廣東省韶關(guān)市2015-2016學年高一下期末數(shù)學試卷含答案解析

第 1 頁（共 17 頁） 2015年廣東省韶關(guān)市高一（下）期末數(shù)學試卷 一、選擇題 2 小題，每小題 5 分，滿分 60 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1設集合 A=1， 2， 3， 4， B=x R|1 x 4，則 AB=（ ） A 1， 2， 3， 4 B 2， 4 C 2， 3， 4 D x|1 x 4 2已知向量 =（ 1， 2）， =（ x， 4），若 ，則實數(shù) x 的值為（ ） A 8 B 2 C 2 D 8 3已知 ， 是第四象限角，則 2 ） =（ ） A B C D 4已知 f（ x）是定義在 R 上的奇函數(shù)，當 x 0 時， f（ x） = +x+1），則 f（ 1） =（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 5若某校高一年級 8 個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是（ ） A 92 C 91 和 92 和 92 6執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 S 值為（ ） A 26 B 11 C 4 D 1 7過點 P（ 2， 4）作圓 C：（ x 1） 2+（ y 2） 2=5 的切線，則切線方程為（ ） A x y=0 B 2x y=0 C x+2y 10=0 D x 2y 8=0 8已知點 A（ ， ），將 坐標原點 O 逆時針旋轉(zhuǎn) 至 點 B 的坐標為（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ） 第 2 頁（共 17 頁） 9某游戲規(guī)則如下：隨機地往半徑為 l 的圓內(nèi)投擲飛標，若飛標到圓心的距離大于 ，則成績?yōu)榧案?；若飛標到圓心的距離小于 ，則成績?yōu)閮?yōu)秀；若飛標到圓心的距離大于 且小于 ，則成績?yōu)榱己?，那么在所有投擲到圓內(nèi)的飛標中得到成績?yōu)榱己玫母怕蕿椋?） A B C D 10如圖，網(wǎng)格紙是邊長為 1 的小正方形，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則該多面體的體積為（ ） A 4 B 8 C 16 D 20 11將函數(shù) h（ x） =22x+ ）的圖象向右平移 個單位，再向上平移 2 個單位，得到函數(shù) f（ x）的圖象，則函數(shù) f（ x）的圖象（ ） A關(guān)于直線 x=0 對稱 B關(guān)于直線 x= 對稱 C關(guān)于點（ ， 0）對稱 D關(guān)于點（ ， 2）對稱 12已知點 C 為線段 一點， P 為直線 一點， 的平分線， I 為 足 = +（ + ）（ 0）， ， ，則的值為（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 二填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 13若直線 x 2y+5=0 與直線 2x+6=0 互相垂直，則實數(shù) m= 14某產(chǎn)品的廣告費用 x 與銷售額 y 的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表： 廣告費用 x（萬元） 3 4 5 6 銷售額 y（萬元） 25 30 40 45 根據(jù)上表可得回歸方程 = x+ ，其中 =7，則 = ，據(jù)此模型預報廣告費為 7 萬元時銷售額為 15已知 =3，則 + ） = 第 3 頁（共 17 頁） 16若一三角形三邊所在的直線方程分別為 x+2y 5=0， y 2=0， x+y 4=0，則能夠覆蓋此三角形且面積最小的圓的方程為 三解答題（本大題共 6 題，滿分 70 分，解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟） 17已知函數(shù) f（ x） = x+ ）（ 0）的最小正周期為 （ ）求 的值及其 f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （ ）若 x 0， ，求函數(shù) f（ x）的最大值和最小值 18為了解學生的身體狀況，某校隨機抽取了一批學生測量體重經(jīng)統(tǒng)計，這批學生的體重數(shù)據(jù)（單位：千克）全部介于 45 至 70 之間將數(shù)據(jù)分成以下 5 組：第 1 組 45， 50），第 2組 50， 55），第 3 組 55， 60），第 4 組 60， 65），第 5 組 65， 70，得到如圖所示的頻率分布直方圖現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從第 3， 4， 5 組中隨機抽取 6 名學生做初檢 （ ）求每組抽取的學生人數(shù)； （ ）若從 6 名學生中再次隨機抽取 2 名學生進行復檢，求這 2 名學生不在同一組的概率 19已知 | |=2， | |=1，（ 2 3 ） （ 2 + ） =17 （ ）求 與 的夾角和 | + |的值； （ ）設 =m +2 ， =2 ，若 與 共線，求實數(shù) m 的值 20如圖，已知正方形 矩形 在的平面互相垂直， ， ， M 是線段 中點 （ ）求證： 平面 （ ）求證： 平面 （ ） 求 A 點到面 距離 21已知以點 C（ t， ）（ t R， t 0）為圓心的圓過原點 O （ ） 設直線 3x+y 4=0 與圓 C 交于點 M、 N，若 |求圓 C 的方程； （ ） 在（ ）的條件下，設 B（ 0， 2），且 P、 Q 分別是直線 l： x+y+2=0 和圓 C 上的動點，求 | |最大值及此時點 P 的坐標 第 4 頁（共 17 頁） 22已知二次函數(shù) f（ x） =x2+bx+c（其中 b， c 為實常數(shù)） （ ）若 b 2，且 y=f（ x R）的最大值為 5，最小值為 1，求函數(shù) y=f（ x）的解析式； （ ）是否存在這樣的函數(shù) y=f（ x），使得 y|y=x2+bx+c， 1 x 0= 1， 0，若存在，求出函數(shù) y=f（ x）的解析式；若不存在，請說明理由 （ ）記集合 A=x|f（ x） =x， x R， B=x|f（ f（ x） =x， x R 若 A ，求證： B ； 若 A=，判斷 B 是否也為空集 第 5 頁（共 17 頁） 2015年廣東省韶關(guān)市高一（下）期末數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題 2 小題，每小題 5 分，滿分 60 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1設集合 A=1， 2， 3， 4， B=x R|1 x 4，則 AB=（ ） A 1， 2， 3， 4 B 2， 4 C 2， 3， 4 D x|1 x 4 【考點】 交集及其運算 【分析】 根據(jù)集合的基本運算進行求解即可 【解答】 解： A=1， 2， 3， 4， B=x R|1 x 4， AB=2， 3， 4， 故選： C 2已知向量 =（ 1， 2）， =（ x， 4），若 ，則實數(shù) x 的值為（ ） A 8 B 2 C 2 D 8 【考點】 平面向量共線（平行）的坐標表示 【分析】 根據(jù)向量平行的坐標公式建立方程進行求解即可 【解答】 解： ， 4 2x=0，得 x=2， 故選： B 3已知 ， 是第四象限角，則 2 ） =（ ） A B C D 【考點】 任意角的三角函數(shù)的定義 【分析】 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得 值，再利用誘導公式求得 2 ）的值 【解答】 解：由已知 ， 是第四象限角， 可得 ， ， 故選： A 4已知 f（ x）是定義在 R 上的奇函數(shù)，當 x 0 時， f（ x） = +x+1），則 f（ 1） =（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 【考點】 函數(shù)奇偶性的性質(zhì) 【分析】 由條件利用函數(shù)的奇偶性可得 f（ 1） = f（ 1），計算求得結(jié)果 【解答】 解：由題意可得 f（ 1） = f（ 1） = +1+1） =（ 1+1） = 2， 故選： C 第 6 頁（共 17 頁） 5若某校高一年級 8 個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是（ ） A 92 C 91 和 92 和 92 【考點】 莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 【分析】 根據(jù)莖葉圖寫出這組數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)按照從大到小排列，最中間的一個或最中間兩個數(shù)字的平均數(shù)就是中位數(shù)，平均數(shù)只要代入平均數(shù)的公式得到結(jié)果 【解答】 解：由莖葉圖可知：這組數(shù)據(jù)為 87， 89， 90， 91， 92， 93， 94， 96， 所以其中位數(shù)為 = 平均數(shù)為 （ 87+89+90+91+92+93+94+96） = 故選 A 6執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 S 值為（ ） A 26 B 11 C 4 D 1 【考點】 程序框圖 【分析】 由算法的程序框圖，計算各次循環(huán)的結(jié)果，滿足條件，結(jié)束程序，即可得解 【解答】 解：模擬程序的運行，可得 i=1， S=0 滿足條件 i 4，執(zhí)行循環(huán)體， S=1， i=2 滿足條件 i 4，執(zhí)行循環(huán)體， S=4， i=3 滿足條件 i 4，執(zhí)行循環(huán)體， S=11， i=4 不滿足條件 i 4，退出循環(huán)，輸 出 S 的值為 11 故選： B 7過點 P（ 2， 4）作圓 C：（ x 1） 2+（ y 2） 2=5 的切線，則切線方程為（ ） A x y=0 B 2x y=0 C x+2y 10=0 D x 2y 8=0 第 7 頁（共 17 頁） 【考點】 圓的切線方程 【分析】 判斷點 P 在圓上，根據(jù)切線和直線 關(guān)系求出對應的斜率，進行求解即可 【解答】 解：因為點 P（ 2， 4）在圓 C 上，所以切線與直線 直， 所以 ， 所以切線方程為 ，即 x+2y 10=0， 故選： C 8已知點 A（ ， ），將 坐標原點 O 逆時針旋轉(zhuǎn) 至 點 B 的坐標為（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ） 【考點】 簡單曲線的極坐標方程 【分析】 求出 ，所以 ，即可求出點 B 的 坐標 【解答】 解：因為點 ，即 ，所以 ， 所以點 B 的坐標為 故選： A 9某游戲規(guī)則如下：隨機地往半徑為 l 的圓內(nèi)投擲飛標，若飛標到圓心的距離大于 ，則成績?yōu)榧案?；若飛標到 圓心的距離小于 ，則成績?yōu)閮?yōu)秀；若飛標到圓心的距離大于 且小于 ，則成績?yōu)榱己?，那么在所有投擲到圓內(nèi)的飛標中得到成績?yōu)榱己玫母怕蕿椋?） A B C D 【考點】 幾何概型 【分析】 根據(jù)題意，計算可得圓的面積為 ，成績?yōu)榱己脮r，點到圓心的距離大于 且小于的面積，由幾何概型求概率即可 【解答】 解：圓的面積為 ，點到圓心的距離大于 且小于 的面積為 = ， 由幾何概型得在所有投擲到圓內(nèi)的飛標中得到成績?yōu)榱己玫母怕蕿?P= = 故選 D 第 8 頁（共 17 頁） 10如圖，網(wǎng)格紙是邊長為 1 的小正方形，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則該多面體的體積為（ ） A 4 B 8 C 16 D 20 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 通過三視圖蘋果幾何體的形狀，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求出幾何體的體積即可 【解答】 解：三視圖的幾何體是四棱錐，底面的邊長為 2、 6 的矩形，四棱錐的頂點在底面的射影落在矩形的長邊的一個三等份點，由三視圖的數(shù)據(jù)可知，幾何體的高是 4， 所以幾何體的體積為： 6 2 4=16 故選 C 11將函數(shù) h（ x） =22x+ ）的圖象向右平移 個單位，再向上平移 2 個單位，得到函數(shù) f（ x）的圖象，則函數(shù) f（ x）的圖象（ ） A關(guān)于直線 x=0 對稱 B關(guān)于直線 x= 對稱 C關(guān)于點（ ， 0）對稱 D關(guān)于點（ ， 2）對稱 【考點】 函數(shù) y=x+）的圖象變換 【分析】 利用函數(shù) y=x+）的圖象變換規(guī)律求得 f（ x）的解析式，再利用正弦函 數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論 【解答】 解：將函數(shù) h（ x） =22x+ ）的圖象向右平移 個單位， 可得 y=2（ x ） + =22x ）的圖象； 再向上平移 2 個單位，得到函數(shù) f（ x） =22x ） +2 的圖象， 第 9 頁（共 17 頁） ， f（ x）的圖象關(guān)于點 對稱， 故選： D 12已知點 C 為線段 一點， P 為直線 一點， 的平分線， I 為 足 = +（ + ）（ 0）， ， ，則的值為（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 利用角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)、向量的運算性質(zhì)即可得出 【解答】 解： ， 的平分線， 又滿足 = +（ + ）（ 0），即 = ， 所以 I 在 角平分線上，由此得 I 是 內(nèi)心，過 I 作 H， I 為圓心，半徑，作 內(nèi)切圓，如圖，分別切 E、 F， ， ， = = =3， 在直角三角形 ， ， 所以 = =3 故選： B 二填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 13若直線 x 2y+5=0 與直線 2x+6=0 互相垂直，則實數(shù) m= 1 第 10 頁（共 17 頁） 【考點】 直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系 【分析】 求出兩條直線的斜率；利用兩直線垂直斜率之積為 1，列出方程求出 m 的值 【解答】 解：直線 x 2y+5=0 的斜率為 直線 2x+6=0 的斜率為 兩直線垂直 解得 m=1 故答案為： 1 14某產(chǎn)品的廣告費用 x 與銷售額 y 的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表： 廣告費用 x（萬元） 3 4 5 6 銷售額 y（萬元） 25 30 40 45 根據(jù)上表可得回歸方程 = x+ ，其中 =7，則 = 據(jù)此模型預報廣告費為 7 萬元時銷售額為 【考點】 線性回歸方程 【分析】 由表中數(shù)據(jù)求得， 及 ，將樣本中心 ，代入回歸方程， =7x+ ，求得 a= x=7 代入回歸方程求得 y 的值 【解答】 解：由表中數(shù)據(jù)可得， ， 而回歸方程經(jīng)過樣本中心 ，代入回歸方程， =7x+ ， a= 從而當 x=7 時， y=7 7+元 故答案為： 15已知 =3，則 + ） = 3 【考點】 同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用 【分析】 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差的正切公式，求得要求式子的值 【解答】 解：由已知 =3 可得， =+）， 即 +） =3， 故答案為： 3 16若一三角形三邊所在的直線方程分別為 x+2y 5=0， y 2=0， x+y 4=0，則能夠覆蓋此三角形且面積最小的圓的方程為 （ x 2） 2+（ y 2= 【考點】 圓的標準方程；兩條直線的交點坐標 第 11 頁（共 17 頁） 【分析】 確定三角形的三個頂點坐標，能夠覆蓋此三角形且面積最小是三角形的外接圓，利用待定系數(shù)法，即可求得結(jié)論 【解答】 解： 三角形三邊所在的直線方程分別為 x+2y 5=0， y 2=0， x+y 4=0， 可得三角形的三個頂點分別是 A（ 1， 2）， B（ 2， 2）， C（ 3， 1）， 鈍角三角形 能夠覆蓋此三角形且面積最小是以 直徑的圓，方程為（ x 2） 2+（ y 2= 故答案為：（ x 2） 2+（ y 2=解答題（本大題共 6 題，滿分 70 分，解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟） 17已知函數(shù) f（ x） = x+ ）（ 0）的最小正周期為 （ ）求 的值及其 f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （ ）若 x 0， ，求函數(shù) f（ x）的最大值和最小值 【考點】 正弦函數(shù)的圖象；三角函數(shù)的周期性及其求法 【分析】 （ ）利用正弦函數(shù)的周期性求得 ，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論 （ ）由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性、最值，得出結(jié)論 【解答】 解：（ ）因為函數(shù) （ 0）的最小正周期為 由 ，解得 ， 所以函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間為 （ ） ， ， 當 ，即 時，函數(shù) f（ x）取得最大值 ， 當 ，即 時，函數(shù) f（ x）取得最小值 18為了解學生的身體狀況，某校隨機抽取了一批學生測量體重經(jīng)統(tǒng)計，這批學生的體重數(shù)據(jù)（單位：千克）全部介于 45 至 70 之間將數(shù)據(jù)分成以下 5 組：第 1 組 45， 50），第 2組 50， 55），第 3 組 55， 60），第 4 組 60， 65） ，第 5 組 65， 70，得到如圖所示的頻率分布直方圖現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從第 3， 4， 5 組中隨機抽取 6 名學生做初檢 （ ）求每組抽取的學生人數(shù)； （ ）若從 6 名學生中再次隨機抽取 2 名學生進行復檢，求這 2 名學生不在同一組的概率 第 12 頁（共 17 頁） 【考點】 古典概型及其概率計算公式；頻率分布直方圖 【分析】 （ I）根據(jù)頻率分布直方圖求出各組學生數(shù)之比，再根據(jù)分層抽樣按比例抽得各組學生數(shù)即可； （ 據(jù)古典概型的計算公式，先求從 6 名學生抽得 2 名學生的所有可能情形，再 求符合要求的可能情形，根據(jù)公式計算即可 【解答】 解：（ ）解：由頻率分布直方圖知，第 3， 4， 5 組的學生人數(shù)之比為 3： 2： 1 所以，每組抽取的人數(shù)分別為： 第 3 組： 6=3；第 4 組： =2；第 5 組： =1 從 3， 4， 5 組應依次抽取 3 名學生， 2 名學生， 1 名學生 （ ）記第 3 組的 3 位同學為 ， ， ；第 4 組的 2 位同學為 A， B；第 5 組的 1 位 同學為 C 則從 6 位同學中隨機抽取 2 位同學所有可能的情形為：（ ， ），（ ， ），（ ， A），（ ， B），（ ， C），（ ， ），（ ， A），（ ， B），（ ， C），（ ， A）， （ ， B），（ ， C），（ A， B），（ A， C），（ B， C）共 15 種可能 其中，（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ A， B）四種為 2 名學生在同一組， 有 11 種可能符合 2 名學生不在同一組的要求， 所求概率 P= 19已知 | |=2， | |=1，（ 2 3 ） （ 2 + ） =17 （ ）求 與 的夾角和 | + |的值； （ ）設 =m +2 ， =2 ，若 與 共線，求實數(shù) m 的值 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 （ ）根據(jù)向量數(shù)量積的定義和應用即可求 與 的夾角和 | + |的值； （ ）根據(jù)向量共線的等價條件建立方程關(guān)系進行求解即可 【解答】 解：（ ）設 與 的夾角為 ， ， 即 4 22 4 2 1 3 12=17 ，又 0 ， 所以 與 的夾角 （ ）解：因為 與 共線，所以存在 ， 使 第 13 頁（共 17 頁） 因為 與 不共線，所以 所以， m= 4 20如圖，已知正方形 矩形 在的平面互相垂直， ， ， M 是線段 中點 （ ）求證： 平面 （ ）求證： 平面 （ ） 求 A 點到面 距離 【考點】 點、線、面間的距離計算；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定 【分析】 （ ）證明四邊形 平行四邊形，可得 平面 內(nèi)，平面 外，滿足線面平行的判定定理所需條件，從而證得結(jié)論； （ ）證明 F=O，即可證明 平面 （ ）利用 F 出 A 到面 距離 【解答】 （ ）證明：設底面對角線的交點為 O，連接 M 為 中點，四邊形 矩形 O 因為 平面 面 平面 （ ）證明：設 于 O 點，連 矩形 四邊形， ， 所以， 正方形，故 又正方形 矩形 在的平面互相垂直，且交線為 正方形 ，故 面面垂直的性質(zhì)定理， 面 又 面 以 又 F=O，故 平面 （ ）解： F A 到面 距離為 h， 第 14 頁（共 17 頁） 21已知以點 C（ t， ）（ t R， t 0）為圓心的圓過原點 O （ ） 設直線 3x+y 4=0 與圓 C 交于點 M、 N，若 |求圓 C 的方程； （ ） 在（ ）的條件下，設 B（ 0， 2），且 P、 Q 分別是直線 l： x+y+2=0 和圓 C 上的動點，求 | |最大值及此時點 P 的坐標 【考點】 直線與圓的位置關(guān)系 【分析】 （ ）由 N 得原點 O 在 中垂線上，由圓的弦中點性質(zhì)和直線垂直的條件列出方程，求出 t 的值和 C 的坐標，代入圓的標準方程化簡，再驗證直 線與圓的位置關(guān)系； （ ）根據(jù)三邊關(guān)系判斷出取最大值的條件，由圓外一點與圓上一點距離最值問題求出最大值，由點斜式方程求出 直線方程，以及此時點 P 的坐標 【解答】 解：（ ） N，所以，則原點 O 在 中垂線上 設 中點為 H，則 C、 H、 O 三點共線， 直線 方程是 3x+y 4=0， 直線 斜率 = = ，解得 t=3 或 t= 3， 圓心為 C（ 3， 1）或 C（ 3， 1） 圓 C 的方程為（ x 3） 2+（ y 1） 2=10 或（ x+3） 2+（ y+1） 2=10 由于當圓方程為（ x+3） 2+（ y+1） 2=10 時，圓心到直線 3x+y 4=0 的距離 d r， 此時不滿足直線與圓相交，故舍去， 圓 C 的方程為（ x 3） 2+（ y 1） 2=10 （ ） 在三角形 ，兩邊之差小于第三邊，故 | | |又 B， C， Q 三點共線時 |大 所以， | |最大值為 ， B（ 0， 2）， C（ 3， 1）， 直線 方程為 ， 直線 直線 x+y+2=0 的交點 P 的坐標為（ 6， 4） 第 15 頁（共 17 頁） 22已知二次函數(shù) f（ x） =x2+bx+c（其中 b， c 為實常數(shù)） （ ）若 b 2，且 y=f（ x R）的最大值為 5，最小值為 1，求函數(shù) y=f（ x）的解析式； （ ）是否存在這樣的函數(shù) y=f（ x），使得 y|y=x2+bx+c， 1 x 0= 1， 0，若存在，求出函數(shù) y=f