學生反思本題是否還有其他解法，比較哪種解法較為簡捷，進一步拓寬學生的解題思路，培養(yǎng)思維的靈活性。ABDCO學生H：已知: ABCD中,對角線AC BD于O點。 求證: ABCD是菱形證明： ABCD AO=CO 又AC BD AB=BC（線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等） 又 ABCD ABCD是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）BCAD學生I：已知: 在四邊形 ABCD中,AB=BC=CD=AD 求證: 四邊形 ABCD是菱形 證明：AB=CD，BC=AD ABCD是平行四邊形 又AB=BC 四邊形 ABCD是菱形ABCPQMABCD實際效果：個別學生在書寫已知、求證時存在困難，有將條件、結論混淆的，有語言敘述羅嗦、不嚴謹的。同樣，在證明的論述過程中也有學生出現了語言羅嗦、不嚴謹的情況。為此，老師不要急于求成，多找?guī)讉€同學補充，使學生參與到使用規(guī)范的數學語言表述論證的過程中，培養(yǎng)學生清晰而有條理地表達自己的觀點并理解他人思維的能力。（五）應用1、求證：有一條對角線平分一個內角的平行四邊形是菱形2、已知兩條對角線，怎樣用尺規(guī)作一個菱形3、拓展延伸：已知ABC中ABAC，M為底邊BC上任意一點，過M點做AC，AB的平行線交AC于P，交AB于點Q。則M位于BC什么位置時，四邊形AQMP為菱形，并說明理由。設計意圖：旨在體現因材施教、分層教學的原則，讓不同層次的學生都能得到提高，學生完成各自任務后，小組間先交流，講解，后集體訂正。練習1是菱形判定方法探究的繼續(xù)，對于練習2，其做法需要作一些分析轉換，在操作過程中讓學生體驗對角線互相垂直平分的四邊形是菱形。練習3是分析法、綜合法的綜合運用，目的是：培養(yǎng)培養(yǎng)學生思維的廣闊性和靈活性。4、想一想：師：你手中的正方形是怎樣制作的？除了利用定義我們可以判斷正方形外，你還有哪些方法？你能證明它們嗎？說明：小組內交流，教師關注各小組中每個學生參與的積極性及小組內的合作交流情況，對于正方形的判別，大多數學生習慣于合情推理的論述方式，教師要重視學生語言表述的條理性及嚴謹性。另外教師利用課件及時總結，讓學生學以致用。（六）感悟與收獲：師：通過本節(jié)課你學習到了哪些知識？對你有什么幫助？（師可以從以下幾個方面進行提示：整節(jié)課的感悟；探索總結的規(guī)律；某個知識點的困惑；你的新發(fā)現；學到的數學思想方法。）設計意圖：學生暢所欲言，在民主的氛圍中培養(yǎng)學生歸納、概括能力和語言表達能力；同時引導學生反思探究過程，幫助學生肯定自我、欣賞他人。（七）布置作業(yè)必做題：書P96第6、7題；選做題：P90第3題，P94第2題。五、教學反思1、在教學中，著重采用了“回顧-引導-類比-探索”的教學方法，配合小組合作，教學中鼓勵學生大膽探索新穎獨特的證明思路和證明方法；提倡證明方法的多樣性，并引導學生在與他人的交流中比較證明方法的異同，有