第8講 立體幾何 向量與向量方法.doc

第8講 立體幾何 向量與向量方法二、空間向量.1、（1）共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.（2）共線向量定理：對空間任意兩個(gè)向量， 的充要條件是存在實(shí)數(shù)（具有唯一性），使；（3）共面向量：若向量使之平行于平面或在內(nèi)，則與的關(guān)系是平行，記作.（4）共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，則向量與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對x、y使.空間任一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A、B、C，則是PABC四點(diǎn)共面的充要條件.（簡證：P、A、B、C四點(diǎn)共面）注：是證明四點(diǎn)共面的常用方法.2、 空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使.推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P, 都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z使 (這里隱含x+y+z1).注：設(shè)四面體ABCD的三條棱，其中Q是BCD的重心，則向量用即證.3、 （1）空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對應(yīng)為縱軸），z軸是豎軸（對應(yīng)為豎坐標(biāo)）.令=(a1,a2,a3),，則； ； (用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：)空間兩點(diǎn)的距離公式：.（2）法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平面的法向量. （3）向量的應(yīng)用：利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點(diǎn)B到平面的距離為.利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大小（方向相同，則為補(bǔ)角，反方，則為其夾角）.證直線和平面平行定理：已知直線平面，且CDE三點(diǎn)不共線，則a的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對使.（常設(shè)求解若存在即證畢，若不存在，則直線AB與平面相交）.二、例題分析：1、若與共線，與共線，則與共線.（） 當(dāng)時(shí)，不成立向量共面即它們所在直線共面.（） 可能異面若，則存在小任一實(shí)數(shù)，使.（）與不成立若為非零向量，則.（）這里用到之積仍為向量2、（海南寧夏卷理13）已知向量，且，則= _.解：由題意3、（四川延考文12）在正方體中，是棱的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為（）A B C D 解：如圖以D為坐標(biāo)系原點(diǎn),為單位長，分別為軸建立坐標(biāo)系，易見，所以，選B.（如果連結(jié),用余弦定理解三角形也可以求得答案.）4、設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足=0，=0，=0,則BCD是（ ）A.鈍角三角形 B.銳角三角形 C.直角三角形 D.不確定選B 提示：=0ACAB.同理可得ACAD,ABAD.設(shè)AB=a，AC=b，AD=c.則BC=,CD=,BD=.cosBCD=0,故BCD為銳角.同理CBD、BDC亦為銳角.則BCD為銳角三角形.5、如圖所示，已知線段AB在平面內(nèi)，線段AC，線段BDAB,且與所成角是30.如果AB=a,AC=BD=b,求C、D間的距離.解析:由AC,可知ACAB.過D作DD,D為垂足,則DBD=30,=120,|2=(+)2=|2+|2+|2+2+2+2=b2+a2+b2+2b2cos120=a2+b2.CD=.小結(jié)： |2=提供了向量與實(shí)數(shù)相互轉(zhuǎn)化的工具，運(yùn)用此公式，可以使線段長度問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相等向量的數(shù)量積的問題，此題若考慮用常規(guī)方法轉(zhuǎn)化到三角形當(dāng)中求解，較繁鎖.6、設(shè),=,=，且|=1，|=2，|=3，（1）求|+|；（2）求|+2-|；（3）求-與的夾角.解：|+|2=2+2+2+2+2+2=1+4+9+0+23+223=17+6. |+|=.| +2-|=. .注意：向量作為溝通“數(shù)”和“形”的橋梁，是利用數(shù)學(xué)結(jié)合解題的一種重要載體學(xué)習(xí)者要逐步掌握向量運(yùn)算的各種幾何意義，才能較好的利用效率這一工具來靈活解題請注意以下的知識技能：（）利用來證明線線平行或諸點(diǎn)共線問題；（）利用來求證線線垂直；（）利用，即=，解決兩直線的夾角問題；（）利用|2=，解決線段長度問題，或利用（其中，是與同方向的單位向量）,求在上的射影長.7、試用向量方法證明不等式：+(a，b，c為正實(shí)數(shù)).證明:如圖，構(gòu)造三棱錐ABCD，且每個(gè)頂角均為60，且|=a,| |=b,| |=c,則=|-|=|,=|-|=|,=|-|=|.在三角形BCD中,| |+|, +.8、如圖：已知正三棱柱ABCABC的側(cè)棱長為2，底面邊長為1，M是BC的中點(diǎn).(1)求異面直線AB與BC的夾角；(2)在直線CC上求一點(diǎn)N，使得MNAB；若AB的中點(diǎn)為P，BC的中點(diǎn)Q，求證：PQ/面ABC.(1)解法一：因?yàn)?又因?yàn)锳BCABC是正三棱柱， ，且 ， 由題意，2.從而得：4 cos ，即異面直線AB與BC的夾角為arccos.解法二：以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AA為z軸，AC為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 由題意：A(0，0，0)，B(，0)，B(，2)，C(0，1，2).則，.由夾角公式：cos. . 即異面直線AB與BC的夾角為arccos.(2)解法一：設(shè)由題意可得： ， ， ，也就是. 4x0 x ，即當(dāng)時(shí)，ABMN. 解法二：同解法一，建立空間直角坐標(biāo)系，有A(0，0，0)，B(，0)，M(，0)，N(0，1，z) 2z0解得z， N(0，1，) 即CN時(shí)，ABMN.（3）（待定系數(shù)法）由上知：，；同理得：，則，又因?yàn)椋?設(shè)，得：，得x=0,y=,所以所以PQ與面ABC共面，又因?yàn)?，所以PQ/面ABC. 指津：本題是運(yùn)用向量方法解決了異面直線求角、直線垂直及線面的平行證明等問題.這里把向量的普通方法和坐標(biāo)方法作了對比.圖形中，平行、垂直、角、距離等問題如何向量化、坐標(biāo)化、代數(shù)化是運(yùn)用好向量工具的關(guān)鍵，而空間直角坐標(biāo)系的建立，點(diǎn)、向量坐標(biāo)的確定和公式的運(yùn)用，需要學(xué)習(xí)者認(rèn)真體會、積累.建立空間直角坐標(biāo)系一般需要圖形中三條兩兩垂直的線段，本題中存在嗎？是如何處理的？本題可以運(yùn)用傳統(tǒng)方法（純幾何方法）解決嗎？，學(xué)習(xí)者不妨自己給出解答并與向量方法加以比較.隨著新教材的推廣使用，運(yùn)用向量法解決空間圖形中的角、距離，線線、線面及面面的平行、垂直等問題已成為新高考命題的熱點(diǎn)，如何入手解題，運(yùn)用傳統(tǒng)方法還是向量方法，應(yīng)根據(jù)具體情況來定，多種方法靈活使用，合理使用，才能達(dá)到理想效果.9、（安徽卷理18）如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)（）證明：直線；（）求異面直線AB與MD所成角的大小； （）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。方法一（綜合法） （1）取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE又 （2） 為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）作連接，所以 與所成角的大小為（3）點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等，連接OP,過點(diǎn)A作 于點(diǎn)Q，又 ,線段AQ的長就是點(diǎn)A到平面OCD的距離，所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為方法二(向量法)作于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系,(1)設(shè)平面OCD的法向量為,則即 取,解得(2)設(shè)與所成的角為, , 與所成角的大小為(3)設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對值, 由 , 得.所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為10、 如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a.D為A1C1中點(diǎn).E為B1C的中點(diǎn).(1)求直線BE與A1C所成角的大小.(2)在線段AA1上是否存在點(diǎn)F，使CF平面B1DF.若存在,求出|;若不存在，說明理由.本題所給幾何體比較特殊，故可以根據(jù)題中條件，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系解題.解：(1)如圖9-4所示，以B為原點(diǎn),BA所在直線為x軸，BC所在直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則B（0，0，0），C（0， a，0），A(，0，0)，A1(a，0，3a)易求得D(a, a,3a),E(0, ,a) ，=(a,- ,3a),=(0, a, a),設(shè)直線BE與A1C所成的角為，cos=、=,則=arccos.(2)假設(shè)存在點(diǎn)F，使CF平面B1DF，不妨設(shè)AF=b，F(xiàn)（a，0，b），=(a,- a,b),=(a,0,b-3a),=( a, a,0).=a2-a2=0,恒成立. 由=2a2+b(b-3a)=0可得b=a或b=2a.故在線段AA1上存在點(diǎn)F，當(dāng)|=a或2a時(shí)，CF面B1DF.注：利用向量求兩條異面直線的夾角時(shí)，要注意兩條