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第8章 固體的彈性形變第八章 固體的彈性形變內(nèi)容： 、應(yīng)力、應(yīng)變、胡克定律 彈性模量、彈性勢能、扭轉(zhuǎn)和彎曲形變要求： 要求明確掌握應(yīng)力與應(yīng)變的概念及其相互關(guān)系。掌握楊氏模量、切變彈性模量、體變彈性模量的概念。了解應(yīng)變勢能的意義。重點與難點：應(yīng)力與應(yīng)變的概念及其相互關(guān)系。楊氏模量、切變彈性模量、體變彈性模量的概念。作業(yè)：P295 1，2，3，4第八章 固體的彈性形變 在前面的章節(jié)中，我們把物體當作剛體看待，認為物體受到力的作用后它的形狀不會改變。但實際上物體受外力作用時形狀或多或少地會發(fā)生變化。當外力不很大時物體形狀變化也不大，如果去掉外力后物體能完全恢復(fù)到原來的形狀，就稱這樣的物體為彈性體，物體相應(yīng)的形變?yōu)閺椥孕巫?。如果作用在物體上的外力很大，引起物體的形變也很大，那么除掉外力后物體就不能完全恢復(fù)到原樣，這種特性稱之為物體的塑性，例如汽車的外殼就是用金屬板模壓而成的，壓完后保持形狀不變?？偟膩碚f彈性及塑性都是物質(zhì)的重要特性，本章主要討論物體在彈性范圍內(nèi)的形變與外力之間的關(guān)系。 物質(zhì)是由大量的分子組成的，物質(zhì)的彈性來源于分子間的相互作用力，不過從宏觀上看可以把整個物體看成由原子、分子組成的連續(xù)媒質(zhì)，這時只需研究這種連續(xù)媒介整體受力與整體形變的關(guān)系，而不必考慮物體中每個分子受力的行為。8.1應(yīng)力與應(yīng)變 1)應(yīng)力 在外力的作用下物體內(nèi)分子之間的距離會發(fā)生變化從而引起物體內(nèi)分子間相互作用力的變化(也稱為物體內(nèi)力的變化)，這種內(nèi)力的變化會帶來物體體積的變化。為了從宏觀上描述這種內(nèi)力的變化與物體形狀變化之間的關(guān)系，假想在物體內(nèi)部任取一平面（面元的取向可以是任意的），此平面將物體分開為兩部份，若分布在此截面兩邊的內(nèi)力變化為f與，則定義平面上的應(yīng)力為（參見圖8.1.0） 。 （1） 在國際單位制中，應(yīng)力的單位為牛頓/米2，簡稱為帕。 對實際物體來說，如果受到的是拉力或壓力如圖8.1.1所示，常把假想平面的法線取為沿外力的方向，而把上式定義的應(yīng)力稱為張應(yīng)力或正應(yīng)力，當外力是壓力時（F= F）也稱為壓應(yīng)力統(tǒng)一用 t 表示。顯然在圖8.1.1中假想平面A兩邊內(nèi)力的變化，故張應(yīng)力的大小就是 。 如果作用在物體上的外力是力偶，如圖8.1.2所示，常把假想平面A取為與外力平行，而把（1）式定義的應(yīng)力稱為切應(yīng)力或剪應(yīng)力用t表示，它形象地表示出外力偶對物體的剪切效應(yīng)。顯然在8.1.2圖中假想平面兩邊內(nèi)力的變化，所以假想平面上剪應(yīng)力的大小 。 由此看出剪應(yīng)力與張應(yīng)力的差別只是應(yīng)力t在平行于假想平面還是在垂直于假想平面上投影，但它們的作用效果完全不同。 應(yīng)力的概念對液體的表面也適用，如圖8.1.3所示。不過液體的形狀不是固定的它隨容器的形狀變化，而且靜止的液體表面只能承受壓應(yīng)力而不能承受剪應(yīng)力。另外，液體表面的壓應(yīng)力也稱為壓強用p表示。如果液體表面的面積為S，液面表面正壓力增加F則液體表面的壓強（應(yīng)力）改變 。 2）應(yīng)變 當物體受外力作用時其長度、形狀及體積都可能發(fā)生變化，這種變化與物體原來的長度、形狀及體積之比稱為應(yīng)變。每一種應(yīng)力都有一對應(yīng)的應(yīng)變，我們把張應(yīng)力作用引起的應(yīng)變稱為張應(yīng)變。設(shè)有一柱狀物體（見圖8.8.1）原來的長度為L0，兩端施以大小相等而反向的拉力 F后物體的長度變?yōu)長，這時柱體的伸長量為LL0，由定義 。 在柱體受壓力的情況下，上式也稱為壓應(yīng)變。 物體受剪應(yīng)力作用產(chǎn)生的應(yīng)變叫做切應(yīng)變。為方便起見，設(shè)物體為一矩形物 體如圖8.1.4所示，圖中虛線表示物體原來的形狀，受到剪應(yīng)力后物體的形狀變成實線所示的形狀。剪應(yīng)力產(chǎn)生的應(yīng)變大小可用角形變f確定，在彈性范圍內(nèi)f角實際上很小，可以用和Lo的比值表示（以弧度為單位）。由圖8.1.4看出剪應(yīng)變也可以看成是沿物體對角線方向的拉伸與壓縮形變。我們定義 。 液體表面的壓強變化也能使液體產(chǎn)生壓縮形變，而液體的形變通常是體積形變。我們定義液體的體積變化與原體積比值為液體的體積應(yīng)變，即 。 由應(yīng)變的定義可知，三種應(yīng)變都是沒有單位的純數(shù)。8.2胡克定律 1)物質(zhì)的彈性 要想知道物質(zhì)彈性的特點可以進行各種實驗。拉伸實驗是一個即簡單又典型的 實驗，通過實驗可以找到物體內(nèi)部應(yīng)力與物體應(yīng)變之間的關(guān)系。 圖8.2.1表示拉伸實驗過程中樣品的拉伸曲線。在拉力不太大時，（應(yīng)力在1點 下方）應(yīng)力與應(yīng)變顯線性關(guān)系，不同材料的斜率有所不同，但基本性質(zhì)卻是一 樣的。1點稱為比例極限位置，超過這一點應(yīng)力與應(yīng)變不再呈正比變化。應(yīng)力 變化時應(yīng)變比開始變化更大。雖然應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系在1點與2點 之間不再是線性關(guān)系，但是當外力撒去后樣品仍能恢復(fù)到原來形狀，因此2點也稱為彈性極限。當物體內(nèi)應(yīng)力超過2點以后，除去外力后物體的形狀不能完全恢復(fù)到原有的狀態(tài)，有剩余形變存在屬于塑性范圍不再過多分析。對一般材料而言，比例極限與彈性極限的位置靠得很近，在精度要求不高的情況下，可以 視比例極限為彈性極限。 從實驗得出的結(jié)論是：在比例極限范圍內(nèi)，物體內(nèi)部的應(yīng)力與物體的應(yīng)變 成正比。應(yīng)力的這一變化范圍稱為物體的彈性范圍，物體在彈性范圍內(nèi)發(fā)生 的形變稱之為彈性形變，應(yīng)力與應(yīng)變之間的比例系數(shù)稱之為物體的彈性模量。 由于應(yīng)變是無量綱的純數(shù)，所以在國際單位制中彈性模量的單位是牛頓/米2或 者帕Pa。 2)胡克定律 在彈性范圍內(nèi)任一彈性體內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變成正比，比例系數(shù)為彈性體的彈性 模量，這一結(jié)論稱為胡克定律。它是從大量的實驗中總結(jié)出來的，不僅對張 應(yīng)力成立對剪應(yīng)力也成立，下面就來分析胡克定律的幾種常見表達式。 如圖8.1.1所示，物體受到拉力或壓力時會發(fā)生拉伸或壓縮形變，通常把描述 彈性體的拉伸或壓縮彈性模量稱為揚氏模量用Y 表示，于是描述張應(yīng)力與張應(yīng)變關(guān)系的胡克定律可寫成。 物體受剪應(yīng)力時（如圖8.1.2），我們把物體橫向彈性形變的彈性模量稱為切 變模量用 G表示，這樣描述剪應(yīng)力與切應(yīng)變關(guān)系的胡克定律可表述為。 對液體表面的壓強變化引起的體積應(yīng)變，我們把壓強變化與體積應(yīng)變的比值 稱為液體的體積彈性模量用k表示，相應(yīng)的胡克定律就可以表示成 。 因為壓強增加時（Dp0）液體的體積減小，所以胡克定律中包含一負號。體積 彈性模量的倒數(shù)也稱為體積壓縮系數(shù)，按照上式壓縮系數(shù)可定義為 。 由此看出體積壓縮系數(shù)是增加單位壓強時體積的相對變化，也就是增加單位壓 強時的體積應(yīng)變量。 為了對彈性模量的大小有一個數(shù)量級的概念，附表中給出了幾種常見材料的彈性模量，單位是牛頓/米2。一般材料的彈性模量數(shù)值可以通過查閱手冊的方式得到。物體的一般形變都可以看成物體的兩種基本彈性形變的組合形式即伸縮與切變，例如彎曲和扭轉(zhuǎn)等。表8-1 常用材料的彈性模量 材料楊氏模量 切變模量 鋼20101081010 鍛鐵19101071010 銅11101041010 鋁710102.41010 鉛1.310100.51010 8.3 物體的拉伸與壓縮 泊松比 1)泊松比當物體受一對大小相等方向相反的拉力時，物體不僅沿外力的方向會伸長，垂直于外力方向上（橫向）尺寸也會縮短。如柱狀物體兩端受到拉力時，沿拉力方向物體的尺寸會伸長，而垂直于拉力方向上物體的尺寸會縮短。一般來說，當物體受拉力或壓力時除了縱向（沿拉力方向）會發(fā)生應(yīng)變以外，橫向也會有應(yīng)變。通常把同一物體的橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變的比值定義為物體的泊松比用h表示 。 式中的負號表示橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變的符號相反，若縱向應(yīng)變增加則橫向應(yīng)變 減小，縱向長度縮小橫向?qū)挾染驮龃?，泊松比保持為一正值。實驗資料表明， 大多數(shù)物質(zhì)的泊松比在0.3左右。 2)固體的拉伸 為進一步了解泊松比的意義和它在固體彈性形變中的作用，我們來討論物體在 拉伸后體積的變化。假定物體為六面體，在無外力作用時三邊的長度分別為a，b，c。設(shè)有一對大小相等方向相反的拉力F（對壓力F= F）作用于物體的上 、下兩個面，見圖8.3.1。如果沿拉力的方向上物體伸長了a其應(yīng)變量為 ， 由胡克定律 ， 可以求出沿拉力方向上物體的應(yīng)變 。 雖然拉力只是沿z軸方向，但物體在橫向即x軸方向和y軸方向也會產(chǎn)生應(yīng)變。橫向應(yīng)變的大小可用泊松比計算 ， 及 。 當縱向拉長（Da0）時，橫向Db、Dc減少。物體原來的體積是v=abc，.拉伸后體積改變量為 ， 于是體積應(yīng)變 。 利用前面兩式得 , 上式說明體積應(yīng)變與張應(yīng)變是可以通過泊松比相聯(lián)系的。一般情況下，泊松比 h的值總是小于0.5的，所以張應(yīng)力作用下體積應(yīng)變總是正值，也就是說物體受到拉伸的情況下物體的體積總是增大的。反之，當物體受壓力作用時為負數(shù)，物體的體積總是減少的，這時體積應(yīng)變?yōu)?3）壓縮系數(shù) 現(xiàn)在設(shè)想上面提到的六面體是正六面體，為方便起見，假定立方體六個面的 表面積均為A。如果在六面體的每個表面施加正壓力F，這時在六面體的六個 面上都有同樣大小壓應(yīng)力的作用（其大小為F/A），物體總體積應(yīng)變?yōu)橐粚?應(yīng)力的3倍，由上式知道這時立方體的體積應(yīng)變?yōu)?。 注意到物體表面的正壓力F與壓強的關(guān)系是，于是上面的式子還可表 示成 。 由體積彈性模量的定義 ， 可以得到下式 。 這就是體積彈性模量與揚氏模量之間的關(guān)系，它們可由泊松比聯(lián)系。另外，根 據(jù)彈性理論還可以證明揚氏模量與切變模量有如下關(guān)系 。 當然，也可反過來用切變模量及體積彈性模量表示揚氏模量與泊松比 ， 。 8.4彎曲與扭轉(zhuǎn) 1)橋梁的彎曲當橋梁負載重量時就會發(fā)生彎曲。為方便起見，假定橋梁的橫截面為矩形（其高度為h寬度為b），橋梁的長度為d，兩端點支撐力為N1、N2，橋梁全部負荷為P。橋梁受力后會發(fā)生彎曲形變?nèi)鐖D8.4.1所示。假定全部負荷集中在橋梁的 中點，于是。為分析橋梁內(nèi)部的應(yīng)力，在橋梁中點假想截面cc把橋梁從中間分開，成為左右兩段。從圖8.4.1中可以看出，以cc為參照點，兩段各受一方向彼此相反的力偶矩，其大小為，此力矩是橋梁的兩端點處外力引起的記為N外。 當橋梁處于平衡狀態(tài)時，橋梁的橫截面cc上必有一內(nèi)力矩與外力矩大小相等、方向相反。為了分析內(nèi)力矩，設(shè)想將橋梁分成上下許多層，當橋梁向上彎曲時，上層受到壓縮下層被拉伸，中間可視可無應(yīng)變（力）的中性層。cc面上的張應(yīng)力分布如圖8.4.1 所示，上層有壓應(yīng)力下層有張應(yīng)力，總的效果相當于一個力偶矩，這就是橋梁的內(nèi)力矩N內(nèi)。為了計算N內(nèi)，首先分析橋梁的應(yīng)變，設(shè)彎曲橋梁的曲率半徑為R，曲率中心位于o點。如圖8.4.1所示，橋梁對c點所張的角為q = d/R，其中d是梁的長度。在cc面上以中性層為坐標原點，取z軸沿橋、 梁高度方向，則坐標為z處那一層的長度q(R-z)=d(R-z)/R=d-dz/R。這樣該層的長度變化Dd=-dz/R，相應(yīng)的應(yīng)變?yōu)镈d/d=-z/R ，由胡克定律DF/DA=YDd/d=-zY/R。對高度dz的一層橫截面積dA=bdz，所以該面上的作用內(nèi)力dF= -(zbY)/R dz，這個力對坐標原點（o點）的力矩 dN= z dF= -(z2bY) /R dz，于是作用在整個假想面上的總內(nèi)力矩 ， 負號表示內(nèi)力矩與外力矩方向相反。由于橋梁平衡時受到的外力矩必定與內(nèi)力矩相等，即有，由此求得橋梁的曲率 。 上式表明在一定的負荷下，橋梁的彎曲程度與橋梁的寬度一次方和梁高度的三次方成正比。由此可見，為提高橋梁的抗彎曲能力增加橋梁的高度比增加橋梁的寬度更有效。另外，橋梁的中性層對抗彎能力沒有多大的影響，故在工程中廣泛采用工字鋼，空心鋼管等構(gòu)件，即能保證不影響梁的抗彎曲能力又能減輕重量節(jié)約材料。 2)桿的扭轉(zhuǎn) 在一根桿的兩端沿著桿的方向施以反向的扭轉(zhuǎn)力矩時，桿就會發(fā)生彈性扭轉(zhuǎn)形變。任何傳遞能量的轉(zhuǎn)動軸上都可以出現(xiàn)這種扭轉(zhuǎn)情況，例如汽車的傳動軸，電動機的轉(zhuǎn)動軸上都有扭轉(zhuǎn)力矩，我們平時開啟螺旋瓶蓋，扭干洗過的衣服都屬于扭轉(zhuǎn)情況。這里我們以棒的扭轉(zhuǎn)為例討論扭轉(zhuǎn)過程的力學規(guī)律。 將棒的上端固定，在下端加一力矩N，這時整個下端的截面相對上端的截面扭轉(zhuǎn)了角。如圖8.4.2所示，可以認為力矩的切向力是分布在整個截面上的。 設(shè)想在棒的內(nèi)部取一半徑為厚度為dr假想截面，作用在此面上的切向力記為dF。扭轉(zhuǎn)的結(jié)果使直線AB轉(zhuǎn)到AC的位置，使下底相對上頂產(chǎn)生一切應(yīng)變，作用于此截面上的應(yīng)力由胡定律 ， 而dF對圓心的力矩