《 拋物線的性質(zhì)》 第二課時教學案例.doc

幾何畫板技術(shù)與教學實際的整合 拋物線的性質(zhì)第二課時教學案例饒慶軍背景分析: 本節(jié)課是在學生學習了拋物線的基本性質(zhì)的基礎上進行的，是對拋物線的性質(zhì)在運用上的進一步的認識。既要注重知識的前后聯(lián)系，也要體現(xiàn)了知識的靈活性、趣味性和創(chuàng)新性特點。教學中力求實現(xiàn)以教師為主導，以學生為主體，充分結(jié)合多媒體技術(shù)，以“形”為誘導，以拋物線的三種弦為載體，以培養(yǎng)學生的思維能力，探究能力為重點的教學思想。數(shù)形結(jié)合的思想始終貫穿其中，體現(xiàn)了新課標的一些基本理念。教學目標:知識目標：拋物線的相關(guān)的基本性質(zhì)。能力目標：對拋物線的基本性質(zhì)進行簡單乃至較復雜的運用。情感與態(tài)度目標：通過數(shù)形結(jié)合提高學習數(shù)學的興趣，體現(xiàn)數(shù)學的美學價值。教學重點及難點：圍繞拋物線的一些基本性質(zhì)解決拋物線的三種弦的相關(guān)問題。教學關(guān)鍵：如何利用多媒體技術(shù)與教學實際進行整合。教學方法：啟發(fā)引導，創(chuàng)設情景，注重探究。案例過程：如圖1投影一條帶有垂直于對稱軸的弦拋物線的圖象。并拖動這條弦，且使弦始終與對稱軸垂直。學生很驚奇這一動態(tài)的演示。師：這是一條拋物線的垂直于對成軸的弦，大家一定很奇怪這條動態(tài)的弦是怎么作出來的。教師演示：在拋物線上任取原點除外的一點。以x軸為鏡面反射出另一點，然后連接這兩點，作出這條弦。師：大家有沒有發(fā)現(xiàn)我在作這條弦時用到了拋物線的那條性質(zhì)呢？生：拋物線的對稱性。師：很好，今天我們就先來研究拋物線的第一種特殊弦-和對稱軸垂直的弦。連接拋物線的頂點和該弦的兩個端點，并投影出問題1：已知拋物線y2=2px（p0）,弦ABx軸,AOB=60o，求弦AB的長.（如圖2） 學生很快利用該弦的特點和拋物線的對稱性解出AB=2yA=4p.師：那么以拋物線的頂點0為一個頂點的內(nèi)接正三角形OAB的邊AB一定關(guān)于拋物線的對稱軸對稱嗎？接著投影出問題2：已知點A、B為拋物線y2=2px(p0)上兩點，若|OA|=|OB|, 求證:弦ABx軸.一名同學也很快利用點A、B在拋物線上，它們的坐標滿足拋物線的方程，以及條件|OA|=|OB|，證出|yA|=|yB|,即弦ABx軸. 師：以上兩個問題其實是我對教材121頁的例3所給問題的一個分解，該問題可以充分利用拋物線的與對稱軸垂直的弦的特點，來解決拋物線內(nèi)接正三角形的邊長問題，但邊AB與x軸垂直是要證明的，這也充分體現(xiàn)了數(shù)學解題思維的嚴謹性，當然我們以后還是可以直接利用這一結(jié)論的。如圖3再投影一條帶有焦點弦的拋物線的圖象。并拖動這條弦，且使弦始終過焦點。學生對新的動態(tài)演示又產(chǎn)生很高的興趣。師：這是拋物線的一條焦點弦，大家也一定好奇這條弦我又是如何作出來的。其實我開始作了一個嘗試，但是卻失敗了。演示：在拋物線上取頂點外一點，并與焦點F確定一條直線，結(jié)果該直線與拋物線的另一個交點卻顯示不出來，隱藏了直線就無法連出焦點弦。師：看來作出該直線與拋物線的另一個交點是作出焦點弦的關(guān)鍵，不過這次我先不演示我的做法，大家先看我給出的幾個問題，在解決了這幾個問題之后便會知道我是如何作出來的。問題1：已知拋物線y2=2px(p0)，過通徑AB的端點B作BQ平行x軸交準線于Q點，求證：A、0、Q三點共線. （如圖4）學生利用A（,p）,O(0,0),Q(,-p),得出kAO=kBO,從而證出A、0、Q三點共線.拖動A點，把通徑變成一條一般的焦點弦（圖5），并投影出問題2：已知拋物線y2=2px(p0)，過焦點弦AB的端點B作BQ平行x軸交準線于Q點，求證：A、0、Q三點共線.由于失去了通徑的特殊性，學生按照問題1的思路雖可設出A（x1,y1）,O(0,0),Q(,y2), 及算出kAO= =, kBO=,如何證明 kAO=kBO還是存在障礙，此時點撥利用教材習題中拋物線的一個很隱蔽的性質(zhì)結(jié)論，即以x軸為對稱軸的拋物線的焦點弦的端點的縱坐標之積y1 y2=-p2,該問題便迎刃而解了。師：問題2還可以引申出幾個變式問題，都可利用結(jié)論y1 y2=-p2加以解決，例如變式1：已知拋物線y2=2px(p0)，過焦點的直線與拋物線交于AB兩點，經(jīng)過點A和拋物線頂點的直線交準線于點Q，則BQ平行x軸（教材習題）. 變式2：已知拋物線y2=2px(p0)，點A是拋物線上除頂點外任意一點，直線AO交準線于Q點，過Q作x軸的平行線，交直線AF于B點，則點B必在拋物線上。（如圖6）師：變式2其實已經(jīng)幫我們把AF與拋物線的另一個交點作出來了。下面我給大家作個演示。演示：在拋物線上取頂點外一點A，并與焦點F確定一條直線AF，再連結(jié)AO交準線于Q點，過Q作x軸的平行線，交直線AF于B點，用線段連接A、B兩點，然后隱藏直線AQ、BQ和AB，一條漂亮的動態(tài)的焦點弦便作了出來！如圖7再投影一條帶有定長弦的拋物線的圖象，拖動定長弦，并讓學生觀察弦的特點。師：該弦有什么特征？生：運動過程中長度保持不變。師：不錯，該弦是長度不變的動弦，我們可以稱其為定長弦，對于定長弦也有一個很經(jīng)典的問題，大家請看問題：已知拋物線y2=2px(p0)，動弦AB的長為定值m(m2p)，求AB中點M橫坐標的最小值.經(jīng)過一段時間思考，學生普遍感到手足無措，無從下手。師：由于這種弦只是長度不變，缺乏與x軸垂直或過焦點的特殊性,確實很難入手，但請大家觀察，現(xiàn)在我連結(jié)AF和BF，這兩條線段可稱作什么？（如圖8）生：焦半徑。師：而且當AB不過焦點時，A、B、F三點確定一個三角形，現(xiàn)在大家能否利用三角形的三邊的關(guān)系定理及焦半徑公式找出AB中點坐標與線段AB長度的關(guān)系？于是有學生很快得出|AB|師：這樣顯然是沒有最小值的，該不等式能取到等號嗎？生：可以，當該弦剛好過焦點時。師：定長弦在運動過程中一定能保證可以過焦點嗎？生：不一定，過焦點的弦不應小于通徑，而該題目已經(jīng)給出了該定長弦不小于通徑的條件。師：很好，問題解決了，可能同學們還有一個疑問，這種弦老師又是怎么作出來的，不過這次老師可能會讓大家失望了，因為這種弦的制作方法相當復雜，老師只是利用別人的成果，老師希望你們能刻苦學習，將來青出于藍而勝于藍。案例分析信息技術(shù)在教學中的應用，給傳統(tǒng)教學內(nèi)容結(jié)構(gòu)帶來了強大的沖擊。那些強調(diào)知識內(nèi)在聯(lián)系、基本理論、與真實世界相關(guān)的教學內(nèi)容變得越來越重要，教學過程的多媒化，利用多媒體，尤其是超媒體技術(shù)，建立教學內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化、動態(tài)化、形象化表示也日益受到重視。計算機輔助教學進人數(shù)學課堂，可使抽象的概念具體化、形象化，尤其是計算機能進行動態(tài)的演示，彌補了傳統(tǒng)教學方式在直觀感、立體感和動態(tài)感等方面的不足，利用這個特點可處理其他教學手段難以處理的問題，并能引起學生的興趣，增強他們的直觀印象，為教師化解教學難點、突破教學重點、提高課堂效率和教學效果提供了一種現(xiàn)代化的教學手段。幾何畫板作為一種數(shù)學教學應用技術(shù)軟件，也為學生提供自我動手、探索問題的機會：當面對問題時，學生可以通過思考和協(xié)作，提出自己的假設和推理，然后用幾何畫板進行驗證；此外，學生還可以使用幾何畫板自己做實驗來發(fā)現(xiàn)、總結(jié)一些數(shù)學規(guī)律和數(shù)學現(xiàn)象。計算機輔助教學進人課堂，可使抽象的概念具體化、形象化，尤其是計算機能進行動態(tài)的演示，彌補了傳統(tǒng)教學方式在直觀感、立體感和動態(tài)感等方面的不足，利用這個特點可處理其他教學手段難以處理的問題，并能引起學生的興趣，增強他們的直觀印象，為教師化解教學難點、突破教學重點、提高課堂效率和教學效果提供了一種現(xiàn)代化的教學手段。當然，信息技術(shù)在數(shù)學課堂教學的運用一定要緊扣教學目標和教學內(nèi)容，要根據(jù)不同的教學目標和教學內(nèi)容的特點去選擇、運用不同的信息技術(shù)，充分發(fā)揮其在教學上的優(yōu)勢.本案例先通過幾何畫板演示拋物線一條動態(tài)的垂直于對稱軸的弦，首先引起學生的好奇心，通過對該弦的作法的展示，融入拋物線的相關(guān)的對稱性質(zhì)，達到復習舊知的目的。在結(jié)下來的教學過程中，還巧妙地將教材的例題進行分解，而不是照本宣科利用教材的例題，結(jié)合幾何畫板作圖，由淺入深，充分調(diào)動學生思考問題的積極性，并培養(yǎng)學生的思維的嚴謹性。在以后的每次新問題的出現(xiàn)，都通過展示拋物線的幾種特殊弦，設置該種弦的作法的懸念，引發(fā)學生探究數(shù)學問題的愿望。而在問題的設置上，又充分利用幾