數(shù)學(xué)人教版九年級上冊24.1.4 圓周角(1).doc

九年級數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計課程名稱：24.1.4 圓周角年 級：九年級教 師：錢正家學(xué) 校：工山中心初級中學(xué)日 期：2016年11月10日24.1.4 圓周角教學(xué)設(shè)計一、前端分析（一）教材內(nèi)容分析本節(jié)課內(nèi)容是圓周角概念，圓周角定理及其推論圓當(dāng)中有兩類重要的角：圓心角和圓周角。頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。圓周角定理是一條弧所對的圓周角與圓心角之間的數(shù)量關(guān)系，通過圓心角，把圓周角與相應(yīng)的弧、弦聯(lián)系起來。圓有關(guān)的計算，在圓中證明角、弦、弧相等和圓中有關(guān)計算等數(shù)學(xué)問題往往要利用圓周角定理及其推論，圓周角定理是圓心角、弧、弦之間關(guān)系的繼續(xù)。圓周角定理證明，滲透分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想、從特殊到一般的思想。在以上的分析的基礎(chǔ)上，我把本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)確定為：圓周角定理。（二）學(xué)習(xí)者特征分析因為圓心與圓周角具有三種不同的位置關(guān)系：圓心在圓周角的邊上，圓心在圓周角的內(nèi)部，圓心在圓周角的外部，所以圓周角定理要分情況證明。之前學(xué)生已經(jīng)具備一定的邏輯推理能力，但對分類討論證明命題還不是很熟悉。因此，教學(xué)的關(guān)鍵是：、在得出圓周角的定義之后，老師再次讓學(xué)生動手畫圓周角，一方面讓學(xué)生加深圓周角的了解，另一方面讓學(xué)生在動手操作中明確圓心與圓周角具有三種不同的位置關(guān)系，為分類討論做好準(zhǔn)備。學(xué)生通過度量畫出的一條弧所對的圓周角與圓心角的度數(shù)，用電腦改變圓周角的位置和弧的大小，體會變化中的不變的數(shù)量關(guān)系，猜想它們之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一步得出命題：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。從圓心在圓周角一邊上的特殊情形入手，先證明猜想，再將其他兩種情形轉(zhuǎn)化為圓心在圓周角一邊上的情形。在以上分析的基礎(chǔ)上，我本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)確定為：分類討論證明圓周角定理。二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計（一）知識與技能：了解圓周角的概念，會證明圓周角定理及其推論。完成目標(biāo)的標(biāo)志：能在具體的圖形中正確識別一條弧所對的圓周角和圓心角；知道一條弧所對的圓周角是它所對圓心角的一半，知道同弧或等弧所對的圓周角相等，能夠正確識別直徑所對的圓周角，并會結(jié)合具體問題構(gòu)造直徑所對的圓周角；能夠應(yīng)用定理或推論解決簡單問題。（二）過程與方法：結(jié)合圓周角定理的探索與證明的過程，進(jìn)一步體會分了討論、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。完成目標(biāo)的標(biāo)志：能通過作圖、觀察、度量、驗證、歸納等方式猜想出一條弧所對圓周角是所對圓心角的一般，能根據(jù)圓心和圓周角的位置關(guān)系對一條弧弧所對的圓周角進(jìn)行分類，理解證明圓周角定理為什么需要分三種情況；理解證明圓周角定理時，可以把圓心在圓周角的內(nèi)部和外部兩種情況轉(zhuǎn)化成圓心在圓周角的邊上這一情況，證明定理。（三）情感與價值觀：1、通過操作交流等活動，培養(yǎng)學(xué)生互相幫助、團(tuán)結(jié)協(xié)作、互相討論的等團(tuán)隊合作精神，體會幫助別人與別人合作帶來的快樂。2、培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)。3、體會用數(shù)學(xué)思想方法解決生活問題的快樂。完成目標(biāo)的標(biāo)志：能通過對定理的發(fā)現(xiàn)和證明，體會快樂、思維活躍、積極聯(lián)想、踴躍回答問題。積極參與教學(xué)活動，保持學(xué)校的熱情。教學(xué)重點(diǎn)：圓周角定理教學(xué)難點(diǎn)：分類討論證明圓周角定理。三、教學(xué)過程設(shè)計教學(xué)過程問題驅(qū)動教學(xué)師生活動設(shè)計意圖1、了解圓周角的概念問題1 、頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。2、 AOB與ACB有什么不同？3、找出下圖中所有的圓周角。學(xué)生觀察圖形、比較，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形認(rèn)識到：ACB、ADB、AEB的頂點(diǎn)都在圓上，角的兩邊都合和圓相交。歸納出定義：“頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都合圓相交的角，叫做圓周角。（板書）”圓周角和圓心角都是與圓有關(guān)的角。結(jié)合圖形，讓學(xué)生容易獲得圓周角的定義，理解圓周角的概念。4、若上圖中AOB=x 度， 則ACB等于多少度？ 學(xué)生思考并回答問題。同時呈現(xiàn)有關(guān)圓周角的正例與反例，有利于學(xué)生對圓周角概念的本質(zhì)屬性何非本質(zhì)屬性進(jìn)行比較，鞏固對概念的理解。2、探索圓周角定理問題2 接下來請同學(xué)們和老師一起畫出一個圓周角ACB，并作出弧AB所對的圓心角，分別測量出ACB、AOB的度數(shù)，觀察它們之間有什么關(guān)系？師生共同畫出圓O和ACB，并連接OA、OB，得出圓心角AOB教師指出圓周角ACB和圓心角AOB是弧AB所對的圓周角和圓心角。引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、操作、驗證、交流等基本的數(shù)學(xué)活動，探索出：一條弧所對的圓周角是所對圓心角的一半。追問2可以激發(fā)學(xué)生的好奇心，提高學(xué)生探索問題的興趣。教師利用幾何畫板軟件做進(jìn)一步的驗證，在動態(tài)的環(huán)境中體現(xiàn)圓周角和圓心角的關(guān)系，讓學(xué)生體會在變化的過程中存在的不變的數(shù)量關(guān)系，從而幫助學(xué)生更好的理解一條弧所對的圓周角是所對圓心角的一半。追問1：圓周角ACB和圓心角AOB之間有什么關(guān)系學(xué)生通過觀察度量，得出“圓周角ACB的度數(shù)是圓心角AOB度數(shù)的一半?！弊穯?：如果我們改變圓周角ACB頂點(diǎn)C的位置，圓周角ACB與圓心角AOB的關(guān)系是否變化？如果我們改變弧AB的大小，圓周角ACB與圓心角AOB的關(guān)系是否變化？學(xué)生動手畫圖、度量、猜想出結(jié)論。教師利用幾何畫板軟件度量出圓周角ACB和圓心角AOB度數(shù)，拖動C點(diǎn)，改變ACB的位置，觀察角的度數(shù)，再次改變弧AB的大小。引導(dǎo)學(xué)生得出，在演示變化的過程中，圓周角ACB和圓心角AOB的位置和度數(shù)發(fā)生變化，但它們之間的數(shù)量關(guān)系不變。追問4：由此同學(xué)們可以猜想出什么結(jié)論？學(xué)生思考猜想：一條弧所對的圓周角是所對圓心角的一半。（板書）3、圓周角定理的證明問題3：通過作圖，電腦驗證得出的結(jié)論還不夠嚴(yán)謹(jǐn)，為了確認(rèn)結(jié)論的正確性，我們還要對上述結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)格的證明。那么如何證明上述結(jié)論呢？老師指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意畫出圖形，并板書圖形。學(xué)生動手畫圖、交流、思考。根據(jù)學(xué)生畫圖的情況，教師追問。把直觀操作與邏輯推理有機(jī)的結(jié)合，使得推理論證成為學(xué)生觀察、實驗、探究得出結(jié)論的自然延續(xù)，同時明確用完全歸納的方式證明定理，體會分類討論的必要性。追問1：圓心與角ACB有幾種位置關(guān)系？是哪幾種？學(xué)生結(jié)合自己所畫的圖形，容易得出，（1）圓心在圓周角的內(nèi)部，（2）圓心在圓周角的外部。圓心在在圓周角的邊上容易不學(xué)生所忽視，老師再次用幾何畫板拖動圓周角頂點(diǎn)C的位置，讓學(xué)生觀察圓心與圓周角的位置關(guān)系。得出（3）圓心在圓周角的邊上。教師板書出三種關(guān)系的圖形。追問2：第情況，圓心在角的邊上，是特殊情況，應(yīng)該如何證明？由學(xué)生證明，老師書寫證明過程，學(xué)生分析第一種情況并得出：教師指出：符號“AB”表示由條件A推出B，可以用“”方式推理過程學(xué)生從三個圖形認(rèn)識到，第一種情況容易證明，讓學(xué)生體會到，解決復(fù)雜的問題，可以從特殊情況開始研究再到一般情況，并為解決其他兩種情況提供轉(zhuǎn)化的方向。教師追問3：在第種情況下，如何證明一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半？證明：如圖，連接AO并延長交圓O于點(diǎn)D同理學(xué)生獨(dú)立完成第種情況的證明，從而得出定理：一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半。學(xué)生思考，嘗試解決，如果學(xué)生有困難，教師可以提示學(xué)生：將第種情況轉(zhuǎn)化成種情況，根據(jù)學(xué)生的情況，師生共同完成第種情況的證明將一般情況化為特殊情況，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。學(xué)生通過證明三種情況，感受分類討論的必要性，有利于推理能力的提升。4、探究特殊情況，獲得推論觀察圖形：問題4:可以發(fā)現(xiàn)，一條弧可以對著不同的圓周角，這些圓周角之間有什么關(guān)系？等弧所對的圓周角之間有什么關(guān)系？同弧或等弧所對的圓周角相等。（板書）學(xué)生觀察弧AB對著多個圓周角和圓心角，觀察、猜想，根據(jù)定理得到結(jié)論：一條弧所對的圓周角相等。再思考等弧的情況。如果學(xué)生遇到困難，教師可根據(jù)情況提示學(xué)生：考慮圓周角與圓心角之間的關(guān)系、弧與圓心角之間的關(guān)系，通過弧相等得到結(jié)論。讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、證明得出推論的探索過程，得到圓周角的推論，進(jìn)一步認(rèn)識圓周角何圓心角和弧之間的關(guān)系。問題5：半圓（或直徑）所對的圓周角有什么特殊性？幾何畫板演示將弧BC變成半圓，角的兩邊形成直徑，可觀察、猜想，根據(jù)定理得到結(jié)論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角。教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生得出：90度的圓周角所對的弦是直徑。（板書）由特殊情形進(jìn)一步認(rèn)識定理，加深對定理的理解，獲得推論。5、應(yīng)用圓周角定理與推論1.如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一個圓上，四邊形ABCD的對角線把4個內(nèi)角分成8個角，這些角中哪些是相等的角？2、如圖，在O中，ABC=50，則AOC等于（ ）A、50； B、80； C、90； D、1003、如圖，ABC是等邊三角形，動點(diǎn)P在圓周的劣弧AB上，且不與A、B重合，則BPC等于（ ） A、30； B、60； C、90； D、45由學(xué)生解答，教師組織學(xué)生交流考慮本課內(nèi)容靈活性大，有難度，教學(xué)內(nèi)容多，所以先選擇一些簡單的題目鞏固圓周角定理及其推論。6、小結(jié)教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答一下問題：（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？（2）我們是如何證明圓周角定理的？在證明的過程中用到了哪些思想方法？（3）我們不僅要學(xué)會用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，還要會用數(shù)學(xué)思維思考遇到的一切問題。學(xué)生回顧并總結(jié)作答通過小結(jié)對課堂內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié)，梳理知識點(diǎn)，數(shù)學(xué)方法，提升本課內(nèi)容與之前的內(nèi)容融合。積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗7、布置作業(yè)課本P88頁3、51、了解圓周角的概念主講教師：根據(jù)圓是軸對稱圖形，我們得出垂徑定理；根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)不變性，得出弧、弦、圓心角的關(guān)系。今天我們繼續(xù)研究圓的基本性質(zhì)-圓周角定理。問題1、如圖在圓O中，角ACB、角ADB、角AEB的頂點(diǎn)和邊有哪些共同的特征？輔講教師指定學(xué)生回答：它們的頂點(diǎn)都在圓上，角的兩邊都和圓相交。主講教師：很好！請坐！板書：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都合圓相交的角，叫做圓周角。主講教師：請同學(xué)們看到課本88頁練習(xí)1。輔講教師指定學(xué)生回答：(1)(2)頂點(diǎn)不在圓上，不是圓周角；（3）是圓周角；（4）（5）角的兩邊并沒有與圓相交，不是圓周角。2、探索圓周角定理主講教師：接下來請同學(xué)們和老師一起畫一個圓周角ACB，并作出弧AB所對的圓心角。分別角ACB、角AOB的度數(shù)，觀察它們之間有什么關(guān)系？輔講教師觀察學(xué)生的作圖，并指定學(xué)生回答：角ACB等于二分之一角AOB。主講教師：如果我們改變圓周角ACB頂點(diǎn)C的位置，圓周角ACB圓心角AOB的關(guān)系是否變化？如果我們改變弧AB的大小，圓周角ACB與圓心角AOB的關(guān)系是否變化？請同學(xué)們觀察老師演示。（教師用幾何畫板在白板上演示，學(xué)生觀察老師演示）教師：在演示變化的過程中，什么改變了，不變的是什么？輔講教師指定學(xué)生回答：圓周角ACB和圓心角AOB的位置和度數(shù)發(fā)生變化，但它們之間的數(shù)量關(guān)系不變。主講教師：很好！請坐！主講教師：由此同學(xué)們可以猜想出什么結(jié)論？輔講教師指定學(xué)生回答：一條弧所對的圓周角是所對圓心角的一半。板書：一條弧所對的圓周角是所對圓心角的一半。3、圓周角定理的證明主講教師：通過作圖、電腦驗證得出的結(jié)論還不夠嚴(yán)謹(jǐn)。為了確認(rèn)結(jié)論的準(zhǔn)確性，我們還要對上述結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)格的證明，那么如何證明上述結(jié)論呢？請同學(xué)們再作一個圓O，并在圓上任取一條弧BC，作出弧BC所對的圓周角BAC，并觀察圓心和圓周角的位置關(guān)系（一般情況學(xué)生只會畫出一種情形）。輔講教師觀察學(xué)生的作圖，并指定一個學(xué)生回答主講教師問題。主講教師：你的圖形中圓心與圓周角是什么位置關(guān)系？學(xué)生：圓心在圓周角的內(nèi)部？主講教師：還有么有別的位置關(guān)系？請同學(xué)們幫助一下他，舉手回答。輔講教師再指定學(xué)生回答：圓心在圓周角的外部。主講教師：還有么有要補(bǔ)充的？（內(nèi)部和外部兩種情況學(xué)生容易得出，但學(xué)生容易忽視圓心在角的邊上的情況，所以主講教師要引導(dǎo)學(xué)生作圖并回答）學(xué)生：圓心還可能在圓周角的邊上。主講教師：三位同學(xué)請坐下，通過三位同學(xué)的回答，可以得出圓心與圓周角有三種位置關(guān)系：圓心在圓周角的邊上；圓心在圓周角的內(nèi)部；圓心在圓周角的外部。板書：主講教師作出三種情況的圖形。主講教師：第一種情況，圓心在圓周角的邊上，是特殊情況，應(yīng)該如何證明？輔講教師指定學(xué)生回答：主講教師：在第二種情況下，如何證明一條弧所對的圓周角是所對圓心角的一半？看樣子同學(xué)們對第二種情況的證明感覺有點(diǎn)困難，老師給你們作一點(diǎn)提示，將第二種情況轉(zhuǎn)化成第一種情況：連接AO并延長交圓O于D點(diǎn)，這樣直線AD把第二種情況分成兩種第一種情況。第三種情況的證明由同學(xué)們獨(dú)立完成。經(jīng)過證明，這個猜想是正確的。我們把塔稱為-圓周角定理。定理的證明分三種情況分別證明，這在數(shù)學(xué)上叫分類討論的思想。第二三兩種情況的證明轉(zhuǎn)化為第一種情況，數(shù)學(xué)上叫轉(zhuǎn)化思想。這個命題的證明，從特殊情況開始研究再到一般情況，這在數(shù)學(xué)上叫從特殊到一般。這些思想方法不僅可以用來解決數(shù)學(xué)問題，還能用來解決生活中的問題。比如，我們考慮問題要全面細(xì)致，復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，從簡單問題入手循序漸進(jìn)、逐步深入，解決一般情況。所以同學(xué)們要用數(shù)學(xué)的思維考慮和解決生活中遇到的問題，必有不一樣的收獲。4、探究特殊情況，獲得推論下面我們再來探究圓周角定理的特殊情況?？梢园l(fā)現(xiàn)，一條弧可以對著不同的圓周角，這些圓周角之間有什么關(guān)系？等弧所對的圓周角之間有什么關(guān)系？輔講教師指定學(xué)生回答：同弧或等弧所對的圓周角相等。板書：同弧或等弧所對的圓周角相等。教師用幾何畫板演示出弧變成半圓，弦變成直徑，學(xué)生觀察圓周角的變化。主講教師：半圓（或直徑）所對的圓周角有什么特殊性？輔講教師指定學(xué)生回答：半圓（或直徑）所對的