第二節(jié)：函數(shù)及其表示.doc

第二節(jié) 函數(shù)及其表示【知識結(jié)構(gòu)完形】知識體系內(nèi)容體系1函數(shù)的定義：一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種確定的 對應(yīng)關(guān)系 ，使對于集合A中的 任意一個(gè)數(shù),在集合B中都有 唯一確定的數(shù)與之對應(yīng)，那么就稱為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作其中叫做自變量，的取值范圍A叫做函數(shù)的 定義域；與的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的 值域。2映射的定義：一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合，如果按照某一個(gè)確定的 對應(yīng)關(guān)系，使對于集合A中的 任意一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱為從集合A到集合B的一個(gè)映射。3分段函數(shù)：在其定義域中，對于自變量 的不同取值范圍，對應(yīng)關(guān)系不同的函數(shù)叫做分段函數(shù)。分段函數(shù)是用幾個(gè)不同的部分表示的一個(gè) 完整函數(shù)，分段函數(shù)中的分段是相對于定義域而言的，它的實(shí)質(zhì)是將定義域分成幾段，各段的對應(yīng)法則不完全一樣4相等函數(shù)：定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致的兩個(gè)函數(shù)就稱為相等函數(shù)5映射是一種特殊的對應(yīng)，而函數(shù)又是一種特殊的映射，其特殊性在于，在中，A、B必須是非空數(shù)集6是關(guān)于的函數(shù)，一般情況下是一個(gè)變量；的一個(gè)特殊值，表示當(dāng)時(shí)的函數(shù)值，是一個(gè)常量7求函數(shù)解析式的常用方法：待定系數(shù)法、換元法、解方程組法考試說明：（1）通過豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用（2）了解映射的概念（3）在實(shí)際情景中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D像法、列表法、解析法）表示函數(shù)（3）了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域（4）了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用知識結(jié)構(gòu)對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)定義一一映射定義域值域列表法圖像法解析法函數(shù)及其表示映射函數(shù)的概念函數(shù)的表示法【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1近幾年的高考考查情況（1）從全國高考情況來看，本節(jié)知識是函數(shù)部分的基礎(chǔ)，主要以考查函數(shù)的定義域、解析式為主，以函數(shù)或分段函數(shù)為背景，結(jié)合方程、不等式等知識，考查學(xué)生處理綜合問題的能力，題型主要是選擇題和填空題，也有可能把定義一種新運(yùn)算作為考查方式（2）觀察近幾年的山東高考題，這部分主要以分段函數(shù)為背景結(jié)合方程、不等式等知識，考查學(xué)生分類討論的思想和運(yùn)算求解的能力2復(fù)習(xí)要求 本節(jié)需要1個(gè)課時(shí)；重點(diǎn)掌握的內(nèi)容是函數(shù)的概念（函數(shù)的定義域、解析式）和分段函數(shù)復(fù)習(xí)時(shí)要準(zhǔn)確把握函數(shù)的概念并能靈活應(yīng)用.掌握一些求解析式的常用方法，并會使用解析式求函數(shù)值.主要掌握的方法是：換元法、湊配法、待定系數(shù)法等【直擊訓(xùn)練】一、基礎(chǔ)題過關(guān)1（理）設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集合N，映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素，則在映射下，象11的原象是 （ ）A 2 B 3 C 4 D 5 1C 解析：由題意得故選C2（文理）函數(shù)的定義域?yàn)?（ ）A B C D2C解析：由選C3(理)函數(shù)滿足，則這樣的函數(shù)個(gè)數(shù)共有 （）A 1個(gè) B 2個(gè) C 3個(gè) D 4個(gè)3C 解析：利用列舉法滿足條件的函數(shù)有如下三個(gè)： 選C2BCAyx1O345612344(文理)如圖，函數(shù)的圖象是折線段，其中的坐標(biāo)分別為，則_ 40 解析：由圖知5（理）已知的解析式為_5解析：備選：1函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）A必有一個(gè) B1個(gè)或2個(gè) C至多一個(gè) D可能2個(gè)以上C 解析：由函數(shù)的定義知選C2已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域是（ ）A B C DC 解析：選C3已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)?（ ） A B C DD 解析：由題意知選D4若 2 解析： 二、能力培養(yǎng)題型一：映射與函數(shù)的概念例1：（文理）已知函數(shù)，分別由下表給出123131123321則的解集為 （ ）A B C D 【解析】【答案】 C【點(diǎn)評】(1)本題主要考查函數(shù)的概念，解題時(shí)注意兩個(gè)問題：一是對應(yīng)法則是什么？二是的含義；(2)函數(shù)的概念高考主要考查兩個(gè)問題：一是根據(jù)函數(shù)的三要素判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)；二是考查對函數(shù)符號、映射概念、函數(shù)概念的理解。準(zhǔn)確理解函數(shù)概念是解決函數(shù)概念問題的關(guān)鍵，函數(shù)是一種特殊的映射，對應(yīng)法則、定義域、值域是構(gòu)成一個(gè)函數(shù)的三要素變式：（） B解析：題型二：求函數(shù)的定義域問題例2： （1）求函數(shù)的定義域 （2）若函數(shù)的定義域?yàn)?，求及的定義域【解析】（1）（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?函數(shù)的定義域?yàn)?又由得，函數(shù)的定義域?yàn)?【點(diǎn)評】（1）函數(shù)的定義域是高考?？嫉囊粋€(gè)重要知識點(diǎn)，求以解析式給出的函數(shù)定義域問題實(shí)際是轉(zhuǎn)化為一個(gè)解不等式或解不等式組問題；表達(dá)式未知的函數(shù)（我們也稱之為抽象函數(shù)）的定義域問題，除了注意函數(shù)定義域的定義外，還要注意對應(yīng)關(guān)系所作用的對象的取值范圍是不變的；（2）求函數(shù)定義域應(yīng)遵循以下幾條原則：分式的分母不為零；偶次根號下被開方式非負(fù)；在中底數(shù)；對數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不等于1；若是由幾部分構(gòu)成的，則應(yīng)采用交集法；實(shí)際問題結(jié)合變量的實(shí)際意義來確定，等等；（3）函數(shù)的定義域一般應(yīng)用集合或區(qū)間形式表示，在用區(qū)間表示時(shí)，要弄清區(qū)間端點(diǎn)的歸屬問題變式1：(文理)已知函數(shù)，則的定義域是 解析： 變式2：（理）若函數(shù)f(x) = 的定義域?yàn)镽，則的取值范圍為_題型三：求函數(shù)的解析式問題 例3：已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足 （I）若，求;又若，求; （II）設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，求函數(shù)的解析表達(dá)式 【點(diǎn)評】本題主要考查抽象函數(shù)求值和求函數(shù)解析式問題：解題的主要方法是賦值法。變式：定義在上的函數(shù)滿足（），則_，=_. 【解析】令，令；令，再令得 變式2：題型四：分段函數(shù)例5：（文理）函數(shù)，若則的所有可能值為_【解析】【答案】【點(diǎn)評】（1）由于f(x)是分段函數(shù)，先求出f（2）的值，再根據(jù)x的范圍表示出f(a),從而求出a.（2）分段函數(shù)一直是函數(shù)命題的一個(gè)熱點(diǎn)，每年必考，多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，也有時(shí)出現(xiàn)在解答題中，并和方程、不等式等知識聯(lián)系起來，綜合考查學(xué)生的各種能力。（）由于自變量在不同的取值范圍解析式不同，故分段函數(shù)把幾個(gè)基本初等函數(shù)綜合起來考查，也能很好地考查分類討論的思想。變式1：設(shè)（ ）A 0 B 1 C 2 D 3 解析f（f（1）f（2）1，選B變式2：已知是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是 （ ）A B C D C 解析：依題意，有0a1且3a10，解得0a，又三、測試訓(xùn)練1(理)對集合A=1，2，3，從A到A的映射的個(gè)數(shù)是 （ ） A 3 B 6 C 9 D 27 D 解析：因?yàn)閷τ贏的每一個(gè)元素都有三種對應(yīng)，而映射又可以有相同的象，故選D（文）集合映射滿足那么映射的個(gè)數(shù)是（ ） 4 5 6 7 D.解析：分兩類，一類是a,b,c皆與0對應(yīng)，即，共一個(gè)；另一類是一一對應(yīng)，共六個(gè)，兩類加在一起可知滿足條件的映射共有7個(gè).2（文理）下列四組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是（ ） A B C DA 解析：、C、D定義域不同3（文理）設(shè)函數(shù)則關(guān)于x的方程解的個(gè)數(shù)為（ ）A1B2C3D4C 解析：4（文理）已知f()=，則f (x)=（ ） A (1)2 B(1)2 C21 D21C解析：5（理）函數(shù)的定義域是 （ ）A B C DB 解析：由，故選B.6(文理)已知則不等式5的解集是 解析：7（文理）若函數(shù)則_.7.解析：，.8（理）對定義域分別是、的函數(shù)、，規(guī)定：函數(shù)（1）若函數(shù)，寫出函數(shù)的解析式；（2）求問題（1）中函數(shù)的值域；（3）若，其中是常數(shù)，且，請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，及一個(gè)的值，使得，并予以證明【解析】（1）（2）當(dāng)若其中等號當(dāng)x=2時(shí)成立，若其中等號當(dāng)x=0時(shí)成立，函數(shù)（3）解法一令則于是解法二令，則于是備選題1已知函數(shù)，則的值為（ ）A B C D1 D解析：2函數(shù)的定義域是 （ ）A. B. C. D. D 解析：由得 故選D3函數(shù)的定義域是 解析：4.已知二次函數(shù)f(x)同時(shí)滿足條件： (1) 對稱軸是x=1； (2) 的最大值為15；(3) 的兩根立方和等于17則f(x)的解析式是 解析：由題意設(shè)，5.設(shè)是R上的函數(shù)，且滿足并且對任意的實(shí)數(shù)都有，求=_. 解析：法1：由，設(shè)，得，所以法2：令，得即又將用代換到上式中得ABCD6. 在邊長為2的正方形ABCD的邊上有動點(diǎn)M，從點(diǎn)B開始，沿折線BCDA向A點(diǎn)運(yùn)動，設(shè)M點(diǎn)運(yùn)動的距離為x，ABM的面積為S（1）求函數(shù)S=的解析式、定義域和值域； （2）求ff(3)的值【解析】（1）當(dāng)時(shí)，S=x；當(dāng)時(shí)，S=2；當(dāng)時(shí)，S=6-x； 定義域是（0，6），值域是（0，2） (2) 7.已知函數(shù)且a為常數(shù)）在區(qū)間上有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析：要使函數(shù)有意義，則有，而，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，又函?shù)在區(qū)間上有意義，結(jié)合知.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 說明：此題若改為“已知函數(shù)且a為常數(shù)）的定義域?yàn)椋髮?shí)數(shù)a的值或其取值范圍”，結(jié)果會發(fā)生怎樣的變化呢？事實(shí)上，這時(shí)就只能，從而.【寬乘高】把直接或間接地調(diào)用自身的函數(shù)稱為遞歸函數(shù)。遞歸函數(shù)