經(jīng)典--初中數(shù)學(xué)三角形專題訓(xùn)練及例題解析.doc

初中數(shù)學(xué)三角形綜合知識點(diǎn)梳理 考點(diǎn)一、三角形1、三角形的定義:由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.2、三角形的分類.三角形(按邊分)三角形(按角分) 3、三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.4、三角形的重要線段三角形的中線：頂點(diǎn)與對邊中點(diǎn)的連線,三條中線交點(diǎn)叫重心三角形的角平分線：內(nèi)角平分線與對邊相交,頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段,三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)叫內(nèi)心三角形的高：頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€,頂點(diǎn)和垂足間的線段.三條高的交點(diǎn)叫垂心(分銳角三角形,鈍角三角形和直角三角形的交點(diǎn)的位置不同)5、三角形具有穩(wěn)定性6、三角形的內(nèi)角和定理及性質(zhì) 定理：三角形的內(nèi)角和等于180. 推論1：直角三角形的兩個(gè)銳角互補(bǔ)。 推論2：三角形的一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。 推論3：三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角。7、多邊形的外角和恒為3608、多邊形及多邊形的對角線正多邊形：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形凸凹多邊形：畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，若整個(gè)圖形都在這條直線的同一側(cè)，這樣的多邊形稱為凸多邊形；，若整個(gè)多邊形不都在這條直線的同一側(cè)，稱這樣的多邊形為凹多邊形。多邊形的對角線的條數(shù):A.從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引（n-3）條對角線，將多邊形分成（n-2）個(gè)三角形。B.n 邊形共有條對角線。9、邊形的內(nèi)角和公式及外角和多邊形的內(nèi)角和等于（n-2）180(n3)。多邊形的外角和等于360。10、平面鑲嵌及平面鑲嵌的條件。平面鑲嵌：用形狀相同或不同的圖形封閉平面，把平面的一部分既無縫隙，又不重疊地全部覆蓋。平面鑲嵌的條件：有公共頂點(diǎn)、公共邊；在一個(gè)頂點(diǎn)處各多邊形的內(nèi)角和為360?？键c(diǎn)二、全等三角形 1、全等三角形的概念能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）（3）邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。直角三角形全等的判定：對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）3、全等變換只改變圖形的位置，不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。全等變換包括一下三種：（1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動的變換叫做平移變換。（2）對稱變換：將圖形沿某直線翻折180，這種變換叫做對稱變換。（3）旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個(gè)位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換。考點(diǎn)三、等腰三角形 1、等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對等角）推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60。2、三角形中的中位線連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。（1）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個(gè)新的三角形。（2）要會區(qū)別三角形中線與中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。三角形中位線定理的作用：位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系。常用結(jié)論：任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：結(jié)論1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長為原三角形周長的一半。結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形。結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形。結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等?？键c(diǎn)四、直角三角形 1、直角三角形的兩個(gè)銳角互余2、在直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半。3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 4直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即5、攝影定理在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項(xiàng)，每條直角邊是它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項(xiàng)ACB=90 CDAB 6、常用關(guān)系式由三角形面積公式可得：ABCD=ACBC經(jīng)典例題解析：例1.如圖，BP平分FBC，CP平分ECB，A=40求BPC的度數(shù)。 分析：可以利用三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和求解。解：1= 例2.如圖，求A+C+3+F的度數(shù)。分析：由已知B=30，G=80，BDF=130，利用四邊形內(nèi)角和，求出3的度數(shù)，再計(jì)算要求的值。解：四邊形內(nèi)角和為（4-2）180=3603=360-30-80-130=120又A C F是三角形的內(nèi)角 A+C+F+3=180+120=300例3已知一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是其相鄰內(nèi)角度數(shù)的，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。分析：每一個(gè)外角的度數(shù)都是其相鄰內(nèi)角度數(shù)的，而每個(gè)外角與其相鄰的內(nèi)角的度數(shù)之和為180。解：設(shè)此多邊形的外角為x，則內(nèi)角的度數(shù)為x 例4.用正三角形、正方形和正六邊形能否進(jìn)行鑲嵌？ 分析：可以進(jìn)行鑲嵌的條件是：一個(gè)頂點(diǎn)處各個(gè)內(nèi)角和為360 解：正三角形的內(nèi)角為 正方形的內(nèi)角為正六邊形的內(nèi)角為 可以鑲嵌。一個(gè)頂點(diǎn)處有1個(gè)正三角形、2個(gè)正方形和1個(gè)正六邊形。例5.如圖，在ABC中，ACB=60，BAC=75，ADBC于D，BEAC于E，AD與BE交于H，則CHD= 解：在ABC中，三邊的高交于一點(diǎn)，所以CFAB，BAC=75，且CFAB，ACF=15，ACB=60，BCF=45在CDH中，三內(nèi)角之和為180，CHD=45，故答案為CHD=45點(diǎn)評：考查三角形中，三條邊的高交于一點(diǎn)，且內(nèi)角和為180例6如圖，AD、AM、AH分別ABC的角平分線、中線和高（1）因?yàn)锳D是ABC的角平分線，所以 = = 1/2 ；（2）因?yàn)锳M是ABC的中線，所以 = = ；（3）因?yàn)锳H是ABC的高，所以 = =90分析：（1）根據(jù)三角形角平分線的定義知：角平分線平分該角；（2）根據(jù)三角形的中線的定義知：中線平分該中線所在的線段；（3）根據(jù)三角形的高的定義知，高與高所在的直線垂直解答：解：（1）AD是ABC的角平分線，BAD=CAD=1/2BAC；（2）AM是ABC的中線，BM=CM=1/2BC；（3）AH是ABC的高，AHBC，AHB=AHC=90；故答案是：（1）BAD、CAD、BAC；（2）BM、CM、BC；（3）AHB、AHC例8如圖，AP平分BAC交BC于點(diǎn)P，ABC=90，且PB=3cm，AC=8cm，則APC的面積是 cm2解：AP平分BAC交BC于點(diǎn)P，ABC=90，PB=3cm，點(diǎn)P到AC的距離等于3，AC=8cm，APC的面積=832=12cm2例9. 已知：點(diǎn)P是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn)，BPC150，PB2，PC3，求PA的長。分析：將BAP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60至BCD，即可證得BPD為等邊三角形，PCD為直角三角形。解：BCBA，將BAP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60，使BA與BC重合，得BCD，連結(jié)PD。BDBP2，PADC。BPD是等邊三角形。BPD60。DPCBPCBPD1506090。DCPADC。例10. 兩個(gè)全等的含30，60角的三角板ADE和ABC如圖所示放置，E，A，C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD，取BD的中點(diǎn)M，連結(jié)ME，MC。試判斷EMC是什么樣的三角形，并說明理由。分析：判斷一個(gè)三角形的形狀，可以結(jié)合所給出的圖形作出假設(shè)，或許是等腰三角形。這樣就可以轉(zhuǎn)化為另一個(gè)問題：嘗試去證明EMMC，要證線段相等可以尋找全等三角形來解決，然而圖中沒有形狀大小一樣的兩個(gè)三角形。這時(shí)思考的問題就可以轉(zhuǎn)化為這樣一個(gè)新問題：如何構(gòu)造一對全等三角形？根據(jù)已知點(diǎn)M是直角三角形斜邊的中點(diǎn)，產(chǎn)生聯(lián)想：直角三角形斜邊上的中點(diǎn)是斜邊的一半，得：MDMBMA。連結(jié)M A后，可以證明MDEMAC。答：EMC是等腰直角三角形。證明：連接AM，由題意得，DEAC，ADAB，DAEBAC90。DAB90。DAB為等腰直角三角形。又MDMB，MAMDMB，AMDB，MADM AB45。MDEMAC105，DMA90。MDEMAC。DMEAMC，MEMC。又DMEEMA90，AMCEMA90。MCEM。EMC是等腰直角三角形。說明：構(gòu)造全等三角形是解決這個(gè)問題的關(guān)鍵，那么構(gòu)造全等又如何進(jìn)行的呢？對條件的充分認(rèn)識和對知識點(diǎn)的聯(lián)想可以找到添加輔助線的途徑。構(gòu)造過程中要不斷地轉(zhuǎn)化問題或轉(zhuǎn)化思維的角度。會轉(zhuǎn)化，善于轉(zhuǎn)化，更能體現(xiàn)思維的靈活性。在問題中創(chuàng)設(shè)以三角板為情境也是考題的一個(gè)熱點(diǎn)。例11.如圖，等腰直角三角形ABC中，ACB90，AD為腰CB上的中線，CEAD交AB于E求證CDAEDB提示：作CFAB于F，則ACF45，在ABC中，ACB90，CEAD，于是，由ACGB45，ABAC ，且易證12，由此得AGCCEB（ASA）再由CDDB，CGBE，GCDB，又可得CGDBED（SAS），則可證CDAEDB例12.如圖，ABC中，12，34，56A60求ECF、FEC的度數(shù)ABCDFGE123456略解：因?yàn)?A60，所以 23（18060）60；又因?yàn)?B、C、D是直線，所以 4590；于是 FEC2360，F(xiàn)CE4590，F(xiàn)EC60ABCDEFGH例13. 在RtABC中，A90，CE是角平分線，和高AD相交于F，作FGBC交AB于G，求證：AEBG略解：作EHBC于H，由于E是角平分線上的點(diǎn)，可證 AEEH ；且又由 AECBECBCADECAAFE可證 AEAF，于是由 AFEH，AFGEHB90，BAGF可得 AFGEHB；所以 AGEB，即 AEEGBGGE，所以 AEBG反饋練習(xí)1.如圖，AD是ABC的中線，如果ABC的面積是18cm2，則ADC的面積是 cm22.如圖，ABC中，ABC=BAC=45，點(diǎn)P在AB上，ADCP，BECP，垂足分別為D，E，已知DC=2，則BE= 3（2009宜賓）已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，過AB的中點(diǎn)E作AC的垂線EF，交AD于點(diǎn)M，交CD的延長線于點(diǎn)F（1）則AM DM；（2）若DF=2，則菱形ABCD的周長為 4已知BD，CE是ABC的兩條高，M、N分別為BC、DE的中點(diǎn)，勇敢猜一猜：（1）線段EM與DM的大小有什么關(guān)系？EM DM；（2）線段MN與DE的位置有什么關(guān)系？ 5如圖，一塊長方體磚寬AN=5cm，長ND=10cm，CD上的點(diǎn)B距地面的高BD=8cm，地面上A處的一只螞蟻到B處吃食，需要爬行的最短路徑是 cm6、已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，PADPDA150APCDB 求證：PBC是正三角形7、已知：P是邊長為1的正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，求PAPBPC的最小值A(chǔ)CBPD三角形中作輔助線的常用方法舉例常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4) 過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5) 截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，若直接證不出來，可連接兩點(diǎn)或延長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1：已知如圖1-1：D、E為ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:ABACBDDECE.證明：（法一）將DE兩邊延長分別交AB、AC 于M、N，在AMN中，AMAN MDDENE;（1） 在BDM中，MBMDBD； （2） 在CEN中，CNNECE； （3） 由（1）（2）（3）得： AMANMBMDCNNEMDDENEBDCE ABACBDDEEC （法二：）如圖1-2， 延長BD交 AC于F，延長CE交BF于G，在ABF和GFC和GDE中有： ABAF BDDGGF（三角形兩邊之和大于第三邊）（1） GFFCGECE（同上）（2） DGGEDE（同上）（3） 由（1）（2）（3）得： ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDE ABACBDDEEC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1：已知D為ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：BDCBAC。分析：因?yàn)锽DC與BAC不在同一個(gè)三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使BDC處于在外角的位置，BAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長BD交AC于點(diǎn)E，這時(shí)BDC是EDC的外角， BDCDEC，同理DECBAC，BDCBAC證法二：連接AD，并延長交BC于FBDF是ABD的外角BDFBAD，同理，CDFCADBDFCDFBADCAD即：BDCBAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1：已知AD為ABC的中線，且12,34,求證：BECFEF。分析：要證BECFEF ，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知12，34，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同一個(gè)三角形中。證明：在DA上截取DNDB，連接NE，NF，則DNDC，在DBE和DNE中：DBEDNE （SAS）BENE（全等三角形對應(yīng)邊相等）同理可得：CFNF在EFN中ENFNEF（三角形兩邊之和大于第三邊）BECFEF。注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)元素相等。四、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖4-1：AD為ABC的中線，且12，34，求證：BECFEF證明：延長ED至M，使DM=DE，連接 CM，MF。在BDE和CDM中， BDECDM （SAS） 又12，34 （已知） 1234180（平角的定義） 32=90即：EDF90 FDMEDF 90在EDF和MDF中 EDFMDF （SAS） EFMF （全等三角形對應(yīng)邊相等） 在CMF中，CFCMMF（三角形兩邊之和大于第三邊） BECFEF注：上題也可加倍FD，證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。五、有三角形中線時(shí)，常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖5-1：AD為 ABC的中線，求證：ABAC2AD。分析：要證ABAC2AD，由圖想到： ABBDAD,ACCDAD，所以有ABAC BDCDADAD2AD，左邊比要證結(jié)論多BDCD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去。 證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，則AE2AD AD為ABC的中線 （已知） BDCD （中線定義） 在ACD和EBD中 ACDEBD （SAS） BECA（全等三角形對應(yīng)邊相等） 在ABE中有：ABBEAE（三角形兩邊之和大于第三邊） ABAC2AD。（常延長中線加倍，構(gòu)造全等三角形）練習(xí)：已知ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖5-2， 求證EF2AD。 六、截長補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖6-1：在ABC中，ABAC，12，P為AD上任一點(diǎn)。求證：ABACPBPC。分析：要證：ABACPBPC，想到利用三角形三邊關(guān)系定理證之，因?yàn)橛C的是線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊ABAC，故可在AB上截取AN等于AC，得ABACBN， 再連接PN，則PCPN，又在PNB中，PBPNBN，即：ABACPBPC。證明：（截長法）在AB上截取ANAC連接PN , 在APN和APC中 APNAPC （SAS） PCPN （全等三角形對應(yīng)邊相等） 在BPN中，有 PBPNBN （三角形兩邊之差小于第三邊） BPPCABAC證明：（補(bǔ)短法） 延長AC至M，使AMAB，連接PM， 在ABP和AMP中 ABPAMP （SAS） PBPM （全等三角形對應(yīng)邊相等） 又在PCM中有：CMPMPC(三角形兩邊之差小于第三邊) ABACPBPC。七、延長已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖7-1：已知ACBD，ADAC于A ，BCBD于B， 求證：ADBC分析：欲證 ADBC，先證分別含有AD，BC的三角形全等，有幾種方案：ADC與BCD，AOD與BOC，ABD與BAC，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。證明：分別延長DA，CB，它們的延長交于E點(diǎn)， ADAC BCBD （已知） CAEDBE 90 （垂直的定義） 在DBE與CAE中 DBECAE （AAS） EDEC EBEA （全等三角形對應(yīng)邊相等） EDEAECEB 即：ADBC。（當(dāng)條件不足時(shí)，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）八 、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如：如圖8-1：ABCD，ADBC 求證：AB=CD。分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解決。證明：連接AC（或BD） ABCD ADBC （已知） 12，34 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）在ABC與CDA中 ABCCDA