地震偏移成像

地震成像原理與方法第一章偏移成像第二章三維疊前深度偏移成像理論與方法第三章共聚集點偏移第四章共反射面疊加第五章 偏移速度建模第一章偏移成像1.1偏移成像的基本原理1.2波動方程偏移1.3疊前偏移1.4偏移速度分析1.5深度偏移1.6三維偏移1.7二維和三維疊前深度偏移地震技術(shù)的發(fā)展趨勢:1.三維疊前深度偏移(3DPSDM)-地震成像(波動方程法3DPSDM,CRS疊加,CFP偏移)2.四維地震-開發(fā)地震(VSP技術(shù),P-S技術(shù),井間地震,3D_AVO技術(shù),4D地震,彈性波阻抗反演,裂縫分析,巖石物理,地震相與地震屬性分析,油藏描述等)ReflectionpointsmearingNMO_DMO_PostMigCorrection三大處理技術(shù):反褶積、疊加、和偏移成像反褶積和疊加引自其它相關(guān)學(xué)科偏移成像基于古典技術(shù)偏移成像:1.具有地震勘探本身的特征。2.計算機使其研究由地震波運動學(xué)特征過渡到地震波動力學(xué)特征3.提高地震空間分辨率和保真度1.1偏移成像的基本原理一 偏移成像的概念偏移反偏移反射地震方法:1.激發(fā)彈性波；2.記錄反射波；3.研究地質(zhì)巖層結(jié)構(gòu)和物性特征。是一種反散射問題。反射地震成像分做兩步:1.記錄反射波，2.處理反射波。地震偏移技術(shù)是使反射界面最佳成像的一種技術(shù)。1. 偏移成像的基本概念地震偏移:疊前或/和疊后偏移疊前偏移:使CSP道集記錄或COF道集記錄中的反射波歸位,繞射波收斂疊后偏移:基于水平疊加剖面，采用爆炸反射面概念實現(xiàn)傾斜反射層歸位和繞射波收斂偏移原理和偏移效果見下圖偏移原理圖偏移過程的定量分析圖2.發(fā)展史1).古典的偏移技術(shù)(60年代前)-反射點的空間位置成像;2).早期的計算機偏移技術(shù)(6070年代)-定性和概念性地對反射波運動學(xué)特征成像;3).波動方程偏移技術(shù)(70年代后)-定性或/和定量地對反射波運動學(xué)或/和動力學(xué)特征成像.波動方程偏移技術(shù)的發(fā)展1).有限差分法波動方程偏移：70年代初期，J.Claerbout教授首先提出了用有限差分法解單程波動方程的近似式，用地面觀測的地震數(shù)據(jù)重建地震波在地下傳播過程中的波場，從這些傳播過程的波場中提取使地震界面成像的那些數(shù)據(jù)，組成地震偏移剖面。由于這種偏移方法在計算過程中要解波動方程或其近似式，所以被稱為波動方程法偏移技術(shù)。2).Kirchhoff積分法波動方程法偏移：70年代中期，F(xiàn)rench和Schneider等在繞射偏移法的基礎(chǔ)上使用了波動方程解的Kirchhoff積分公式，發(fā)展為地震偏移的波動方程積分法。使繞射偏移建立在可靠的波的基本原理上。因而改善了偏移剖面，取得了良好的效果。3).富里葉變換法波動方程法偏移：70年代后期，Stolt和Gazdag等又先后提出了在頻率-波數(shù)域解波動方程，外推地震波場的方法。這種方法被稱為F-K域偏移方法。由于該方法計算簡單，效率高，因而很快得到了推廣。3 移方法分類二基于射線理論的疊后偏移與疊前偏移經(jīng)典的偏移方法和早期的計算機偏移方法都是基于射線理論經(jīng)典的偏移方法只研究到達(dá)時間。疊后偏移有圓弧切線法和線段移動法；疊前偏移包括橢圓切線法和交會法等早期的計算機偏移方法利用了波前、繞射等地震波傳播的惠更斯原理，盡管只是定性的、概念性的，但與手工操作法相比偏移剖面除了歸位精度提高外，還考慮了波形特征。疊后偏移有波前模糊法、繞射曲線疊加法;疊前偏移有Rockwell偏移疊加法和Paturet-Tariel偏移疊加法等。1. 疊后偏移疊后偏移:即疊加偏移，是對疊加后的地震記錄做偏移。下面介紹圓弧切線法、波前模糊法和繞射曲線(面)疊加法。1).圓弧切線法一次反射波NMO后,得到時間疊加剖面由（1.1.1）得到視深度剖面如果界面的傾角=0或者很小，例如只有1度或更小，則視深度界面就是真深度界面。如果界面傾角不可忽略，則應(yīng)當(dāng)進(jìn)行傾角校正，以求出反射界面的真實位置。校正的做法是以地面各點為圓心，以各點下至視界面的垂直距離為半徑做圓弧，其圓弧族的切線即為校正后的反射界面（v=cont）。（1.1.2）當(dāng)速度是深度的函數(shù)時，例如=0（1+），為常數(shù)時，則圓弧的圓心不位于地面上，而位于地面點的正下方某深度上。這時，圓心的深度和圓弧的半徑由下式求出：2).波前模糊法波前模糊法也可以稱為波前切線法，它是對疊加后的地震剖面進(jìn)行偏移的方法。這個方法是反推反射界面上的波場。（1.1.3）以地面接收點為中心，把相當(dāng)于反射到達(dá)時間上的值送到以t/2=z的深度為半徑的圓弧上去。如果我們把深度z仍以雙程時間表示，就把反射數(shù)值送到以t為半徑的圓弧上去（圖1-4）。把各道上的所有反射波值都按這個原則去做，并把送到同一點的值疊加起來，就可以組成偏移剖面。把某道上某時間t上的振幅值送到相鄰各道上的時間由下式算出：其中用波前振幅疊加來求反射界面發(fā)出的波前實際上就是用這種方法做切線。要求：較密的地震道和較高的信噪比，以得到滿意的偏移剖面。3).繞射曲線（面）疊加法繞射曲線或繞射曲面疊加法是把地震剖面上的波場振幅值按繞射波時距曲線進(jìn)行相加。因為繞射波時距曲線與所有反射波的時距曲線形狀相比較，其凸率最大，故亦可稱它為最大凸率法。具體做法是，當(dāng)要得到地震剖面上某個（x0,t0）點的偏移后的數(shù)據(jù)時，我們要計算一條以這點為頂點的繞射雙曲線。它在各道上的時間t由下式算出：（1.1.4）在進(jìn)行偏移時我們把各道上等于上式時間t的波場值取出來疊加在（x0,t0）點的波場值上，這就算完成了（x0,t0）點的偏移處理，如圖1-5所示。式中無論是波前模糊法還是繞射疊加法，其基本原理都是根據(jù)惠更斯原理提出來的。波前模糊法是把一個道上的波場值送到各個道上去疊加輸出道法；而繞射疊加法是把各道上的相應(yīng)值取來在一道上疊加輸入道法。兩者都符合反射波歸位和繞射波收斂的要求，而且它們的疊加值也相等。（1.1.5）波前弧或繞射曲線在x方向上的范圍L稱為偏移孔徑。L的范圍是由最大實際傾角來決定的。傾角越大，L越大；有效波越深，L也越大。L的大小可用下式來估算：孔徑的中心，原則上應(yīng)當(dāng)位于x0處，但也可以是不對稱的。圖1-7是用繞射疊加偏移法處理前后的地震剖面。從對比中可以看出，偏移后剖面上的地層層位關(guān)系得到了正確的反映。有利于地質(zhì)解釋。2疊前偏移疊前偏移:即偏移疊加，是對疊加前的多次覆蓋的地震記錄先偏移，再疊加。下面介紹橢圓切線法、Rockwell偏移疊加法和Paturet-Tariel偏移疊加法。1）橢圓切線法對每個炮檢距的記錄上的反射波畫好橢圓弧。做橢圓弧族的切線即為偏移后的剖面。當(dāng)給定CSP記錄時，可用橢圓切線法(圖1-8)。反射點(2D)位于以炮點和接收點為焦點的橢圓上，這個橢圓的方程可表示為：（1.1.6）對每個炮檢距的記錄上的反射波畫好橢圓弧。做橢圓弧族的切線即為偏移后的剖面。2）Rockwell偏移疊加法Rockwell偏移疊加法實際上是疊后偏移所使用的波前模糊法的一個擴展。具體做法：把每個記錄道上任一t時刻的采樣值，在以炮檢距中點的地面點為原點的直角坐標(biāo)系中送到以vt/2為長軸，為短軸的橢圓與各個地震記錄道垂直線相交的各個點上去，并且與其它地震道送至該交點上的采樣振幅值相加，即得偏移疊加剖面。偏移疊加實質(zhì)上是用振幅疊加來做切線的。3）Paturet-Tariel偏移疊加法1971年P(guān)aturet-Tariel用相同炮檢距的剖面進(jìn)行疊前偏移，把所有相同炮檢距的偏移后的剖面疊加得到偏移疊加剖面。疊前偏移的原理如圖1-9所示。繞射點M所產(chǎn)生的繞射波到達(dá)時曲線為：（1.1.8）當(dāng)炮檢距h=0時，上式表現(xiàn)為：（1.1.8）式中t0為從M點到A點的雙倍旅行時間。tx和tx0的曲線表示在圖1-9的右圖中。為了進(jìn)行偏移，我們應(yīng)當(dāng)把tx的曲線上的地震能量（即采樣點振幅）送到零炮檢距繞射雙曲線的頂點M上去疊加。這樣,把各個相同炮檢距的剖面偏移后疊加在一起即得偏移疊加剖面。圖1-10.偏移疊加剖面與疊后偏移剖面對比圖(a).水平疊加剖面(b).疊后偏移剖面;(c).偏移疊加剖面三基于波動方程的波場外推與地震成像原理使用波動方程進(jìn)行偏移，首先就是要重建反射波的原來波場。反射界面上剛剛產(chǎn)生的反射波，就認(rèn)為是該反射面的像。為進(jìn)行波場外推，把波動方程分解為上行波方程和下行波方程。1上行波和下行波波動方程有兩個解,一般表示為在地震勘探中一般取深度方向向下為正z的方向。向正z方向傳播的地震波稱為下行波，即用向負(fù)z方向傳播的波為上行波，即用代表的波。下行波即入射波，上行波為反射波。只有在均勻各向同性完全彈性介質(zhì)的情況下上行波和下行波才是分離的。分離過程如下:二維波動方程為：（1.1.10）對(1.1.9)式相對x和t做二維付里葉正變換，并進(jìn)行算子分解得到：其中利用了波散關(guān)系：（1.1.13）由（1.1.10）式得出：（1.1.11）其中，正號代表上行波方程，負(fù)號代表下行波方程。2波場外推正向外推就是根據(jù)波在當(dāng)前位置上的振動情況向波的自然傳播方向用計算手段預(yù)測出波場。反向外推是向波的自然傳播方向的反方向上重建原來的波場。對一個波場應(yīng)是進(jìn)行正向外推還是反向外推均有物理問題決定。（1.1.13）1）上行波的外推（1.1.14）積分結(jié)果為：（1.1.15）（1）上行波正向外推公式上行波的正向外推式就是向負(fù)z方向的外推公式。從（1.1.14）式可求出為：根據(jù)這個公式可以計算模擬反射波的地震記錄（地震圖）。（1.1.16）（2）上行波反向外推公式上行波的反向外推式就是向正z方向的外推公式。從（1.1.14）式可得出為：根據(jù)這個公式可以進(jìn)行地震記錄的向下半空間延拓，求出地下任何一點的波場，實現(xiàn)地震波偏移的目的。2）下行波的外推（1.1.17）（1.1.18）積分結(jié)果為：據(jù)此可以得出下行波的正、反向外推公式。（1.1.19）（1）下行波正向外推公式下行波的正向外推式是指沿正z方向的外推。其外推式為：這個方程可用來模擬下行波的地震記錄。（1.1.20）（2）下行波反向外推公式下行波的反向外推是指沿負(fù)z方向的外推。其外推式為：上式可用來從下行波場進(jìn)行反向求源的計算工作。（1.1.21）下面分析波場本身的條件對外推結(jié)果的影響當(dāng)kkx時，kz為正或負(fù)的實數(shù)，這時所有外推公式中存在虛指數(shù)。說明在外推過程中波場發(fā)生相位變化。一般都能得出正確的結(jié)果。（1.1.22）當(dāng)時，值為虛數(shù)：波場外推時只有振幅變化，而無相位變化。當(dāng)指數(shù)項取負(fù)號時，外推的波場迅速衰減，稱這種波為倏逝波。當(dāng)指數(shù)項取正號時，外推波場迅速增大，這是一種實際不存在的波，只是進(jìn)行波場計算時發(fā)生，我們稱它為耗損波。在計算中要避免發(fā)生這種情況。（1.1.23）（1.1.24）當(dāng)時，上行波的外推式可寫為：此時反向外推遇到倏逝波，正向外推發(fā)生耗損波。分別表示為：（1.1.25）（1.1.26）由此可見，用上行波方程進(jìn)行向下波場外推永遠(yuǎn)是計算穩(wěn)定的。而用上行波方程進(jìn)行正向外推就可能遇到耗損波，因此有可能是不穩(wěn)定的。除非在計算中不斷地把kxk的波場濾除掉。同理可求出kxk時下行波的外推式為：（1.1.27）此時也是反向外推遇到倏逝波，正向外推遇到耗損波。3）波場外推的Kirchhoff積分法Kirchhoff積分法并不直接解波動方程，而是用數(shù)學(xué)方法來描述關(guān)于波的傳播的惠更斯原理，從而求出空間上任一點波場值的。Kirchhoff早在1883年就證明了，從擾動區(qū)向外某點M(x1,y1,z1)傳播的波的t時刻的波場u(x1,y1,z1)可以從擾動區(qū)封閉表面上的u(x,y,z,t-r/c)波場以及該波場對時間和表面法線方向的導(dǎo)數(shù)通過積分式求出來。因此要假定u(x,y,z,t)在封閉面上和封閉面內(nèi)有直至二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性。Kirchhoff利用了格林定理：（1.1.28）（1.1.29）當(dāng)把觀測點用包含有波前面在內(nèi)的封閉曲面包圍起來，如圖1-11（a）,（b）那樣的封閉時，這樣的封閉面S和它所包圍的體積V作為（1.1.28）式的積分限，經(jīng)過一定的推導(dǎo)后得出M(x,y,z)點的正向外推波場為：u取為波場函數(shù)，,（1.1.30）這里的方向取封閉表面的外法線方向。如果把觀測點M移至封閉面外，則有：（1.1.29）式中是推遲場。（1.1.29）式就是著名的Kirchhoff積分。它描述了物理波場傳播的過程，也滿足奇次波動方程，是它的積分形式解。對我們來說，也可以稱它為正向外推公式。注意:Kirchhoff積分只滿足均勻介質(zhì)的情況。下面討論用Kirchhoff積分進(jìn)行波場反向外推問題(地震偏移)。這時，所取的封閉體積V應(yīng)在波前傳播方向的反方向，計算點M(x1,y2,z3)就在這個封閉體內(nèi)。根據(jù)格林定理同樣可求出形式上相同的反向外推的Kirchhoff積分式：（1.1.31）式中的u不再是推遲場，而是超前場。（1.1.31）式為用于波場反向外推的Kirchhoff積分式。它可用于上行波的反向外推，也可用于下行波的反向外推。當(dāng)然，這種外推與正向外推不同，它不代表一個物理過程，而只是一種重建波場的計算過程。3地震反射波場成像從波動場的觀點敘述反射波成像的一般原理。地震成像-地震偏移反射系數(shù)值-反映該反射點反射系數(shù)相對值的反射波振幅反射成像實際上就是把地面上觀測到的反射波歸位到產(chǎn)生它的反射點上去。地震偏移與地震成像在現(xiàn)階段可以視為同一概念。地震偏移成像:一是上行波場的反向外推;二是在外推波場中提取成像值。Claerbout提出下述反射波成像原則：反射面位于這些點上，其入射波的初至與反射波的產(chǎn)生時間相同。如圖1-12所示（1.1.32）反射波成像的基本公式可寫為：（1.1.32）式?jīng)]有考慮反射系數(shù)隨著入射角變化的情況，它實質(zhì)上是相位信息的公式。或者說，它對接近法線入射的情況時基本是正確的，能夠反映反射系數(shù)在各點上的變化情況。（1.1.38）應(yīng)用（1.1.32）式涉及到要選擇下行波的初始時間。這是一個困難問題。我們通過假設(shè)下行波是最小相位而避開這個問題。我們把作為初始時間，可推出如下的反射圖象公式：當(dāng)下行波是脈沖波時,(1.1.38)式很精確。但是，如果d(x,z,t)是一個短延續(xù)長度的子波時,它只是一個很好的近似成像公式。1.2波動方程偏移地震偏移成像技術(shù)發(fā)展到今天已經(jīng)產(chǎn)生了各種形式的在各種域?qū)崿F(xiàn)的方法。歷史上曾經(jīng)起過作用的根據(jù)幾何光學(xué)原理的成像方法已經(jīng)被淘汰?，F(xiàn)在正在流行的是建立在波動方程基礎(chǔ)上的三種方法，即Kirchhoff積分法，有限差分法和F-K法及其各種變形。這三種方法由于有相同的數(shù)理基礎(chǔ)，因此它們的原理相同。同時，因計算方法不同，它們之間又有許多不同之處。下面討論三種方法對水平疊加地震剖面的偏移。一頻率-波數(shù)域波動方程偏移采用爆炸反射面的理論。為了成像，要求向地面以下反向外推地震波場。假定z軸垂直向下為正，測線沿x軸，則u(x,z,0)表示偏移后的真實剖面，而u(x,0,t)是未偏移的疊加剖面。（1.2.1）在均勻各向同性完全彈性介質(zhì)中，用半速度代替地震波傳播速度，則標(biāo)量波動方程變?yōu)椋海?.2.2）對（1.2.1）式進(jìn)行傅里葉變換并利用（1.2.2）式有（1.2.3）（1.2.1）（1.2.2）其中正號代表上行波，負(fù)號是下行波。設(shè)為的二維傅里葉變換，對（1.2.1）式進(jìn)行上述變換得到：1Stolt偏移法（1.2.4）按上行波求解，即取正值得將（1.2.3）式代入上式有比較（1.2.4）與（1.2.6）有（1.2.6）其逆變換為：（1.2.5）設(shè)水平疊加剖面的二維傅里葉變換為，則（1.2.4）令z=0，上式變?yōu)椋合旅嬗懻撚盟蒋B加剖面如何求出。對做傅里葉逆變換得：從而，是待求的偏移剖面的傅里葉變換。其中A與t無關(guān)。令t=0，上式變?yōu)椋哼@樣這樣比較（1.2.4）與（1.2.6）有（1.2.6）（1.2.7）按上行波取正號并對微分得（1.2.8）對做二維傅里葉逆變換得到：就是要求取的偏移剖面。輸入零偏移距剖面二維付氏變換,公式(1.2.5)得到用公式（1.2.7）把映射成并標(biāo)定振幅，得到二維付氏逆變換,公式(1.2.8)得到偏移剖面圖1-16均速Stolt偏移流程圖圖1-16均速Stolt偏移流程圖上述偏移原理見圖1-15。由圖1-15和（1.2.7）式可看出，在每個頻率w=vk/2移向新的頻率w=vkz/2時，要乘上一個振幅比例kz/k。通過這個頻率移動，把視傾角轉(zhuǎn)換為真傾角。其流程見圖1-16。上述頻率波數(shù)域的偏移方法稱為Stolt偏移方法。Stolt法的偏移效果見圖1-17，1-18和1-19。2Gazdag相移法對標(biāo)量波動方程（1.2.1）相對x和t做二維傅里葉變換得到：（1.2.9）式中。求解（1.2.9）式得出F-k域的向下外推公式（1.2.10）偏移成像公式是把上式變換回到空間-時間域，并取t=0時刻的波場值為成像值。即Gazdag相移法的流程見圖1-20。偏移效果見圖1-21。輸入零偏移距剖面二維付氏變換,用相移算子exp（-ikzz）將地面數(shù)據(jù)向地下延拓在新的z處計算（kx,z,）相加所有頻率（成像原理，t=0），（kx,z,t=0）在x方向作付氏逆變換,偏移剖面圖1-20Gazdag的相移偏移法流程圖二克?；舴蚍e分法波動方程偏移前面導(dǎo)出了波動方程邊值問題的Kirchhoff積分解。下面研究把它用于地震成像問題。（1.2.11）現(xiàn)在轉(zhuǎn)寫反向外推的Kirchhoff積分如下：（1.2.11）圖1-22求地震問題Kirchhoff（1.2.12）因為在（1.2.11）式中需知道，即波場在地面法向的導(dǎo)數(shù)值。但是，這個導(dǎo)數(shù)值目前是無法觀測和計算的，因此，需想法去掉含的項。為此不再用（1.2.11）式，而從格林定理一般式：（1.2.13）出發(fā)，設(shè)格林函數(shù)w為：來代替1/R，則可以達(dá)到目的。上式中：（1.2.14a）（1.2.14b）（1.2.15）把（1.2.13）式代入（1.2.12）式，得由此求出向下外推的Kirchhoff積分為：（1.2.16）式中A為地面的面積。（1.2.17a）求下面的微分：（1.2.17b）（1.2.18）把以上二式代入（1.2.16）式，得（1.2.18）當(dāng)我們把z取成地面上的點時，即z=0時，則有：（1.2.18）變?yōu)橄铝行问绞街校?.2.19）A為地面的面積。（1.2.20）（1.2.19）式又可寫為：（1.2.21）（1.2.20）式與下式等價：式中（1.2.22）現(xiàn)在我們來證明（1.2.21）與（1.2.20）式等價。我們先對z0求導(dǎo)，再對t0求積分。該過程如下：（1.2.23）（1.2.22）式與（1.2.20）式完全相同，因此（1.2.21）式也與（1.2.20）完全相等。由（1.2.14a）式可知將（1.2.23）式代入（1.2.21）式，得到（1.2.25）（1.2.25）（1.2.24）根據(jù)褶積的定義，我們把（1.2.21）式寫成三維褶積符號形式，則有（1.2.26）其中把（1.2.25）式對x,y和t進(jìn)行傅里葉變換，則可寫為：（1.2.27）式中褶積算子H為：（1.2.28）對t積分得到：（1.2.29）括號內(nèi)積分是第一類Hankel函數(shù)，上式可寫為利用圓柱函數(shù)間的關(guān)系：式中J0和N0是Bessel函數(shù)和Neuman函數(shù)，把它們代入對y的積分式（1.2.29）中，則最終得到H的表達(dá)式為：（1.2.31）把（1.2.30）式代入（1.2.26）式中，得（1.2.30）上式與頻率-波數(shù)域的向下外推公式一致。因此，在常速介質(zhì)中Kirchhoff積分法與頻率-波數(shù)域的波場向下外推公式完全等價。下面討論利用Kirchhoff積分法對水平疊加剖面進(jìn)行波動方程偏移的步驟。將水平疊加剖面看做是炮檢距為零的自激自收地震剖面u(x,y,0,t)；利用爆炸反射面的思想將自激自收剖面等效為在反射界面上同時激發(fā)產(chǎn)生地震波,以半速度向外傳播，在地面上觀測到的上行波剖面u(x,y,0,t)；根據(jù)成像原理，對所有地下點（z0）取t=0時的波場值，即可實現(xiàn)三維偏移成像。此時，成像值為（1.2.32）利用（1.2.24）式將單程的上行波剖面u(x,y,0,t)向下延拓，得到深度為z的面上的波場值。Kirchhoff積分法的偏移效果見圖1-23。（1.2.33）三有限差分法波動方程偏移下面討論使用有限差分法對水平疊加地震剖面的偏移問題。為了把上行波方程表示為空間-時間域的表達(dá)式，需要把上行波方程表示為某種近似式。然后在空間-時間域研究其差分方程及求解問題。最后討論一些計算方法和效果。1上行波的空間-時間域方程為了適應(yīng)介質(zhì)速度的空間變化，我們要在空間-時間域中進(jìn)行偏移成像或地震圖的模擬工作。首先就要把上行波方程表示在空間-時間域中，這需要用到某種根式展開。1）二項式展開下面我們將用到這樣的二項式展開，在這里我們介紹幾種展開式。（1）Taylor展開（1.2.34）這是一個眾所周知的顯式展開式，它一般表達(dá)為：展開條件X1。如果把這種展開式用于微分算子，在不進(jìn)行輔助處理時將找不到穩(wěn)定的有限差分方程來解相應(yīng)的微分方程。因此我們在使用二級近似以上的展開式時不能用這種展開式。2）連續(xù)分式展開，或稱為Pade展開這個展開式表示為如下形式（X1）：這是一種隱式展開式。其各級展開式如下。（1.2.35）一級展開式：（1.2.36a）（1.2.36b）二級展開式：三級展開式：（1.2.36c）高級展開式可依此類推。一級展開式：（1.2.38a）（1.2.37）用這種展開方法得到的各級展開式如下。則逐次迭代展開式可表示為（）：（3）迭代展開這種隱式展開法，是把前一級的展開結(jié)果代入下一級的展開式中。設(shè)來代替1/R，則可以達(dá)到目的。上式中：（1.2.38b）二級展開式：2）上行波的空間-時間域方程在第一節(jié)已經(jīng)求出了頻率-波數(shù)域的上行波方程(1.1.12)式：高級近似式可依此類推出來。從（1.2.36）和（1.2.38）公式組可以看出，后兩種展開是等價的。（1.2.38c）三級展開式：用迭代展開法展開上行波方程：（1.2.39）式中由（1.2.39）式求出各級近似式如下。一級近似式：（1.2.40a）二級近似式：（1.2.40b）三級近似式：（1.2.40c）高級近似式可依次類推。現(xiàn)在，我們把（1.2.40a）式轉(zhuǎn)換到空間-時間域，求出一級近似方程。上行波方程（1.2.40a）式可改寫為：（1.2.41）對（1.2.41）式進(jìn)行傅里葉反變換：（1.2.42）根據(jù)傅里葉變換的微分性質(zhì)：（1.2.43a）（1.2.43b）（1.2.43c）把(1.2.43a)、(1.2.43b)和(1.2.43c)式代入(1.2.42)式，得到：（1.2.44）上式就是空間-時間域的一級近似的上行波方程，常常被稱為方程。同理可求出空間-時間域的二級及二級以上近似的上行波方程。經(jīng)推導(dǎo)，空間-時間域的二級近似的上行波方程為：（1.2.45）上式常常被稱為波動方程。3）浮動坐標(biāo)系中的單程波方程上行波方程在一定的浮動坐標(biāo)系中可以簡化。我們對二維波動方程：（1.2.46）進(jìn)行如下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換：（1.2.47）坐標(biāo)變換前后波場本身是不變的，因此存在：（1.2.48）從（1.2.47）和（1.2.48）導(dǎo)出下列導(dǎo)數(shù)等式：（1.2.49c）（1.2.49b）（1.2.49a）將（1.2.49）各式代入（1.2.46）式中得到新坐標(biāo)系中的波動方程為：上式變換到頻率-波數(shù)域為：（1.2.51）（1.2.51）式可改寫為：（1.2.52）從上式得到下列關(guān)系式：它表示坐標(biāo)變換前后的算子關(guān)系。因此，上行波方程可表示為：（1.2.53）（1.2.53）式的右端項可展開為各級近似式，便得到上行波各級近似方程。（1.2.54）三級近似式一級近似式二級近似式（1.2.55）（1.2.56）高級近似式可依次類推。由以上各式用前述方法可求出空間-時間域的各級近似方程。下面給出一級和二級近似方程。一級近似方程用推導(dǎo)（1.2.44）式那樣的方法可以求出一級近似方程為：（1.2.57）與（1.2.44）式相比，減少了一項。從而也減少了計算時間和差分時的時間層（少了一層）。另外，保持了計算的穩(wěn)定性。二級近似方程用推導(dǎo)（1.2.45）式那樣的方法可以求出二級近似方程為：（1.2.58）這個方程與（1.2.45）式相比也是少了一項。這也會減少計算工作量。2有限差分法地震偏移技術(shù)如前所述，水平疊加地震剖面可以看做是自激自收地震剖面；又可以看做是所有反射面同時爆炸產(chǎn)生波源向地面?zhèn)鞑?，被地面的接收器記錄的上行波剖面。對于這種觀測結(jié)果，為了成像，要求向地面以下反向外推地震波場。在外推過程中假設(shè)地震剖面上無任何多次波，也不存在任何規(guī)則干擾波，如折射波等。如果在剖面上存在這些波，在外推過程中也都按反射一次波處理，但它們是不能正確歸位的，只能造成偏移成像剖面的干擾。因此，如果存在這些波，應(yīng)當(dāng)在偏移處理前把它們?yōu)V掉。1）浮動坐標(biāo)下的有限差分法地震偏移采用浮動坐標(biāo)系,只討論一級近似的上行波二階偏微分方程（1.2.57）的有限差分偏移問題?？紤]到爆炸反射面的概念，用v/2速度代替v。這樣，（1.2.57）式可重新寫成：（1.2.59）這里的速度，假設(shè)它是常數(shù)，在實用中它可以隨x和z而變。（1.2.60a）式中即為在地面所觀測的地震波場。（1.2.60d）（1.2.60c）（1.2.60b）目的:通過解上述微分方程求出地面以下任何點（）上的曾經(jīng)在該點出現(xiàn)過的上行波的波場值(位移或壓力場振幅)。這樣的問題是適定的，可解的。下面用有限差分法來解這個方程。采用對稱隱式(Crank-Nicolson)的差分格式（圖1-24）。圖1-24差分格式實用中，常采用下列符號：對圖1-24格式的中心點進(jìn)行差分，（1.2.59）式可化為如下的差分方程：（1.2.61）式中由（1.2.61）式整理得：（1.2.62）為了求出以整采樣點為依據(jù)的表達(dá)式，（1.2.62）式可寫成：（1.2.63）從（1.2.63）式可以解出求的遞推式。把求做為遞推結(jié)果值，不取作為遞推結(jié)果值是從物理條件（1.2.60）式考慮的，這也是計算穩(wěn)定性所要求的。（1.2.63）式經(jīng)過簡單整理后得：（1.2.64）算子式中（1.2.65）（1.2.64）式寫成矩陣式為：式中、為三對角矩陣。為在深度層和時間層上沿x軸的波場值的列向量。，和為相應(yīng)層上沿x軸的波場值列向量。這些矩陣和列向量表示如下：（1.2.66）（1.2.67）（1.2.69）（1.2.70）（1.2.71）（1.2.68）如果把差分算子取為，這相當(dāng)于差分加權(quán)，可提高差分精度。這時差分方程（1.2.64）可改寫為：式中。（1.2.72）上式可以寫成矩陣式(1.2.65),不過，矩陣A和B由下面的矩陣表示。（1.2.73）（1.2.74）只要矩陣A可逆，（1.2.65）可解。得到：（1.2.75）矩陣A中的主對角元素是優(yōu)勢元素。因為永遠(yuǎn)大于零。因此總有：或者因而矩陣A的行列式不為零，即所以矩陣A是可逆的。（1.2.76）矩陣方程（1.2.65）式可用矩陣方法求解，也可以改寫為代數(shù)方程組后用追趕法求解，要求：差分方程必須穩(wěn)定。在浮動坐標(biāo)系中，成像時間是2）一般坐標(biāo)下的有限差分法地震偏移若按一般坐標(biāo)系，疊加地震剖面的有限差分偏移成像過程可用圖1-25說明。圖1-25為（x,z,t）坐標(biāo)系，地震剖面在（x,t）平面上，偏移剖面則在（x,z）平面上。有限差分偏移是按一定步長的z來外推地震剖面（x,t）,每外推一個步長，就將t=0的波場作為輸出。這些輸出結(jié)果就組成了偏移剖面（x,z,t=0）。3）有限差分法逆時偏移Baysal等人在1983年提出了有限差分逆時偏移的方法，它是從一個波場為零的（x,z）起始平面，按時間反推，并以地震剖面資料u（x,z=0,t）作為每一步進(jìn)時間的邊界條件（z=0）,得出時間t=0的（x,z）平面就成為偏移結(jié)果u（x,z,t=0）（見圖1-26）。圖1-25.地表z=0的地震剖面（x,t），它向下延拓獲得各個離散深度上的時間剖面。這里用粗黑箭頭指出外推方向，偏移獲得的剖面用t=0（根據(jù)成像原理）的（x,z）平面表示。圖1-26.逆時偏移從數(shù)據(jù)體底部的全零（x,z）平面開始，按時間向t=0反推，計算出不同時間的（x,z）平面切片；這些地下切片在圖中用一系列水平面來表示，反推方向按粗黑箭頭所示，每個時間平面（x,z）都包含有出自地震剖面的邊界值（虛線表示的z=0平面上的x線），t=0的（x,z）平面即為偏移剖面（頂部的水平面）3吸收邊界條件仍然討論二維情況。二維波動方程：（1.2.77）一般求解域：實際求解域：在求解的過程中，一般給定如下的邊界條件：（1.2.78a）（1.2.78b）（1.2.78c）（1.2.78d）這樣，就在兩邊和底界人為地造成了邊界，稱之為計算邊界。這樣的邊界不可避免地會產(chǎn)生邊界反射。這個邊界反射是很強的。在現(xiàn)代偏移技術(shù)中為了避免在有用的地震剖面范圍內(nèi)出現(xiàn)邊界反射波，常常要在地震剖面的兩邊進(jìn)行擴邊，擴邊道有時要達(dá)到96道或更多。這就會使計算量和設(shè)備資源使用量增大。為了克服這個不足，提出了使用吸收邊界條件的算法。首先，分析一下波入射到邊界上的情況。考慮一個入射到右邊邊界上的簡諧平面波：（1.2.79）式中為平面波波前與x軸間的夾角，k為波數(shù)，等于。在的區(qū)域上的反射波為：在區(qū)域上總的波場為：（1.2.80）（1.2.81）把（1.2.81）代入（1.2.78b）中，則得到反射系數(shù)：說明反射系數(shù)是很強的。為了導(dǎo)出吸收邊界，必須采用一種算子B，使得它作用在邊界上的波場時，波場值等于零，即（1.2.82）考慮到我們的邊界條件是線性的，可以求出反射系數(shù)：（1.2.83b）或（1.2.83a）從上式可以看出，要選擇這樣一個算子，當(dāng)它作用在波場上時，使界面上入射的波如同無邊界那樣，就不會產(chǎn)生邊界反射了。為此要使，實際上就是要把波動方程分解為左行波方程和右行波方程。把右行波方程取為左邊界的邊界條件，把左行波方程取為右邊界的邊界條件。這與把波動方程分解為上行波和下行波方程的做法是一樣的。1）吸收邊界條件的推導(dǎo)把波動方程（1.2.77）式對z和t做二維傅氏變換，得（1.2.84）進(jìn)行算子分解，得出（1.2.85）由此得出左行波方程為（1.2.86）右行波方程為：（1.2.87）把以上二式直接變換到空間-時間域得不到單程波方程，因此要把根式展開。2）各級近似的邊界條件（1）零級近似式零級近似式為：（1.2.88）（1.2.89）和經(jīng)過反傅里葉變換到空間-時間域得到：（1.2.90）（1.2.91）和（1.2.90）式即為左邊界的吸收邊界條件。（1.2.91）式是右邊界的吸收邊界條件。這樣簡單的邊界條件只能衰減向邊界界面上垂直入射的波。這種波在地震剖面上是很少的。但是計算方法簡單。為了衰減傾斜入射到邊界界面上的波，可以使用高級近似式。（2）一級近似式一級近似式用(1.2.37)的方法可展成為：（1.2.92）（1.2.93）和以上二式經(jīng)反傅里葉變換后的空間-時間域表達(dá)式為：（1.2.94）（1.2.95）和(1.2.94)式是左邊界的邊界條件。(1.2.95)為右邊界的邊界條件。同理可以求二級近似式的邊界條件。（3）二級近似式二級近似展開式經(jīng)過相應(yīng)的計算表示為：（1.2.96）（1.2.97）和經(jīng)過反傅里葉變換后，（1.2.96），（1.2.97）表示為：(1.2.98)為左邊界的邊界條件。(1.2.99)式為右邊界的邊界條件。（1.2.98）（1.2.99）和由于在進(jìn)行偏移時，使用的是浮動坐標(biāo)系，所以應(yīng)當(dāng)把上面求出的吸收邊界條件表示在浮動坐標(biāo)系中。3）浮動坐標(biāo)系中的吸收邊界條件根據(jù)浮動坐標(biāo)系與原坐標(biāo)系的關(guān)系式（1.2.47）進(jìn)行導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換，可求出浮動坐標(biāo)系中的吸收邊界條件。（1）零級近似式（1.2.100）（1.2.101）和（1.2.100）式為左邊界條件，（1.2.101）式為右邊界條件。這個公式與原坐標(biāo)系中的邊界條件相同，未改變形式。（2）一級近似式（1.2.102）（1.2.103）（3.4.22）式為左邊界條件，（3.4.23）式為右邊界條件。（3）二級近似式（1.2.104）（1.2.105）（1.2.104）為左邊界條件，（1.2.105）為右邊界條件。（3）二級近似吸收邊界條件（1.2.111）（1.2.106）和（1.2.107）只適合于衰減以直角入射到邊界上的邊界反射波，最多不應(yīng)大于5的夾角（波前與邊界面的夾角）。（1.2.108）和（1.2.109）適合于衰減夾角15及以下夾角的邊界反射波，最多不超過25的夾角的邊界反射波。對于大于這個夾角的邊界入射波應(yīng)當(dāng)采用（1.2.110）和（1.2.111）式那樣的邊界條件。4有限差分法偏移的效果有限差分法波動方程偏移是地震成像技術(shù)上的一個飛躍。方法原理-基于波動方程處理效果-除反映相位關(guān)系外，還保持反射波的振幅特征與繞射疊加法相比，有限差分法具有以下幾個方面的優(yōu)點?；诓▌臃匠?，準(zhǔn)確的偏移定量計算式，反射波正確歸位，振幅相對保真。適于以研究波的特征為主的地質(zhì)解釋，特別有利于研究巖性、巖相變化，含氣砂巖，油水接觸面等。差分網(wǎng)格要小。小到2x*nz,大約100m21000m2取一個速度參數(shù)。而繞射疊加偏移要求在大范圍內(nèi)使用平均速度。且反射面越深，范圍越大。要求大約50km2范圍的速度值是不變的。對實際介質(zhì)難于滿足。因此，其歸位效果不理想。偏移綜合效果，如S/N、波形特征、分辨力等都好于繞射法因此，有限差分法從70年代中期就取代了繞射疊加法。今天，有限差分法偏移程序已成了一種常規(guī)的地震處理應(yīng)用軟件。有限差分法的偏移效果見圖1-27和1-28。由圖可看出偏移剖面的信噪比高，斷層清楚，波形特征得到了保持。頻率域有限差分法（頻率空間域偏移）的偏移效果見圖1-29。有限差分法偏移技術(shù)除了具有上述優(yōu)點外，也有不足之處。具有一級近似方程的15有限差分法的使用有傾角限制，使用高階方程偏移,克服對傾角的局限性（圖1-29）。差分方法常常由于水平方向上采樣不足會引起網(wǎng)格頻散，即波的高頻成分與低頻成分偏移不到同一位置上去，高頻成分變成一種干擾背景?？朔k法:野外設(shè)計合適的水平采樣密度;處理中進(jìn)行空間道內(nèi)插?？臻g道內(nèi)插有幾種實用程序。如上所述，有限差分法正在走向完善的過程中。（1.2.110）四.三種波動方程偏移方法的差異1偏移孔徑不同Kirchhoff積分法一般據(jù)偏移剖面上的傾角確定偏移孔徑。理論上可取成滿足90傾角的要求。但實際總是要小。淺層一般取25以內(nèi)。深層要大些，但要以最大傾角為依據(jù)。否則，或者增加工作量，或者增強偏移噪聲。F-K域偏移沒有孔徑限制，可自然滿足90傾角的偏移。它可通過在F-K域中的二維濾波控制偏移孔徑。有限差分法可通過數(shù)值粘滯性控制孔徑，其實質(zhì)也是一種二維濾波。另外，常用近似方程。實際偏移范圍受方程限制。所用方程不同，偏移孔徑的角度分別為15,45,60等。超過它們所允許角度的數(shù)據(jù)用數(shù)值