必修一高一數(shù)學壓軸題

.;.1 （本小題滿分12 分）已知 x 滿足不等式2(logx)27log 1 x30 ，求 f ( x)logx2 4log 2221x的最大值與最小值及相應(yīng)x 值22 （ 14 分）已知定義域為r 的函數(shù)f ( x)x2a 是奇函數(shù)x21（1 ）求 a 值；22（ 2）判斷并證明該函數(shù)在定義域r上的單調(diào)性；（ 3）若對任意的tr ，不等式f (t2t )f (2tk)0 恒成立，求實數(shù)k 的取值范圍；3. （本小題滿分10 分 ）已知定義在區(qū)間(1,1) 上的函數(shù)f ( x)axb 為奇函數(shù) ,且12 .(1) 求實數(shù) a , b的值；1x2f ()25(2) 用定義證明 :函數(shù)f ( x)在區(qū)間 (1,1) 上是增函數(shù)；(3) 解關(guān)于 t 的不等式f (t1)f (t )0 .4.(14 分)定義在 r上的函數(shù) f(x) 對任意實數(shù)a,br,均有 f(ab)=f(a)+f(b) 成立，且當x1 時 ,f(x)0 ，(1) 求 f(1)(2) 求證： f(x) 為減函數(shù)。(3) 當 f(4)= -2 時，解不等式f ( x3)f (5)15. （本小題滿分12 分）已知定義在1， 4 上的函數(shù) f(x) x2-2bx+b(b 1) ，4(i) 求 f(x) 的最小值 g(b) ；(ii) 求 g(b) 的最大值 m。6（.12 分）設(shè)函數(shù)f (x)log a( x3a)( a0, 且a1) ，當點p( x, y) 是函數(shù)yf ( x) 圖象上的點時， 點 q(x2a,y)是函數(shù)yg(x) 圖象上的點 .（ 1）寫出函數(shù)yg( x)的解析式；（ 2）若當 xa2, a3 時，恒有 |f (x)g(x) |,1 ，試確定 a 的取值范圍；（ 3 ） 把yg( x)的 圖 象 向 左 平 移 a 個 單 位 得 到y(tǒng)h( x)的 圖 象 ， 函 數(shù)f ( x)2a1 h (x )a2 2h x( )h x(a，（ a0,且a1 ）在 1 ,44的最大值為54，求 a 的值.10、已知定義在r 上的偶函數(shù)f ( x)在0,) 上單調(diào)遞增，且f (2)0 ，則不等式f (log 2 x)0 的解集為（）a ( 1 , 4)41ab (, 1)(4,)41c (0, 1 )(4,)4d (, 1)(0,4)411、設(shè) a(0, 2) ， 則 a,log 12a, a 2之間的大小關(guān)系是（）1a11aa11aa aa 2log 12ab a2log 12aac log 12aaa 2 d log2aa2a12、函數(shù)f ( x)ax2bxc(a0) ，對任意的非常實數(shù)a, b, c, m, n, p ，關(guān)于 x 的方程m f(x) 2nf ( x)p0 的解集不可能是（）a 1,2b 1,4c 1,2,3,4d 1,4,16,64二、填空題：本大題共4 個小題，每小題5 分，共 20 分13、已知全集 u1,2,3,4,5,6，集合 a1,3,4,6，則集合eu a 的所有子集共有個.14、已知f ( x)3x 24x5, g( x)f (x2) ，則g (3).15、函數(shù)f ( x)log1 ( xx222) 的單調(diào)遞增區(qū)間為.16、定義在 r 上的奇函數(shù)f ( x)滿足：當 x0 時，xf (x)2009log 2009 x ，則方程f ( x)0 的實根個數(shù)為.二、填空題： （ 5420 分） 13、4；14、4；15、 (,1) ； 16、321、（ 12 分）設(shè)函數(shù)12 xf ( x)lg3x4 a(ar) .（ 1） 當 a2 時，求f ( x) 的定義域；（ 2）如果 x(,1) 時，f (x) 有意義，試確定a 的取值范圍；x（ 3）如果 0a1 ，求證：當x0 時，有 2 f ( x)f (2 x) .21、解：（ 1）當 a2 時，函數(shù)f (x) 有意義，則 1224012 xxx324x0 ， 令 t2 ，不等式化為：2t 2t101t1 ，轉(zhuǎn)化為12x122x0 ，此時函數(shù)f ( x)的定義域為 (,0)xxxxx（ 2 ） 當 x1 時 ，f (x)有 意 義 ， 則 124 a0124a0a121(1 ，) 令34x4x2xy( 11) 在 x(,1) 上單調(diào)遞增，y6 ，則有 a6 ；（ 3） 當 04 x2xa1, x0 時，2 f ( x)f (2 x)2log12x34x a122 xlg342 x a(12xlg 3(122x4x a) 242x a) ，設(shè) 2xt ， x0 ， t1且 0a1 ，則(12 x4x a)23(122x42 x a)t 4 (a23a )2at 3t 2 (2a2)2(t1)t 4 (a23a 2 )2at 3t 2 (2 a2)2(t1)(at1)2t 2( at 21)2(t1)20 2 f ( x)f (2 x)22（本題滿分14 分）已知冪函數(shù)f ( x)x(2k )(1k) (kz) 滿 足f (2) 1 ，所以 f(k)x所以 kxx,f(kx)f(x) 對 x r+ 恒成立，所以f(x)為 r+上的單調(diào)減函數(shù)法二：設(shè)x1 , x20,且x1x2 令 x2kx1 ,則k1f ( x1 )f (x2 )f ( x1 )f ( kx2 )f ( x1 )f (k )f ( x2 )f (k)有題知， f(k)0f (x1 )f (x2 )0即f( x1 )f ( x2 )所以 f(x) 在（ 0， +）上為減函數(shù)法三設(shè) x1 , x20,且x1x2f ( x1 )f (x2 )f ( x1 )f ( x1x2 ) x1f ( x2 ) x1x21f ( x2 )0 x1x1f ( x1 )f (x2 )0即f(x1 )f ( x2 )所以 f(x) 在（ 0， +）上為減函數(shù)22.解： f(x)=(x-b)2 -b 2+ b 的對稱軸為直線xb（ b 1），4(i)當 1b4 時， g(b) f(b) -b 2+ b ;4 當 b 4 時 ， g(b) f(4) 16- 31 b ，4b 2b綜上所述， f(x)的最小值 g(b) 4(1 b4)。1631 b4( b4)(ii)當 1 b4 時， g(b) -b 2+ b -(b-1 ) 2 + 1 ，4 當 b 1 時 ， mg(1) - 3 ；4864當 b 4 時， g(b) 16- 31 b 是減函數(shù)， g(b) 16- 31 4-15 - 3 ，4443綜上所述， g(b) 的最大值 m= -。422、解：（ 1）設(shè)點 q 的坐標為 (x , y ) ，則 x x2a, y y ，即xx 2a, yy 。點 p( x, y) 在函數(shù) ylog a ( x3a)圖象上y log a ( x2a3a) ，即ylog a1 g(x)log a1x axa(2)由題意 x a2, a3 ， 則 x3a( a2) 3a2a20 ，110 .又 a0 ， 且 a1， 0a1x a( a2)a22| f (x)g(x) | | log a (x3a)log a1| | log ( x2 xaa4ax3a2 ) |f (x)g( x) ,11 剟loga ( x4 ax3a )1 0a1 a2 2a ，則r ( x)x24 ax3a 2 在 a2,a3 上為增函數(shù)，函數(shù)u( x)log ( x24ax3a 2 ) 在 a2,a3 上為減函數(shù)，a從而 u( x) maxu( a2) log a(44a) 。 u( x) minu(a3) log a(96a)又 0a1,則log a (96a)10a ,957log a (44a) ,112（ 3 ） 由 （ 1 ） 知g( x )l oag1， 而 把y g( x)的 圖 象 向 左 平 移 a 個 單 位 得 到y(tǒng)h(x)的 圖 象 ， 則lh( x )l oag1 xxal aoxg，f(1 h1a xx )( x，2aa x)h即 f( x)a2 x2(2 a1)x ， 又 a0,且a1 ， f( x) 的對稱軸為x2a2a21 ，又在 1 ,44的最大值為5 ，42令 2a112a4a 24a20a26( 舍去)或a26 ；此時f (x) 在 1 ,44上遞減，f (x) 的最大22值 為 f( 1)51 a1 (2 a1)5a8a160a4(26,)，此時無解；4416442令 2a1248a2 a101a1 ， 又 a0,且a1 ， 0a1 ；此時f ( x) 在 1 ,4上遞增，2a4224 f ( x) 的最大值為f (4)516a28a45a142，又 0a1 ，無解；444212a1a 24a2 ,026 剟a261 令 4 剟2a248a 22 a10a 剠1 或a1且 a0, 且a1 2 剟a2 6且a1 ，此4222422222時 f( x) 的最大值為f ( 2a1)5a2 (2 a1)(2a1)5(2 a1)5a4a10 ，解得： a2a25 ，又 1 剟a2426且 a4a1 ， a2a425 ；4a4綜上， a 的值為 25 .2222解 :（）f2f3，2k1k01k2,kz,k0 或 k1 ； 當 k0 時，fxx ， 當 k1 時，fxx ；k0或 k1 時，fxx2 （）gx m0 ，1mfx2m1xmx22m1 x1 ，gx 開口方向向下，對稱軸x2m11112m2m又g 01, gx 在區(qū)間，上的最大值為，1102mg115m12m5262m2m56222解：（）函數(shù)yf (x) 的圖象經(jīng)過3-12p(3,4) a4 ，即 a（）當 a1 時，4 .又 af (lg1 )1000 ，所以 a2 .f (2.1);當 0a1時，1f (lg1)100f (2.1)33.1因為，f (lg) 100f (2)a， f (2.1)a當 a1 時，ya 在 (,) 上為增函數(shù)，x33.1， a 313.1a.x即 f (lg) 100f (2.1).當 0a1時，ya 在 (,) 上為減函數(shù)，33.1， a 313.1a.1即 f (lg) 100f (2.1).（）由f (lg a)100 知， alg a100 .所以，lg alg a 12（或 lg a1loga 100） . (lg a1) lg a2 .2 lgalg a20 ， lg a1 或lg a2 ，1所以， a或a 10100.說明：第（）問中只有正確結(jié)論，無比較過程扣2 分20(1) 因為yf ( x)為偶函數(shù)，x所以xr ,f (x)f (x) ，x即log9 (91)kxlog9 (91)kx 對于xr 恒成立 .于 是 2kxlog (91)log (91)log9x1log (91)x 恒成立 ,xxxx99999而 x 不恒為零，所以k1 .-4 分2(2) 由題意知方程log (9 x1)1 x1 xb 即方程 log (9 x1)xb 無解.9229x令 g( x)log9 (91)x ，則函數(shù)yg( x) 的圖象與直線yb 無交點 .xx因 為 g( x)log 9 9x 1log 9 11991212任取 x 、 xr，且 xx ，則 09x19 x2 ，從而11.9x19x2于 是 log9 119x1log9 119x2， 即 g(x1)g( x2) ，所以 g( x) 在,上是單調(diào)減函數(shù) .因為 119 x1 ，所以g(x)log 9 110 .x9所以 b 的取值范圍是, 0 .- 6 分(3) 由題意知方程3x13xa 3x4 a 有且只有一個實數(shù)根3x令 3t0 ，則關(guān)于 t 的方程 (a1)t 24 at310 (記為 (*) 有且只有一個正根 .若 a=1， 則 t3 ，不合 , 舍去；4若 a1，則方程 (*) 的兩根異號或有兩相等正跟.由0a3 或 3；但 a3t1 ，不合，舍去；而a3t1 ；4422方程 (*) 的兩根異號a110a1.綜上所述，實數(shù)a 的取值范圍是 3(1,) - 6 分18 (1) 解 a, b 兩點縱坐標相同故可令f (x)7a( x3)( x5) 即f ( x)a(x3)( x5)7 將 c(2,8) 代入上式可得 a1f ( x)( x3)( x5)7x22 x84 分(2) 由f ( x)x22x8 可知對稱軸x11） 當t11即 t0 時 yf( x) 在區(qū)間t , t1 上為減函數(shù)f (x