高等幾何考試試卷.doc

浙江省2002年4月高等教育自學(xué)考試高等幾何試題課程代碼：10027一、填空題(每空2分，共20分)1._，稱為仿射不變性和仿射不變量.2.共線三點(diǎn)的簡比是_不變量.3.平面內(nèi)三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)(原象不共線，映射也不共線)決定唯一_.4.點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0，0)的方程是_.5. =0代表點(diǎn)_的方程.6.已知共線四點(diǎn)A、B、C、D的交比(AB，CD)=2，則(CA，BD)=_.7.對(duì)合由_唯一決定.8.二階曲線就是_的全體.9.證明公理體系的和諧性常用_法.10.羅巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的兩直線叫做_直線.二、計(jì)算題(每小題6分，共30分)1.求直線x-2y+3=0上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)。2.求仿射變換的不變點(diǎn).3.求四點(diǎn)(2，1，-1)，(1，-1，1)，(1，0，0)，(1，5，-5)順這次序的交比.4.試求二階曲線的方程，它是由兩個(gè)射影線束x1-x3=0與x2-x3=0 (=)所決定的.5.求二次曲線2x2+xy-3y2+x-y=0的漸近線.三、作圖題(每小題6分，共18分)1.給定點(diǎn)A、B，作出點(diǎn)C，使(ABC)=4. 作法：2.過定點(diǎn)P，作一條直線，使通過兩條已知直線的不可到達(dá)的點(diǎn). 作法：3.如圖，求作點(diǎn)P關(guān)于二次曲線的極線 作法：四、證明題(第1、2題各10分，第3小題12分，共32分)1.設(shè)P、Q、R、S是完全四點(diǎn)形的頂點(diǎn)，A=PSQR,B=PRQS,C=PQRS,證明A1=BCQR,B1=CARP, C1=ABPQ三點(diǎn)共線. 證明：2.過二次曲線的焦點(diǎn)F，引兩條共軛直線l,l，證明ll. 證明：3.將ABC的每邊分成三等份，每個(gè)分點(diǎn)跟三角形的對(duì)頂相連，這六條線構(gòu)成一個(gè)六邊形(圖甲)，求證它的三雙對(duì)頂連線共點(diǎn)。證明(按以下程序作業(yè))：第一步：將ABC仿射變換為等邊ABC(圖乙)，為什么這樣變換存在?第二步：在圖乙中，畫出圖甲的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和線段，并敘述原來命題對(duì)應(yīng)地變成怎樣的命題。第三步：證明：變換后的相應(yīng)命題成立。這樣原來命題也就成立，為什么?浙江省2002年4月自考高等幾何試題答案課程代碼：10027一、填空題(每空2分，共20分)1. 經(jīng)過一切透視仿射不改變的性質(zhì)和數(shù)量2. 仿射3. 仿射變換4. u1=05. (1，1，0)、(1，-1，0)6. -17. 兩對(duì)不同的對(duì)應(yīng)元素8. 兩個(gè)射影線束對(duì)應(yīng)直線交點(diǎn)9. 模型10. 分散二、計(jì)算題(每小題6分，共30分)1.解：化為齊次式x1-2x2+3x3=0,以x3=0代入得 x1-2x2=0， x1=2x2 或 x2= 無窮遠(yuǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1，0)2.解：由 得 解此方程，得不變點(diǎn)為3.解：以(2，1，-1)和(1，-1，1)為基底，則(2，1，-1)+1(1,-1,1)相當(dāng)于(1，0，0) 得 1=1又 (2，1，-1)+2(1,-1,1)相當(dāng)于(1，5，-5)得 2=-所求交比為 4.解：= (1)將x1-x3=0, x2-x3=0中的，代入(1)得 得 x2(x1+2x3)-x3(x1-x3)=0，化簡，即得所求的二階曲線方程 5.解： 系數(shù)行列式 A31=, A32=, A33=-,因此中心坐標(biāo) =-,=- .由 2X2+XY-3Y2=0，即 (2X+3Y)(X-Y)=0.得 2X+3Y=0 X-Y=0. (1)將 X=x+ Y=y+ 代入(1)得 2x+3y+1=0 x-y=0即為所求的漸近線方程三、作圖題(每小題6分，共18分)1.作法： (ABC)=， ,即 =3 .在AB延長線上，作點(diǎn)C，使BC=AB2.作法：(利用代沙格定理)：任取線束S，設(shè)束中兩條直線交a于A，C，交b于A，C；連直線PC，PC分別交線束S的第三條直線于B，B；直線BA和BA的交點(diǎn)Q與點(diǎn)P的連線，即為所求的直線.注：1文字，2也可利用巴卜斯定理；或完全四點(diǎn)形調(diào)和性質(zhì)作圖.3.作法：過P點(diǎn)任引兩直線，使與分別交于A、B及C、D，設(shè)Q=ACBD，R=ADBC，那么直線QR即為所求的極線.四、證明題(第1、2題各10分，第3小題12分，共32分)1.證明：在ABC及PQR中，AP、BQ、CR共點(diǎn)S.對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)C1=ABPQ， B1=CARP, A1=BCRQ三點(diǎn)共線2.證明：已知F為焦點(diǎn)，l，l為由F所引的二共軛直線，按其點(diǎn)定義，兩迷向直線FI，F(xiàn)J是二次曲線的切線.從而 (FI，F(xiàn)J，l，l)=-1，所以 ll3.第一步，任意兩三角形，總存在仿射變換，使其中一個(gè)三角形仿射變換為另一三角形.第二步：正三角形的每邊三等份，每一分點(diǎn)跟三角形的對(duì)頂相連，這六條線構(gòu)成一個(gè)六邊形，求證它的三雙對(duì)頂?shù)倪B線共點(diǎn).第三步：由A作BC邊上的高線AS，ABC是正三角形，由對(duì)稱性可知K，N在AS上.同理J、M與PL也分別在過點(diǎn)B、