同濟(jì)大學(xué)線代(第六版)新

線性代數(shù)LinearAlgebra 一 研究對(duì)象線性代數(shù)是代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支 主要處理線性關(guān)系問(wèn)題 即線性空間 線性變換和有限維的線性方程組 線性關(guān)系意即數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系是以一次形式來(lái)表達(dá)的 例如 在解析幾何里 平面上直線的方程是二元一次方程 空間平面的方程是三元一次方程 而空間直線視為兩個(gè)平面相交 由兩個(gè)三元一次方程所組成的方程組來(lái)表示 含有n個(gè)未知量的一次方程稱為線性方程 關(guān)于變量是一次的函數(shù)稱為線性函數(shù) 線性關(guān)系問(wèn)題簡(jiǎn)稱線性問(wèn)題 解線性方程組的問(wèn)題是最簡(jiǎn)單的線性問(wèn)題 基礎(chǔ)介紹 二 歷史與發(fā)展線性代數(shù)作為一個(gè)獨(dú)立的分支在20世紀(jì)才形成 而它的歷史卻非常久遠(yuǎn) 雞兔同籠 問(wèn)題就是一個(gè)簡(jiǎn)單的線性方程組求解的問(wèn)題 最古老的線性問(wèn)題是線性方程組的解法 在中國(guó)古代東漢年初成書(shū)的數(shù)學(xué)著作 九章算術(shù) 方程 章中 已經(jīng)作了比較完整的敘述 其中所述方法實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于現(xiàn)代的對(duì)方程組的增廣矩陣的行施行初等變換 消去未知量的方法 由于法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬 1601 1665 和笛卡兒 1596 1650 的工作 現(xiàn)代意義的線性代數(shù)基本上出現(xiàn)于十七世紀(jì) 直到十八世紀(jì)末 線性代數(shù)的領(lǐng)域還只限于平面與空間 十九世紀(jì)上半葉才完成了到n維線性空間的過(guò)渡 隨著研究線性方程組和變量的線性變換問(wèn)題的深入 在18 19世紀(jì)期間先后產(chǎn)生行列式和矩陣的概念 為處理線性問(wèn)題提供了有力的工具 從而推動(dòng)了線性代數(shù)的發(fā)展 17世紀(jì) 德國(guó)數(shù)學(xué)家 萊布尼茲 歷史上最早使用行列式概念 1750年 瑞士數(shù)學(xué)家 克萊姆 克萊姆法則 用行列式解線性方程組的重要方法 1772年 法國(guó)數(shù)學(xué)家 范德蒙 對(duì)行列式做出連貫的邏輯闡述 行列式的理論脫離開(kāi)線性方程組 三 有重要貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家 英國(guó)數(shù)學(xué)家 西勒維斯特 1814 1897 首次提出矩陣的概念 矩型陣式 英國(guó)數(shù)學(xué)家 凱萊 1821 1895 矩陣論的創(chuàng)立 德國(guó)數(shù)學(xué)家 高斯 1777 1855 提出行列式的某些思想和方法 1841年 法國(guó)數(shù)學(xué)家 柯西 首先創(chuàng)立了現(xiàn)代的行列式概念和符號(hào) 向量概念的引入 形成了向量空間的概念 凡是線性問(wèn)題都可以用向量空間的觀點(diǎn)加以討論 因此 向量空間及其線性變換 以及與此相聯(lián)的矩陣?yán)碚?構(gòu)成了線性代數(shù)的中心內(nèi)容 在十九世紀(jì)下半葉 因若當(dāng)?shù)墓ぷ鞫_(dá)到了它的頂點(diǎn) 1888年 意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾 1858 1932 以公理的方式定義了有限維或無(wú)限維線性空間 托普利茨將線性代數(shù)的主要定理推廣到任意體 domain 上的最一般的向量空間中 代數(shù) 這個(gè)詞在中文中出現(xiàn)較晚 在清代時(shí)才傳入中國(guó) 當(dāng)時(shí)被人們譯成 阿爾熱巴拉 直到1859年 清代著名的數(shù)學(xué)家 翻譯家李善蘭 1811 1882 才將它翻譯成為 代數(shù)學(xué) 之后一直沿用 學(xué)術(shù)地位及應(yīng)用線性代數(shù)在數(shù)學(xué) 物理學(xué)和技術(shù)學(xué)科中有各種重要應(yīng)用 因而它在各種代數(shù)分支中占居首要地位 在計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的今天 計(jì)算機(jī)圖形學(xué) 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì) 密碼學(xué) 虛擬現(xiàn)實(shí)等技術(shù)無(wú)不以線性代數(shù)為其理論和算法基礎(chǔ)的一部分 線性代數(shù)所體現(xiàn)的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系 從具體概念抽象出來(lái)的公理化方法以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C 巧妙的歸納綜合等 對(duì)于強(qiáng)化人們的數(shù)學(xué)訓(xùn)練 增益科學(xué)智能是非常有用的 隨著科學(xué)的發(fā)展 我們不僅要研究單個(gè)變量之間的關(guān)系 還要進(jìn)一步研究多個(gè)變量之間的關(guān)系 各種實(shí)際問(wèn)題在大多數(shù)情況下可以線性化 而由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展 線性化了的問(wèn)題又可以計(jì)算出來(lái) 線性代數(shù)正是解決這些問(wèn)題的有力工具 線性代數(shù)的含義隨數(shù)學(xué)的發(fā)展而不斷擴(kuò)大 線性代數(shù)的理論和方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的許多分支 同時(shí)也是理論物理和理論化學(xué)所不可缺少的代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí) 以直代曲 是人們處理很多數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)一個(gè)很自然的思想 很多實(shí)際問(wèn)題的處理 通常把非線性模型近似為線性模型 最后往往歸結(jié)為線性問(wèn)題 它比較容易處理 因此 線性代數(shù)在工程技術(shù) 科學(xué)研究以及經(jīng)濟(jì) 管理等許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用 是一門(mén)基本的和重要的學(xué)科 線性代數(shù)的計(jì)算方法是計(jì)算數(shù)學(xué)里一個(gè)很重要的內(nèi)容 線性 linear 指量與量之間按比例 成直線的關(guān)系 在數(shù)學(xué)上可以理解為一階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)的函數(shù) 非線性 non linear 則指不按比例 不成直線的關(guān)系 一階導(dǎo)數(shù)不為常數(shù) 什么是線性關(guān)系 線性代數(shù) 研究對(duì)象 線性空間 線性變換和有限維的線性方程組 研究工具 行列式 矩陣與向量 線性代數(shù) 第六版 第一章行列式 第二章矩陣及其運(yùn)算 第三章矩陣的初等變換與線性方程組 第四章向量組的線性相關(guān)性 第五章相似矩陣及二次型 第六章線性空間與線性變換 選學(xué) 在以往的學(xué)習(xí)中 我們接觸過(guò)二元 三元等簡(jiǎn)單的線性方程組 但是 從許多實(shí)踐或理論問(wèn)題里導(dǎo)出的線性方程組常常含有相當(dāng)多的未知量 并且未知量的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)也不一定相等 我們先討論未知量的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)相等的特殊情形 在討論這一類線性方程組時(shí) 我們引入行列式這個(gè)計(jì)算工具 行列式是線性代數(shù)的一種工具 學(xué)習(xí)行列式主要就是要能計(jì)算行列式的值 第一章行列式 Determinant 內(nèi)容提要 1二階與三階行列式 2全排列與對(duì)換 3n階行列式的定義 4行列式的性質(zhì) 5行列式按行 列 展開(kāi) 行列式的概念 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 1二階與三階行列式 Determinentofordertwoorthree 我們從最簡(jiǎn)單的二元線性方程組出發(fā) 探求其求解公式 并設(shè)法化簡(jiǎn)此公式 一 二元線性方程組與二階行列式 二元線性方程組 由消元法 得 當(dāng)時(shí) 該方程組有唯一解 1 二階行列式的定義 求解公式為 二元線性方程組 請(qǐng)觀察 此公式有何特點(diǎn) 分母相同 由方程組的四個(gè)系數(shù)確定 分子 分母都是四個(gè)數(shù)分成兩對(duì)相乘再相減而得 二元線性方程組 我們引進(jìn)新的符號(hào)來(lái)表示 四個(gè)數(shù)分成兩對(duì)相乘再相減 記號(hào) 數(shù)表 定義1表達(dá)式稱為由該數(shù)表所確定的二階行列式 determinantofordertwo 即 其中 稱為元素 element i為行標(biāo) 表明元素位于第i行 j為列標(biāo) 表明元素位于第j列 原則 橫行豎列 2 二階行列式的計(jì)算 主對(duì)角線 副對(duì)角線 即 主對(duì)角線上兩元素之積 副對(duì)角線上兩元素之積 對(duì)角線法則 根據(jù)定義x1 x2的分子也可以寫(xiě)成行列式形式如下 二元線性方程組 若令 方程組的系數(shù)行列式 則上述二元線性方程組的解可表示為 例1 求解二元線性方程組 解 因?yàn)?所以 二 三階行列式 1 定義設(shè)有9個(gè)數(shù)排成3行3列的數(shù)表 原則 橫行豎列 引進(jìn)記號(hào) 稱為三階行列式 主對(duì)角線 副對(duì)角線 二階行列式的對(duì)角線法則并不適用 2 三階行列式的計(jì)算 對(duì)角線法則 三角形法則 注意 對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式 實(shí)線上的三個(gè)元素的乘積冠正號(hào) 虛線上的三個(gè)元素的乘積冠負(fù)號(hào) 三角形法 例2計(jì)算行列式 解 按對(duì)角線法則 有 解 例3計(jì)算三階行列式 方程左端 解 由得 例4求解方程 例5求解方程組 解 令 課堂練習(xí) 計(jì)算下列行列式 小結(jié) 一 二階 三階行列式的概念 二 二階 三階行列式的計(jì)算方法 1 二階行列式 對(duì)角線法則 2 三階行列式 對(duì)角線法則 注意 對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式 實(shí)線上的三個(gè)元素的乘積冠正號(hào) 虛線上的三個(gè)元素的乘積冠負(fù)號(hào) 三角形法 作業(yè) P21 1 1 4 2 2 6 2全排列與對(duì)換 PermutationandTransposition 引例 用1 2 3三個(gè)數(shù)字 可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù) 解 123 1 2 3 百位 3種放法 十位 1 2 3 1 個(gè)位 1 2 3 2種放法 1種放法 種放法 共有 所求六個(gè)三位數(shù)為123 132 213 231 312 321 問(wèn)題把n個(gè)不同的元素排成一列 共有多少種不同的排法 定義1把n個(gè)不同的元素排成一列 叫做這n個(gè)元素的全排列 allpermutation n個(gè)不同元素的所有排列的種數(shù) 通常用Pn表示 顯然 即n個(gè)不同的元素一共有n 種不同的排法 所有6種不同的排法中 只有一種排法 123 中的數(shù)字是按從小到大的自然順序排列的 而其他排列中都有大的數(shù)排在小的數(shù)之前 因此大部分的排列都不是 順序 而是 逆序 3個(gè)不同的元素一共有3 6種不同的排法 123 132 213 231 312 321 對(duì)于n個(gè)不同的元素 可規(guī)定各元素之間的標(biāo)準(zhǔn)次序 n個(gè)不同的自然數(shù) 規(guī)定從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序 定義2一個(gè)排列中某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí) 就稱這兩個(gè)元素組成一個(gè)逆序 inversesequence 例如在排列32514中 32514 思考題 還能找到其它逆序嗎 答 2和1 3和1也構(gòu)成逆序 定義3排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù) inversenumber 排列的逆序數(shù)通常記為 奇排列 逆序數(shù)為奇數(shù)的排列 偶排列 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列 思考題 符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列是奇排列還是偶排列 答 符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列 例如 123 的逆序數(shù)等于零 因而是偶排列 計(jì)算排列的逆序數(shù)的方法 則此排列的逆序數(shù)為 設(shè)是1 2 n這n個(gè)自然數(shù)的任一排列 并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序 先看有多少個(gè)比大的數(shù)排在前面 記為 再看有多少個(gè)比大的數(shù)排在前面 記為 最后看有多少個(gè)比大的數(shù)排在前面 記為 例1 求排列32514的逆序數(shù) 解 例2 求下列排列的逆序數(shù) 并說(shuō)明奇偶性 解 2 1 453162 解 奇排列 偶排列 練習(xí) 討論1 2 3所有全排列的奇偶性 解 t 132 1 123 132 213 231 312 321 t 123 0 t 213 1 t 231 2 t 312 2 t 321 3 故 123 231 312為偶排列 132 213 321為奇排列 定義3在排列中 將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào) 其余的元素不動(dòng) 這種作出新排列的手續(xù)叫做對(duì)換 將相鄰兩個(gè)元素對(duì)換 叫做相鄰對(duì)換 例如 二 對(duì)換 2 對(duì)換與排列奇偶性的關(guān)系 定理1對(duì)換改變排列的奇偶性 推論 奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù) 偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù) 例如312為偶排列 321為奇排列 213為奇排列 定理2n個(gè)元素的所有全排列中奇排列與偶排列數(shù)各占一半 即各有個(gè) 證 設(shè)n個(gè)元素的所有全排列中共有t個(gè)奇排列和s個(gè)偶排列 奇排列經(jīng)一次對(duì)換都變成偶排列 例如1 2 3的所有排列中恰有3個(gè)偶排列和3個(gè)奇排列 于是t s 同理得s t 故s t 又因?yàn)閟 t n 所以s t 3n階行列式的定義 一 概念的引入 規(guī)律 三階行列式共有6項(xiàng) 即3 項(xiàng) 每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積 每一項(xiàng)可以寫(xiě)成 正負(fù)號(hào)除外 其中是1 2 3的某個(gè)排列 當(dāng)是偶排列時(shí) 對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取正號(hào) 當(dāng)是奇排列時(shí) 對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取負(fù)號(hào) 所以 三階行列式可以寫(xiě)成 其中表示對(duì)1 2 3的所有排列求和 二階行列式有類似規(guī)律 下面將行列式推廣到一般的情形 二 n階行列式的定義 簡(jiǎn)記作 其中t t p1p2 pn 為行列式D的 i j 元 定義1設(shè)有個(gè)數(shù)排成n行n列的數(shù)表 和式 稱為由上數(shù)表所確定的n階行列式 n階行列式共有n 項(xiàng) 每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的n個(gè)元素的乘積 每一項(xiàng)可以寫(xiě)成 正負(fù)號(hào)除外 其中是1 2 n的某個(gè)排列 當(dāng)是偶排列時(shí) 對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取正號(hào) 當(dāng)是奇排列時(shí) 對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取負(fù)號(hào) 思考題 成立嗎 答 符號(hào)可以有兩種理解 若理解成絕對(duì)值 則 若理解成一階行列式 則 注意 當(dāng)n 1時(shí) 一階行列式 a a 注意不要與絕對(duì)值的記號(hào)相混淆 例如 一階行列式 例1 寫(xiě)出四階行列式中含有因子的項(xiàng) 解 一般項(xiàng)為 和 已知 根據(jù)行列式的定義 或 于是 或 故所求項(xiàng)為 例2 計(jì)算行列式 解 其中 1 對(duì)角行列式 2 三 特殊行列式 3 上三角形行列式 主對(duì)角線下側(cè)元素都為0 4 下三角形行列式 主對(duì)角線上側(cè)元素都為0 練習(xí) 例3 已知 求的系數(shù) 故的系數(shù)為 1 解 含的項(xiàng)有兩項(xiàng) 即 對(duì)應(yīng)于 4對(duì)換 一 對(duì)換的定義 定義 在排列中 將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào) 其余的元素不動(dòng) 這種作出新排列的手續(xù)叫做對(duì)換 將相鄰兩個(gè)元素對(duì)換 叫做相鄰對(duì)換 例如 二 對(duì)換與排列奇偶性的關(guān)系 定理1對(duì)換改變排列的奇偶性 推論 奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù) 偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù) 備注相鄰對(duì)換是對(duì)換的特殊情形 一般的對(duì)換可以通過(guò)一系列的相鄰對(duì)換來(lái)實(shí)現(xiàn) 如果連續(xù)施行兩次相同的對(duì)換 那么排列就還原了 二 對(duì)換與排列奇偶性的關(guān)系 定理1對(duì)換改變排列的奇偶性 證明 先考慮相鄰對(duì)換的情形 注意到除外 其它元素的逆序數(shù)不改變 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 因此相鄰對(duì)換改變排列的奇偶性 既然相鄰對(duì)換改變排列的奇偶性 那么 因此 一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換 排列的奇偶性改變 推論 奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù) 偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù) 由定理1知 對(duì)換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù) 而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列 逆序數(shù)為零 因此可知推論成立 證明 因?yàn)閿?shù)的乘法是可以交換的 所以n個(gè)元素相乘的次序是可以任意的 即 每作一次交換 元素的行標(biāo)與列標(biāo)所成的排列與都同時(shí)作一次對(duì)換 即與同時(shí)改變奇偶性 但是這兩個(gè)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變 于是與同時(shí)為奇數(shù)或同時(shí)為偶數(shù) 即是偶數(shù) 因?yàn)閷?duì)換改變排列的奇偶性 是奇數(shù) 也是奇數(shù) 設(shè)對(duì)換前行標(biāo)排列的逆序數(shù)為 列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 所以是偶數(shù) 因此 交換中任意兩個(gè)元素的位置后 其行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變 設(shè)經(jīng)過(guò)一次對(duì)換后行標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 經(jīng)過(guò)一次對(duì)換是如此 經(jīng)過(guò)多次對(duì)換還是如此 所以 在一系列對(duì)換之后 三項(xiàng)的符號(hào)也是相同的 即 定理2n階行列式也可定義為 定理3n階行列式也可定義為 四 行列式的等價(jià)定義 四個(gè)結(jié)論 1 對(duì)角行列式 2 3 上三角形行列式 主對(duì)角線下側(cè)元素都為0 4 下三角形行列式 主對(duì)角線上側(cè)元素都為0 因?yàn)閿?shù)的乘法是可以交換的 所以n個(gè)元素相乘的次序是可以任意的 即 每作一次交換 元素的行標(biāo)與列標(biāo)所成的排列與都同時(shí)作一次對(duì)換 即與同時(shí)改變奇偶性 但是這兩個(gè)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變 于是與同時(shí)為奇數(shù)或同時(shí)為偶數(shù) 即是偶數(shù) 因?yàn)閷?duì)換改變排列的奇偶性 是奇數(shù) 也是奇數(shù) 設(shè)對(duì)換前行標(biāo)排列的逆序數(shù)為 列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 所以是偶數(shù) 因此 交換中任意兩個(gè)元素的位置后 其行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變 設(shè)經(jīng)過(guò)一次對(duì)換后行標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 經(jīng)過(guò)一次對(duì)換是如此 經(jīng)過(guò)多次對(duì)換還是如此 所以 在一系列對(duì)換之后 三項(xiàng)的符號(hào)也是相同的 即 定理2n階行列式也可定義為 定理3n階行列式也可定義為 例4試判斷和 是否都是六階行列式中的項(xiàng) 所以是六階行列式中的項(xiàng) 行標(biāo)和列標(biāo)的逆序數(shù)之和 所以不是六階行列式中的項(xiàng) 例5用行列式的定義計(jì)算 解 例6 是五階行列式的 一項(xiàng) 求 解 將已知項(xiàng)按行標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)次序排列得 由此得 而 小結(jié) 一 排列與逆序數(shù) 2 行列式的三種表示方法 二 n階行列式 作業(yè) P21 2 4 6 4行列式的性質(zhì) 一 行列式的性質(zhì) 則行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式 若記 則 定義1記 注 行列式也是行列式的轉(zhuǎn)置行列式 即 例1寫(xiě)出下列行列式的轉(zhuǎn)置行列式 解 性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等 證明 根據(jù)行列式的定義 有 若記 則 行列式中行與列具有同等的地位 行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立 性質(zhì)2互換行列式的兩行 列 行列式變號(hào) 驗(yàn)證 于是 推論如果行列式有兩行 列 完全相同 則此行列式為零 證明 互換相同的兩行 有 所以 備注 交換第行 列 和第行 列 記作 性質(zhì)3行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以同一個(gè)倍數(shù) 等于用數(shù)乘以此行列式 驗(yàn)證 我們以三階行列式為例 記 根據(jù)三階行列式的對(duì)角線法則 有 備注 第行 列 乘以 記作 D1 推論行列式的某一行 列 中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面 備注 第行 列 提出公因子 記作 驗(yàn)證 我們以4階行列式為例 性質(zhì)4行列式中如果有兩行 列 元素成比例 則此行列式為零 性質(zhì)5若行列式的某一列 行 的元素都是兩數(shù)之和 即 驗(yàn)證 我們以三階行列式為例 有錯(cuò)誤 性質(zhì)6把行列式的某一列 行 的各元素乘以同一個(gè)倍數(shù)然后加到另一列 行 對(duì)應(yīng)的元素上去 行列式不變 則 驗(yàn)證 我們以三階行列式為例 記 備注 以數(shù)乘第行 列 加到第行 列 上 記作 證 由性質(zhì)5和性質(zhì)4 例1計(jì)算行列式 二 應(yīng)用舉例 解 計(jì)算行列式常用方法 利用行列式性質(zhì)將給定行列式化為上三角形行列式 從而算得行列式的值 例2 計(jì)算行列式常用方法 利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式 從而算得行列式的值 解 例3計(jì)算階行列式 解 將第列都加到第一列得 例4設(shè) 證明 證明 對(duì)作運(yùn)算 把化為下三角形行列式 設(shè)為 對(duì)作運(yùn)算 把化為下三角形行列式 設(shè)為 對(duì)D的前k行作運(yùn)算 再對(duì)后n列作運(yùn)算 把D化為下三角形行列式 故 例5計(jì)算行列式 解 把D2n的第2n行依次與第2n 1行 第2行對(duì)調(diào) 作2n 2次相鄰兌換 第2n列依次與第2n 1列 第2列對(duì)調(diào) 得 2 n 1 以此作遞推公式 即得 例6計(jì)算行列式 行列式特點(diǎn) 第一行 列及對(duì)角線元素除外 其余元素全為0 常用方法 行列式第一列加其它各列一定倍數(shù) 化為三角形行列式 三線型 爪型 解 作 行列式的主要性質(zhì) 性質(zhì)2互換行列式的某兩行 列 行列式的值變號(hào) 推論行列式中有兩行 列 完全相同 則其值為零 性質(zhì)3行列式中某一行 列 的公因子可提到行列式符號(hào)的前面 小結(jié) 推論1若行列式的某一行 列 中所有元素全為零 則此行列式的值為零 性質(zhì)4若行列式的某兩行 列 的對(duì)應(yīng)元素成比例 則此行列式的值為零 性質(zhì)5若行列式的某一行 列 中所有元素都是兩個(gè)元素的和 則此行列式等于兩個(gè)行列式的和 性質(zhì)6行列式某一行 列 k倍加到另一行 列 上 行列式的值不變 作業(yè) P214 2 6 5行列式按行 列 展開(kāi) 對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式 本節(jié)主要考慮如何用低階行列式來(lái)表示高階行列式 一 引言 結(jié)論三階行列式可以用二階行列式表示 思考題任意一個(gè)行列式是否都可以用較低階的行列式表示 定義在n階行列式中 把元素所在的第行和第列劃后 留下來(lái)的n 1階行列式叫做元素的余子式 記作 例如 把稱為元素的代數(shù)余子式 注 1 行列式中每一個(gè)元素對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和代數(shù)余子式 2 一個(gè)元素的余子式和代數(shù)余子式只與該元素的位置有關(guān) 引理一個(gè)n階行列式 如果其中第行所有元素除外都為零 那么這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積 即 例如 即有 又 從而 下面再討論一般情形 分析 當(dāng)位于第1行第1列時(shí) 我們以4階行列式為例 思考題 能否以代替上述兩次行變換 思考題 能否以代替上述兩次行變換 答 不能 被調(diào)換到第1行 第1列 例1計(jì)算行列式 解 例2用按行 列 展開(kāi)法計(jì)算下列行列式 二 行列式按行 列 展開(kāi)法則 定理3行列式等于它的任一行 列 的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和 即 同理可得 證明用數(shù)學(xué)歸納法 例3證明范德蒙德 Vandermonde 行列式 所以n 2時(shí) 1 式成立 假設(shè) 1 對(duì)于n 1階范德蒙行列式成立 從第n行開(kāi)始 后行減去前行的倍 按照第1列展開(kāi) 并提出每列的公因子 就有 n 1階范德蒙德行列式 推論行列式任一行 列 的元素與另一行 列 的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零 即 分析我們以3階行列式為例 把第1行的元素?fù)Q成第2行的對(duì)應(yīng)元素 則 定理3行列式等于它的任一行 列 的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和 即 推論行列式任一行 列 的元素與另一行 列 的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零 即 綜上所述 有 同理可得 例4設(shè) 的元的余子式和代數(shù)余子式依次記作和 求 分析利用 及 解 練習(xí) P228 1 7 引理一個(gè)n階行列式 如果其中第行所有元素除外都為零 那么這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積 即 一 余子式與代數(shù)余子式的定義與聯(lián)系 二 按行 列 展開(kāi)定理 小結(jié) 定理2行列式等于它的任一行 列 的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和 即 推論行列式任一行 列 的元素與另一行 列 的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零 即 綜上所述 有 同理可得 作業(yè) P228 2 9 第一章習(xí)題課 1逆序數(shù) 在一個(gè)排列 i1i2 is it in 中 若數(shù)is it 則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序 一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù) 逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列 2計(jì)算排列逆序數(shù)的方法 依次計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼個(gè)數(shù)并求和 即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù) 則所有元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù) 3 n階行列式的定義 或 4 n階行列式的性質(zhì) 性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等 即DT D 性質(zhì)2 互換行列式的兩行 列 行列式變號(hào) 推論 如果行列式有兩行 列 完全相同 則此行列式為零 性質(zhì)3 行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以同一數(shù)k 等于用數(shù)k乘此行列式 推論 行列式的某一行 列 中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面 性質(zhì)4 行列式中如果有兩行 列 元素成比例 則此行列式為零 性質(zhì)5 若行列式的某一列 行 的元素都是兩數(shù)之和 則該行列式等于兩個(gè)行列式之和 性質(zhì)6 把行列式的某一列 行 的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列 行 對(duì)應(yīng)的元素上去 行列式不變 5 行列式按行 列 展開(kāi) 在n階行列式D中 把元素aij所在的第i行和第j列元素劃去后 留下來(lái)的n 1階行列式叫做 行列式D的關(guān)于 元素aij的余子式 記作Mij 稱Aij 1 i jMij為元素aij的代數(shù)余子式 典型例題 例1 計(jì)算行列式 解 例3 計(jì)算 解 將第2 3 n 1列都加到第1列 得 提取第一列的公因子 得 cj 1 aj c1 j 1 2 3 n 得 評(píng)注 本題利用行列式的性質(zhì) 采用 化零 的方法 逐步將所給行列式化為三角形行列式 化零時(shí)一般盡量選含有1的行 列 及含零較多的行 列 若沒(méi)有1 則可適當(dāng)選取便于化零的數(shù) 或利用行列式性質(zhì)將某行 列 中的某數(shù)化為1 若所給行列式中元素間具有某些特點(diǎn) 則應(yīng)充分利用這些特點(diǎn) 應(yīng)用行列式性質(zhì) 以達(dá)到化為三角形行列式之目的 第二章矩陣及其運(yùn)算 2 1線性方程組和矩陣 2 2矩陣的運(yùn)算 2 3逆矩陣 2 4克拉姆法則 2 5矩陣分塊法 1線性方程組和矩陣 一 矩陣概念的引入二 矩陣的定義三 特殊的矩陣四 矩陣與線性變換 定義1設(shè)有n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的線性方程組 一 線性方程組 其中aij表示第i個(gè)方程第j個(gè)未知數(shù)的系數(shù) coefficient bi是第i個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng) constant i 1 2 m j 1 2 n 1 b1 b2 bm不全為零時(shí) 方程組 1 稱為n元非齊次線性方程組 systemofnon homogeneouslinearequations b1 b2 bm 0時(shí) 方程組 1 成為 2 稱為n元齊次線性方程組 systemofhomogeneouslinearequations 對(duì)于齊次線性方程組 2 x1 x2 xn 0一定是它的解 稱為方程組 2 的零解 nullsolution 如果存在不全為零的數(shù)是 2 的解 則稱為其非零解 non zerousolution n元線性方程組通常簡(jiǎn)稱為線性方程組或方程組 1 有唯一解 2 無(wú)解 3 有無(wú)窮多解 例如 非齊次方程組可能有解可能無(wú)解 線性方程組的研究?jī)?nèi)容 是否有解 有解時(shí)它的解是否唯一 如果有多個(gè)解 如何求出其所有解 問(wèn)題的答案都取決與方程組 1 的m n個(gè)系數(shù)aij i 1 2 m j 1 2 n 與常數(shù)項(xiàng)b1 b2 bm所構(gòu)成的m行n 1列的矩形數(shù)表 齊次方程組 2 的相應(yīng)問(wèn)題取決于m行n列數(shù)表 b1b2 bm 由m n個(gè)數(shù)排成的m行n列的數(shù)表 稱為m行n列矩陣 簡(jiǎn)稱m n矩陣 記作 二 矩陣 Matrix 的定義 簡(jiǎn)記為 元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣 元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣 這m n個(gè)數(shù)稱為矩陣A的元素 簡(jiǎn)稱為元 行數(shù)可不等于列數(shù)共有m n個(gè)元素本質(zhì)上就是一個(gè)數(shù)表 行數(shù)等于列數(shù)共有n2個(gè)元素 矩陣 行列式 行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣 稱為n階方陣 可記作 只有一行的矩陣稱為行矩陣 或行向量 只有一列的矩陣稱為列矩陣 或列向量 元素全是零的矩陣稱為零距陣 可記作O 例如 三 特殊的矩陣 形如的方陣稱為對(duì)角陣 diagonalmatrix 特別的 方陣稱為單位陣 unitmatrix 記作 記作 形如下面兩個(gè)矩陣的方陣稱為上三角矩陣 uppertriangularmatrix 5 形如下面兩個(gè)矩陣的方陣稱為下三角矩陣 lowertriangularmatrix 6 若方陣中 則稱為對(duì)稱矩陣 symmetricmatrix 即 例如 7 如果方陣中 則A稱為反對(duì)稱矩陣 antisymmetricmatrix 即 例如 同型矩陣與矩陣相等的概念 兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等 列數(shù)相等時(shí) 稱為同型矩陣 例如 為同型矩陣 兩個(gè)矩陣與為同型矩陣 并且對(duì)應(yīng)元素相等 即則稱矩陣A與B相等 記作A B 注意 不同型的零矩陣是不相等的 例如 例1對(duì)于非齊次線性方程組 1 四 應(yīng)用舉例 有下列幾個(gè)矩陣 未知數(shù)矩陣 常數(shù)項(xiàng)矩陣 系數(shù)矩陣 增廣矩陣 第i市到j(luò)市有單程航線用1表示 無(wú)單程航線用0表示 則得到一個(gè)數(shù)表 例2某航空公司在四座城市之間開(kāi)辟了若干航線 四座城市之間的航班圖如圖所示 箭頭從始發(fā)地指向目的地 圖2 1 若令 則圖2 1中的航線可表示成下列矩陣 其中aij表示工廠向第i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量 例3某工廠生產(chǎn)四種貨物 它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為 這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表 其中bi1表示第i種貨物的單價(jià) bi2表示第i種貨物的單件重量 表示一個(gè)從變量到變量線性變換 其中為常數(shù) 五 矩陣與線性變換 n個(gè)變量與m個(gè)變量之間的關(guān)系式 系數(shù)矩陣 線性變換與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 2 例4線性變換 稱為恒等變換 單位陣En 恒等變換 投影變換 例52階方陣 以原點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)j角的旋轉(zhuǎn)變換 例62階方陣 小結(jié) 1 矩陣的定義 2 特殊矩陣 4 矩陣與線性變換 行 列 矩陣 單位矩陣 零矩陣 對(duì)稱矩陣 反對(duì)稱矩陣 3 同型矩陣 矩陣相等 對(duì)角矩陣 三角矩陣 2矩陣的運(yùn)算 例1某工廠生產(chǎn)四種貨物 它在上半年和下半年向三家商店發(fā)送貨物的數(shù)量可用數(shù)表表示 試求 工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量 其中aij表示上半年工廠向第i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量 其中cij表示工廠下半年向第i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量 解 工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量 一 矩陣的加法 定義 設(shè)有兩個(gè)m n矩陣A aij B bij 那么矩陣A與B的和記作A B 規(guī)定為 說(shuō)明 只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí) 才能進(jìn)行加法運(yùn)算 例2求A B 其中 解 知識(shí)點(diǎn)比較 矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律 設(shè)A B C是同型矩陣 設(shè)矩陣A aij 記 A aij 稱為矩陣A的負(fù)矩陣 顯然 設(shè)工廠向某家商店發(fā)送四種貨物各l件 試求 工廠向該商店發(fā)送第j種貨物的總值及總重量 例1 續(xù) 該廠所生產(chǎn)的貨物的單價(jià)及單件重量可列成數(shù)表 其中bi1表示第i種貨物的單價(jià) bi2表示第i種貨物的單件重量 解 工廠向該商店發(fā)送第j種貨物的總值及總重量 其中bi1表示第i種貨物的單價(jià) bi2表示第i種貨物的單件重量 二 數(shù)與矩陣相乘 定義 數(shù)l與矩陣A的乘積記作lA或Al 規(guī)定為 2 數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律 設(shè)A B是同型矩陣 l m是數(shù) 矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來(lái) 統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算 知識(shí)點(diǎn)比較 其中aij表示工廠向第i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量 例1 續(xù) 某工廠生產(chǎn)四種貨物 它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為 這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表 其中bi1表示第i種貨物的單價(jià) bi2表示第i種貨物的單件重量 試求 工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量 解 以ci1 ci2分別表示工廠向第i家商店所發(fā)貨物的總值及總重量 其中i 1 2 3 于是 其中aij表示工廠向第i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量 其中bi1表示第i種貨物的單價(jià) bi2表示第i種貨物的單件重量 可用矩陣表示為 一般地 三 矩陣與矩陣相乘 定義 設(shè) 那么規(guī)定矩陣A與矩陣B的乘積是一個(gè)m n矩陣 其中 并把此乘積記作C AB 例2設(shè) 求 解 則 因此 知識(shí)點(diǎn)比較 有意義 沒(méi)有意義 只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí) 兩個(gè)矩陣才能相乘 例3 結(jié)論 矩陣乘法不一定滿足交換律 矩陣 卻有 從而不能由得出或的結(jié)論 矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律 1 乘法結(jié)合律 3 乘法對(duì)加法的分配律 2 數(shù)乘和乘法的結(jié)合律 其中l(wèi)是數(shù) 4 單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1 即 推論 矩陣乘法不一定滿足交換律 但是純量陣lE與任何同階方陣都是可交換的 純量陣不同于對(duì)角陣 5 方陣的冪若A是n階方陣 定義 顯然 思考 下列等式在什么時(shí)候成立 A B可交換時(shí)成立 練習(xí) 求A 2B和BC 四 矩陣的轉(zhuǎn)置 定義 把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣 叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣 記作AT 例4 轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì) 分析 設(shè) 則 而 又 如果 不可乘 但 有意義 例5已知 解法1 解法2 定義 設(shè)A為n階方陣 如果滿足 即那么A稱為對(duì)稱陣 如果滿足A AT 那么A稱為反對(duì)稱陣 對(duì)稱陣 反對(duì)稱陣 例5設(shè)列矩陣X x1 x2 xn T滿足XTX 1 E為n階單位陣 H E 2XXT 試證明H是對(duì)稱陣 且HHT E 證明 從而H是對(duì)稱陣 五 方陣的行列式 定義 由n階方陣的元素所構(gòu)成的行列式 叫做方陣A的行列式 記作 A 或detA 運(yùn)算性質(zhì) 證明 要使得 AB A B 有意義 A B必為同階方陣 假設(shè)A aij n n B bij n n 我們以n 3為例 構(gòu)造一個(gè)6階行列式 令 則C cij AB 從而 定義 行列式 A 的各個(gè)元素的代數(shù)余子式Aij所構(gòu)成的如下矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣 adjointmatrix 元素的代數(shù)余子式位于第j行第i列 注 1 只有方陣才有伴隨矩陣 2 與的階數(shù)相同 六 方陣的伴隨矩陣 例2 求3階方陣的伴隨矩陣 解 性質(zhì) 證明 令 則 2 設(shè)A B為復(fù)矩陣 l為復(fù)數(shù) 且運(yùn)算都是可行的 七 共軛矩陣 運(yùn)算性質(zhì) 當(dāng)為復(fù)矩陣時(shí) 用表示的共軛復(fù)數(shù) 記 稱為的共軛矩陣 小結(jié) 1 矩陣的運(yùn)算 線性運(yùn)算 加法 數(shù)乘 冪運(yùn)算 2 方陣 乘法運(yùn)算 轉(zhuǎn)置運(yùn)算 伴隨矩陣 行列式 3逆矩陣 矩陣與復(fù)數(shù)相仿 有加 減 乘三種運(yùn)算 矩陣的乘法是否也和復(fù)數(shù)一樣有逆運(yùn)算呢 這就是本節(jié)所要討論的問(wèn)題 這一節(jié)所討論的矩陣 如不特別說(shuō)明 所指的都是n階方陣 從乘法的角度來(lái)看 n階單位矩陣E在同階方陣中的地位類似于1在復(fù)數(shù)中的地位 一個(gè)復(fù)數(shù)a 0的倒數(shù)a 1可以用等式aa 1 1來(lái)刻劃 類似地 我們引入 對(duì)于n階單位矩陣E以及同階的方陣A 都有 定義 n階方陣A稱為可逆的 如果有n階方陣B 使得 這里E是n階單位矩陣 根據(jù)矩陣的乘法法則 只有方陣才能滿足上述等式 對(duì)于任意的n階方陣A 適合上述等式的矩陣B是唯一的 如果有的話 定義 如果矩陣B滿足上述等式 那么B就稱為A的逆矩陣 inversematrix 記作A 1 一 逆矩陣的定義 下面要解決的問(wèn)題是 在什么條件下 方陣A是可逆的 如果A可逆 怎樣求A 1 二 矩陣可逆的條件 結(jié)論 其中 當(dāng)時(shí) 上式改寫(xiě)為 令 則存在方陣B使得 定理1 若 則方陣A可逆 而且 推論 若 則 證 由得 即故結(jié)論成立 例1 求二階矩陣的逆矩陣 解 故 例2 求3階方陣的逆矩陣 解 A 1 則 方陣A可逆 此時(shí) 稱矩陣A為非奇異矩陣 定理2 若方陣A可逆 則 解 因?yàn)榭赡?必存在方陣使得 于是 故 結(jié)論2 對(duì)于n階方陣A B 如果 那么A B都是可逆矩陣 并且它們互為逆矩陣 證明同上 結(jié)論1 方陣A可逆的充要條件是 推論2 如果n階方陣A B可逆 那么 與AB也可逆 且 三 逆矩陣的性質(zhì) 證 先證 再證 最后證 上節(jié)內(nèi)容回顧 一 轉(zhuǎn)置矩陣 1 轉(zhuǎn)置矩陣的定義2 轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì) 1 定義 行列式 A 的各個(gè)元素的代數(shù)余子式Aij所構(gòu)成的如下矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣 adjointmatrix 元素的代數(shù)余子式位于第j行第i列 注 1 只有方陣才有伴隨矩陣 2 與的階數(shù)相同 一 方陣的伴隨矩陣 上節(jié)內(nèi)容回顧 設(shè)A B為復(fù)矩陣 l為復(fù)數(shù) 且運(yùn)算都是可行的 三 共軛矩陣 2 運(yùn)算性質(zhì) 1 定義當(dāng)為復(fù)矩陣時(shí) 用表示的共軛復(fù)數(shù) 記 稱為的共軛矩陣 1 定義 n階方陣A稱為可逆的 如果有n階方陣B 使得 其中E是n階單位矩陣 B就稱為A的逆矩陣 記作A 1 二 逆矩陣 2 矩陣可逆的條件 結(jié)論2 對(duì)于n階方陣A B 如果 那么A B都是可逆矩陣 并且它們互為逆矩陣 結(jié)論1 方陣A可逆的充要條件是 3 逆矩陣的求法 伴隨矩陣法 如果n階方陣A B可逆 那么 與AB也可逆 且 4 逆矩陣的性質(zhì) 5 幾個(gè)常用公式 證 設(shè) 是 階的方陣 即 方法一 存在 解 由于 方法二 解 存在 解法三 先左乘A的行列式 解 例4解矩陣方程 解 設(shè) 則原方程可改寫(xiě)為 又因?yàn)?所以 都可逆 于是 即 而 例5設(shè) 求 解 因 故 可逆 且 于是 性質(zhì)1 若 則 即 三 對(duì)角陣的性質(zhì) 性質(zhì)2 若 則 即 性質(zhì)3 若 則 例6設(shè) 且AB E A2 B 求B 解 由AB E A2 B得 AB B A2 E 即 A E B A E A E 因?yàn)?所以A E可逆 從而 1 定義 行列式 A 的各個(gè)元素的代數(shù)余子式Aij所構(gòu)成的如下矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣 adjointmatrix 元素的代數(shù)余子式位于第j行第i列 注 1 只有方陣才有伴隨矩陣 2 與的階數(shù)相同 一 方陣的伴隨矩陣 上節(jié)內(nèi)容回顧 設(shè)A B為復(fù)矩陣 l為復(fù)數(shù) 且運(yùn)算都是可行的 三 共軛矩陣 2 運(yùn)算性質(zhì) 1 定義當(dāng)為復(fù)矩陣時(shí) 用表示的共軛復(fù)數(shù) 記 稱為的共軛矩陣 結(jié)論1 方陣A可逆的充要條件是 1 定義 n階方陣A稱為可逆的 如果有n階方陣B 使得 其中E是n階單位矩陣 B就稱為A的逆矩陣 記作A 1 二 逆矩陣 inversematrix 2 矩陣可逆的條件 結(jié)論2 對(duì)于n階方陣A B 如果 那么A B都是可逆矩陣 并且它們互為逆矩陣 3 逆矩陣的求法 伴隨矩陣法 如果n階方陣A B可逆 那么 與AB也可逆 且 4 逆矩陣的性質(zhì) 5 幾個(gè)常用公式 性質(zhì)1 若 則 即 三 對(duì)角陣的性質(zhì) 性質(zhì)2 若 則 即 性質(zhì)3 若 則 線性變換 的系數(shù)矩陣為n階方陣A 若記 則上述線性變換可記作Y AX 2 3逆矩陣 續(xù) 例7設(shè)線性變換的系數(shù)矩陣是一個(gè)3階方陣 記 求變量y1 y2 y3到變量x1 x2 x3的線性變換 則上述線性變換可記作Y AX 分析 求變量y1 y2 y3到變量x1 x2 x3的線性變換相當(dāng)于求A的逆矩陣 解 由例2已知 于是 即 或 定義 設(shè)是復(fù)數(shù)域上的多項(xiàng)式 稱為矩陣A的m次多項(xiàng)式 則 四 矩陣多項(xiàng)式 polynomialofmatrix 性質(zhì) 設(shè)是復(fù)數(shù)域上的多項(xiàng)式 證 證 例8設(shè)AP P 其中 求 A A8 5E 6A A2 解 由于 8 5E 6 2 diag 1 1 58 diag 5 5 5 diag 6 6 30 diag 1 1 52 diag 1 1 58 diag 12 0 0 12diag 1 0 0 所以 A P P 1 小結(jié) 概念 矩陣可逆的條件 一 可逆矩陣 性質(zhì) 應(yīng)用 二 矩陣多項(xiàng)式 解矩陣方程 求法 伴隨矩陣法 作業(yè) P54 21 22 4克拉默法則 簡(jiǎn)介 克萊姆法則 又譯克拉默法則 Cramer sRule 是線性代數(shù)中一個(gè)關(guān)于求解線性方程組的定理 它適用于變量和方程數(shù)目相等的線性方程組 是瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆 1704 1752 于1750年 在他的 線性代數(shù)分析導(dǎo)言 中發(fā)表的 二元線性方程組 若令 方程組的系數(shù)行列式 則上述二元線性方程組的解可表示為 一 克拉默法則 Gramer sRule 如果線性方程組 的系數(shù)行列式不等于零 即 其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的階行列式 即 那么線性方程組 1 有解并且解是唯一的 解可以表示成 定理中包含著三個(gè)結(jié)論 方程組有解 解的存在性 解是唯一的 解的唯一性 解可以由公式 2 給出 這三個(gè)結(jié)論是有聯(lián)系的 應(yīng)該注意 該定理所討論的只是系數(shù)行列式不為零的方程組 至于系數(shù)行列式等于零的情形 將在第三章的一般情形中一并討論 二 克拉默法則的等價(jià)命題 定理4如果線性方程組 1 的系數(shù)行列式不等于零 則該線性方程組一定有解 而且解是唯一的 定理4 如果線性方程組無(wú)解或有兩個(gè)不同的解 則它的系數(shù)行列式必為零 設(shè) 例1解線性方程組 解 法2用逆矩陣法 因 故A可逆 于是 即 線性方程組 常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組 否則稱為非齊次線性方程組 齊次線性方程組總是有解的 因?yàn)?0 0 0 就是一個(gè)解 稱為零解 因此 齊次線性方程組一定有零解 但不一定有非零解 我們關(guān)心的問(wèn)題是 齊次線性方程組除零解以外是否存在著非零解 三 齊次線性方程組的相關(guān)定理 定理5如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式 則齊次線性方程組只有零解 沒(méi)有非零解 定理5 如果齊次線性方程組有非零解 則它的系數(shù)行列式必為零 備注這兩個(gè)結(jié)論說(shuō)明系數(shù)行列式等于零是齊次線性方程組有非零解的必要條件 在第三章還將證明這個(gè)條件也是充分的 即 齊次線性方程組有非零解系數(shù)行列式等于零 例2問(wèn)取何值時(shí) 齊次方程組 有非零解 解 如果齊次方程組有非零解 則必有 所以時(shí)齊次方程組有非零解 思考題 當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時(shí) 能否用克拉默法則解方程組 為什么 此時(shí)方程組的解為何 答 當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時(shí) 不能用克拉默法則解方程組 因?yàn)榇藭r(shí)方程組的解為無(wú)解或有無(wú)窮多解 課堂練習(xí) 用克拉默法則和逆矩陣法求解線性方程組 1 用克拉默法則解線性方程組的兩個(gè)條件 1 方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù) 2 系數(shù)行列式不等于零 2 克拉默法則的意義主要在于建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系 它主要適用于理論推導(dǎo) 小結(jié) 5矩陣分塊法 前言 由于某些條件的限制 我們經(jīng)常會(huì)遇到大型文件無(wú)法上傳的情況 如何解決這個(gè)問(wèn)題呢 這時(shí)我們可以借助WINRAR把文件分塊 依次上傳 家具的拆卸與裝配問(wèn)題一 什么是矩陣分塊法 問(wèn)題二 為什么提出矩陣分塊法 問(wèn)題一 什么是矩陣分塊法 一 分塊矩陣的概念定義 用一些橫線和豎線將矩陣分成若干個(gè)小塊 這種操作稱為對(duì)矩陣進(jìn)行分塊 matrixpartition 每一個(gè)小塊稱為矩陣的子塊 block 矩陣分塊后 以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣 blockmatrix partitionedmatrix 這是2階方陣嗎 思考題 伴隨矩陣是分塊矩陣嗎 答 不是 伴隨矩陣的元素是代數(shù)余子式 一個(gè)數(shù) 而不是矩陣 問(wèn)題二 為什么提出矩陣分塊法 答 對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣A 運(yùn)算時(shí)采用分塊法 可以使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算 體現(xiàn)了化整為零的思想 二 分塊矩陣的運(yùn)算1 分塊矩陣的加法2 分塊矩陣的數(shù)乘運(yùn)算3 分塊矩陣的乘法 1 分塊矩陣的加法 定理1若矩陣A B是同型矩陣 且采用相同的分塊法 即 則有 形式上看成是普通矩陣的加法 2 分塊矩陣的數(shù)乘 定理2若l是數(shù) 且 則有 形式上看成是普通的數(shù)乘運(yùn)算 3 分塊矩陣的乘法 定理3設(shè)A為m l矩陣 B為l n矩陣 把A B分塊如下 例1設(shè)有 求 A B和AB 解 用分塊矩陣運(yùn)算 令 則 則 于是 故 2 而 于是 三 按行分塊以及按列分塊 m n矩陣A有m行n列 若將第i行記作若將第j列記作則 行分塊矩陣 列分塊矩陣 于是設(shè)A為m s矩陣 B為s n矩陣 若把A按行分塊 把B按列塊 則 四 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置 若 則例如 分塊矩陣不僅形式上進(jìn)行轉(zhuǎn)置 而且每一個(gè)子塊也進(jìn)行轉(zhuǎn)置 五 分塊對(duì)角矩陣 定義 設(shè)A是n階矩陣 若A的分塊矩陣只有在對(duì)角線上有非零子塊 其余子塊都為零矩陣 對(duì)角線上的子塊都是方陣 那么稱A為分塊對(duì)角矩陣 例如 2 分塊對(duì)角矩陣的性質(zhì) A A1 A2 As 若 As 0 則 A 0 并且 證 例2 設(shè) 求A 1 解 例3設(shè) 求 A5 和A4 解 則 因 所以 因 所以 或 例4證Am n Om n的充分必要條件是方陣ATA On n 證明 把A按列分塊 有于是那么即A O 小結(jié) 一 分塊矩陣的概念 二 分塊矩陣的運(yùn)算 加法 數(shù)乘 乘法 轉(zhuǎn)置 三 特殊的分塊矩陣 行分塊矩陣 列分塊矩陣 對(duì)角分塊矩陣 性質(zhì) 作業(yè) P55 25 28 1 第三章矩陣的初等變換與線性方程組 一 矩陣的初等變換二 矩陣的秩三 線性方程組的解 第一節(jié)矩陣的初等變換 一 初等變換的概念二 矩陣之間的等價(jià)關(guān)系三 初等變換與矩陣乘法的關(guān)系四 初等變換的應(yīng)用 知識(shí)點(diǎn)回顧 克拉默法則 結(jié)論1如果線性方程組 1 的系數(shù)行列式不等于零 則該線性方程組一定有解 而且解是唯一的 P 24定理4 結(jié)論1 如果線性方程組無(wú)解或有兩個(gè)不同的解 則它的系數(shù)行列式必為零 P 24定理4 設(shè) 用克拉默法則解線性方程組的兩個(gè)條件 1 方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù) 2 系數(shù)行列式不等于零 線性方程組的解受哪些因素的影響 引例 求解線性方程組 一 矩陣的初等變換 2 2 3 2 5 3 2 取x3為自由變量 則 令x3 c 則 恒等式 三種變換 交換方程的次序 記作 以非零常數(shù)k乘某個(gè)方程 記作 一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍 記作 其逆變換是 結(jié)論 由于對(duì)原線性方程組施行的變換是可逆變換 因此變換前后的方程組同解 在上述變換過(guò)程中 實(shí)際上只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算 未知數(shù)并未參與運(yùn)算 定義 下列三種變換稱為矩陣的初等行變換 elementaryrowtransformations 對(duì)調(diào)兩行 記作 以非零常數(shù)k乘某一行的所有元素 記作 某一行加上另一行的k倍 記作 其逆變換是 把 行 換成 列 就得到矩陣的初等列變換的定義 矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換 初等行變換 初等列變換 初等變換 增廣矩陣 結(jié)論 對(duì)原線性方程組施行的變換可以轉(zhuǎn)化為對(duì)增廣矩陣的變換 B5對(duì)應(yīng)方程組為 令x3 c 則 備注 帶有運(yùn)算符的矩陣運(yùn)算 用 例如 矩陣加法 數(shù)乘矩陣 矩陣乘法 矩陣的轉(zhuǎn)置T 上標(biāo) 方陣的行列式 不帶運(yùn)算符的矩陣運(yùn)算 用 例如 初等行變換初等列變換 有限次初等行變換 有限次初等列變換 A B行等價(jià) 記作 A B列等價(jià) 記作 二 矩陣之間的等價(jià)關(guān)系 有限次初等變換 矩陣A與矩陣B等價(jià) 記作 矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì) 反身性 對(duì)稱性若 則 傳遞性若 則 行階梯形矩陣 Row EchelonForm 可畫(huà)出一條階梯線 線的下方全為零 每個(gè)臺(tái)階只有一行 階梯線的豎線后面是非零行的第一個(gè)非零元素 行最簡(jiǎn)形矩陣 Row SimplestForm 行階梯型矩陣若滿足 1 非零行的首個(gè)非零元為1 2 這些非零元所在的列的其它元素都為零 標(biāo)準(zhǔn)形矩陣 NormalizedForm 左上角是一個(gè)單位矩陣 其它元素全為零 行最簡(jiǎn)形矩陣 Row SimplestForm 行階梯型矩陣若滿足 1 非零行的首個(gè)非零元為1 2 這些非零元所在的列的其它元素都為零 標(biāo)準(zhǔn)形矩陣由m n r三個(gè)參數(shù)完全確定 其中r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù) 故 三者之間的包含關(guān)系 1 r min m n 任何矩陣 行最簡(jiǎn)形矩陣 行階梯形矩陣 標(biāo)準(zhǔn)形矩陣 結(jié)論 367 將下列矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形 例2 解 368 課堂練習(xí)1 用初等變換將下列矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣 3 1 2矩陣的初等變換 下 上節(jié)內(nèi)容回顧 一 初等變換的定義 二 矩陣的分類 三 三種特殊矩陣 一 初等變換的定義 對(duì)調(diào)兩行 記作 以非零常數(shù)k乘某一行的所有元素 記作 某一行加上另一行的k倍 記作 其逆變換是 矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換 初等變換 初等行變換 初等列變換 下列三種變換稱為矩陣的初