軌跡問題.docx

解析幾何中的軌跡問題一、定義法：1已知M是直線l：x=-1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F的坐標(biāo)是(1,0)，過M的直線l與l垂直，并且l與線段MF的垂直平分線相交于點(diǎn)N（）求點(diǎn)N的軌跡C的方程；試題解析：（）依題意，|NM|=|NF|，即曲線C為拋物線，其焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為l：x=-1，所以曲線C的方程為y2=4x2已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切并與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線.（1）求的方程；試題解析：由已知得圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，設(shè)圓的圓心為，半徑為.（1）因?yàn)閳A與圓外切并且與圓內(nèi)切，所以.由橢圓的定義可知，曲線是以為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為的橢圓（左頂點(diǎn)除外），其方程為.5分3定圓，動(dòng)圓過點(diǎn)且與圓相切，記圓心的軌跡為.（1）求軌跡的方程；試題解析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，所以圓內(nèi)切于圓，因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡為橢圓，且，所以，所以軌跡的方程為；4已知點(diǎn)M(2，0)，N(2，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PM|PN|2，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W求W的方程；【解析】試題分析：（1）利用雙曲線的定義，可求W的方程；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合基本不等式，可求的最小值試題解析：(1)由知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，實(shí)半軸長(zhǎng)，半焦距，故徐半軸長(zhǎng)，從而W的方程為5已知圓，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑相交于（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；【解析】試題分析：（1）利用定義法求橢圓方程；（2）通過設(shè)而不求法，列方程，解得.試題解析：（1）連結(jié)，根據(jù)題意，則，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓設(shè)其方程，可知，則 所以點(diǎn)的軌跡的方程為 6已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作垂直于軸的直線，直線垂直于點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；試題解析：解：（1），點(diǎn)到定直線：的距離等于它到定點(diǎn)的距離，點(diǎn)的軌跡是以為準(zhǔn)線，為焦點(diǎn)的拋物線點(diǎn)的軌跡的方程為7已知點(diǎn)為圓的圓心，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在圓的半徑上，且有點(diǎn)和上的點(diǎn)，滿足（1）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；（1）由題意知中線段的垂直平分線，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，焦距為2，長(zhǎng)軸為的橢圓，；8在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1.()求點(diǎn)的軌跡的方程；試題解析：（）依題意，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，的方程為；9、已知點(diǎn)M(-3,0)，N（3,0），B（1,0），動(dòng)圓C與直線MN切于點(diǎn)B，過M，N與圓C相切的兩直線相較于點(diǎn)P，則P點(diǎn)軌跡方程是 。10、在三角形ABC中，A(-2,0)，B(2,0)，sinB-sinA=12sinC,則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程是 。（二）直接法11、動(dòng)點(diǎn)P(5cos ，4sin )(0)的軌跡方程是_12、如圖8531所示，已知F(1，0)，直線l：x1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為_圖853113已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)，且被軸截得的線段長(zhǎng)為4，記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線（1）求曲線的方程；試題解析：（1）設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為，由題意可得：，化為：，動(dòng)圓圓心的軌跡方程為：4分14已知兩點(diǎn)和分別在直線和（）上運(yùn)動(dòng)，且，動(dòng)點(diǎn)滿足：（為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)的軌跡記為曲線（1）求曲線的方程，并討論曲線的類型；試題解析：（1）由，得是的中點(diǎn)，設(shè)，依題意得：整理得，當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，方程表示圓15在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，-3），（0,3），直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是.（1）求的軌跡方程；試題解析：（1）設(shè)是軌跡上任意一點(diǎn)，依題意，整理化簡(jiǎn)得；16已知，動(dòng)點(diǎn)滿足，其中分別表示直線的斜率，為常數(shù)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為（1）求的方程；試題解析：（1）設(shè)，即，化簡(jiǎn)得，此即為的方程；17在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；試題解析：（1）設(shè)，則，整理得，軌跡的方程為 18已知直線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線垂直于軸，動(dòng)點(diǎn)在上，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），記點(diǎn)的軌跡為.（I）求曲線的方程；（I）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，因?yàn)椋?，即，?dāng)時(shí)，三點(diǎn)共線，不合題意，故，所以曲線的方程為；19在平面直角坐標(biāo)平面中，的兩個(gè)頂點(diǎn)為，平面內(nèi)兩點(diǎn)、同時(shí)滿足：；（1）求頂點(diǎn)的軌跡的方程；試題解析：（1），由知，為的重心，設(shè)，則，由知是的外心，在軸上由知，由，得，化簡(jiǎn)整理得：20設(shè)，分別是軸，軸上的動(dòng)點(diǎn)，在直線上，且（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；【解析】試題分析：（1）設(shè)，則，根據(jù)，得，由，即可求解點(diǎn)的軌跡的方程；可求21已知拋物線，過其焦點(diǎn)作兩條相互垂直且不平行于坐標(biāo)軸的直線，它們分別交拋物線于點(diǎn)、和點(diǎn)、，線段、的中點(diǎn)分別為、.（）求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；試題解析：（）由題設(shè)條件得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為,.聯(lián)立，得.設(shè)，則，.線段的中點(diǎn)的軌跡方程為：.22在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；試題解析：（1）設(shè)，則，整理得.軌跡的方程為.23已知兩點(diǎn)分別在軸和軸上運(yùn)動(dòng)，且，若動(dòng)點(diǎn)滿足（）求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；試題解析：（）因?yàn)?，即所以，所以又因?yàn)?，所以，即，即所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為24、已知橢圓x2+2y2=2,斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程為 。25、已知點(diǎn)A（-1,0)，B(1,0)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡曲線C滿足AMB=2，AMBMcos2=3,求AM+BM的值，并寫出曲線C的方程。（三）相關(guān)點(diǎn)法26、相關(guān)點(diǎn)法(代入法)求軌跡方程3 已知點(diǎn)Q在橢圓C：1上，點(diǎn)P滿足()(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1為橢圓C的左焦點(diǎn))，求點(diǎn)P的軌跡方程27、P為雙曲線y21上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，求PF1F2的重心M的軌跡方程28已知圓M：x2+y2=r2（r0）與直線l1：x-3y+4=0相切，設(shè)點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn)，ABx軸于B，且動(dòng)點(diǎn)N滿足AB=2NB，設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；試題解析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)N(x,y)，A(x0,y0),因?yàn)锳Bx軸于B，所以B(x0,0)， 設(shè)圓M的方程為M:x2+y2=r2,由題意得r=|4|1+3=2， 所以圓M的程為M:x2+y2=4. 由題意, AB=2NB，所以(0,-y0)=2(x0-x,-y)，所以，即x0=x,y0=2y,將A(x,2y)代入圓M:x2+y2=4,得動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程x24+y2=1， 29如圖，設(shè)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的影，M為PD上一點(diǎn)，且（）當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程試題解析：（）設(shè)M的坐標(biāo)為（x,y）P的坐標(biāo)為（xp,yp）由已知 xp=x,P在圓上， ，即C的方程為（四）交軌法30在直角坐標(biāo)系xoy上取兩個(gè)定點(diǎn)A1（2，0），A2（2，0），再取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)N1（0，m），N2（0，n），且mn=3（1）求直線A1N1與A2N2交點(diǎn)的軌跡M的方程；【解析】試題分析：（1）先分別求直線A1N1與A2N2的方程，進(jìn)而可得，利用mn=3，可以得，又點(diǎn)（-2，0），（2，0）不在軌跡M上，故可求軌跡方程；31、過拋物線x24y的焦點(diǎn)作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，分別過A，B作拋物線的切線l1，l2，則l1與l2的交點(diǎn)P的軌跡方程是()Ay1 By2Cyx1 Dyx1圖K53132、橢圓C：x2a2+y2b2=1(a0,b0),動(dòng)圓C1:x2+y2=t2(bta).點(diǎn)A1,A2為橢圓C的左右頂點(diǎn)，C1與C交于A，B，C，D四點(diǎn)。求直線A1A與A2B的交點(diǎn)M的軌跡方程。10將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到g（x）的圖象若g（x1）g（x2）=9，且x1，x22，2，則2x1x2的最大值為（）ABCD【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義；函數(shù)的圖象【分析】由已知可得g（x）=+1，若g（x1）g（x2）=9，且x1，x22，2，則g（x1）=g（x2）=3，則，結(jié)合x1，x22，2，可得答案【解答】解：函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，可得y=的圖象，再向上平移1個(gè)單位，得到g（x）=+1的圖象若g（x1）g（x2）=9，且x1，x22，2，則g（x1）=g（x2）=3，則，即，由x1，x22，2，得：x1，x2， ，當(dāng)x1=，x2=時(shí)，2x1x2取最大值，故選：A11在某市記者招待會(huì)上，需要接受本市甲、乙兩家電視臺(tái)記者的提問，兩家電視臺(tái)均有記者5人，主持人需要從這10名記者中選出4名記者提問，且這4人中，既有甲電臺(tái)記者，又有乙電視臺(tái)記者，且甲電視臺(tái)的記者不可以連續(xù)提問，則不同的提問方式的種數(shù)為（）A1200B2400C3000D3600【考點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用【分析】由題意，甲電臺(tái)記者選1名，乙電視臺(tái)記者選3人，不同的提問方式的種數(shù)為=1200；甲電臺(tái)記者選2名，乙電視臺(tái)記者選2人，不同的提問方式的種數(shù)為=1200，即可得出結(jié)論【解答】解：由題意，甲電臺(tái)記者選1名，乙電視臺(tái)記者選3人，不同的提問方式的種數(shù)為=1200；甲電臺(tái)記者選2名，乙電視臺(tái)記者選2人，不同的提問方式的種數(shù)為=1200，總共不同的提問方式的種數(shù)為2400，故選B12已知函數(shù)f（x）=2x5，g（x）=4xx2，給下列三個(gè)命題：p1：若xR，則f（x）f（x）的最大值為16；p2：不等式f（x）g（x）的解集為集合x|1x3的真子集；p3：當(dāng)a0時(shí)，若x1，x2a，a+2，f（x1）g（x2）恒成立，則a3，那么，這三個(gè)命題中所有的真命題是（）Ap1，p2，p3Bp2，p3Cp1，p2Dp1【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用【分析】給出f（x）f（x）的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式，可判斷p1，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）=2x5，g（x）=4xx2的圖象，數(shù)形結(jié)合，可判斷p2，p3【解答】解：函數(shù)f（x）=2x5，g（x）=4xx2，f（x）f（x）=（2x5）（2x5）=265（2x+2x）2610=16，故p1：若xR，則f（x）f（x）的最大值為16，為真命題；在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）=2x5，g（x）=4xx2的圖象如下圖所示：由圖可得：p2：不等式f（x）g（x）的解集為集合x|1x3的真子集，為真命題；p3：當(dāng)a0時(shí)，若x1，x2a，a+2，f（x1）g（x2）恒成立，則a3，為真命題；故選：A二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13sin63cos18+cos63cos108=【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的余弦函數(shù)【分析】利用誘導(dǎo)公式，兩角差的正弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值即可化簡(jiǎn)求值得解【解答】解：sin63cos18+cos63cos108=sin63cos18+cos63cos（90+18）=sin63cos18cos63sin18=sin（6318）=sin45=故答案為：14設(shè)函數(shù)f（x）=，則f（3）+f（4）=4【考點(diǎn)】函數(shù)的值【分析】先分別求出f（3）=f（9）=1+log69，f（4）=1+log64，由此能求出f（3）+f（4）【解答】解：f（x）=，f（3）=f（9）=1+log69，f（4）=1+log64，f（3）+f（4）=2+log69+log64=2+log636=2+2=4故答案為：415古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上述的已知條件，可求得該女子前3天所織布的總尺數(shù)為【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和【分析】利用等比數(shù)列的求和公式即可得出【解答】解：設(shè)該女五第一天織布x尺，則=5，解得x=，該女子前3天所織布的總尺數(shù)=故答案為：16在RtAOB中，AB邊上的高線為OD，點(diǎn)E位于線段OD上，若，則向量在向量上的投影為或【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【分析】由題意可得AOB=，建立如圖所示的坐標(biāo)系，利用三角形相似，求出AD的值