仿真三數(shù)學(xué)理

普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試仿真試卷（三）數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類本試卷分第卷(選擇題共60分)和第卷(非選擇題共90分),考試時(shí)間為120分鐘,滿分為150分.第卷（選擇題共60分）注意事項(xiàng)：1.答第卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目用鉛筆涂在答題卡上.2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，不能答在試題卷上.3.考試結(jié)束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回.參考公式:如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互獨(dú)立，那么P（AB）=P（A）P（B）如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率Pn(k)=pk(1p)nk球的表面積公式S=4R2,其中R表示球的半徑球的體積公式V=R3,其中R表示球的半徑一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.若a1且ax+logayay+logax,則x、y之間的關(guān)系為A.xy0B.x=y=0C.yx0D.不能確定,與a取值有關(guān)解析: 構(gòu)造函數(shù)f(x)=logaxax,a1,顯然f(x)是(0,+)上的增函數(shù),由ax+logayay+logaxlogaxaxlogayay,xy0.答案: A2.復(fù)數(shù)z滿足條件:|2z+1|=|zi|,那么z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線解析: 解法一:原等式化為2|z+|=|zi|,即動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之比為不等于1的常數(shù),所以動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓.解法二:可設(shè)z=x+yi(x、yR),代入已知等式計(jì)算可得3x2+3y2+4x+2y=0,此方程為圓的方程.答案: A3.已知直線ax+by+c=0(abc0)與圓x2+y2=1相離,則以|a|、|b|、|c|為邊的三角形是A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形解析: 直線ax+by+c=0與圓x2+y2=1相離,1.c2a2+b2.答案: C4.如圖,在三棱錐PABC中,側(cè)面PAC與底面ABC所成的二面角為120,ABC為邊長是2的正三角形,PA=3,若PBAC,則P到底面ABC的距離等于A.B.C.2D.2解析: 作PO面ABC,O為垂足,連結(jié)OB交AC于D.連結(jié)PD,PBAC,ACBD.AC面PDB.ACPD.PDB為側(cè)面PAC與底面ABC所成的二面角.PDB=120,PDO=60.ABC為邊長是2的正三角形,AD=1.又PA=3,PD=2.在POD中,PO=PDsin60=2=.答案: A5.若=2,則ab等于A.6B.6C.16D.10解析: 易知x2+ax+b含x2的因式,可設(shè)x2+ax+b=(x2)(x+c),則原式=2,即=2,c=4x2+ax+b=(x2)(x+4)a=2,b=8.答案: C6.關(guān)于甲、乙、丙三人參加高考的結(jié)果有下列三個(gè)正確的判斷:若甲未被錄取,則乙與丙都被錄取;乙與丙中必有一人未被錄取;或者甲未被錄取,或者乙被錄取.則三人中被錄取的是A.甲B.丙C.甲與丙D.甲與乙解析: 解法一:設(shè)A、B、C分別表示“甲被錄取”“乙被錄取”“丙被錄取”三個(gè)命題.則判斷為非AB且C;判斷為非B或非C為真;判斷為非A或B為真.的逆否命題為非B或非CA,結(jié)合可知A為真,即甲被錄取.由A真可知非A為假,結(jié)合可知B為真,即乙被錄取.解法二:根據(jù)判斷.若甲未被錄取,則乙與丙都被錄取,這與矛盾.故甲被錄取.由于正確,故“甲未被錄取”與“乙被錄取”中至少一個(gè)正確.由于“甲未被錄取”不正確,故“乙被錄取”正確.答案: D7.定義兩種運(yùn)算:ab=;ab=,則函數(shù)f(x)=是A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.奇函數(shù)且偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)解析: 依定義:f(x)=|x|2且x0,f(x)=為奇函數(shù).答案: A8.已知當(dāng)x、yR+時(shí),f(xy)=f(x)+f(y),若x1,x2,x2005R+,且f(x1x2x2005)=8,則f(x12)+f(x22)+f(x20052)的值為A.4B.8C.16D.32解析: 由已知可得f(x1)+f(x2)+f(x2005)=8,又f(x12)+f(x22)+f(x20052)=2f(x1)+f(x2)+f(x2005)=28=16.答案: C9.橢圓以正方形ABCD的對(duì)角頂點(diǎn)A、C為焦點(diǎn),且經(jīng)過各邊的中點(diǎn),則橢圓的離心率為A.()B.(2)C.()D.(2)解析: 設(shè)正方形ABCD的邊為長1,則AC=2c=,c=,2a=|PA|+|PC|=+, a=+,e=().答案: C10.圖中的曲線是以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓的一部分,則這一曲線的方程是A.(x+)(y+)=0B.(x)(y)=0C.(x+)(y)=0D.(x)(y+)=0解析: 曲線是右半單位圓和下半單位圓的并集,右半單位圓方程是x=0(x0);下半單位圓方程是y+=0(y0).答案: D11.一元二次方程x2+bx+c=0中的b、c分別是骰子先后兩次擲出的點(diǎn)數(shù),則該方程有實(shí)數(shù)根的概率為A.B.C.D.解析: 一枚骰子先后擲兩次,其基本事件(b,c)的總數(shù)是36,且是等可能的.方程有實(shí)根的充分必要條件是b24c0,即c,滿足該條件的基本事件的個(gè)數(shù)為:b=1時(shí)有0個(gè);b=2時(shí)有1個(gè);b=3時(shí)有2個(gè);b=4時(shí)有4個(gè);b=5時(shí)有6個(gè);b=6時(shí)有6個(gè),共19個(gè).答案: C12.若函數(shù)f(x)=Asin(x+)(0,A0,0的部分圖象如下圖所示,則f(0)+f(1)+f(2)+f(2005)的值為A.0B.1C.2D.1解析: 由題意有A=,sin(+)=0,sin(+)=,=,=,f(x)=sin(+),最小正周期T=4,f(0)=1,f(1)=1,f(2)=1,f(3)=1.原式=f(0)+f(1)=2.答案: C普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試仿真試卷數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類（三）第卷（非選擇題共90分）注意事項(xiàng)：1.第卷共6頁，用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷上.2.答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚.二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上）13.函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的部分?jǐn)?shù)值如下:x3210123456y802404001660144296則函數(shù)y=lgf(x)的定義域?yàn)開.解析: 由f(x)的解析式可知f(x)圖象連續(xù)及f(x)的單調(diào)性可確定,在(1,1)和(2,+)上均有f(x)0.答案: (1,1)(2,+)14.在排球比賽中,使用的規(guī)則是“五局三勝”制,即最多打五局,有一個(gè)隊(duì)勝三局則為勝方,在每局比賽中,A、B兩隊(duì)獲勝的概率分別為、,則最終B隊(duì)獲勝的概率是_.解析: B隊(duì)獲勝的形式可以有三種:32獲勝,31獲勝,30獲勝.32獲勝,必須打滿5局,且最后一局是B隊(duì)勝,故32獲勝的概率為P=()2()2=.31獲勝,只需打4局,且最后一局是B隊(duì)勝,故31獲勝的概率為P=()2=.30獲勝,則必須第13局B均勝才行,故30獲勝的概率為P=()3=.B隊(duì)獲勝的概率為+=.答案: 15.定義非空集合A的真子集的真子集為A的“孫集”,則集合1,3,5,7,9的孫集的個(gè)數(shù)為_.解析: +1=26.答案: 2616.有下列4個(gè)命題:在(2x3)7的展開式中,常數(shù)項(xiàng)是第6項(xiàng);在ABC中,若AB,則cos2Acos2B;若二次函數(shù)f(x)=x2x+a滿足f(m)0,則f(1m)0;若空間四邊形ABCD的各邊及兩條對(duì)角線長均為a,則2=a2.以上命題中真命題的序號(hào)為_.解析: 展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=(1)r27r(r=0,1,2),令21r=0得r=6,即常數(shù)項(xiàng)為T7,假.在ABC中,ABab2RsinA2RsinB0sin2Asin2Bcos2Acos2B,真.由拋物線y=f(x)=x2x+a的對(duì)稱性知點(diǎn)(m,f(m)和點(diǎn)(1m,f(1m)關(guān)于直線x=對(duì)稱,f(1m)=f(m)0,真.連結(jié)空間四邊形ABCD的對(duì)角線ACBD后,得棱錐ABCD是棱長為a的正四面體,在側(cè)面ABC內(nèi), 與的夾角為120,2=a2,假.答案: 三、解答題（本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.(本小題滿分12分)已知a=(1,2),b=(m,n),其中mn+1,若ab,試求(a+b)(a2b)的最大值.解:aa,ab=0,m+2n=0,m=2n.由mn+1得2nn+1,n.又(a+b)(a2b)=|a2|2|b|2=52(m2+n2)=510n2.10分(a+b)(a2b)的最大值為510()2=.12分18.(本小題滿分12分)函數(shù)f(x)=(sinx+acosx)(aR,0),已知f(x)=f(x),f(x)=f(x+).(1)求f(x);(2)若m24n0,m、nR,求證:“|m|+|n|1”是“方程f2(x)+mf(x)+n=0在(,)內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根”的充分不必要條件.(1)解:由f(x)=f(x+),知f(x)的周期為2,即f(x)=f(x+2),=1.又f(x)=f(x),f(0)=f(),即(sin0+acos0)=(sin+cos),解得a=.f(x)=(sinx+cosx)=sin(x+).5分(2)證明:令f(x)=t,g(t)=t2+mt+n.由|m|+|n|1,得|m+n|m|+|n|1,m+n1.同理由|mn|m|+|n|1,得mn1.顯然g(1)=m+n+10,g(1)=1m+n0.又(1,1)(|m|m|+|n|1),=m24n0,二次方程t2+mt+n=0的兩個(gè)實(shí)根在(1,1)中.反之,令m=,n=,則方程t2+t+=0在t(1,1)上有兩個(gè)不等實(shí)根,即方程sin2(x+)+sin(x+)+=0在(,)內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根.但|m|+|n|=+=1,故“|m|+|n|1”是“方程f2(x)+mf(x)+n=0在(,)內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根”的充分不必要條件.12分19.(本小題滿分12分)如圖,PA平面AC,四邊形ABCD是矩形,E、F分別是AB、PD的中點(diǎn).(1)求證:AF平面PCE;(2)若二面角PCDB為45,AD=2,CD=3,求點(diǎn)F到平面PCE的距離;(3)在(2)的條件下,求PC與底面所成的角.解法一:(1)證明:取PC中點(diǎn)M,連結(jié)ME、MF,則MFCD,MF=CD.又AECD,AE=CD,AEMF且AE=MF.四邊形AFME是平行四邊形.AFEM.AF平面PCE,AF平面PCE.4分(2)解:PA平面AC,CDAD,CDPD.PDA是二面角PCDB的平面角,即PDA=45.PAD是等腰直角三角形.AFPD.又AFCD,AF平面PCD,而EMAF,EM平面PCD.又EM平面PEC,面PEC面PCD.在平面PCD內(nèi)過F作FHPC于H,則FH就是點(diǎn)F到平面PCE的距離.由已知,PD=2,PF=,PC=,PFHPCD,=.FH=.8分(3)解:PA平面ABCD,AC是PC在底面上的射影.PCA就是PC與底面所成的角.由(2)知PA=2,PC=,sinPCA=,即PC與底面所成的角是arcsin.12分解法二:(1)證明:取PC中點(diǎn)M,連結(jié)EM,=+=+=+(+)=+=+ +=,AFEM.又EM平面PEC,AF平面PEC,AF平面PEC.4分(2)解:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以、所在直線為x、y、z軸建立坐標(biāo)系.PA平面AC,CDAD,CDPD.PDA是二面角PCDB的平面角,即PDA=45.A(0,0,0)、P(0,0,2)、D(0,2,0)、F(0,1,1)、E(,0,0)、C(3,2,0).設(shè)平面PCE的法向量為n=(x,y,z),則n,n,而=(,0,2),=(,2,0),x+2z=0,且x+2y=0.解得y=x,z=x.取x=4,得n=(4,3,3).又=(0,1,1),故點(diǎn)F到平面PCE的距離為d=.8分(3)解:PA平面ABCD,AC是PC在底面上的射影.PCA就是PC與底面所成的角.=(3,2,0),=(3,2,2).cosPCA=,sinPCA=,即PC與底面所成的角是arccos.12分20.(本小題滿分12分)如圖,給出了一個(gè)三角形數(shù)陣,已知每一列的數(shù)成等差數(shù)列,從第3行起,每一行的數(shù)成等比數(shù)列,每一行的公比都相等.記第i行第j列的數(shù)為aij(ij,i、jN*).,(1)試寫出aij關(guān)于i、j的表達(dá)式,并求a83;(2)設(shè)這個(gè)數(shù)陣共有n行,求數(shù)陣表中的所有數(shù)之和.解:(1)由條件易知第i行的第1個(gè)數(shù)為ai1=+(i1)=,第i行的第j個(gè)數(shù)為aij=()j1,a83=()2=.6分(2)設(shè)數(shù)陣中第n行的所有數(shù)之和為An,則An=(1+)=.設(shè)所求數(shù)之和為P,則P=(1+2+n) (121+222+n2n).設(shè)S=121+222+323+n2n,則=122+223+324+n2(n+1)=n2(n+1)=1,則P=(1),=+1=+.12分21.(本小題滿分12分)已知A(2,0)、B(2,0),動(dòng)點(diǎn)P與A、B兩點(diǎn)連線的斜率分別為kPA和kPB,且滿足kPAkPB=t(t1且t0).(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C;(2)當(dāng)t0時(shí),曲線C的兩焦點(diǎn)為F1、F2,若曲線C上存在點(diǎn)Q使F1QF2120,求t的取值范圍.解:(1)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y),依題意得=ty2=t(x24)+=1.軌跡C的方程為+=1(x2).5分(2)當(dāng)1t0時(shí),曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,又|PF1|=r1,|PF2|=r2,則r1+r2=2a=4.在F1PF2中,|F1F2|=2c=4.F1PF2=120,由余弦定理,得4c2=r12+r222r1r2cos120=r12+r22+r1r2=(r1+r2)2r1r2(r1+r2)2()2=3a2,16(1+t)12.t.當(dāng)t0時(shí),曲