2019_2020學年高中數(shù)學第1章導數(shù)及其應用1.1.1函數(shù)的平均變化率1.1.2瞬時速度與導數(shù)講義新人教B版.docx

1.1.1函數(shù)的平均變化率1.1.2瞬時速度與導數(shù)學 習 目 標核 心 素 養(yǎng)1理解函數(shù)平均變化率的概念，會求函數(shù)的平均變化率(重點)2理解瞬時變化率、導數(shù)的概念(難點、易混點)3會用導數(shù)的定義求函數(shù)的導數(shù).1通過函數(shù)平均變化率、瞬時變化率、導數(shù)概念的學習，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)2借助導數(shù)的定義求函數(shù)的導數(shù)，提升學生的數(shù)學運算素養(yǎng).一、函數(shù)的平均變化率函數(shù)的平均變化率的定義一般地，已知函數(shù)yf(x)，x0，x1是其定義域內不同的兩點，記xx1x0，yy1y0f(x1)f(x0)f(x0x)f(x0)，則當x0時，商稱作函數(shù)yf(x)在區(qū)間x0，x0x(或x0x，x0)的平均變化率二、瞬時速度與導數(shù)1物體運動的瞬時速度設物體運動路程與時間的關系是sf(t)，當t趨近于0時，函數(shù)f(t)在t0到t0t之間的平均變化率趨近于常數(shù)，我們把這個常數(shù)稱為t0時刻的瞬時速度2函數(shù)的瞬時變化率設函數(shù)yf(x)在x0及其附近有定義，當自變量在xx0附近改變量為x時，函數(shù)值相應地改變yf(x0x)f(x0)，如果當x趨近于0時，平均變化率趨近于一個常數(shù)l，那么常數(shù)l稱為函數(shù)f(x)在點x0的瞬時變化率記作：當x0時，l.還可以說：當x0時，函數(shù)平均變化率的極限等于函數(shù)在x0的瞬時變化率l，記作 l.3函數(shù)f(x)在xx0處的導數(shù)函數(shù)yf(x)在點x0的瞬時變化率，通常稱為f(x)在點x0處的導數(shù)，并記作f(x0)，即f(x0) .4函數(shù)的導數(shù)如果f(x)在開區(qū)間(a，b)內每一點x都是可導的，則稱f(x)在區(qū)間(a，b)可導這樣，對開區(qū)間(a，b)內每個值x，都對應一個確定的導數(shù)f(x)于是，在區(qū)間(a，b)內，f(x)構成一個新的函數(shù)，把這個函數(shù)稱為函數(shù)yf(x)的導函數(shù)記為f(x)或y(或yx)1判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)x表示x2x1，是相對于x1的一個增量，x的值可正可負，但不可為零()(2)y表示f(x2)f(x1)，y的值可正可負，也可以為零()(3)表示曲線yf(x)上兩點(x1，f(x1)，(x2，f(x2)連線的斜率()(4)函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)值與x的正、負無關()(5)瞬時變化率是刻畫某函數(shù)值在區(qū)間x1，x2上的變化快慢的物理量()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.如圖，函數(shù)yf(x)在1,3上的平均變化率為()A1B1C2 D2解析1答案B3函數(shù)f(x)x2在x1處的瞬時變化率是_解析f(x)x2，函數(shù)f(x)在x1處的瞬時變化率是 (2x)2.答案2求函數(shù)的平均變化率【例1】(1)已知函數(shù)yf(x)x21，則在x2，x0.1時，y的值為()A0.40B0.41C0.43D0.44(2)已知函數(shù)f(x)x，分別計算f(x)在自變量x從1變到2和從3變到5時的平均變化率，并判斷在哪個區(qū)間上函數(shù)值變化得較快思路探究(1)由yf(xx)f(x)f(20.1)f(2)可得(2)解析(1)yf(2x)f(2)f(2.1)f(2)2.12220.41答案B(2)自變量x從1變到2時，函數(shù)f(x)的平均變化率為；自變量x從3變到5時，函數(shù)f(x)的平均變化率為.因為0)垂直上拋的物體，t秒時的高度為s(t)v0tgt2，則物體在t0時刻的瞬時速度為_(2)某物體的運動方程為s2t3，則物體在第t1時的瞬時速度是_思路探究先求出，再求 .解析(1)sv0(t0t)g(t0t)2v0tgt0tgt2，v0gt0gt， v0gt0，即t0時刻的瞬時速度為v0gt0.(2)當t1時，s2(1t)321321(t)33t3(t)2222(t)36t6(t)222(t)36(t)26t，2(t)26t6， 6，則物體在第t1時的瞬時速度是6.答案(1)v0gt0(2)61求運動物體瞬時速度的三個步驟(1)求時間改變量t和位移改變量ss(t0t)s(t0)；(2)求平均速度；(3)求瞬時速度，當t無限趨近于0時，無限趨近于常數(shù)v，即為瞬時速度2求(當x無限趨近于0時)的極限的方法(1)在極限表達式中，可把x作為一個數(shù)來參與運算(2)求出的表達式后，x無限趨近于0就是令x0，求出結果即可2一做直線運動的物體，其位移s與時間t的關系是s3tt2(位移單位：m，時間單位：s)(1)求此物體的初速度；(2)求此物體在t2時的瞬時速度；(3)求t0到t2時的平均速度解(1)初速度v0 (3t)3，即物體的初速度為3 m/s.(2)v瞬l l (t1)1，即物體在t2時的瞬時速度為1 m/s，方向與初速度方向相反(3)1，即t0到t2時的平均速度為1 m/s.求函數(shù)在某點處的導數(shù)探究問題一質點的運動方程為s83t2，其中s表示位移，t表示時間1試求質點在1,1t這段時間內的平均速度提示：63t.2當t趨近于0時，探究1中的平均速度趨近于何值？如何理解這一速度？提示：當t趨近于0時，趨近于6.這時的平均速度即為t1時的瞬時速度【例3】(1)求函數(shù)f(x)x2x在x1附近的平均變化率，并求出在該點處的導數(shù)；(2)求函數(shù)y3x2在x1處的導數(shù)思路探究求函數(shù)f(x)在任意點處的導數(shù)都應先求平均變化率，再求f(x0)解(1)yf(1x)f(1)(1x)2(1x)23x(x)2，3x，f(1) (3x)3.(2)yf(1x)f(1)3(1x)236x3(x)2，63x，f(1) (63x)6.1通過本例(1)進一步感受平均變化率與瞬時變化率的關系，對于y與x的比值，感受和認識在x逐漸變小的過程中趨近于一個固定的常數(shù)A這一現(xiàn)象2用定義求函數(shù)在xx0處的導數(shù)的步驟(1)求函數(shù)的增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均變化率；(3)求極限，得導數(shù)為f(x0) .簡記為：一差、二比、三趨近3求函數(shù)f(x)x在x1處的導數(shù)解y(1x)x1x，1，f(1) 2.1已知函數(shù)yf(x)2x2的圖象上點P(1,2)及鄰近點Q(1x，2y)，則的值為()A4B4xC42x2 D42x解析42x.答案D2一個物體的運動方程為s1tt2，其中s的單位是：m，t的單位是：s，那么物體在3 s末的瞬時速度是()A7 m/s B6 m/sC5 m/s D8 m/s解析5t， (5t)5(m/s)答案C3質點運動規(guī)律sgt2，則在時間區(qū)間(3,3t)內的平均速度等于_(g10 m/s2)解析sg(3t)2g32106t(t)230t5(t)2，305t.答案305t4一質點M按運動方程s(t)at21做直線運動(位移單位：m，時間單位：s)若質點M在t2 s時的瞬時速度為8 m/s，則常