浙江專用2018版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.1直線的方程教師用書.docx

（浙江專用）2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.1 直線的方程教師用書1直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0.(2)范圍：直線l傾斜角的范圍是0，180)2斜率公式(1)若直線l的傾斜角90，則斜率ktan .(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上且x1x2，則l的斜率k.3直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)y0k(xx0)不含直線xx0斜截式y(tǒng)kxb不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式不含直線xx1 (x1x2)和直線yy1 (y1y2)截距式1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用【知識拓展】1直線系方程(1)與直線AxByC0平行的直線系方程是AxBym0(mR且mC)(2)與直線AxByC0垂直的直線系方程是BxAym0(mR)2兩直線平行或重合的充要條件直線l1：A1xB1yC10與直線l2：A2xB2yC20平行或重合的充要條件是A1B2A2B10.3兩直線垂直的充要條件直線l1：A1xB1yC10與直線l2：A2xB2yC20垂直的充要條件是A1A2B1B20.【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉啊?(1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置()(2)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率()(3)直線的傾斜角越大，其斜率就越大()(4)直線的斜率為tan ，則其傾斜角為.()(5)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等()(6)經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()1(2016天津模擬)過點(diǎn)M(2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為()A1 B4C1或3 D1或4答案A解析依題意得1，解得m1.2(2016鎮(zhèn)海中學(xué)檢測)直線x(a21)y10的傾斜角的取值范圍是()A0， B，)C0，(，) D，)，)答案B解析由直線方程可得該直線的斜率為，又10，所以傾斜角的取值范圍是，)3如果AC0且BC0，在y軸上的截距0，故直線經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限4(教材改編)直線l：axy2a0在x軸和y軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)a .答案1或2解析令x0，得直線l在y軸上的截距為2a；令y0，得直線l在x軸上的截距為1，依題意2a1，解得a1或a2.題型一直線的傾斜角與斜率例1(1)(2016北京東城區(qū)期末)已知直線l的傾斜角為，斜率為k，那么“”是“k”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件(2)直線l過點(diǎn)P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為 答案(1)B(2)(，1，)解析(1)當(dāng)時(shí)，k時(shí)，”是“k”的必要不充分條件，故選B.(2)如圖，kAP1，kBP，k(， 1，)引申探究1若將題(2)中P(1,0)改為P(1,0)，其他條件不變，求直線l斜率的取值范圍解P(1,0)，A(2,1)，B(0，)，kAP，kBP.如圖可知，直線l斜率的取值范圍為.2若將題(2)中的B點(diǎn)坐標(biāo)改為(2，1)，其他條件不變，求直線l傾斜角的范圍解如圖，直線PA的傾斜角為45，直線PB的傾斜角為135，由圖象知l的傾斜角的范圍為0，45135，180)思維升華直線傾斜角的范圍是0，)，而這個(gè)區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時(shí)，要分與兩種情況討論由正切函數(shù)圖象可以看出，當(dāng)時(shí)，斜率k0，)；當(dāng)時(shí)，斜率不存在；當(dāng)時(shí)，斜率k(，0)(2016南昌模擬)已知過定點(diǎn)P(2,0)的直線l與曲線y相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)AOB的面積取到最大值時(shí)，直線l的傾斜角為()A150 B135 C120 D不存在答案A解析由y得x2y22(y0)，它表示以原點(diǎn)O為圓心，以為半徑的圓的一部分，其圖象如圖所示顯然直線l的斜率存在，設(shè)過點(diǎn)P(2,0)的直線l為yk(x2)，則圓心到此直線的距離d，弦長|AB|2 2，所以SAOB21，當(dāng)且僅當(dāng)(2k)222k2，即k2時(shí)等號成立，由圖可得k(k舍去)，故直線l的傾斜角為150.題型二求直線的方程例2根據(jù)所給條件求直線的方程：(1)直線過點(diǎn)(4,0)，傾斜角的正弦值為；(2)直線過點(diǎn)(5,10)，到原點(diǎn)的距離為5；(3)過點(diǎn)A(5，4)作直線l，使它與兩坐標(biāo)軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為5，求直線l的方程解(1)由題設(shè)知，該直線的斜率存在，故可采用點(diǎn)斜式設(shè)傾斜角為，則sin (00，b0)，把點(diǎn)P(3,2)代入得12，得ab24，從而SAOBab12，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，這時(shí)k，從而所求直線方程為2x3y120.方法二依題意知，直線l的斜率k存在且k0.則直線l的方程為y2k(x3)(k0)，且有A，B(0,23k)，SABO(23k)(1212)12.當(dāng)且僅當(dāng)9k，即k時(shí)，等號成立即ABO的面積的最小值為12.故所求直線的方程為2x3y120.命題點(diǎn)2由直線方程解決參數(shù)問題例4已知直線l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，當(dāng)0a2時(shí)，直線l1，l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值解由題意知直線l1，l2恒過定點(diǎn)P(2,2)，直線l1在y軸上的截距為2a，直線l2在x軸上的截距為a22，所以四邊形的面積S2(2a)2(a22)a2a42，當(dāng)a時(shí)，面積最小思維升華與直線方程有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求解與直線方程有關(guān)的最值問題先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值(2)求直線方程弄清確定直線的兩個(gè)條件，由直線方程的幾種特殊形式直接寫出方程(3)求參數(shù)值或范圍注意點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解(2016濰坊模擬)直線l過點(diǎn)P(1,4)，分別交x軸的正半軸和y軸的正半軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)|OA|OB|最小時(shí)，求直線l的方程解依題意，直線l的斜率存在且斜率為負(fù)，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y4k(x1)(k0)令y0，可得A(1，0)；令x0，可得B(0,4k)|OA|OB|(1)(4k)5(k)5(k)549.當(dāng)且僅當(dāng)k且k0，即k2時(shí)，|OA|OB|取最小值這時(shí)直線l的方程為2xy60.10求與截距有關(guān)的直線方程典例設(shè)直線l的方程為(a1)xy2a0(aR)(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程；(2)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，求a.錯(cuò)解展示現(xiàn)場糾錯(cuò)解(1)當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，該直線在x軸和y軸上的截距為零，a2，方程即為3xy0.當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，截距存在且均不為0.a2，即a11.a0，方程即為xy20.綜上，直線l的方程為3xy0或xy20.(2)由(a2)得a20或a11，a2或a2.糾錯(cuò)心得在求與截距有關(guān)的直線方程時(shí)，注意對直線的截距是否為零進(jìn)行分類討論，防止忽視截距為零的情形，導(dǎo)致產(chǎn)生漏解.1(2016北京順義區(qū)檢測)若直線y2x3k14與直線x4y3k2的交點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A6k2 B5k3Ck2答案A解析解方程組得因?yàn)橹本€y2x3k14與直線x4y3k2的交點(diǎn)位于第四象限，所以k60且k20，所以6k0，bc0，bc0Cab0Dab0，bc0答案A解析由于直線axbyc0經(jīng)過第一、二、四象限，所以直線存在斜率，將方程變形為yx.易知0，故ab0，bc1或0，解得1a或a0.綜上知，a0.10(2016山師大附中模擬)函數(shù)ya1x(a0，a1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在mxny10(mn0)上，則的最小值為 答案4解析函數(shù)ya1x(a0，a1)的圖象恒過定點(diǎn)A(1,1)把A(1,1)代入直線方程得mn1(mn0)()(mn)24(當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)取等號)，的最小值為4.11(2016太原模擬)已知兩點(diǎn)A(1,2)，B(m,3)(1)求直線AB的方程；(2)已知實(shí)數(shù)m1，1，求直線AB的傾斜角的取值范圍解(1)當(dāng)m1時(shí)，直線AB的方程為x1，當(dāng)m1時(shí)，直線AB的方程為y2(x1)即x(m1)y2m30.(2)當(dāng)m1時(shí)，；當(dāng)m1時(shí)，m1，0)(0，k(，)，)(，綜合知，直線AB的傾斜角，12已知點(diǎn)P(2，1)(1)求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為2的直線l的方程；(2)求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？(3)是否存在過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請說明理由解(1)過點(diǎn)P的直線l與原點(diǎn)的距離為2，而點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，1)，顯然，過點(diǎn)P(2，1)且垂直于x軸的直線滿足條件，此時(shí)直線l的斜率不存在，其方程為x2.若斜率存在，設(shè)l的方程為y1k(x2)，即kxy2k10.由已知得2，解得k.此時(shí)l的方程為3x4y100.綜上可得直線l的方程為x2或3x4y100.(2)作圖可得過點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離最大的直線是過點(diǎn)P且與PO垂直的直線，如圖所示由lOP，得klkOP1，所以kl2.由直線方程的點(diǎn)斜式，得y12(x2)，即2xy50.所以直線2xy50是過點(diǎn)P且與原點(diǎn)O的距離最大的直線，最大距離為.(3)由(2)可知，過點(diǎn)P不存在到原點(diǎn)的距離超過的直線，因此不存在過點(diǎn)P且到原點(diǎn)的距離為6的直線*13.如圖，射線OA、OB分別與x軸正半軸成45和30角